湘教版（2024）數(shù)學(xué)8年級上冊第4章

三角形4.6.1線段垂直平分線的性質(zhì)和判定1.理解并記住等腰三角形、等邊三角形的判定定理；2.能運用定理判斷一個三角形是等腰（等邊）三角形；3.在探索、證明的過程中錘煉嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣；

4.經(jīng)歷證明的困難，體驗成功，增強自信。#4.5.2等腰三角形的判定（七年級數(shù)學(xué)課件）##幻燈片1：封面-標(biāo)題：4.5.2等腰三角形的判定-副標(biāo)題：七年級數(shù)學(xué)（下冊/上冊，根據(jù)教材版本調(diào)整）-授課教師：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻燈片2：目錄1.復(fù)習(xí)回顧：等腰三角形的定義與性質(zhì)2.情境導(dǎo)入：如何判斷一個三角形是等腰三角形？3.探究活動：等腰三角形的判定定理（等角對等邊）4.判定定理的推理證明與符號表示5.判定定理的應(yīng)用（計算、證明、作圖）6.性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系7.易錯點辨析8.課堂練習(xí)（基礎(chǔ)題+提升題）9.課堂小結(jié)10.作業(yè)布置##幻燈片3：復(fù)習(xí)回顧-提問：1.等腰三角形的定義是什么？（有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形）2.等腰三角形有哪些性質(zhì)？（①等邊對等角；②三線合一）3.性質(zhì)定理的符號表示：若AB=AC，則______（∠B=∠C）。-思考：

反過來，若一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊是否相等？如何判斷一個三角形是等腰三角形？-過渡：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)（邊→角），今天我們將探究它的判定方法（角→邊），即如何根據(jù)角的關(guān)系判斷三角形是等腰三角形。##幻燈片4：情境導(dǎo)入——生活中的判定需求-情境：

園藝師傅要修剪一片三角形花壇，想讓它成為等腰三角形，但只測量了兩個角的度數(shù)（∠B=∠C=50°），沒有測量邊長。師傅說：“不用量邊長，這個三角形就是等腰三角形?！?提問：1.師傅的判斷依據(jù)是什么？（兩個角相等的三角形是等腰三角形）2.這個結(jié)論是否正確？如何通過數(shù)學(xué)方法驗證？-引出課題：今天我們就來探究等腰三角形的判定定理——等角對等邊。##幻燈片5：探究活動——驗證“等角對等邊”###探究目標(biāo)：驗證“一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”。###探究材料：直尺、量角器、剪刀、白紙。###探究步驟：1.畫△ABC：用量角器畫∠B=∠C=60°，連接AB、AC，得到△ABC；2.測量邊長：用直尺測量AB和AC的長度，記錄結(jié)果；3.更換角度重復(fù)實驗：如∠B=∠C=45°、∠B=∠C=70°，再次畫圖、測量；4.折疊驗證：將△ABC沿過A點且垂直于BC的直線折疊，觀察AB和AC是否重合。###探究結(jié)論：當(dāng)一個三角形的兩個角相等時，這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“**等角對等邊**”）。##幻燈片6：判定定理的推理證明###已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C。###求證：AB=AC。###證明方法1：作高AD（利用AAS全等）證明：作AD⊥BC于點D，∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定義）。在△ABD和△ACD中，```∠B=∠C（已知），∠ADB=∠ADC（已證），AD=AD（公共邊），```∴△ABD≌△ACD（AAS）?！郃B=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。###證明方法2：作角平分線AD（利用AAS全等）證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D，∴∠BAD=∠CAD（角平分線定義）。在△ABD和△ACD中，```∠B=∠C（已知），∠BAD=∠CAD（已證），AD=AD（公共邊），```∴△ABD≌△ACD（AAS）?！郃B=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。###結(jié)論：“等角對等邊”是等腰三角形的判定定理，可直接用于判斷三角形是否為等腰三角形。##幻燈片7：判定定理的符號表示與核心要點###符號表示：∵在△ABC中，∠B=∠C（已知），∴AB=AC（等角對等邊）。###核心要點：1.前提：在同一個三角形中（必須是同一三角形的兩個角相等，才能推出對應(yīng)邊相等）；2.對應(yīng)關(guān)系：相等的角所對的邊相等（∠B對邊AC，∠C對邊AB，∠B=∠C→AC=AB）；3.作用：判斷一個三角形是否為等腰三角形（由角的關(guān)系→邊的關(guān)系）。##幻燈片8：例題解析1——利用判定定理求邊長-例題1：

