試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷考生注意：1．答題前，務(wù)必在答題紙上將姓名、學(xué)校、班級(jí)等信息填寫清楚，并貼好條形碼．2．解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應(yīng)位置書寫，超出答題紙規(guī)定位置或?qū)懺谠嚲?、草稿紙上的答案一律不予評(píng)分．3．本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．集合，集合，則．2．不等式的解集為．3．在等差數(shù)列中，，公差，，則．4．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．5．如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側(cè)面積為.6．設(shè)，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為．7．已知，，則8．函數(shù)的值域?yàn)?，則集合．9．已知均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為．10．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)2和所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段上移動(dòng)，若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所構(gòu)成圖形的面積為．11．如圖，兩塔的塔尖分別為，塔底分別為，塔身均垂直水平面已測(cè)得與的距離，4名同學(xué)分別測(cè)得如下4組數(shù)據(jù)：①，，；②，，；③；④．其中不能唯一確定與之間距離的數(shù)據(jù)的序號(hào)有．12．已知集合，若對(duì)于空間中任意單位向量，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．如圖，已知分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF異面的是（）A．直線 B．直線C．直線 D．直線14．甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.7和0.6，兩人各投籃一次，事件為甲投中，事件為乙投中．“甲、乙兩人均投中的概率為0.42”是“事件互相獨(dú)立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．已知，，若曲線上存在點(diǎn)滿足：，則的取值范圍是（）A． B． C． D．16．將正整數(shù)按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一項(xiàng)都滿足：，則滿足題意的排列的個(gè)數(shù)為（）A．36 B．55 C．89 D．144三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．小明有自覺體鍛的習(xí)慣，某運(yùn)動(dòng)軟件記錄了其每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)長（單位：min），小明從最近90天的記錄中隨機(jī)選取了10天的記錄，具體數(shù)據(jù)如下：(1)求這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)：(2)運(yùn)動(dòng)時(shí)長不超過60min為不達(dá)標(biāo)，估算從90天記錄中隨機(jī)抽取1天，該天運(yùn)動(dòng)時(shí)長不達(dá)標(biāo)的概率：(3)從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)得到一組新的數(shù)據(jù)，求前后兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率．18．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的最小正周期為，求的值及的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，直線與平面所成的角的大小為．(1)求四棱錐的體積；(2)點(diǎn)在線段上，直線平面，求二面角的余弦值．20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)．(1)設(shè)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的面積；(3)設(shè)線段的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程．21．已知．(1)求函數(shù)的駐點(diǎn)；(2)設(shè)，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍：(3)定義，設(shè)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】由交集的定義運(yùn)算.【詳解】由題意得，.故答案為：2．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義即可求解.【詳解】由，得，解得，即不等式的解集為，故答案為：3．【分析】利用已知求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，又，所以，解得.故答案為：.4．15【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以，項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：15.5．【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【詳解】由圓錐的側(cè)面積公式故答案為：2π6．【分析】先利用坐標(biāo)計(jì)算，，再利用公式計(jì)算.【詳解】因，則，，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：7．【分析】由指對(duì)數(shù)的關(guān)系得，再有，即可求值.【詳解】由題設(shè)，，根據(jù)換底公式，則.故答案為：8．【分析】利用函數(shù)的值域求解不等式，進(jìn)而得到函數(shù)的定義域即可.【詳解】令，解得，令，解得，則集合.故答案為：9．4【分析】由可得，所以原式可化為①，令，利用基本不等式求出的范圍，則①式可化為，再次利用基本不等式求出的范圍即可得解.（注意兩次應(yīng)用基本不等式，等號(hào)成立的條件必須相同）【詳解】由可得，所以原式①.令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.所以①式可化為原式.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為4.故答案為：410．【分析】設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由得到點(diǎn)的軌跡為：以線段為中線，寬度為的矩形，加上兩端為圓心，半徑為的兩個(gè)半圓，利用矩形和圓的面積公式求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)2和所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，，點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為：以線段上的點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的并集，即點(diǎn)的軌跡為：以線段為中線，寬度為的矩形，加上兩端為圓心，半徑為的兩個(gè)半圓，，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所構(gòu)成圖形的面積為.故答案為：.11．④【分析】將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為確定塔高與的過程，對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)組，首先判斷能否由已知角度和已知邊長唯一確定水平距離與兩個(gè)塔高；若能，則兩塔尖的空間坐標(biāo)唯一確定，距離隨之唯一確定，若給出的角度條件不足以唯一確定所有未知的塔高或位置，則存在多解，從而無法唯一確定兩塔尖距離.