備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)考點專題訓(xùn)練——專題二十六：二次函數(shù)1．平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（﹣1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A'B'OC'．（1）若拋物線過點C，A，A'，求此拋物線的解析式；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A'B'OC'重疊部分△OC'D的周長；（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點M在何處時；△AMA'的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（2，0），直線y＝h（h為常數(shù)，且0＜h＜6）與BC交于點D，與y軸交于點E，與AC交于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AE，求h為何值時，△AEF的面積最大．（3）已知一定點M（﹣2，0），問：是否存在這樣的直線y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．（1）求點A，點B，點C的坐標(biāo)；（2）求直線BD的解析式；（3）在點P的運動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．已知，如圖，拋物線y＝ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A在點B左側(cè)，點B的坐標(biāo)為（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式．（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值．（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？如存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象交x軸于A，B（4，0）兩點，交y軸于點C（0，2）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P為第一象限拋物線上一個動點，PM⊥x軸于點M．交直線BC于點Q，過點C作CN⊥PM于點N．連接PC；①若△PCQ為以CQ為腰的等腰三角形，求點P的橫坐標(biāo)；②點G為點N關(guān)于PC的對稱點，當(dāng)點G落在坐標(biāo)軸上時，直接寫出點P的坐標(biāo)．6．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象與x軸正半軸交于點A，平行于x軸的直線l與該拋物線交于B、C兩點（點B位于點C左側(cè)），與拋物線對稱軸交于點D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）設(shè)P、Q是x軸上的點（點P位于點Q左側(cè)），四邊形PBCQ為平行四邊形．過點P、Q分別作x軸的垂線，與拋物線交于點P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．7．如圖，拋物線y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m為正的常數(shù)）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為F，CD∥AB交拋物線于點D．（1）當(dāng)a＝1時，求點D的坐標(biāo)．（2）若點E是第一象限拋物線上的點，過點E作EM⊥x軸于點M，當(dāng)OM＝2CD時，求證：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的條件下，試探究：在x軸上是否存在點P，使得以PF，AD，AE為邊長構(gòu)成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請用含m的代數(shù)式表示點P的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．8．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖①，在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得△ACM的周長最小，求點M的坐標(biāo)；（3）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點（點P在點Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ．若點P的橫坐標(biāo)為﹣，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D的坐標(biāo)．9．如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，4），在x軸上有一動點D（m，0）（0＜m＜4），過點D作x軸的垂線交直線AB于點C，交拋物線于點E，（1）直接寫出拋物線和直線AB的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)點C是DE的中點時，求出m的值，并判定四邊形ODEB的形狀（不要求證明）．