如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，求證：AC=BC。-解題思路：

先求∠C的度數(shù)，證明∠A=∠C，再用“等角對等邊”得出AC=BC。-解答過程：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和定理），∠A=40°，∠B=70°（已知），∴∠C=180°-40°-70°=70°。∴∠B=∠C（等量代換）?！郃C=BC（等角對等邊）。-強調(diào)：先通過內(nèi)角和求未知角，再利用角相等推出邊相等。##幻燈片9：例題解析2——利用判定定理證明等腰三角形-例題2：

如圖，AB∥CD，∠1=∠2，求證：△ABC是等腰三角形。-解題思路：

利用平行線性質(zhì)轉(zhuǎn)化角的關(guān)系，證明∠ABC=∠ACB，再判定等腰三角形。-解答過程：

證明：∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠ABC（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠ACB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。

又∵∠1=∠2（已知），∴∠ABC=∠ACB（等量代換）。∴AB=AC（等角對等邊）?！唷鰽BC是等腰三角形（等腰三角形定義）。##幻燈片10：例題解析3——判定定理的作圖應(yīng)用-例題3：

已知∠α=50°，∠β=80°，求作等腰三角形△ABC，使其中兩個角分別為∠α和∠β。-解題思路：

先判斷第三個角的度數(shù)，確定相等的角，再按“兩角及夾邊”作圖。-解答步驟：1.計算第三個角：∠γ=180°-50°-80°=50°，∴∠α=∠γ=50°，對應(yīng)邊BC=AB；2.作線段BC=任意長度（如4cm）；3.以B為頂點作∠ABC=80°，以C為頂點作∠ACB=50°，兩射線交于A；4.△ABC即為所求（AB=BC，等腰三角形）。##幻燈片11：等腰三角形性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系|類別|性質(zhì)定理（等邊對等角）|判定定理（等角對等邊）||------------|---------------------------------------|---------------------------------------||核心關(guān)系|邊的關(guān)系→角的關(guān)系（已知兩邊相等→兩角相等）|角的關(guān)系→邊的關(guān)系（已知兩角相等→兩邊相等）||作用|用于已知等腰三角形，求角或證明角相等|用于判斷三角形是否為等腰三角形，求邊或證明邊相等||邏輯關(guān)系|互逆定理（條件和結(jié)論互換）|互逆定理（條件和結(jié)論互換）||符號表示|∵AB=AC，∴∠B=∠C|∵∠B=∠C，∴AB=AC|###總結(jié)：-性質(zhì)：已知“等腰”→推導(dǎo)出“角相等”；-判定：已知“角相等”→推導(dǎo)出“等腰”；-兩者結(jié)合可解決等腰三角形的綜合問題（如先判定等腰，再用性質(zhì)求角/邊）。##幻燈片12：易錯點辨析-易錯點1：忽略“同一三角形”的前提（誤將兩個三角形的角相等推出邊相等）；-糾正：“等角對等邊”僅適用于同一個三角形中，不同三角形的角相等不能推出邊相等。-易錯點2：混淆“對應(yīng)邊”（相等的角所對的邊才相等，而非相鄰的邊）；-糾正：明確角與邊的對應(yīng)關(guān)系（∠B對邊AC，∠C對邊AB，∠A對邊BC）。-易錯點3：用“兩邊相等”判定時，未驗證邊的關(guān)系（如三條邊都相等時，也是等腰三角形）；-糾正：等邊三角形是特殊的等腰三角形，滿足“等角對等邊”的所有條件。##幻燈片13：課堂練習(xí)（基礎(chǔ)題）1.填空：

（1）在△ABC中，∠A=∠B=60°，則△ABC是______三角形（等腰/等邊），依據(jù)是______；

（2）在△DEF中，∠D=30°，∠E=120°，則______=______（邊），依據(jù)是______；

（3）若一個三角形的兩個角分別為55°和70°，則這個三角形是______三角形。

（答案：（1）等邊，等角對等邊；（2）DE，EF，等角對等邊；（3）等腰）2.選擇：

下列能判定△ABC為等腰三角形的是（

）A.∠A=30°，∠B=40°B.∠A=50°，∠B=80°C.∠A=20°，∠B=130°D.∠A=40°，∠B=60°

（答案：B，∠C=50°=∠A，∴BC=AB）##幻燈片14：課堂練習(xí)（提升題）1.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB交AC于E，求證：△ADE是等腰三角形。

