上海中學(xué)東校2025學(xué)年第一學(xué)期中期素質(zhì)評(píng)估高二數(shù)學(xué)2025.11（滿分：110分時(shí)間：90分鐘）一、填空題（14題，每題3分）1.兩條異面直線所成角的范圍是________．2.已知，如果，那么實(shí)數(shù)的值為______.3.底面半徑為1，母線長為2的圓錐的側(cè)面積為______．4.長方體的12條棱的總長度為，表面積為，那么長方體的外接球半徑為___________．5.半徑為球放在墻角，同時(shí)與兩墻面和地面相切，如果球心到墻角頂點(diǎn)的距離為2，則__________.6.如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高_(dá)______．7.一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，A為原正方體一條棱的中點(diǎn)，在原來的正方體中，直線與所成角的余弦值為______．8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則_______________9.如圖，正方體的棱長為2，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），若平面，則長度的范圍為___________．10.如圖，圓錐的母線長為4，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為__________11.在空間直角坐標(biāo)系中，表示經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量為的直線的方程，則點(diǎn)到直線的距離為___________．12.如圖，某建筑物垂直于地面，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，已知相距100米，，則該建筑物高度約為__________米．（保留一位小數(shù)）13.如圖，已知正方體的棱長為2，分別為棱的中點(diǎn)，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，不包括端點(diǎn)），設(shè)異面直線與所成的角為，則的取值范圍是___________.14.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為．閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________．二、選擇題（4題，每題3分）15.在空間中，“兩條直線平行”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要16.如圖，在平行六面體中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在對(duì)角線上，，，以下命題正確的是（）A.B、、三點(diǎn)共線C.與是異面直線D.17.已知中，，點(diǎn)為邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則滿足()A.最大值為16 B.最小值為4C.為定值8 D.與的位置有關(guān)18.在四棱錐中，，則該四棱錐的高為（）A.4 B.3 C.2 D.1三、簡答題（總共5題，19、20、21每題10分，22題12分，23題14分）19.如圖，已知為圓柱底面圓的直徑，，母線長為3，點(diǎn)為底面圓的圓周上一點(diǎn)．（1）若，求三棱錐體積；（2）若，求異面直線與所成的角的余弦值．20.已知，函數(shù)的部分圖像如圖所示，圖中最高點(diǎn)，最低點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，求面積的取值范圍．21.已知平面向量，，若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使，，且．（1）試求函數(shù)關(guān)系式；（2）求使的t的取值范圍．22.如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．23.如圖所示，有滿足下列條件的五邊形的彩紙，其中，，．現(xiàn)將彩紙沿向內(nèi)進(jìn)行折疊．（1）求線段長度；（2）若是等邊三角形，折疊后使⊥，求直線與平面的所成角的大??；（3）將折疊后得到四棱錐記為四棱錐，求該四棱錐的體積的最大值．參考答案及解上海中學(xué)東校2025學(xué)年第一學(xué)期中期素質(zhì)評(píng)估高二數(shù)學(xué)2025.11（滿分：110分時(shí)間：90分鐘）一、填空題（14題，每題3分）1.兩條異面直線所成角的范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)異面直線的定義求解即可.【詳解】根據(jù)異面直線的定義，兩條異面直線所成角的范圍是為.故答案為：.2.已知，如果，那么實(shí)數(shù)的值為______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示即可.【詳解】由題意得，則.故答案為：4.3.底面半徑為1，母線長為2的圓錐的側(cè)面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式計(jì)算可得答案.【詳解】由題意底面半徑為1，母線長為2的圓錐的側(cè)面積為，故答案為：4.長方體的12條棱的總長度為，表面積為，那么長方體的外接球半徑為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出該長方體的長寬高分別為a，b，c，由已知有：，，解之可得對(duì)角線的長，由此可求外接球的半徑.【詳解】設(shè)該長方體的長寬高分別為a，b，c，則有：，即①，即②∴∴長方體的對(duì)角線的長為：，即外接球的直徑，所以，故答案：5.半徑為球放在墻角，同時(shí)與兩墻面和地面相切，如果球心到墻角頂點(diǎn)的距離為2，則__________.【答案】##【解析】【分析】不妨將球設(shè)為正方體的內(nèi)切球，從而可得正方體的邊長為，進(jìn)而可得，求出R的值即可.【詳解】不妨將球設(shè)為正方體的內(nèi)切球，正方體的邊長，由球心到墻角頂點(diǎn)的距離為2，則，可得，解得.故答案為：6.如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高_(dá)______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)題意半球的體積等于圓錐的體積，根據(jù)等體積法化簡即可.【詳解】解：由題意得半球的半徑和圓錐底面圓的半徑，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則半球的體積等于圓錐的體積所以故答案為：87.一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，A為原正方體一條棱的中點(diǎn)，在原來的正方體中，直線與所成角的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】把展開圖還原成正方體，確定的位置，作出異面直線所成的角，然后求角的余弦．【詳解】把展開圖還原成正方體，如圖中位置，由正方體性質(zhì)知與平行且相等，即是平行四邊形，，直線與所成角為（或其補(bǔ)角），同樣棱與側(cè)面垂直，垂直，則可得，設(shè)正方體棱長為1，，，，中，．所以直線與所成角的余弦值為．故答案為：．8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則_______________【答案】3【解析】【分析】由余弦定理即可求出.【詳解】由余弦定理可得，即，整理得，解得（舍去）或.故答案為：3.9.如圖，正方體的棱長為2，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），若平面，則長度的范圍為___________．【答案】【解析】【分析】由面面平行的判定定理和性質(zhì)定理確定F的位置，由此可求EF長度的范圍.【詳解】過作，交于點(diǎn)，交于，則易知底面，∵平面，又易得平面，，且平面，平面平面，又平面，平面，又平面平面，平面∴∵為中點(diǎn),為中點(diǎn)，則為中點(diǎn),即在線段上,，，，，則線段長度的取值范圍為：，故答案為：.10.如圖，圓錐的母線長為4，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為__________【答案】【解析】【分析】作出圓錐側(cè)面展開圖，根據(jù)給定條件求出展開圖扇形圓心角，再求出圓錐底面圓半徑即可作答.