概率記錄知識點匯總

1.分類加法計數(shù)原理

完畢一件事有〃類不一樣的方案，在第一類方案中有叫種不一樣的措施，在第二類方案中

有牝種不一樣的措施，……，在第〃類方案中有如，種不一樣的措施，則完畢這件事情，共

有N=mi+m2H------Fm。種不一樣的措施.

2.分步乘法計數(shù)原理

完畢一件事情需要提成〃個不一樣的環(huán)節(jié)，完畢第一步有如種不一樣的措施，完畢第二步

有牝種不一樣的措施，……，完畢第〃步有〃，〃種不一樣的措施，那么完畢這件事情共有N

=miXm2X???Xm0種不一樣的措施.

3.兩個原理的區(qū)別

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都波及完畢一件事情的不一樣措施的種數(shù).它們的

區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關，多種措施互相獨立，用其中的任一種措施都可以

完畢這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個環(huán)節(jié)互相依存，只有各個環(huán)節(jié)都完畢了，

這件事才算完畢.

4.排列與排列數(shù)公式

⑴排列與排列數(shù)

⑵排列數(shù)公式

n!

2)???(。-巾+1)=(。_附！?

⑶排列數(shù)的性質(zhì)

①A；f!；②0!=1.

5.組合與組合數(shù)公式

(1)組合與組合數(shù)

⑵組合數(shù)公式

f?_Ay__〃！

。"一4股_ml一〃？！(〃一")!?

(3)組合數(shù)的性質(zhì)

①C2=i；②C片CL；③cr+c;「=c^i.

6.排列與組合問題的識別措施

識別措施

若互換某兩個元素的位置對成果產(chǎn)生影響，則是排列

排列

問題，即排列問題與選用元素次序有關

若互換某兩個元素的位置對成果沒有影響，則是組合

組合

問題，即組合問題與選用元素次序無關

7.二項式定理

⑴定理：

(。+㈤〃=C%〃+力+…++…+C"(〃￡N*).

(2)通項:

nkk

第士+1項為：Tk+i=C^,a~b.

(3)二項式系數(shù)：

二項展開式中各項的二項式系數(shù)為：CJ(A:=O,1,2,…，〃).

8.二項式系數(shù)的性質(zhì)

對稱性一與首末等距的兩個二項式系數(shù)相等，即

/當時,二項式系數(shù)是遞增的

性增減性H當噂時，二項式系數(shù)是遞減的

乙___________________________________________

與最大值

質(zhì)r當幾為偶數(shù)時,的二項式系數(shù)最大

當幾為奇數(shù)時,的二項式系數(shù)相等且最大

\：；??：

二項式一C?+C+…+C+.+C=2”

系數(shù)的和

kcj+?+?+.?-=C1+C升C*…=22

9.概率與頻率

(1)在相似的條件5下反復〃次試驗，觀測某一事件A與否出現(xiàn)，稱〃次試驗中事件A出現(xiàn)

的次數(shù)〃八為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例加A)=會為事件A出現(xiàn)的頻率.

⑵對于給定的隨機事件4在相似條件下，伴隨試驗次數(shù)的增長，事件A發(fā)生的頻率會在某

個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數(shù)來刻畫隨機事件A發(fā)生的也許性大小，并

把這個常數(shù)稱為隨機事件4的概率，記作？8).

10.事件的關系與運算

定義符號表達

包括假如事件A發(fā)生，則事件5一定發(fā)生，這時稱事件

關系B包括事件A(或稱事件A包括于事件B)(或AU8)

相等

若834且A3比那么稱事件4與事件8相等A=B

關系

并事件若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件R發(fā)生，AUB

(和事件)則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)(或A+B)

交事件若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，

(積事件)則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)(或AB)

互斥

若AAB為不也許事件，則稱事件A與事件B互斥AC\B=0

事件

AC\B=0；

對立若AflB為不也許事件，AUB為必然事件，那么稱

P(AUB)=P(A)+P(B)

事件事件A與事件B互為對立事件

=1

11.理解事件中常見詞語的含義：

(DA,中至少有一種發(fā)生的事件為AUB；

(2)4,3都發(fā)生的事件為,4B；

(3)4,3都不發(fā)生的事件為彳石；

(4)A,6恰有一種發(fā)生的事件為A后uNb；

(5)A,8至多一種發(fā)生的事件為彳5.

