為了描述現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)動(dòng)、變化現(xiàn)象,在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)概念.在對函數(shù)的深入研究中,數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了微積分,這是具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造,被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑.

牛頓（IsaacNewton，1643年－1727年），英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家.

萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家.一、情境引入在40年代，陳省身結(jié)合微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)的方法，為大范圍微分幾何提供了不可缺少的工具。已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)的范圍，成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要組成部分。20世紀(jì)我國重要的微分幾何學(xué)家，被譽(yù)為“微分幾何之父”。

今年11月，比利時(shí)15歲少年勞倫特·西蒙斯在安特衛(wèi)普大學(xué)成功通過博士論文答辯，成為世界上最年輕的量子物理學(xué)博士之一。勞倫特出生于2009年，智商高達(dá)145（全球僅0.1%的人能達(dá)到這一水平），有著過目不忘的記憶力。4歲接受小學(xué)教育、8歲高中畢業(yè)、11歲以85%的最高分獲物理學(xué)學(xué)士學(xué)位、12歲以最優(yōu)等成績獲得量子物理學(xué)碩士學(xué)位，研究方向是玻色子和黑洞；15歲攻克博士學(xué)位，將同齡人二十年的學(xué)業(yè)壓縮至短短數(shù)年。今年才15歲的他，已憑借畢業(yè)論文《超流體和超固體中的玻色極化子》，成為一名量子物理學(xué)博士。微積分主要與四類問題的處理相關(guān):1.已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等;2.求曲線的切線;3.求已知函數(shù)的最大值與最小值;4.求長度、面積、體積和重心等.

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具.

章

節(jié)

導(dǎo)

讀5.1.1變化率問題

選擇性必修第二冊第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)123體會(huì)由平均速度過渡到瞬時(shí)速度的過程，理解平均速度、瞬時(shí)速度的區(qū)別和聯(lián)系，體會(huì)極限思想.掌握瞬時(shí)速度的概念，會(huì)求解瞬時(shí)速度的相關(guān)問題，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).理解割線斜率與切線斜率的關(guān)系，會(huì)求其斜率.創(chuàng)設(shè)情境問題1高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度hto課例1高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度二、探究新知--平均變化率

在一次高臺跳水運(yùn)動(dòng)中,某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系：

如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

問題(1)如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到0.2秒，起跳后1秒到1.5秒這兩段時(shí)間的平均速度？二、探究新知--平均變化率htoh(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

問題(1)如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到0.2秒，起跳后1秒到1.5秒這兩段時(shí)間的平均速度？二、探究新知--平均變化率htoh(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

在0≤t≤0.2這段時(shí)間里，在1≤t≤1.5這段時(shí)間里，問題(1)如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到0.2秒，起跳后1秒到1.5秒這兩段時(shí)間的平均速度？hto二、探究新知--平均變化率問題(2)如何求運(yùn)動(dòng)員起跳后t1秒到t2秒這段時(shí)間的平均速度？h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

hto二、探究新知--平均變化率二.平均變化率的定義:一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1

,x2]上的平均變化率為：注意:（1）平均變化率不能脫離區(qū)間而言，不同區(qū)間上平均變化

率可能不同．（2）若設(shè)

x=x2-x1，

y=y2-y1，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率可寫為

.平均變化率的實(shí)質(zhì)就是：

.

函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟注．求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)B外賣配送的“速度謎題”h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

hto追問：你認(rèn)為用運(yùn)動(dòng)員該時(shí)段內(nèi)的平均速度，近似描述在這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題？

運(yùn)動(dòng)員平均速度為0，但顯然在此期間運(yùn)動(dòng)員并非靜止?fàn)顟B(tài)，因此平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

故為了精確刻畫運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念，來描述物體在某一時(shí)刻的速度.二、探究新知--平均變化率三.瞬時(shí)速度我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.問題(4)瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？如何求運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎？平均速度縮短時(shí)間段長度瞬時(shí)速度v(t0)三.瞬時(shí)速度我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.問題(4)瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？如何求運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎？平均速度縮短時(shí)間段長度瞬時(shí)速度v(t0)1．瞬時(shí)速度與平均速度的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：瞬時(shí)速度刻畫物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而平均速度則是刻畫物體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，與該段時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻無關(guān)．聯(lián)系：瞬時(shí)速度是平均速度的極限值．2．x的變化量Δx≠0，但可正可負(fù)．說明：4.“Δx→0”的含義是Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終Δx≠0.這里的極限思想就是無窮逼近思想，即f′(x0)等于當(dāng)x0＋Δx無窮逼近x0時(shí)，y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率．說明：這就涉及我們的數(shù)學(xué)極限問題！3.平均變化率可正可負(fù)，也可為零．但是，若函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率為0，不能說明該函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等．△t<0時(shí)，在[1+△t，1]這段時(shí)間內(nèi)△t>0時(shí)，在[1，1+△t]這段時(shí)間內(nèi)-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001…………運(yùn)動(dòng)員在t=1附近時(shí)間段的平均速度表：-7.049-7.0049-7.00049-7.000049-7.0000049-6.951-6.9951-6.99951-6.999951-6.9999951從表中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

當(dāng)△t趨近于0時(shí),即無論t從小于1的一邊,還是從大于1的一邊趨近于1時(shí),平均速度都趨近于一個(gè)確定的值–7.

計(jì)算是有限的,不能斷定平均速度是否永遠(yuǎn)具有這種特征,需要從更加理性的角度加以說明.

因?yàn)閔(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11,所以運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間段[1,1＋Δt]（或[1＋Δt,1]）的平均速度為當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí),－4.9Δt也無限趨近于0,所以,無限趨近于－7.四.數(shù)學(xué)極限

逼近(極限)思想四.數(shù)學(xué)極限解:典例分析例2解:典例分析例2鞏固作業(yè)答案（教科書第61-62頁練習(xí)第3題）鞏固作業(yè)答案（教科書P70頁習(xí)題5.1第3題）數(shù)學(xué)文化

淵源流長劉輝“割圓術(shù)”：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣.數(shù)學(xué)文化博大精深多邊形逼近

圓

平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系1.平均速度：運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間段[t0,t0＋Δt]內(nèi)的平均速度為當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，平均速度的極限為瞬時(shí)速度，記為2.瞬時(shí)速度：無限逼近取極限物體運(yùn)動(dòng)的平均速度物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

我們知道，物體在做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的方向是與運(yùn)動(dòng)軌跡相切的.例如，如圖所示的砂輪打磨下來的微粒，是沿著飛輪的切線飛出去的.這也就意味著，求切線是研究曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)常要做的事情.

我們在平面解析幾何中已知知道怎樣求圓錐曲線的切線.不過，可能會(huì)讓你感到意外的是，那種求切線的方法并不適用于一般的曲線.然而，借助于導(dǎo)數(shù)來討論曲線的切線更具有一般性.課本p62頁

拋物線的切線的斜率五、切線問題Poxyy=f(x)割線切線T

請看當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)

接近時(shí),割線

繞著點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況.

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線無限接近點(diǎn)

即Δx→0時(shí),割線

如果有一個(gè)極限位置.則我們把直線

稱為曲線在點(diǎn)

處的切線.在點(diǎn)P0(1,1)附近任取一點(diǎn)P(1+△x,(1+△x)2)當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置P0T，故把直線P0T稱為拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線.切線位置割線位置無限逼近本質(zhì)：切線斜率是割線斜率的極限例3.

求拋物線f(x)＝x2－x在點(diǎn)(2,2)處的切線斜率？解：f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2