同濟(jì)概率論考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列哪個(gè)選項(xiàng)正確描述了F(x)的性質(zhì)？A.F(x)是單調(diào)遞減的B.F(x)是單調(diào)不減的C.F(x)是周期函數(shù)D.F(x)是連續(xù)函數(shù)答案：B2.設(shè)A和B是兩個(gè)事件，若P(A|B)=P(A)，則稱A與B：A.互斥B.獨(dú)立C.相等D.互為對(duì)立事件答案：B3.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=1，則根據(jù)切比雪夫不等式，P(|X-2|≥2)≤：A.1/4B.1/2C.1D.4答案：A4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，則隨機(jī)變量Z=X+Y的分布是：A.N(0,1)B.N(0,2)C.N(1,1)D.N(1,2)答案：B5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：X:-101P:1/41/21/4則E(X^2)等于：A.1/4B.1/2C.3/4D.1答案：C6.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為：X\Y:010:1/41/41:1/41/4則X和Y是否獨(dú)立？A.是B.否答案：A7.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0，則：A.X和Y一定獨(dú)立B.X和Y一定不相關(guān)C.X和Y一定相同D.X和Y一定不同答案：B8.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，則下列哪個(gè)選項(xiàng)正確描述了f(x)的性質(zhì)？A.f(x)可以取負(fù)值B.∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx≠1C.f(x)≥0D.f(x)是周期函數(shù)答案：C9.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)，則邊緣密度函數(shù)f_X(x)等于：A.∫_{-∞}^{+∞}f(x,y)dyB.∫_{-∞}^{+∞}f_X(x)dxC.f(x)f(y)D.∫_{-∞}^{+∞}f(y)dy答案：A10.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布為二維正態(tài)分布，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.X和Y一定獨(dú)立B.X和Y一定不相關(guān)C.X和Y一定相同D.X和Y一定不同答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是隨機(jī)變量的性質(zhì)？A.可數(shù)可加性B.非負(fù)性C.可加性D.單調(diào)性答案：A,C2.事件A和B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則：A.P(A∪B)=0.7B.P(A∩B)=0C.P(A|B)=0D.P(B|A)=0答案：A,B,C,D3.下列哪些是隨機(jī)變量的期望的性質(zhì)？A.E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)B.E(X^2)=[E(X)]^2C.E(XY)=E(X)E(Y)（若X和Y獨(dú)立）D.E(1)=1答案：A,C,D4.下列哪些是隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)？A.D(aX+b)=a^2D(X)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)（若X和Y獨(dú)立）C.D(X)≥0D.D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2答案：A,B,C,D5.下列哪些是隨機(jī)變量的協(xié)方差的性質(zhì)？A.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)B.Cov(X,X)=D(X)C.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)D.Cov(aX+bY,Z)=aCov(X,Z)+bCov(Y,Z)答案：A,B,C,D6.下列哪些是隨機(jī)變量的密度函數(shù)的性質(zhì)？A.f(x)≥0B.∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1C.f(x)是連續(xù)函數(shù)D.f(x)可以取負(fù)值答案：A,B7.下列哪些是隨機(jī)變量的邊緣分布的性質(zhì)？A.邊緣分布是聯(lián)合分布的一部分B.邊緣分布可以獨(dú)立于聯(lián)合分布C.邊緣分布的期望等于聯(lián)合分布的期望D.邊緣分布的方差等于聯(lián)合分布的方差答案：A,C8.下列哪些是隨機(jī)變量的條件分布的性質(zhì)？A.條件分布是給定某個(gè)事件后的分布B.條件分布可以獨(dú)立于聯(lián)合分布C.條件分布的期望等于聯(lián)合分布的期望D.條件分布的方差等于聯(lián)合分布的方差答案：A,C9.下列哪些是隨機(jī)變量的獨(dú)立性的性質(zhì)？A.若X和Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)B.若X和Y獨(dú)立，則P(X∩Y)=P(X)P(Y)C.若X和Y獨(dú)立，則P(X|Y)=P(X)D.若X和Y獨(dú)立，則P(Y|X)=P(Y)答案：A,B,C,D10.下列哪些是隨機(jī)變量的正態(tài)分布的性質(zhì)？A.正態(tài)分布是連續(xù)分布B.正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于均值對(duì)稱C.正態(tài)分布的期望等于均值D.正態(tài)分布的方差等于標(biāo)準(zhǔn)差的平方答案：A,B,C,D三、判斷題（每題2分，共10題）1.設(shè)A和B是兩個(gè)事件，若P(A|B)=P(A)，則A與B獨(dú)立。答案：正確2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則F(x)是單調(diào)不減的。答案：正確3.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=1，則根據(jù)切比雪夫不等式，P(|X-2|≥2)≤1/4。答案：正確4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，則隨機(jī)變量Z=X+Y的分布是N(0,2)。答案：正確5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：X:-101P:1/41/21/4則E(X^2)=3/4。