12.概率的幾種基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：0WR伊)W1.

⑵必然事件的概率：P(E)=L

(3)不也許事件的概率：P(F)=0.

(4)概率的加法公式：假如事件A與事件8互斥，則P(AU3)=P(M+尸(Q.

⑸對立事件的概率

若事件A與事件8互為對立事件，則P(A)=1-P(8).

13.互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)絡

互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不也許同步發(fā)生的兩個事件，而對立

事件除規(guī)定這兩個事件不一樣步發(fā)生外，還規(guī)定兩者之一必須有一種發(fā)生，因此，對立事件

是互斥事件的特殊狀況，而互斥事件未必是對立事件.

14.基本領件的特點

⑴任意兩個基本領件是互斥的.

⑵任何事件(除不也許事件)都可以表到達基本領件的和.

15.古典概型

(1)定義：具有如下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①試驗中所有也許出現(xiàn)的基本領件只有有限個.

②每個基本領件出現(xiàn)的也許性相等.

力包括的基本領件的個數(shù)

(2)古典概型的概率公式：P(A)=

基本領件的總數(shù)

16.幾何概型

(1)定義：假如每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱

這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

(2)幾何概型的概率公式：P(A)=

試驗的所構成的區(qū)域長度(面積或體積).

17.條件概率及其性質(zhì)

(1)對于任何兩個事件A和3,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概

率，用符號P(8|A)來表達，其公式為嚶.

⑵條件概率具有的性質(zhì)：

①OWP(5|A)W1；

②假如8和。是兩個互斥事件，則P(SUa4)=P(B|A)+P(C|A).

18.互相獨立事件

(1)對于事件A、B，若A的發(fā)生與8的發(fā)生互不影響，則稱從8是互相獨立事件.

(2)若4與“互相獨立，則尸1|A)=P(B),

P(AB)=P(B\A)P(A)=P(A\P(B).

(3)若A與B互相獨立，則A與W,工與兄不與下也都互相獨立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B)t則4與B互相獨立.

19.離散型隨機變量

伴隨試驗成果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X,匕6,小…表達.所有取值

可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量.

20.離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)

(1)一般地，若離散型隨機變量X也許取的不一樣值為X|,X2，…，Xi，…，X”，X取每一種

值即(i=l,2，…，〃)的概率P(X=M)=P〃則表

XX\X2???Xi???X?

PPiPl???Pi???P"

稱為離散型隨機變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì):

①p,20(，=1,2,…，n)；②？p,=l.

I-I

21.常見離散型隨機變量的分布列

(1)兩點分布：

若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為

X()1

ri-pp

其中P=P(X=I)稱為成功概率.

(2)超幾何分布

在具有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有牙件次品，則事件{X=A}發(fā)生的概率

為P(X=k)=—Z7,A=0,l,2,…，in,其中m=m\n{M,n}且nWN,M&N,n,M,

LNt

NGN,稱分布列為超幾何分布列.

X01???m

pc-CW???

csC-C短c%

(3)二項分布

①獨立反復試驗是指在相似條件下可反復進行的，各次之間互相獨立的一種試驗，在這種試

驗中每一次試驗只有兩種成果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都

是同樣的.

②在〃次獨立反復試驗中，用X表達事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件4發(fā)生的概率為

p,貝IJP(X=A)=C￡pk(l-p)"［伙=0,1,2,…，n),此時稱隨機變量X服從二項分布，記為

X?8(〃，p),并稱〃為成功概率.

22.離散型隨機變量的均值與方差

若離散型隨機變量X的分布列為

??????

XX\X2XiXn

??????

pPiP2PiP“

vl＞均值：稱萬(X)=xipi+xm+……+x〃P”為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反

應了離散型隨機變量取值的平均水平.

＜2＞方差：稱&(X)=￡8—E(X))2p,為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值

￡(X)的平均偏離程度，其算術平方根4函為隨機變量X的原則差.

