第四章基本平面圖形知識(shí)點(diǎn)一線段、射線、直線1.概念：線段是直線上兩點(diǎn)之間的部分，有端點(diǎn)；射線是將線段向形成的，只有端點(diǎn)；直線是將線段向形成的，端點(diǎn)。2.表示方法：都可以用表示，線段、直線也可以用表示。表示射線時(shí)，必須將表示端點(diǎn)的字母寫在前面。3.直線的性質(zhì)：。4.線段的性質(zhì)：，兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離。5.線段的中點(diǎn)：把一條線段平均分成兩條的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn)。線段中點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，對(duì)于任意一條線段，它都有且只有一個(gè)中點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)二角1.定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角；也可以看作一條射線繞著它的端點(diǎn)而形成的圖形。2.表示法：可以用表示，頂點(diǎn)字母寫在中間；也可用表示（當(dāng)以該字母為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí)）；還可以用或表示。3.度量單位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。4.角平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)角的射線叫做角平分線。知識(shí)點(diǎn)三多邊形及正多邊形1.定義：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的。各邊、各角也的多邊形叫做正多邊形。2.相關(guān)概念：多邊形有頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角和對(duì)角線等概念。n邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線數(shù)為n-3，n邊形的對(duì)角線總數(shù)為n(n-3)2知識(shí)點(diǎn)四圓及扇形1.圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫做，線段叫做。2.扇形：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做，由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做，頂點(diǎn)在圓心的角叫做。易錯(cuò)一、線段、射線、直線概念易錯(cuò)問題1.概念混淆：易將直線、射線、線段的延伸性與端點(diǎn)數(shù)量混淆。如認(rèn)為“射線可反向延長(zhǎng)”（實(shí)際射線僅能向非端點(diǎn)方向延長(zhǎng)），或誤判“直線有長(zhǎng)度”（直線無限長(zhǎng)）。2.表示錯(cuò)誤：射線表示時(shí)端點(diǎn)字母未放前（如射線AB與射線BA不同）；直線、線段用小寫字母表示時(shí)，誤將射線也用小寫字母表示（射線不可用小寫字母單獨(dú)表示）。例題1．（24-25七年級(jí)上·吉林·期末）下列說法正確的是（