【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線AB剪開，其側(cè)面展開圖為扇形，如圖，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，最短距離即為線段BM長，則有，而M是線段中點(diǎn)，又母線長為4，于是得，即，設(shè)圓錐底面圓半徑r，從而有：，解得，所以圓錐的表面積為.故答案為：11.在空間直角坐標(biāo)系中，表示經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量為的直線的方程，則點(diǎn)到直線的距離為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到直線過點(diǎn)，且方向向量為，再由空間中點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案.【詳解】由題意，直線過點(diǎn)，且方向向量為，又由，可得，可得，所以，又由，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.12.如圖，某建筑物垂直于地面，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，已知相距100米，，則該建筑物高度約為__________米．（保留一位小數(shù)）【答案】66.4【解析】【分析】先在和中，根據(jù)仰角分別用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立關(guān)于的方程，最后求解方程得到的值.【詳解】在中，已知從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，即.因?yàn)?，所?在中，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，即.因?yàn)?，且，所?在中，已知米，.根據(jù)余弦定理，將，代入可得：，即可得.則.故答案為：66.4.13.如圖，已知正方體的棱長為2，分別為棱的中點(diǎn)，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，不包括端點(diǎn)），設(shè)異面直線與所成的角為，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】連接，證得，得到異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，利用余弦定理求得，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，可得在正方體中，可得，所以，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，即,設(shè)，其中，在中，由，由余弦定理得，設(shè)，則，可得，再令，則，則，設(shè)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，又由，所以，所以，所以異面直線與所成的角余弦值的取值范圍為.故答案為：.14.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為．閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)直線的方向向量為，根據(jù)直線是兩平面與的交線計(jì)算出直線的一個(gè)方向向量，最后利用直線與平面夾角的向量公式即可求解.【詳解】設(shè)直線的方向向量為，由材料可知平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，因?yàn)橹本€是兩平面與的交線，則有，即，取，則，所以，故則直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：二、選擇題（4題，每題3分）15.在空間中，“兩條直線平行”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要【答案】A【解析】【分析】直接由平行直線及異面直線的定義判斷充分性及必要性即可.【詳解】“兩條直線平行”能推出“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”，滿足充分性；“兩條直線沒有公共點(diǎn)”不能推出“兩條直線平行”，兩條直線可能異面，不滿足必要性，故“兩條直線平行”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的充分非必要條件.故選：A.16.如圖，在平行六面體中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在對(duì)角線上，，，以下命題正確的是（）A.B.、、三點(diǎn)共線C.與是異面直線D.【答案】B【解析】【分析】以為基底結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算推理作答.【詳解】在平行六面體中，令，，，則，，，，因?yàn)椴还簿€所以與不平行，故A錯(cuò)誤.，，即有，，有公共點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線，B選項(xiàng)正確.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，點(diǎn)也在直線上所以與是相交直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B17.已知中，，點(diǎn)為邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則滿足()A.最大值為16 B.最小值為4C.為定值8 D.與的位置有關(guān)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解作答.【詳解】以BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，，，，所以，即是定值8.故選：C18.在四棱錐中，，則該四棱錐的高為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】求出平面的一個(gè)法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式即可得到答案.【詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，即，所以該四棱錐的高.故選：C.三、簡答題（總共5題，19、20、21每題10分，22題12分，23題14分）19.如圖，已知為圓柱底面圓的直徑，，母線長為3，點(diǎn)為底面圓的圓周上一點(diǎn)．（1）若，求三棱錐的體積；（2）若，求異面直線與所成的角的余弦值．【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）利用等體積法求出三棱錐的體積.（2）作出母線，利用幾何法，結(jié)合余弦定理求出異面直線夾角的余弦.【小問1詳解】依題意，平面，由，得，所以三棱錐的體積.【小問2詳解】過點(diǎn)作圓柱的母線，連接，則，于是四邊形為平行四邊形，，因此是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，由，得，，，則，，由平面，得，在中，，所以異面直線與所成的角的余弦值為.20.已知，函數(shù)的部分圖像如圖所示，圖中最高點(diǎn)，最低點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)確定周期，可得，再由即可求解的值，從而得函數(shù)解析式；（2）由確定，得到，再結(jié)合正弦定理、三角恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍，由三角形面積公式得面積的取值范圍．小問1詳解】因?yàn)閳D像經(jīng)過，，所以得周期，由得，.又得，，又因?yàn)椋?，所以．【小?詳解】因?yàn)?，又，結(jié)合圖像對(duì)稱性可知：，則，又，由正弦定理得：，則，所以，由，，可得，所以，則，故，于是可得的面積為，故面積的取值范圍為.21.已知平面向量，，若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使，，且．（1）試求函數(shù)關(guān)系式；（2）求使的t的取值范圍．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)列方程即可得出k關(guān)于t的函數(shù)；（2）解不等式得出t的范圍.【小問1詳解】由，，得，，．因?yàn)?，所以，于是，即．【小?詳解】由，得，即，解得或．22.如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.23.如圖所示，有滿足下列條件的五邊形的彩紙，其中，，．現(xiàn)將彩紙沿向內(nèi)進(jìn)行折疊．（1）求線段的長度；（2）若是等邊三角形，折疊后使⊥，求直線與平面的所成角的大?。唬?）將折疊后得