＜3＞均值與方差的性質(zhì)

(1)E(GX+A)=

(小力為常數(shù)).

(2)D(aX+/>)=

<4>兩點分布與二項分布的均值、方差

XX服從兩點分布X?p)

￡(X)p(p為成功概率)叩

D(X)P(l—P)np(\-p)

23.正態(tài)曲線的特點

⑴曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

⑵曲線是單峰的，它有關直線對稱；

(3)曲線在x=fi處到達峰值最菽；

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

⑸當。一定期，曲線伴隨〃的變化而沿x軸平移；

⑹當〃一定期，曲線的形狀由。確定.。越小，曲線越“瘦高”，表達總體的分布越集中；

。越大，曲線越“矮胖”，表達總體的分布越分散.

⑺止態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(不需記憶)

①P(p-(T<X^i+ff)=0.6826；

②-2a<+2(r)=0.9544；

③尸(〃一3oVX近〃+3。)=0.9974.

24.簡樸隨機抽樣

⑴定義：一般地，設一種總體具有N個個體，從中逐一不放回地抽取〃個個體作為樣本

(〃WN),且每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就稱這樣的抽樣措施為簡樸隨機抽

樣.

⑵常用措施：抽簽法和隨機數(shù)表法.

25.系統(tǒng)抽樣

(1)環(huán)節(jié)：①先將總體的N個個體編號；

②根據(jù)樣本容量〃，當手是整數(shù)時，取分段間隔女=辭；

③在第1段用簡樸隨機抽樣確定第一種個體編號AlWk)；

④按照一定的規(guī)則抽取樣本.

(2)合用范圍：合用于總體中的個體數(shù)較多時.

26.分層抽樣

⑴定義：在抽樣時，將總體提成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一

定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣措施是一種分層抽樣.

⑵合用范圍：合用于總體由差異比較明顯的幾種部分構成時.

27.三種抽樣措施的比較

類別各自特點互相聯(lián)絡合用范圍共同點

簡樸隨機從總體中總體中的個體

最基本的抽樣措施

抽樣逐一抽取數(shù)較少

抽樣過程

將總體平均提成幾部在起始部分抽樣

系統(tǒng)總體中的個體中每個個

分，按事先確定的規(guī)則時，采用簡樸隨機

抽樣數(shù)較多體被抽到

分別在各部分中抽取抽樣

的也許性

將總體提成幾層，按各各層抽樣時采用簡總體由差異明

分層相等

層個體樸隨機抽樣或系統(tǒng)顯的幾部分構

抽樣

數(shù)之比抽取抽樣成

28.作頻率分布直方圖的環(huán)節(jié)

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).

(2)決定組距與組數(shù).

(3)將數(shù)據(jù)分組.

(4)列頻率分布表.

(5)畫頻率分布直方圖.

29.頻率分布折線圖和總體密度曲線

⑴頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線

圖.

⑵總體密度曲線：伴隨樣本容量的增長，作圖時所分的組數(shù)增長，組距減小，對應的頻率折

線圖會越來越靠近于一條光滑曲線，記錄中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

3().莖葉圖

記錄中尚有一種被用來表達數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指_的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長

出來的數(shù).

31.樣本的數(shù)字特性

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

⑵中位數(shù)：把〃個數(shù)據(jù)按大小次序排列，處在最中間位置的一種數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù).

⑶平均數(shù)：把s+s：…十°”稱為由,做，…，為這〃個數(shù)的平均數(shù).

(4)原則差與方差：設一組數(shù)據(jù)修，X2,…，X”的平均數(shù)為7,則這組數(shù)據(jù)

22

原則差為s=X)+(X2—X)H------I-(X?—X)2]

222

方差為s2=%(xi-X)+(X2—X)+—X)]

32.變量間的有關關系

⑴常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數(shù)關系，另一類是有關關系；與函數(shù)關系不一

樣，有關關系是一種非確定性關系.

⑵從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種有關關系稱為正有

關，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的有關關系為負有關.

33.兩個變量的線性有關

⑴從散點圖上看，假如這些點從整體上看大體分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩

個變量之間具有線性有關關系，這條直線叫回歸直線.