數(shù)列的概念及簡單表示2026年高考數(shù)學一輪復習專題課件★★按照______________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．

回歸教材數(shù)列的定義確定的順序(1)根據(jù)數(shù)列的項數(shù)可分為__________、__________．(2)按照數(shù)列的每一項隨序號變化的情況可分為：①遞增數(shù)列；②遞減數(shù)列；③擺動數(shù)列；④常數(shù)列．數(shù)列的分類有窮數(shù)列無窮數(shù)列如果數(shù)列{an}的第n項_______與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．若已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，數(shù)列的通項公式anS1Sn－Sn－1如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式．遞推公式數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．數(shù)列的通項公式是相應(yīng)函數(shù)的解析式，它的圖象是____________．數(shù)列與函數(shù)一群孤立的點

1．判斷下面結(jié)論是否正確．(對的打“√”，錯的打“×”)(1)1，2，1，2是一個數(shù)列．

夯實雙基答案(1)√

(2)一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．答案(2)×

(3)一個數(shù)列只能有一個通項公式．答案(3)×

(4)任何一個數(shù)列，不是遞增數(shù)列就是遞減數(shù)列．答案(4)×(5)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.答案(5)×2．(課本習題改編)在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x應(yīng)取(

)A．19

B．20C．21 D．22解析設(shè)題中數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，觀察可得an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21.故選C.√√4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2，則{an}的通項公式an＝

______________________．解析當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1，又當n＝1時，a1＝S1＝3，不滿足上式，故5．如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．圖中的數(shù)1，5，12，22，…稱為五邊形數(shù)，則第8個五邊形數(shù)是________．92題型一

歸納通項公式(自主學習)根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式an.(1)－1，7，－13，19，…；【答案】(1)an＝(－1)n(6n－5)【解析】(1)符號可通過(－1)n或(－1)n＋1調(diào)節(jié)，其各項的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5)．(2)3，5，9，17，33，…；【答案】(2)an＝2n＋1

【解析】(2)觀察各項的特點：每一項都比2的n次冪多1，所以an＝2n＋1.

(3)5，55，555，5555，…；

…，對于分子3，5，7，9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項公式為bn＝2n＋1，對于分母2，5，10，17，…，聯(lián)想到數(shù)列1，4，9，16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項公式為cn＝n2＋1，故可得原數(shù)列的一個通項公式為an＝

.狀元筆記

根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式時應(yīng)考慮(1)分式中分子、分母的特征．(2)相鄰項的變化特征．(3)拆項后的特征：把數(shù)列的項分成變化的部分和不變的部分．(4)各項的符號特征．

思考題1如圖，在n×n的單位正方形網(wǎng)格中，陰影相連的正方形個數(shù)依次為1，5，9，13，則下一陰影相連的正方形個數(shù)為________，陰影相連的正方形個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝________．174n－3【解析】從陰影相連的正方形個數(shù)依次為1，5，9，13看出，從第2項起每一項比它的前一項多4，故下一陰影相連的正方形個數(shù)為13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根據(jù)上述規(guī)律得an＝a1＋(n－1)×4＝1＋(n－1)×4＝4n－3.題型二

由Sn與an的關(guān)系求通項公式

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則an＝________．【解析】當n＝1時，a1＝S1＝3.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3也滿足上式，∴an＝2n＋1.2n＋1

(2)已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________．【解析】當n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.Sn＝2an＋1①，當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋1②.①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首項為a1＝－1，公比為q＝2的等比數(shù)列，∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.－2n－1

(3)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝_____________．【解析】當n＝1時，a1＝21＝2.∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n①，∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)②，由①－②得，(2n－1)·an＝2n狀元筆記

已知Sn求an的一般步驟(1)當n＝1時，由a1＝S1，求a1的值．(2)當n≥2時，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達式．(3)檢驗a1的值是否滿足(2)中的表達式，若不滿足，則分段表示an.(4)寫出an的完整表達式．思考題2

(1)在本例(1)中，若Sn＝n2＋2n＋1，則an＝___________．【解析】當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，又當n＝1時，a1＝S1＝4，不滿足上式，an＝n(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，an＝

，則數(shù)列{an}的通項公式為________．

(3)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則an＝__________________．【解析】由a1＝－1，an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，易知an＋1≠0，則Sn＋1Sn≠0，題型三

由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

寫出下面各數(shù)列{an}的通項公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；【解析】(1)由題意得，當n≥2時，an－an－1＝n，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋n＝

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2；【答案】(3)an＝2×3n－1－1

【解析】

(3)方法一(累乘法)：由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，易知an＋1≠0，則因為a1＝1，所以

＝3n，即an＋1＝2×3n－1，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2×3n－1－1.方法二(迭代法)：an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2×3n－1－1.狀元筆記已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法(1)當出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解．(2)當出現(xiàn)

＝f(n)時，用累乘法求解．(3)當出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構(gòu)造等比數(shù)列．2＋lnn(n∈N*)【解析】因為an＋1－an＝ln

＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…，an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝lnn－ln1，則an＝2＋lnn(n≥2)，又a1＝2也滿足此式，因此an＝2＋lnn(n∈N*)．

(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2n－1an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________．

(3)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝(－1)(an＋2)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝__________________．【答案】an＝n·2n－1

(4)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項公式．題型四

數(shù)列的性質(zhì)(微專題)微專題1數(shù)列的周期性1狀元筆記解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．1微專題2數(shù)列的單調(diào)性【答案】(1)最大項為2，最小項為0可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.

(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．【答案】(2)(－10，－8)狀元筆記解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；(2)用作商比較法，根據(jù)

(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進行判斷；(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．思考題5

(1)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－λn＋1，若{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是____________．【解析】由題意得an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1.化簡得λ<2n＋1，n∈N*，所以λ<3.(－∞，3)

(2)已知數(shù)列{an}的通項an＝(n＋1)·

(n∈N*)，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由．【答案】數(shù)列{an}有最大項a9，a10，其值為10×，其項數(shù)為9，10∴當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1<an.故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，本課總結(jié)1．已知數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的通項公式，主要從以下幾個方面來考慮：(1)符號用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)節(jié)，這是因為第n項和第n＋1項奇偶交錯．(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關(guān)系．(3)對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來解決．(4)此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察規(guī)律、類比已知數(shù)列、轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列(等差、等比)等方法解決．2．由Sn求an時，注意n＝1和n>1兩種情況，最后看二者是否統(tǒng)一．

在數(shù)列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4×3n－1，求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】an＝4×3n－1－5×2n－1【解析】方法一：原遞推式可化為an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)①.比較系數(shù)得λ＝－4，①式即是an＋1－4×3n＝2(an－4×3n－1)．則數(shù)列{an－4×3n－1}是首項為a1－4×31－1＝－5，公比為2的等比數(shù)列，∴an－4×3n－1＝－5×2n－1，即an＝4×3n－1－5×2n－1.∴an＝3n·bn＝4×3n－1－5×2n－1.【探究】求形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q為常數(shù)，且p≠1，pq(p－q)≠0)的數(shù)列的通項公式的方法：構(gòu)造an＋1＋λ·qn＋1＝p(an＋λ·qn)，即{an＋λ·qn}為等比數(shù)列．

已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】an＝2n＋n

【解析】

∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，易知an－n≠0，∴

＝2，∴數(shù)列{an－n}是以a1－1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an－n＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.【探究】求形如an＋1＝pan＋qn＋r(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)的數(shù)列的通項公式的方法：第一步，嘗試將遞推公式改寫為an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式；第二步，由待定系數(shù)法，求出x，y