專題12數(shù)列（解答題）9種常見考法歸類知識(shí)五年考情（20212025）命題趨勢(shì)知識(shí)1等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算及證明（5年5考）考點(diǎn)01等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·浙江1.等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算是必考內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，能夠運(yùn)用方程思想，通過已知條件建立關(guān)于首項(xiàng)、公差、公比等基本量的方程或方程組并求解。2.數(shù)列求和是解答題的重點(diǎn)，分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等求和方法頻繁考查，要求學(xué)生能夠根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式特征，選擇合適的求和方法。3.數(shù)列與其他知識(shí)的綜合考查愈發(fā)常見，這不僅要求學(xué)生掌握數(shù)列本身的知識(shí)，還需具備良好的知識(shí)遷移能力和綜合運(yùn)用能力，能夠從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)體系。考點(diǎn)02等差等比數(shù)列的證明2022·全國(guó)甲卷2022·上海2022·浙江2021·全國(guó)甲卷2021·全國(guó)乙卷2021·上海知識(shí)2數(shù)列求和（5年5考）考點(diǎn)03含絕對(duì)值的數(shù)列求和2023·全國(guó)乙卷考點(diǎn)04分組求和法2024·全國(guó)甲卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷考點(diǎn)05裂項(xiàng)相消法求和2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷考點(diǎn)06錯(cuò)位相減法求和2025·全國(guó)一卷2025·天津2024·天津2024·全國(guó)甲卷2023·全國(guó)甲卷2021·全國(guó)乙卷2021·天津知識(shí)3數(shù)列綜合（5年5考）考點(diǎn)07等差、等比數(shù)列的綜合2023·天津2022·天津考點(diǎn)08數(shù)列與其他知識(shí)的綜合2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷考點(diǎn)09數(shù)列新定義2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2023·北京2022·北京2021·北京考點(diǎn)01等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；考點(diǎn)02等差等比數(shù)列的證明（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【詳解】（1）[方法一]：由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，[方法二]【最優(yōu)解】：所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）【答案】證明見解析.∴是等差數(shù)列.(1)證明：是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析；(2)．（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．9．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】證明過程見解析選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式[方法二]：待定系數(shù)法選①③作條件證明②：選②③作條件證明①：[方法一]：定義法綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)分別驗(yàn)證求解；綜上，、、成等比數(shù)列，公比為；【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出，再求；(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.(1)求可能值；【答案】(1)7或9；(2)答案見解析；回到原題，分類討論求數(shù)列的通項(xiàng)公式：【點(diǎn)睛】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)．2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．第(2)步，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.考點(diǎn)03含絕對(duì)值的數(shù)列求和(1)求的通項(xiàng)公式；（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，考點(diǎn)04分組求和法(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明見解析.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.（2）求的前20項(xiàng)和.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，[方法二]：奇偶分類討論數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．[方法三]：累加法（2）[方法一]：奇偶分類討論[方法二]：分組求和所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.考點(diǎn)05裂項(xiàng)相消法求和(1)求的通項(xiàng)公式；(2)見解析考點(diǎn)06錯(cuò)位相減法求和(1)求的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．兩式相減得，【答案】(1)證明見解析；（2）先求出的通項(xiàng)公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以，作差并利用等比數(shù)列前項(xiàng)和得出導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式，即可得出結(jié)論.(1)求，的通項(xiàng)公式；（ii）求所有元素之和．由題意可得中的所有元素由以下系列中所有元素組成：…綜上所述，中的所有元素之和為(1)求的通項(xiàng)公式；【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．（2）利用錯(cuò)位相減法可求.∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，(1)求的通項(xiàng)公式及；（1）求和的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.（I）求和的通項(xiàng)公式；【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考點(diǎn)07等差、等比數(shù)列的綜合（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可計(jì)算其前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計(jì)算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對(duì)學(xué)生探索新知識(shí)很有裨益.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)證明見解析【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；考點(diǎn)08數(shù)列與其他知識(shí)的綜合(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出的坐標(biāo)即可；（2）思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；思路二：利用點(diǎn)差法和合比性質(zhì)即可證明；【詳解】（1）證畢，回到原題.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有將②③代入①，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識(shí)的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識(shí)方可得解.【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程后證明，（2）構(gòu)造函數(shù)后由導(dǎo)數(shù)證明不等式，（3）由等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性與方程根的個(gè)數(shù)后求解，29．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．考點(diǎn)09數(shù)列新定義(2)證明見解析(3)證明見解析由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這就證明了結(jié)論.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義數(shù)列的理解，只有理解了定義，方可使用定義驗(yàn)證或探究結(jié)論.(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)證明見解析故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對(duì)于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.必要性：充分性：為常數(shù)列，符合題意；即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及對(duì)其本質(zhì)的分析.(3)證明見詳解【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見解析．(3)證明見解析．【分析】（1）直接利用定義驗(yàn)證即可；從5個(gè)正整數(shù)中，取一個(gè)數(shù)字只能表示自身，最多可表示5個(gè)數(shù)字，取連續(xù)兩個(gè)數(shù)字最多能表示4個(gè)數(shù)字，取連續(xù)三個(gè)數(shù)字最多能表示3個(gè)數(shù)字，取連續(xù)四個(gè)數(shù)字最多能表示2個(gè)數(shù)字，取連續(xù)五個(gè)數(shù)字最多能表示1個(gè)數(shù)字，可得數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)和均小于20（沒有表示出20），與題設(shè)矛盾！若數(shù)列的項(xiàng)中還有0，則數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少兩個(gè)正整數(shù)（負(fù)項(xiàng)與0），不滿足題設(shè)，因而數(shù)列的項(xiàng)是一項(xiàng)負(fù)五項(xiàng)正（且這五個(gè)正項(xiàng)兩兩互異）．因?yàn)槠渲凶畲蟮氖?0，所以20的連續(xù)項(xiàng)和表示是最多的連續(xù)若干個(gè)正項(xiàng)之和（即對(duì)數(shù)列的連續(xù)正項(xiàng)全部求和）．滿足題設(shè)＂，得數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少表示一個(gè)正整數(shù)，不滿足題設(shè)，數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少表示一個(gè)正整數(shù)．均不滿足題設(shè)．?dāng)?shù)列的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少表示一個(gè)正整數(shù)）.再由數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)和表示中有13，綜上所述，可得欲證結(jié)論成立．34．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，2，2，1，那么是否可能為數(shù)列？說明理