【詳解】①：與的長度，用余弦定理確定唯一，與的值，在中可確定唯一，與的值，在中可確定唯一，由知唯一確定.②：與的長度，用余弦定理確定唯一，與的值，在中可確定唯一，是點(diǎn)處觀測(cè)與的夾角，在中：邊（已知）邊（含未知量）已知由余弦定理：，同時(shí)又有：，聯(lián)立的表達(dá)式，建立關(guān)于的方程，因函數(shù)單調(diào)性及物理意義（塔高），通常有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解故可確定唯一.③：與的值，在中可確定唯一，與的值，在中可確定唯一，由，及已知，可確定唯一.④：由可求得；再由，可求得；而，故長度不確定.故答案為：④12．【分析】根據(jù)存在性問題分析可知，結(jié)合題意以及空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，結(jié)合任意性分析可知，進(jìn)而分析求解.【詳解】若存在，使得，則，設(shè)，且，則，，因?yàn)椋稍O(shè)，則，因?yàn)?，，注意到符?hào)性不妨設(shè)，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知，又因?yàn)閷?duì)于空間中任意單位向量，都存在，使得，則，即，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，可得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.13．BD【分析】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用異面直線的判斷法若則直線與互為異面直線依次分析選項(xiàng)即可【詳解】如圖取中點(diǎn),和頂點(diǎn)M,N,P,Q連接在正方體中有,所以，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，所以直線EF與直線共面，選項(xiàng)A不對(duì)；直線平面BCG,直線平面,所以直線與直線是異面直線，又因?yàn)?所以直線與直線是異面直線，選項(xiàng)B正確；在正方體中有,所以，選項(xiàng)C不對(duì)；直線平面AFG,直線平面,所以直線與直線是異面直線,選項(xiàng)D正確；故選：BD14．C【分析】由獨(dú)立事件概率公式和充要條件的概念即可求解.【詳解】由甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.7和0.6，若“事件互相獨(dú)立”，則，若，則事件互相獨(dú)立，即“甲、乙兩人均投中的概率為0.42”是“事件互相獨(dú)立”的充要條件，故選：C15．A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及直線與雙曲線相交求解的取值范圍.【詳解】由，知，.因?yàn)辄c(diǎn)滿足：，即，且，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，設(shè)其方程為，則其焦距，實(shí)軸長，所以，，所以，所以點(diǎn)在雙曲線的左支上，其漸近線方程為.由曲線方程得.因?yàn)榍€上存在點(diǎn)滿足：，所以直線與雙曲線的左支有交點(diǎn)，所以.故選：A.16．C【分析】設(shè)滿足題意的排列個(gè)數(shù)為，將排列按照與兩種情況分類，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】設(shè)滿足題意的排列個(gè)數(shù)為，本題所求為.由題可得，，.當(dāng)，此時(shí)，，，則滿足題意的排列個(gè)數(shù)為；當(dāng)，，此時(shí)，，，則滿足題意的排列個(gè)數(shù)為；當(dāng)，，則，，，，，此時(shí)沒有整數(shù)使?jié)M足題意，即當(dāng)，時(shí)，滿足題意的排列不存在.綜上可得，.注意到，，則，.故選：C17．(1)71；(2)0.3；(3).【分析】（1）根據(jù)計(jì)算百分位數(shù)的步驟求解；（2）計(jì)算樣本頻率，利用頻率估計(jì)概率；（3）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算.【詳解】（1）把10天的記錄按照從小到大排列為：，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以第60百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)與第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，因?yàn)?，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為71；（2）因?yàn)檫x取的樣本中運(yùn)動(dòng)時(shí)長不達(dá)標(biāo)的頻率為，所以估計(jì)該天運(yùn)動(dòng)時(shí)長不達(dá)標(biāo)的概率為0.3；（3）因?yàn)榍昂髢山M數(shù)據(jù)的極差相同，所以隨機(jī)刪除的2個(gè)數(shù)為中的兩個(gè)，則概率18．(1)2；.(2).【分析】（1）根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，進(jìn)而由整體法求得單調(diào)遞減區(qū)間；（2）首先化簡得到的解析式，再由的范圍求得的值域.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，解得.所以.要求的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，所?由得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?9．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)棱錐的體積公式，結(jié)合線面角的定義進(jìn)行求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面平行的性質(zhì)、空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因此，因?yàn)槠矫鍭BCD，直線與平面所成的角的大小為，所以，四棱錐的體積為；（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，，又因?yàn)?，所以可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，顯然平面的法向量為，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以設(shè)，設(shè)平面的法向量為，又，，因?yàn)橹本€平面，所以當(dāng)直線平面，顯然點(diǎn)不與點(diǎn)重合，則當(dāng)時(shí)，，取因?yàn)橹本€平面，所以，即，，由圖可知二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為.20．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義及，求出；（2）設(shè)，設(shè)直線的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可解得結(jié)果；（2）設(shè)，，求出，利用可得結(jié)果.【詳解】（1）由拋物線方程知：，設(shè)，由得：，.（2）由題意知：直線斜率不為零，可設(shè)，，由得：，則，，，，又因?yàn)橹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以的面積為；（3）由題意知：直線斜率不為零，可設(shè)，，由得：，則，，，所以中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，若以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，，，不相等，不相等，所以，同理可得，不相等，所以即，解得.所以直線的方程為.21．(1)(2)(3)【分析】（1）確定函數(shù)定義域，根據(jù)駐點(diǎn)定義求解即