（3）在（2）的條件下，將線段OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OD′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜a＜90°），連接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝﹣ax2+4a與x軸交于A、B兩點，頂點C在y軸的正半軸上，且AB＝4OC．（1）如圖①，求拋物線的解析式；（2）如圖②，連接BC，過點A作BC的平行線，交第四象限的拋物線于點D，求點D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點E在第四象限的拋物線上，過點E作EF⊥AD于點F，直線EF交x軸于點G，過點E作x軸的垂線，垂足為H，點K在EH的延長線上，連接BK，CK，且∠BKC＝45°，若，求點K的坐標(biāo)．11．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點N，點M為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AM，點E是線段AM上方拋物線上一動點，EF⊥AM于點F，過點E作EH⊥x軸于點H，交AM于點D．點P是y軸上一動點，當(dāng)EF取最大值時：①求PD+PC的最小值；②如圖2，Q點為y軸上一動點，請直接寫出DQ+OQ的最小值．12．如圖，點A（﹣2，0），點C（﹣1，0），點A、C關(guān)于原點O的對稱點分別為點B、D．線段AB沿y軸向下平移2m（m＞0）個單位長度，得到線段A1B1，拋物線y＝ax2+bx+2過點A1，B1．（1）當(dāng)m＝1時，a＝；（2）求a與m之間的關(guān)系式；（3）線段CD沿y軸向下平移2n（n＞0）個單位長度，得到線段C1D1，拋物線y＝ax2+bx+2過點C1，D1．①a＝；（用含n的式子來表示）m與n之間的關(guān)系式為．②點P（x，0）在x軸上，當(dāng)△PC1B1為等腰直角三角形時，直接寫出點P的坐標(biāo)．13．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（a+1）x﹣a與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，已知△BAC的面積是6．（1）求a的值；（2）在拋物線上是否存在一點P，使S△ABP＝S△ABC．若存在請求出P坐標(biāo)，若不存在請說明理由．14．我們把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2稱為圓心為（m，n）、半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如，圓心為（1，﹣2）、半徑長為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C與軸交于點A，B，且點B的坐標(biāo)為（8，0），與y軸相切于點D（0，4），過點A，B，D的拋物線的頂點為E．（1）求⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷直線AE與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．15．如圖，已知雙曲線C1：y＝、拋物線C2：y＝x2﹣12，直線l：y＝kx+m．（Ⅰ）若直線l與拋物線C2有公共點，求+m的最小值；（Ⅱ）設(shè)直線l與雙曲線C1的兩個交點為A、B，與拋物線C2的兩個交點為C、D．是否存在直線l，使得A、B為線段CD的三等分點？若存在，求出直線l的解析式，若不存在，請說明理由．16．如圖，拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，頂點為D，設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點E（x，y）運動時，試求三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？（3）在y軸上確定一點M，使點M到D、B兩點距離之和d＝MD+MB最小，求點M的坐標(biāo)．17．如圖，已知拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸交于點C（0，3），且對稱軸方程為x＝1（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標(biāo)．備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)考點專題訓(xùn)練——專題二十六：二次函數(shù)參考答案1．平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（﹣1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A'B'OC'．（1）若拋物線過點C，A，A'，求此拋物線的解析式；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A'B'OC'重疊部分△OC'D的周長；（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點M在何處時；△AMA'的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標(biāo)．【答案】解：（1）∵?A′B′O′C′由?ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且A的坐標(biāo)為（0，3），得點A′的坐標(biāo)為（3，0）．