（證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD；∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE；∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE，△ADE是等腰三角形）2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=30°，求證：BC=?AB。

（證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，∠B+∠A=90°，∴∠B=∠ACD=30°；∴AC=?AB（直角三角形30°角對邊是斜邊的一半）？修正：∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=?AB；或證明△ABC是等腰三角形：∠A=60°，∠B=30°，不等腰，直接用直角三角形性質(zhì)。調(diào)整題目：將∠ACD=30°改為∠ACD=∠BCD=45°，則∠A=∠B=45°，BC=AC=?√2AB。此處按原題目修正解答：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∠ACD=30°，∴∠A=60°，∠B=30°，∴BC=?AB（直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半））##幻燈片15：課堂小結(jié)-本節(jié)課重點內(nèi)容回顧：1.判定定理：等角對等邊（同一三角形中，兩角相等→兩邊相等）；2.證明方法：通過作高、角平分線構(gòu)造全等三角形推導(dǎo)；3.核心應(yīng)用：-判斷三角形是否為等腰三角形；-求線段長度或證明線段相等；-結(jié)合性質(zhì)定理解決綜合問題；4.關(guān)鍵區(qū)別：性質(zhì)是“等腰→角相等”，判定是“角相等→等腰”；5.易錯點：把握“同一三角形”和“對應(yīng)邊”的前提。##幻燈片16：作業(yè)布置1.基礎(chǔ)作業(yè)：-教材習(xí)題XX頁第4、5、6題；-如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5cm，求AC的長度，并作出△ABC的頂角平分線AD，驗證AD是否垂直于BC。2.提升作業(yè)：-如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，∠BAD=∠C，求證：AD=BD；-思考：如何判定一個三角形是等邊三角形？（提示：從角或邊的角度思考，為下節(jié)課鋪墊）等腰三角形的性質(zhì)定理有哪些？

等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線.等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡稱“三線合一”)等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).記憶關(guān)鍵詞：軸對稱圖形、三線合一、等邊對等角等邊三角形除具有等腰三角形的性質(zhì)外，還有哪些性質(zhì)？

等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于60°.等邊三角形有三條對稱軸，分別是三個內(nèi)角的平分線所在的直線.有兩個角相等的三角形是等腰三角形。你能說出“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題嗎？這個逆命題是真命題嗎？如何判定一個三角形是等腰三角形？

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系？ABC探究我們?nèi)匀挥幂S反射的方法進行證明：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，沿過點A的直線把∠BAC對折，得∠BAC的平分線AD交BC于點D，則∠1=∠2，又∠B=∠C，由三角形內(nèi)角和定理得∠ADB=∠ADC.沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，

∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而，點B與點C重合，于是AB=AC.ABC由此得到等腰三角形的判定定理：

有兩個角相等的三角形是等腰三角形

(簡稱“等角對等邊”).

如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠C=60°，△ABC是等邊三角形嗎？ABC探究證明：∵∠B=60°=∠C，∴AC=AB.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°－∠B－∠C=60°?！唷螦=∠B，∴BC=AC.從而AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形.ABC由此可得到等邊三角形的判定定理：

三個角都是60°的三角形是等邊三角形.例2

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC.求證：△ADE為等腰三角形.ABCDE思路：根據(jù)條件和圖形，由AB=AC推出

，由DE∥BC推出

，進一步可以推出

，從而得出△ADE為等腰三角形.∠B=∠C∠ADE=∠B，∠AED=∠C∠ADE=∠AEDABCDE證明：∵

AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.∴

∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？ABC分析：如圖，△ABC是等腰三角形，就是△ABC中有兩邊相等，如AB=AC。而有一個角是60°，則可以是頂角或底角等于60°，因此需分兩種情況證明。要證△ABC是等邊三角形，就要先證它的三個內(nèi)角都是60°.ABC證明：如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，則∠B+∠C=180°－60°=120°，

∴∠B=∠C.又∵

AB=AC，∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.如果底角∠B=60°(或∠C=60°)，同樣可以證明△ABC是等邊三角