2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試卷高二數(shù)學(xué)試題考試范圍：空間向量與立體幾何，直線和圓的方程；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間中三個(gè)不同的點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的加法法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【詳解】因?yàn)楣蔬x：B．2.若直線l與直線垂直，則l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的斜率，結(jié)合直線l與直線垂直得斜率，從而得到l的傾斜角．【詳解】直線的斜率是，因?yàn)橹本€l與直線垂直，所以直線l的斜率為，由，所以l的傾斜角為．故選：B3.已知向量，，且，則（）A. B.2 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解?故選：A.4.兩條平行直線與之間的距離為（）A6 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得，再利用兩平行線間的距離公式，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，直線即，所以兩條平行直線之間的距離為.故選：C.5.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.外離 C.相交 D.內(nèi)切【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出兩圓的圓心坐標(biāo)及它們的半徑，再計(jì)算兩圓圓心距即可判斷作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，于是得，即，所以圓與圓外切.故選：A6.若非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【分析】設(shè)與的夾角為θ，則由，，可得，從而可求得與的夾角【詳解】設(shè)與的夾角為θ，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榉橇阆蛄?，滿足，所以，因?yàn)?，所以，即，故選：B7.定義：設(shè)是空間中的一個(gè)基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的斜坐標(biāo)，已知是空間的一個(gè)基底，是空間的另一個(gè)基底，若向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜坐標(biāo)的定義直接計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫碌男弊鴺?biāo)為，所以，所以向量在基底下的斜坐標(biāo)為.故選：D.8.設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則面積的最大值為（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合直線位置關(guān)系的判斷可得兩直線互相垂直，由直線方程求得定點(diǎn)與定點(diǎn)，進(jìn)而可得，再利用基本不等式及三角形面積公式即得．【詳解】由題意直線過(guò)定點(diǎn)，直線可變?yōu)椋?，得，所以該直線過(guò)定點(diǎn)，所以．又，所以直線與直線互相垂直，且交點(diǎn)為，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，即面積的最大值是．故選：B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，在三棱柱中，P為空間中一點(diǎn)，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上 B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上 D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上【答案】ACD【解析】【分析】判斷點(diǎn)是否在線段上，利用共線向量定理及推論逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，所以，則點(diǎn)在棱上，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，連接，即，即，所以點(diǎn)在線段上，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，即，所以點(diǎn)在棱上，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，由三點(diǎn)共線結(jié)論知,三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在線段上，故D正確．故選：ACD.10.已知實(shí)數(shù)，滿足圓的方程，則（）A.圓心為，半徑為 B.的最大值為2C.的最大值為 D.的最大值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心半徑判斷A，根據(jù)的范圍判斷B，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離計(jì)算判斷C，應(yīng)用二次函數(shù)值域計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，由圓的方程，得圓心為，半徑為，故A正確；對(duì)于B，由，有，所以的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，表示圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，圓心到定點(diǎn)的距離為，所以圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最大值為，故C正確；對(duì)于D，由得，所以，，令，由在上單調(diào)遞增，所以，所以的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.三棱錐中，，，兩兩垂直，且，下列命題中正確的是（）A.B.C.三棱錐的體積為D.和的夾角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及完全平方公式，計(jì)算可得A正確，B正確，再由錐體的體積公式可驗(yàn)證C錯(cuò)誤，利用向量夾角公式代入計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于A，易知，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以，而，所以，即A正確；對(duì)于B，知，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以，所以，即B正確；對(duì)于C，易知，顯然，所以，因此，又，，所以，所以，因?yàn)閮蓛纱怪?，且，所以三棱錐的體積為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，，同理，設(shè)和的夾角為，可得，可得，即D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若直線過(guò)，則此直線的斜率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間的斜率公式求解即可.【詳解】若直線經(jīng)過(guò)，則此直線的斜率為；故答案為：13.已知，，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，求解坐標(biāo)即可.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，所以，，因?yàn)椋?，解得，得?故答案為：14.已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，由條件列方程求可解.【詳解】因圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，解得：，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：四、解答題：本題共5個(gè)題目，共77分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，求直線的方程；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用斜率坐標(biāo)公式及垂直關(guān)系求出高所在直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.（2）設(shè)出直線的方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程.【小問(wèn)1詳解】直線的斜率，則邊上的高所在的直線斜率為3，所以邊上的高所在的直線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線的方程為，而直線過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以直線的方程為.16.如圖，已知在三棱錐中，，，OA，OB，OC兩兩垂直．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問(wèn)題：（1）若OA，OC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，試判斷EF與OB之間的位置關(guān)系；（2）若點(diǎn)D滿足，，試確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）垂直（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，將空間向量用坐標(biāo)形式表示，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，從而可解；（2）利用向量平行的坐標(biāo)關(guān)系列方程組求解即可．【小問(wèn)1詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由于OA，OC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．因此，，得．又，所以，即，故EF與OB垂直．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，，，由，，，因此存在實(shí)數(shù)，，使得，，即．即點(diǎn)D的坐標(biāo)為．17.已知圓．（1）將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出圓心坐標(biāo)和半徑．（2）求直線被圓C所截得的弦長(zhǎng)．【答案】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為，（2）【解析】【分析】（1）將圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后可得圓心和半徑.（2）求出圓心到直線的距離，然后可算出答案.【小問(wèn)1詳解】由可得該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其圓心為，半徑為.【小問(wèn)2詳解】圓心到直線的距離為所以直線：被圓所截得的弦長(zhǎng)為18.已知圓，直線．（1）若圓O的弦AB恰好被點(diǎn)平分，求弦AB所在直線的方程；（2）點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D，求直線CD經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).【答案】（1）（2）直線CD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【解析】【分析】（1）弦AB恰好被點(diǎn)平分，則，即可求得斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可得弦AB所在直線的方程；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意可知O，C，Q，D四點(diǎn)共圓，且CD為直徑，求出新圓圓心和半徑，進(jìn)而求得新圓的方程，進(jìn)而求得直線CD的方程，即可得過(guò)的定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由圓，得圓心，半徑，又，所以，所以，所以，即：弦AB所在直線的方程為.【小問(wèn)2詳解】直線l與圓O相離，令，線段OQ中點(diǎn)，因?yàn)镺，C，Q，D四點(diǎn)位于圓上，又圓，所以CD是圓O與圓K的相交弦，故．即，由且，得直線CD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．19.如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中．用空間向量法求解下列問(wèn)題．（1）求證：．（2）求線段的中點(diǎn)到平面的距離．（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，建立空間直角坐標(biāo)系，再計(jì)算出，后相乘即可得；（2）求出平面的法向量后由點(diǎn)到平面距離的向量公式即可求解；（3）令，，由面面夾角的向量公式求得，即可求解．【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，由為等邊三角形，得，而平面平面