設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將A，A′C的坐標(biāo)代入，得，解得，拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3；（2）∵AB∥OC，∴∠OAB＝∠AOC＝90°，∴OB＝＝，又∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，∴△C′OD∽△BOA，又OC′＝OC＝1，∴＝＝，又△ABO的周長為4+，∴△C′OD的周長為＝1+．（3）作MN⊥x軸交AA′于N點，設(shè)M（m，﹣m2+2m+3），AA′的解析式為y＝﹣x+3，N點坐標(biāo)為（m，﹣m+3），MN的長為﹣m2+3m，S△AMA′＝MN?xA′＝（﹣m2+3m）×3＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m﹣）2+，∵0＜m＜3，∴當(dāng)m＝時，﹣m2+2m+3＝，M（，），△AMA′的面積有最大值．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（2，0），直線y＝h（h為常數(shù)，且0＜h＜6）與BC交于點D，與y軸交于點E，與AC交于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AE，求h為何值時，△AEF的面積最大．（3）已知一定點M（﹣2，0），問：是否存在這樣的直線y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（2，0），∴，解得：．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+6．（2）∵把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+6，得y＝6，∴點C的坐標(biāo)為（0，6），設(shè)經(jīng)過點A和點C的直線的解析式為y＝mx+n，則，解得，∴經(jīng)過點A和點C的直線的解析式為：y＝2x+6，∵點E在直線y＝h上，∴點E的坐標(biāo)為（0，h），∴OE＝h，∵點F在直線y＝h上，∴點F的縱坐標(biāo)為h，把y＝h代入y＝2x+6，得h＝2x+6，解得x＝，∴點F的坐標(biāo)為（，h），∴EF＝．∴S△AEF＝?OE?FE＝?h?＝﹣（h﹣3）2+，∵﹣＜0且0＜h＜6，∴當(dāng)h＝3時，△AEF的面積最大，最大面積是．（3）存在符合題意的直線y＝h．∵B（2，0），C（0，6），∴直線BC的解析式為y＝﹣3x+6，設(shè)D（m，﹣3m+6）．①當(dāng)BM＝BD時，（m﹣2）2+（﹣3m+6）2＝42，解得m＝或（舍棄），∴D（，），此時h＝．②當(dāng)MD＝BM時，（m+2）2+（﹣3m+6）2＝42，解得m＝或2（舍棄），∴D（，），此時h＝．∵綜上所述，存在這樣的直線y＝或y＝，使△BDM是等腰三角形，當(dāng)h＝時，點D的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)h＝時，點D的坐標(biāo)為（，）．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．（1）求點A，點B，點C的坐標(biāo)；（2）求直線BD的解析式；（3）在點P的運動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝2，即C點坐標(biāo)為（0，2）；當(dāng)y＝0時，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，即A（﹣1，0），B（4，0）；（2）∵點D與點C關(guān)于x軸對稱，∴D（0，﹣2），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，將B、D點坐標(biāo)代入解析式，得，解得，直線BD的解析式為y＝x﹣2；（3）存在，∵點P的坐標(biāo)為（m，0），PQ⊥x軸交拋物線于點Q，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），∵△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形，①當(dāng)∠QBD＝90°時，由勾股定理，得BQ2+BD2＝DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+202＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得m1＝3，m2＝4（不符合題意，舍），∴Q（3，2）；②當(dāng)∠QDB＝90°時，由勾股定理，得BQ2＝BD2+DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得m1＝8，m2＝﹣1，∴Q（8，﹣18）；Q（﹣1，0），綜上所述：點Q的坐標(biāo)為（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．4．已知，如圖，拋物線y＝ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A在點B左側(cè)，點B的坐標(biāo)為（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式．（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值．（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？如存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）將點B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：a＝，c＝﹣3．∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣3（2）令y＝0，則x2+x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4∴A（﹣4，0）、B（1，0）令x＝0，則y＝﹣3∴C（0，﹣3）∴S△ABC＝×AB×OC＝×5×3＝設(shè)D（m，m2+m﹣3）過點D作DE∥y軸交AC于E．直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，則E（m，﹣m﹣3）DE＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣（m+2）2+3當(dāng)m＝﹣2時，DE有最大值為3此時，S△ACD有最大值為×DE×4＝2DE＝6∴四邊形ABCD的面積的最大值為6+＝．（3）如圖所示：①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形，∵C（0，﹣3）∴設(shè)P1（x，﹣3）∴x2+x﹣3＝﹣3解得x1＝0，x2＝﹣3∴P1（﹣3，﹣3）；②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當(dāng)AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，∵C（0，﹣3）∴設(shè)P（x，3），∴x2+x﹣3＝3，解得x＝或x＝，∴P2（，3）或P3（，3）綜上所述存在3個點符合題意，坐標(biāo)分別是P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）．5．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象交x軸于A，B（4，0）兩點，交y軸于點C（0，2）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P為第一象限拋物線上一個動點，PM⊥x軸于點M．交直線BC于點Q，過點C作CN⊥PM于點N．連接PC；①若△PCQ為以CQ為腰的等腰三角形，求點P的橫坐標(biāo)；②點G為點N關(guān)于PC的對稱點，當(dāng)點G落在坐標(biāo)軸上時，直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】解：（1）∵直線y＝﹣x+2經(jīng)過B，C，∴B（4，0），C（0，2），∵拋物線y＝ax2+x+c交x軸于點A，交y軸于點C，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）∵點P在拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上，點P的橫坐標(biāo)為m，∴0＜m＜4，P（m，﹣m2+m+2），①∵PM⊥x軸，交直線y＝﹣x+2于點Q，∴Q（m，﹣m+2），∴PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵PD∥CO，∴，∴CQ＝＝m，當(dāng)PQ＝CQ時，﹣m2+2m＝m，解得m1＝4﹣，m2＝0（舍去）；當(dāng)PC＝CQ時，PM+QM＝2CO，即（﹣m2+m+2）+（﹣m+2）＝2×2，∴﹣m2+m＝0，解得m1＝2，m2＝0（舍去）；綜上，當(dāng)△PCQ是等腰三角形時，m的值為m＝4﹣，2；②存在，理由如下：當(dāng)點N'落在坐標(biāo)軸上時，存在兩種情形：如圖1，當(dāng)點N'落在y軸上時，點P（m，﹣m2+m+2）在直線y＝x+2上，∴﹣m2+m+2＝m+2，解得m1＝1，m2＝0（舍去），∴P（1，3）；如圖2，當(dāng)點N'落在x軸上時，△CON'∽△N'DP，∴，∴，∵PN＝2﹣（﹣m2+m+2）＝m（m﹣3），∴N'M＝＝m﹣3，∴ON'＝OM﹣MN＝m﹣（m﹣3）＝3，在△CON'中，CN'＝＝，∴m＝，則P（，），綜上所述，當(dāng)點N′落在坐標(biāo)軸上時，點P的坐標(biāo)為（1，3）或（，）．6．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象與x軸正半軸交于點A，平行于x軸的直線l與該拋物線交于B、C兩點（點B位于點C左側(cè)），與拋物線對稱軸交于點D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）設(shè)P、Q是x軸上的點（點P位于點Q左側(cè)），四邊形PBCQ為平行四邊形．過點P、Q分別作x軸的垂線，與拋物線交于點P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．【答案】解：（1）直線與拋物線的對稱軸交于點D（2，﹣3），故拋物線的對稱軸為x＝2，即b＝2，解得：b＝﹣4，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x；（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，故點B、C的坐標(biāo)分別為（1，﹣3）、（3，﹣3），則BC＝2，∵四邊形PBCQ為平行四邊形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3，由，解得；由，解得．7．如圖，拋物線y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m為正的常數(shù)）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為F，CD∥AB交拋物線于點D．（1）當(dāng)a＝1時，求點D的坐標(biāo)．