答案：正確6.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為：X\Y:010:1/41/41:1/41/4則X和Y獨(dú)立。答案：正確7.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0，則X和Y不相關(guān)。答案：正確8.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，則f(x)≥0。答案：正確9.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)，則邊緣密度函數(shù)f_X(x)=∫_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy。答案：正確10.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布為二維正態(tài)分布，則X和Y不相關(guān)。答案：正確四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量的期望和方差的定義及其性質(zhì)。答案：隨機(jī)變量的期望E(X)是隨機(jī)變量取值的平均值，定義為E(X)=∑xP(X=x)（離散型）或E(X)=∫xf(x)dx（連續(xù)型）。期望的性質(zhì)包括E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)和E(1)=1。隨機(jī)變量的方差D(X)是隨機(jī)變量取值與期望的差的平方的期望，定義為D(X)=E[(X-E(X))^2]。方差表示隨機(jī)變量的離散程度，性質(zhì)包括D(aX+b)=a^2D(X)、D(X)≥0和D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。2.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性的定義及其關(guān)系。答案：隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立是指P(X∩Y)=P(X)P(Y)，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值。隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)是指Cov(X,Y)=0，即X和Y的協(xié)方差為零。獨(dú)立性和不相關(guān)性的關(guān)系是：若X和Y獨(dú)立，則X和Y不相關(guān)；但若X和Y不相關(guān)，不一定獨(dú)立。3.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布的定義及其性質(zhì)。答案：隨機(jī)變量的邊緣分布是聯(lián)合分布的一部分，即從聯(lián)合分布中忽略一個(gè)隨機(jī)變量后的分布。邊緣分布的性質(zhì)包括邊緣分布是聯(lián)合分布的一部分，邊緣分布的期望等于聯(lián)合分布的期望。隨機(jī)變量的條件分布是給定某個(gè)事件后的分布，即給定一個(gè)隨機(jī)變量的取值后，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布。條件分布的性質(zhì)包括條件分布是給定某個(gè)事件后的分布，條件分布的期望等于聯(lián)合分布的期望。4.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量的正態(tài)分布的定義及其性質(zhì)。答案：隨機(jī)變量的正態(tài)分布是連續(xù)分布，其密度函數(shù)關(guān)于均值對(duì)稱，期望等于均值，方差等于標(biāo)準(zhǔn)差的平方。正態(tài)分布的性質(zhì)包括正態(tài)分布是連續(xù)分布，正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于均值對(duì)稱，正態(tài)分布的期望等于均值，正態(tài)分布的方差等于標(biāo)準(zhǔn)差的平方。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論隨機(jī)變量的期望和方差在概率論中的重要性。答案：隨機(jī)變量的期望和方差是概率論中的兩個(gè)重要概念。期望表示隨機(jī)變量取值的平均值，方差表示隨機(jī)變量的離散程度。期望和方差在概率論中用于描述隨機(jī)變量的分布特征，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷和決策的重要依據(jù)。例如，在正態(tài)分布中，期望和方差完全決定了分布的形狀和位置。期望和方差還用于計(jì)算隨機(jī)變量的其他統(tǒng)計(jì)量，如中位數(shù)、分位數(shù)等。2.討論隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性的區(qū)別和聯(lián)系。答案：隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性是概率論中的重要概念。獨(dú)立性是指一個(gè)隨機(jī)變量的取值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值，而不相關(guān)性是指兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差為零。獨(dú)立性和不相關(guān)性的區(qū)別在于：若X和Y獨(dú)立，則X和Y不相關(guān)；但若X和Y不相關(guān)，不一定獨(dú)立。例如，對(duì)于正態(tài)分布，若X和Y獨(dú)立，則X和Y不相關(guān)；但若X和Y不相關(guān)，不一定獨(dú)立。獨(dú)立性和不相關(guān)性的聯(lián)系在于：獨(dú)立性和不相關(guān)性都是描述隨機(jī)變量之間關(guān)系的重要指標(biāo)，可以用于判斷隨機(jī)變量之間的依賴程度。3.討論隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布的應(yīng)用。答案：隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。邊緣分布用于描述聯(lián)合分布中忽略一個(gè)隨機(jī)變量后的分布，可以用于計(jì)算隨機(jī)變量的其他統(tǒng)計(jì)量，如期望、方差等。條件分布用于描述給定某個(gè)事件后的分布，可以用于計(jì)算條件概率和條件期望，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷和決策的重要依據(jù)。例如，在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，條件分布用于更新先驗(yàn)分布后得到后驗(yàn)分布，是貝葉斯推斷的核心概念。4.討論隨機(jī)變量的正態(tài)分布在概率論