板塊綜合函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(階段小結(jié)課—習(xí)題講評(píng)式教學(xué))建構(gòu)知識(shí)體系1．浸潤(rùn)的核心素養(yǎng)奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性是函數(shù)最重要的三個(gè)性質(zhì)，通過學(xué)習(xí)，學(xué)生利用函數(shù)圖象去研究函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會(huì)用抽象的符號(hào)語言描述函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及最大(小)值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)．融通學(xué)科素養(yǎng)2．滲透的數(shù)學(xué)思想(1)在解決與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，常利用函數(shù)的圖象來解決，即利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將問題化難為易、化抽象為具體．(2)如果涉及到的函數(shù)中含有參數(shù)或解題結(jié)果不能確定，需要應(yīng)用分類討論的思想方法，把整個(gè)問題劃分為幾個(gè)部分逐一解決，最后合并為一種結(jié)果．(3)函數(shù)、方程與不等式密切相關(guān)，相互轉(zhuǎn)化，在解決函數(shù)的定義域、值域或與其有關(guān)的問題時(shí)，一般把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不等式、方程等來解決，即應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程的思想方法．CONTENTS目錄123題型(一)利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性比較大小題型(二)利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式題型(三)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性與對(duì)稱性的綜合45課時(shí)跟蹤檢測(cè)題型(四)函數(shù)的新定義問題題型(一)利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性比較大小01[例1]

定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，則當(dāng)n∈N*時(shí)，有(

)A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1) B．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)C．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1) D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)√解析：∵對(duì)任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∴若x2－x1>0，則f(x2)－f(x1)>0，即若x2>x1，則f(x2)>f(x1)，若x2－x1<0，則f(x2)－f(x1)<0，即若x2<x1，則f(x2)<f(x1)，∴函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞增．∵f(x)在R上是偶函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(－n)＝f(n)．∵n∈N*，∴n＋1>n>n－1≥0，∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)，即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)，故選B.|思|維|建|模|利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性比較大小的求解策略(1)在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．(2)不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小．√1．已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a針對(duì)訓(xùn)練解析：法一易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)，∴a＝g(－2)＝g(2)，∵奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∴g(1)<g(2)<g(3)，即b<a<c.法二

(特殊化)取f(x)＝x，則g(x)＝x2為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，a＝g(－2)＝4，b＝g(1)＝1，c＝g(3)＝9，從而可得b<a<c.√題型(二)利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式02[例2]

已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(

)A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.又函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∴－1≤x－2≤1.解得1≤x≤3.故選D.√[例3]

設(shè)函數(shù)y＝f(x＋1)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，且圖象過點(diǎn)(1,0)，則不等式(x－1)f(x)≤0的解集為_________________．{x|x≤0或1<x≤2}|思|維|建|模|利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式的策略(1)利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；(2)根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，去掉不等式中的“f”，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式(組)求解．[提醒]

列不等式(組)時(shí)不要忘掉函數(shù)的定義域．3．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[－a－1,2a]上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,2a]上單調(diào)遞增，則不等式f(x－1)＜f(a)的解集為(

)A．[－1,3] B．(0,2)C．(0,1)∪(2,3] D．[－1,0)∪(1,2)√針對(duì)訓(xùn)練解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在區(qū)間[－a－1，2a]上的偶函數(shù)，所以－a－1＋2a＝0，解得a＝1，故f(x－1)＜f(a)可化為f(|x－1|)＜f(1)，因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，所以|x－1|＜1，解得0＜x＜2.4．已知奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0，則不等式(x＋1)f(x＋1)＞0的解集為______________________．解析：∵f(x)是奇函數(shù)且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(2)＝0，∴f(－2)＝0，(－∞，－3)∪(1，＋∞)當(dāng)x＋1＞0，即x＞－1時(shí)，由(x＋1)f(x＋1)＞0，可得f(x＋1)＞0，即x＋1＞2，解得x＞1；當(dāng)x＋1＜0，即x＜－1時(shí)，由(x＋1)f(x＋1)＞0，可得f(x＋1)＜0，即x＋1＜－2，解得x＜－3.綜上，不等式(x＋1)f(x＋1)＞0的解集為(－∞，－3)∪(1，＋∞)．題型(三)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性與對(duì)稱性的綜合03函數(shù)的對(duì)稱性(1)①若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱．(2)兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱①函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于y軸對(duì)稱；②函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱；③函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．[例4]

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x＋1)為偶函數(shù)，若f(3)＝1，則不等式f(2x＋1)<1的解集為(

)A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)√解析：∵f(x＋1)是偶函數(shù)，∴f(1－x)＝f(1＋x)．故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．又f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減．∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1.∴f(2x＋1)<1?－1<2x＋1<3.解得－1<x<1.故選A.|思|維|建|模|解決對(duì)稱性、單調(diào)性和奇偶性綜合問題的方法圖象法根據(jù)題意，作出符合要求的草圖，便可得出結(jié)論性質(zhì)法根據(jù)對(duì)稱性、單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，逐步推導(dǎo)解決求值和比較大小的問題針對(duì)訓(xùn)練√題型(四)函數(shù)的新定義問題04[例5]