）A．直線與直線不是同一條直線 B．射線與射線是同一條射線C．延長(zhǎng)線段和延長(zhǎng)線段的含義一樣 D．經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線易錯(cuò)二、分類討論求線段多解易錯(cuò)問題1.情況遺漏：在求線段長(zhǎng)度（如已知AB、BC長(zhǎng)度，求AC）時(shí)，易忽略點(diǎn)的位置多樣性，只考慮點(diǎn)在中間或一側(cè)的一種情況，導(dǎo)致漏解。2.邏輯混亂：分類討論時(shí)未明確分類標(biāo)準(zhǔn)（如按點(diǎn)的左右位置、在線段上或延長(zhǎng)線上），易出現(xiàn)重復(fù)或矛盾的推導(dǎo)，影響結(jié)果準(zhǔn)確性。例題2．（24-25七年級(jí)上·浙江寧波·期末）已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)分線段的長(zhǎng)度為．已知厘米，則的長(zhǎng)為厘米．題型三、分類討論求角多解易錯(cuò)問題1.漏情況：求角的度數(shù)（如已知∠AOB，作射線OC求∠BOC）時(shí)，易忽略O(shè)C位置，只考慮在角內(nèi)部或外部一種情況，未全面分析射線與已知角的位置關(guān)系，導(dǎo)致少解。2.錯(cuò)判斷：分類時(shí)未明確標(biāo)準(zhǔn)（如按射線在角內(nèi)/外），或誤將不同位置歸為同一類，比如把OC在∠AOB鄰補(bǔ)角區(qū)域當(dāng)作內(nèi)部情況，邏輯混亂致結(jié)果錯(cuò)誤。例題3．（24-25七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）過的頂點(diǎn)畫射線．若，則的度數(shù)是．題型四、分類討論求角中旋轉(zhuǎn)多解易錯(cuò)問題1.漏旋轉(zhuǎn)方向：求旋轉(zhuǎn)后角的度數(shù)時(shí)，易忽略旋轉(zhuǎn)有順時(shí)針、逆時(shí)針兩個(gè)方向，只按單一方向計(jì)算，比如射線繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)30°，漏算反向旋轉(zhuǎn)的情況，導(dǎo)致少解。2.錯(cuò)定旋轉(zhuǎn)范圍：未明確旋轉(zhuǎn)角是否超過平角、周角，誤將超過的情況排除，比如旋轉(zhuǎn)180°以上時(shí)，仍按小于180°計(jì)算，或未結(jié)合圖形邊界判斷，導(dǎo)致結(jié)果偏差。例題4．（24-25七年級(jí)上·湖北隨州·期末）如圖①，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使，將一個(gè)直角三角尺如圖擺放，直角頂點(diǎn)在點(diǎn)處，一條直角邊在射線上，將圖①中的三角尺繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖②所示），在旋轉(zhuǎn)一周的過程中第秒時(shí)，所在直線恰好平分，則的值為．題型五、線段上動(dòng)點(diǎn)探究易錯(cuò)問題1.漏定位置范圍：未明確動(dòng)點(diǎn)在線段上、延長(zhǎng)線上的不同位置，直接按單一區(qū)域計(jì)算線段長(zhǎng)度，比如點(diǎn)P在AB上或AB延長(zhǎng)線，誤統(tǒng)一按在線段上算，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。2.錯(cuò)用數(shù)量關(guān)系：未用含參數(shù)的表達(dá)式（如設(shè)AP=x）表示動(dòng)點(diǎn)相關(guān)線段，或計(jì)算時(shí)混淆線段和差，比如誤將PB寫成AB+AP（實(shí)際應(yīng)是AB-AP，P在線段上時(shí)），邏輯混亂致錯(cuò)。例題5．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以每秒的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，______cm，______cm；(2)用含有t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過程中的長(zhǎng)；(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，若的中點(diǎn)為E，則的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出的長(zhǎng)：若變化，請(qǐng)說明理由．題型六、角中旋轉(zhuǎn)探究易錯(cuò)問題1.漏旋轉(zhuǎn)階段：未考慮旋轉(zhuǎn)角跨越特殊角（如平角、周角）的階段差異，比如射線旋轉(zhuǎn)超過180°后，角的構(gòu)成從“和”變“差”，仍按初始階段計(jì)算，導(dǎo)致角度結(jié)果錯(cuò)誤。2.錯(cuò)關(guān)聯(lián)動(dòng)態(tài)角：未用含時(shí)間/旋轉(zhuǎn)角的參數(shù)表示動(dòng)態(tài)角（如設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α），或混淆旋轉(zhuǎn)前后角的和差關(guān)系，比如誤將旋轉(zhuǎn)后的角直接等同于初始角加減旋轉(zhuǎn)角，忽略位置變化的影響。例題6．（24-25七年級(jí)上·山西運(yùn)城·期末）活動(dòng)課上，王老師將一副三角尺按圖①位置擺放在直線上，45°角的頂點(diǎn)與60°的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，斜邊與直角邊在直線上，然后將直角三角尺繞點(diǎn)按15°/秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．(1)旋轉(zhuǎn)前，_________，_________；(2)“希望”小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，是的角平分線，請(qǐng)利用圖②說明理由；(3)“飛翔”小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若直角三角板旋轉(zhuǎn)至如圖③的位置時(shí)，為定值．請(qǐng)你判斷是否正確，如果正確，請(qǐng)求出該度數(shù)；如果不正確，請(qǐng)說明理由．一、單選題1．（24-25七年級(jí)上·河北承德·期末）小明根據(jù)下列語(yǔ)句，分別畫出了圖形，并將圖形的標(biāo)號(hào)填在了相應(yīng)的“語(yǔ)句”后面的橫線上．其中正確的是（

）①直線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn)，并且點(diǎn)在點(diǎn)與之間；（）②點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上；（）③點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)；（）④直線相交于點(diǎn)．（）A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③2．（23-24七年級(jí)下·四川廣元·期末）如圖，為線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且是線段的三等分點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．2 B．2或1 C．4 D．2或43．（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·期末）已知，平分，過點(diǎn)作射線，使得，則度數(shù)是（

）．A． B．或 C．或 D．或4．（23-24七年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為12，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，M，N始終為，的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）①B對(duì)應(yīng)的數(shù)是；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，；③時(shí)，；④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化．A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④二、填空題5．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知，平分，，則的大小是．6．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的三等分點(diǎn)．若線段的長(zhǎng)為12，則線段的長(zhǎng)度是．7．（24-25七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M在線段的延長(zhǎng)線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)連續(xù)這樣操作2024次，則線段的長(zhǎng)度為．8．（24-25七年級(jí)上·重慶·期末）如圖，直線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)在直線的上方作射線，，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線始終平分，射線始終是的三等分線，且．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，若，的值為．三、解答題9．（23-24七年級(jí)上·福建龍巖·期末）已知線段，點(diǎn)在線段上，且．(1)求線段，的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)．①請(qǐng)用含有的式子表示線段，的長(zhǎng)；②若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱，，三點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”，求使得，，三點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”的