（2）若點E是第一象限拋物線上的點，過點E作EM⊥x軸于點M，當(dāng)OM＝2CD時，求證：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的條件下，試探究：在x軸上是否存在點P，使得以PF，AD，AE為邊長構(gòu)成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請用含m的代數(shù)式表示點P的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】解：（1）當(dāng)a＝1時，y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝x2﹣2mx﹣3m2，∵與y軸交于點C（0，﹣3），∴﹣3m2＝﹣3，解得：m＝±1，∵m＞0，∴m＝1，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵CD∥AB，∴C，D關(guān)于直線x＝1對稱，∴D點坐標(biāo)為：（2，﹣3）；（2）如圖，過點A作AN⊥CD交CD的延長線于N，對于y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），當(dāng)y＝0，則0＝a（x2﹣2mx﹣3m2），解得：x1＝﹣m，x2＝3m，當(dāng)x＝0，y＝﹣3am2，可得：A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），∵點C，點D關(guān)于對稱軸直線x＝m對稱，∴點D（2m，﹣3am2）∴CD＝2m，∵OM＝2CD＝4m，∴點E橫坐標(biāo)為4m，∴點E坐標(biāo)（4m，5am2），∵A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），點E坐標(biāo)（4m，5am2），點D（2m，﹣3am2），∴AM＝5m，EM＝5am2，DN＝3m，AN＝3am2，∵tan∠EAB＝＝am，tan∠ADC＝＝am，∴tan∠EAB＝tan∠ADC∴∠EAB＝∠ADC；（3）存在，理由：當(dāng)x＝m時，y＝a（m2﹣2m2﹣3m2）＝﹣4am2，∴F（m，﹣4am2），∵A（﹣m，0），點E坐標(biāo)（4m，5am2），點D（2m，﹣3am2），設(shè)P（b，0），∴PF2＝（m﹣b）2+16（am2）2，AD2＝9m2+9（am2）2，AE2＝25m2+25（am2）2，∴（m﹣b）2+9m2＝25m2，解得：b1＝﹣3m，b2＝5m∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．8．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖①，在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得△ACM的周長最小，求點M的坐標(biāo)；（3）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點（點P在點Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ．若點P的橫坐標(biāo)為﹣，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D的坐標(biāo)．【答案】解：（1）將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為；y＝﹣x2+2x+3；（2）由拋物線的表達(dá)式知，點C（0，3），對稱軸為：x＝1，根據(jù)拋物線的對稱性知點A關(guān)于對稱軸的對稱點為點B，連接BC交對稱軸于點M，則點M為所求，由點B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3；當(dāng)x＝1，y＝﹣1+3＝2，故點M（1，2）；故△ACM的周長最小時點M的坐標(biāo)為：（1，2）；（3）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為﹣時，點Q橫坐標(biāo)為：，故點P的坐標(biāo)為：（﹣，），點Q（，﹣），將點P、Q的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n得：，解得：，故直線PQ的表達(dá)式為：y＝﹣x+，如圖②過點D作DE∥y軸交直線PQ與點E，設(shè)點D（x，﹣x2+2x+3），則點E（x，﹣x+），則DE＝﹣x2+2x+3+x﹣＝﹣x2+3x+，△DPQ面積S＝×DE×（xQ﹣xP）4＝﹣2x2+6x+＝﹣2（x﹣）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，最大值為8，此時，點D（，）．9．如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，4），在x軸上有一動點D（m，0）（0＜m＜4），過點D作x軸的垂線交直線AB于點C，交拋物線于點E，（1）直接寫出拋物線和直線AB的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)點C是DE的中點時，求出m的值，并判定四邊形ODEB的形狀（不要求證明）．（3）在（2）的條件下，將線段OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OD′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜a＜90°），連接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．【答案】解：（1）將點B、A的坐標(biāo)代入拋物線y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣．設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4；（2）∵過點D（m，0）（0＜m＜4）作x軸的垂線交直線AB于點C，交拋物線于點E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．∴EC＝＝．∵點C是DE的中點，∴．解得：m＝2，m＝4（舍去）．∴ED＝OB＝4，∴四邊形ODEB為矩形．（3）如圖，由（2）可知D（2，0），在y軸上取一點M′使得OM′＝1，連接AM′，在AM′上取一點D′使得OD′＝OD．∵OD′＝2，OM′?OB＝1×4＝4，∴OD′2＝OM′?OB，∴，∵∠BOD′＝∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴．∴．∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此時D′A+D′B最小（兩點間線段最短，A、M′、D′共線時），∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝﹣ax2+4a與x軸交于A、B兩點，頂點C在y軸的正半軸上，且AB＝4OC．（1）如圖①，求拋物線的解析式；（2）如圖②，連接BC，過點A作BC的平行線，交第四象限的拋物線于點D，求點D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點E在第四象限的拋物線上，過點E作EF⊥AD于點F，直線EF交x軸于點G，過點E作x軸的垂線，垂足為H，點K在EH的延長線上，連接BK，CK，且∠BKC＝45°，若，求點K的坐標(biāo)．【答案】解：（1）y＝﹣ax2+4a＝﹣a（x2﹣4），∴A（﹣2，0），B（2，0），∴AB＝4，∵AB＝4OC，∴OC＝1，∴C（0，1），∴a＝，∴函數(shù)解析式為y＝﹣x2+1；（2）直線BC的解析式為y＝﹣x+1，∴AD直線解析式為y＝﹣x﹣1，∴﹣x﹣1＝﹣x2+1，解得x＝4或x＝﹣2，∵D點在第四象限，∴D（4，﹣3）；（3）設(shè)E（m，﹣m2+1），∵EF⊥AD，∴EF的解析式為y＝2x﹣m2+1﹣2m，∴2x﹣m2+1﹣2m＝﹣x﹣1，∴x＝m2+m﹣，∴F（m2+m﹣，﹣m2﹣m﹣），∵，∴＝，∴＝，∴m＝3或m＝﹣2，∵點E在第四象限，∴E（3，﹣），∴K點橫坐標(biāo)為3，∴CK＝1，∵∠BKC＝45°，∴當(dāng)AC⊥CK時，AC＝CK，∴K（3，2）．11．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點N，點M為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AM，點E是線段AM上方拋物線上一動點，EF⊥AM于點F，過點E作EH⊥x軸于點H，交AM于點D．點P是y軸上一動點，當(dāng)EF取最大值時：①求PD+PC的最小值；②如圖2，Q點為y軸上一動點，請直接寫出DQ+OQ的最小值．【答案】解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由拋物線的表達(dá)式得，點M（﹣1，4），點N（0，3），則tan∠MAC＝＝2，則設(shè)直線AM的表達(dá)式為：y＝2x+b，將點A的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝6，故直線AM的表達(dá)式為：y＝2x+6，∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，∴∠MAC＝∠DEF，則tan∠DEF＝2，則cos∠DEF＝，設(shè)點E（x，﹣x2﹣2x+3），則點D（x，2x+6），則FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），∵﹣＜0，故EF有最大值，此時x＝﹣2，故點D（﹣2，2）；①點C（﹣1，0）關(guān)于y軸的對稱點為點B（1，0），連接BD交y軸于點P，則點P為所求點，PD+PC＝PD+PB＝DB為最小，則BD＝＝；②過點O作直線OK，使sin∠NOK＝，過點D作DK⊥OK于點K，交y軸于點Q，則點Q為所求點，DQ+OQ＝DQ+QK＝DK為最小值，則直線OK的表達(dá)式為：y＝x，∵DK⊥OK，故設(shè)直線DK的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點D的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝2﹣，則直線DK的表達(dá)式為：y＝﹣x+2﹣，故點Q（0，2﹣），由直線KD的表達(dá)式知，QD與x負(fù)半軸的夾角（設(shè)為α）的正切值為，則cosα＝，則DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），則DQ+OQ為最小值＝+（2﹣）＝．12．如圖，點A（﹣2，0），點C（﹣1，0），點A、C關(guān)于原點O的對稱點分別為點B、D．線段AB沿y軸向下平移2m（m＞0）個單位長度，得到線段A1B1，拋物線y＝ax2+bx+2過點A1，B1．（1）當(dāng)m＝1時，a＝；（2）求a與m之間的關(guān)系式；（3）線段CD沿y軸向下平移2n（n＞0）個單位長度，得到線段C1D1，拋物線y＝ax2+bx+2過點C1，D1．①a＝；（用含n的式子來表示）m與n之間的關(guān)系式為．