對(duì)于函數(shù)f(x)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，滿足f(－x0)＝－f(x0)，則稱f(x)為“局部奇函數(shù)”，已知f(x)＝－aex－4在R上為“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．[－4，＋∞) B．[－4,0)C．(－∞，－4] D．(－∞，4]√|思|維|建|模|解決函數(shù)“新定義”問題的策略(1)理解新函數(shù)的定義：深刻理解題目中新函數(shù)的定義，新函數(shù)所具有的性質(zhì)或滿足的條件，將定義、性質(zhì)等與所求之間建立聯(lián)系．(2)學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化：將題目中的新函數(shù)與已學(xué)函數(shù)聯(lián)系起來，仔細(xì)閱讀已知條件進(jìn)行分析，通過類比已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)、圖象解決問題，或者將新函數(shù)轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)形式．(3)代入特殊值：如果新函數(shù)的某一性質(zhì)對(duì)某些數(shù)值恒成立，可以通過代入特殊值，得到特殊函數(shù)值甚至函數(shù)解析式，從而解決問題．針對(duì)訓(xùn)練√√解析：①要求函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，②要求函數(shù)f(x)為減函數(shù)．A中的函數(shù)是奇函數(shù)但在整個(gè)定義域上不是減函數(shù)，B中的函數(shù)是偶函數(shù)而且也不是減函數(shù)，C和D中的函數(shù)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)．課時(shí)跟蹤檢測(cè)05134567891011121314152√134567891011121314152解析：A是增函數(shù)，不是奇函數(shù)；B和C都不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，排除；只有D符合題意，故選D.156789101112131415234√2．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的解析式為f(x)＝x＋1，則下列大小關(guān)系正確的是(

)A．f(1)>f(2) B．f(1)>f(－2)C．f(－1)>f(－2) D．f(－1)<f(2)解析：∵當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x＋1單調(diào)遞增，∴f(1)<f(2)，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，∴f(－1)<f(2)．156789101112131415342√3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，且當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是(

)A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，1]156789101112131415342解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等價(jià)于f(2x＋1)≥f(－1)．又當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．所以f(2x＋1)≥f(－1)等價(jià)于2x＋1≥－1，解得x≥－1.156789101112131415342√4．已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(a)≥f(－2)，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]解析：由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.156789101112131415342√5．(多選)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且在區(qū)間[a，b](a<b<0)上的值域?yàn)閇－3,4]，則在區(qū)間[－b，－a]上(

)A．有最大值4 B．有最小值－4C．有最大值3 D．有最小值－3√156789101112131415342解析：法一根據(jù)題意作出y＝f(x)的簡(jiǎn)圖，由圖知，選BC.法二當(dāng)x∈[－b，－a]時(shí)，－x∈[a，b]，由題意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在區(qū)間[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3.1567891011121314153426．已知偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)的最小值為2024，則f(x)在(－∞，0)上的最小值為________．解析：因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的最值相等．又當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)min＝2024，故當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)min＝2024.202415678910111213141534221567891011121314153428．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且其在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．請(qǐng)你寫出一個(gè)符合以上條件的函數(shù)____________________．f(x)＝|x|(答案不唯一)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝|x|的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝|x|＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝|x|為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝|x|滿足題意．156789101112131415342156789101112131415342(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：由(1)知f(x)為R上的增函數(shù)，因?yàn)閒(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)．所以1＋m≥2m－3，即m≤4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，4]．15678910111213141534210．(10分)已知定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足：①?x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，且f(2)＝1.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；解：函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．令y＝1，則f(x)＝f(x)＋f(1)，∴f(1)＝0.令x＝y(tǒng)＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.令y＝－1，則f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．156789101112131415342(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；156789101112131415342(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4,0)∪(0,4]上的最大值；解：∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，且f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且在(0,4]上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4,0)∪(0,4]上的最大值為f(4)＝f(－4)＝2.156789101112131415342(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342A．D(x)是偶函數(shù)B．?x∈R，D(D(x))＝1C．對(duì)于任意的有理數(shù)t，都有D(x＋t)＝D(x)D．不存在三個(gè)點(diǎn)A(x1，D(x1))，B(x2，D(x2))，C(x3，D(x3))，使ABC為正三角形√√√156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342015678910111213141534215678910111213141534214.(12分)如圖，在等腰直角△ABC中，A(－3,0)，B(1,0)，記△ABC位于直線x＝t(t>－3)左側(cè)的圖形的面積為f(t)．

156789101112131415342(1)試求函數(shù)y＝f(t)的解析式；156789101112131415342156789101112131415342(2)已知函數(shù)