②點P（x，0）在x軸上，當(dāng)△PC1B1為等腰直角三角形時，直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】解：（1）點A、C關(guān)于原點O的對稱點分別為點B、D，則點B、D的坐標(biāo)分別為（2，0）、（1，0），則平移后A1、B1的坐標(biāo)分別為（﹣2，﹣2m）、（2，﹣2m），則，∴4a+4＝﹣4m，∴a＝﹣m﹣1，當(dāng)m＝1時，a＝﹣2，故答案為﹣2；（2）由（1）得：a＝﹣m﹣1，（3）①平移后點C1、D1的坐標(biāo)分別為（﹣1，﹣2n）、（1，﹣2n），則，解得：a＝﹣2n﹣2，而a＝﹣m﹣1，故m＝2n+1，故答案為：﹣2n﹣2；m＝2n+1；②平移后點B1的坐標(biāo)為（2，﹣2m），即（2，﹣4n﹣2），而點C1（﹣1，﹣2n），（Ⅰ）當(dāng)∠B1PC1為直角時，如圖1，連接BB1、CC1，∵∠CPC1+∠BPB1＝90°，∠CPC1+∠CC1P＝90°，∴∠BPB1＝∠CC1P，而PB1＝PC1，∠PCC1＝∠B1BP＝90°，∴△PCC1≌△B1BP（AAS），∴CC1＝PB，BB1＝PC，即2n＝2﹣x且x+1＝4n+2，解得：x＝，故點P的坐標(biāo)為（，0）；（Ⅱ）當(dāng)∠C1B1P為直角時，過C1作C1M⊥A1B1，過點P作PN⊥A1B1交A1B1的延長線于點N，同理可得：△C1MB1≌△B1NP（AAS），∴MC1＝B1N且MB1＝PN，即2n+2＝x﹣2且4n+2＝3，解得：x＝；（Ⅲ）當(dāng)∠B1C1P為直角時，簡圖如圖3，過點C1作C1M⊥x軸，過點B1作x軸的平行線交MC1的延長線于點N，同理可得：△PMC1≌△C1NB1（AAS），∴PM＝C1N，C1M＝NB1，即x+1＝2n+2，2n＝3，解得：x＝4，故點P（4，0）；綜上，點P的坐標(biāo)為（，0）或（4，0）或（，0）．13．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（a+1）x﹣a與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，已知△BAC的面積是6．（1）求a的值；（2）在拋物線上是否存在一點P，使S△ABP＝S△ABC．若存在請求出P坐標(biāo)，若不存在請說明理由．【答案】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令x＝0，則y＝﹣a，∴C（0，﹣a），令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由圖象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴（1﹣a）（﹣a）＝6解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；（2）∵a＝﹣3，∴C（0，3），∵S△ABP＝S△ABC．∴P點的縱坐標(biāo)為±3，把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，∴P點的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．14．我們把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2稱為圓心為（m，n）、半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如，圓心為（1，﹣2）、半徑長為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C與軸交于點A，B，且點B的坐標(biāo)為（8，0），與y軸相切于點D（0，4），過點A，B，D的拋物線的頂點為E．（1）求⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷直線AE與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】解：（1）如圖，連接CD，CB，過點C作CM⊥AB于M．設(shè)⊙C的半徑為r．∵與y軸相切于點D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四邊形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）結(jié)論：AE是⊙C的切線．理由：連接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A（2，0），B（8，0）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）（x﹣8），把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a＝，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣x+4＝（x﹣5）2﹣，∴拋物線的頂點E（5，﹣），∵AE＝＝，CE＝4+＝，AC＝5，∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切線．15．如圖，已知雙曲線C1：y＝、拋物線C2：y＝x2﹣12，直線l：y＝kx+m．（Ⅰ）若直線l與拋物線C2有公共點，求+m的最小值；（Ⅱ）設(shè)直線l與雙曲線C1的兩個交點為A、B，與拋物線C2的兩個交點為C、D．是否存在直線l，使得A、B為線段CD的三等分點？若存在，求出直線l的解析式，若不存在，請說明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵直線l與拋物線C2有公共點，∴聯(lián)立，得x2﹣kx﹣m﹣12＝0，∴△＝k2+4m+48≥0，∴，∴的最小值為﹣12；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），顯然k≠0，聯(lián)立，得kx2+mx﹣1＝0，則，聯(lián)立，得x2﹣kx﹣m﹣12＝0，則x3+x4＝k，x3x4＝﹣m﹣12，若A、B為線段CD的三等分點，則線段AB與CD的中點重合，且|CD|＝3|AB|，則，即m＝﹣k2，且|x3﹣x4|＝3|x1﹣x2|，即，將m＝﹣k2代入上式并化簡得k3﹣4k+3＝0，解得k＝1或，對應(yīng)的m＝﹣1或，經(jīng)檢驗均符合題意．