第01講平面向量的概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示

（模擬精練+真題演練）

?最新模擬精練____________________

1.（2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在53。中，AD=2DB，點(diǎn)戶在8上，且人P=〃MC+g八以，R）,

則川=（）

2.（2023?廣東廣州?華南師大附中?？既＃┮阎蛄俊?（3,4）,〃=（4.咐，且卜+〃卜卜-6,則忖=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2023?福建南平?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方形人8CO的邊長為1,點(diǎn)M滿足AB+8C=2AM，則打。卜

（）

A.vB.1C.—D.夜

22

4.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量。=（2,5）,b=（m,2m+2）,且〃/必，則〃】=（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）已知48co是平而四邊形，設(shè)〃：AB=2OC，（1：48co是梯形，則P是

9的條件（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

6.（2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在/BC中，記CB=a，CA=b,若入。=2"，則CD=

（）

A.B./C.-d+2bD.2a-b

JJ，J

7.：2023?內(nèi)蒙古赤峰?赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在八8。中，。是中線AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直

線MN交邊AB于點(diǎn)、M,交邊AC于點(diǎn)N,且=AC=nAN，則，〃+〃=（）

A.-B.2C.；D.4

42

8.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量a=0=（cose,sin0）（0?ew兀），則下列命題不正確的

是（）

A.|^|=1B.若則tan6=l

C.存在唯一的6使得卜+〃卜卜D.卜+目的最大值為石

9.（多選題）（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預(yù)測）已知向量a=（L-2）,/，=（-1,?。瑒t正確的

是（）

A.若〃?=1,則卜一耳=45B.若°〃〃，則，〃=2

c.若。與人的夾角為鈍角，則D.若向量是e與。同向的單位向量，則。=卜烏,一攣

55

2IJ

10.（多選題）（2023?湖南?模擬預(yù)測）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

A.若線段AC=AB+BC,則向量AC=AB+8C

B.若向量4c=A8+8C，則線段=

C.若向量A3與BC共線，則線段AC=A8+8C

D.若向量A8與BC反向共線，則|AB—3C|=A3+4C

II.（多選題）（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）在中,記ABwAC"，點(diǎn)。在直線8。上，且⑷=3DC.

若AD=ma+nb，則~的值可能為（）

n

A.—2B.——C；D.2

12.（多選題）（2023?遼寧?新民市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）已知A,B,C是同一條直線上三個(gè)不

同的點(diǎn)，O為直線外一點(diǎn).在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4”｝中，己知4>2,且。1=出。8+仆"，則｛””｝的公比4的

值可能是（）

A.QB.I+GC.26D.2+x/3

13.（2023?寧夏石嘴山?石嘴山市第一中學(xué)?？既＃┰O(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若向量總+2〃與8。十/

的方向相反，則&=.

14.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測:，給出下列命題；

①若。,力同向，則有1+a卜忖+卜卜

②a+8與卜|+忖表示的意義相同；

③若。/不共線，則有卜+q>W+W；

④卜卜卜卜忖恒成立；

⑤對(duì)任意兩個(gè)向量a、b,總有卜+〃卜M+W：

⑥若三向量凡Ac滿足”+〃+c=0，則此三向量圍成一個(gè)三角形.

其中正確的命題是（填序號(hào)）

15.（2023?上海黃浦?上海市大同中學(xué)校考三模）在中，ZC=90,/8=30,NB4C的平分線

交BC于點(diǎn)D,若4Q=/tA8+〃AC（2,〃eR）,則'=.

16.（2023福建龍巖統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量。=。,2）,為+。=（4,2）,。=（1,孫若/）〃°,則2=.

17.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測）在AABC中，已知8。=2OCC￡=E4,BE與AD

相交于O，若8O=x8A+yBC（x,ywR）,貝iJx+），=.

18.（2023?上海浦東新?華師大二附中校考三模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整

點(diǎn)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長度都是5且落在整點(diǎn)處.則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)

Q（33,33）所跳跳次數(shù)的域小值是.

1.(2023?北京)已知向量a,〃滿足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),則|。|2-出|2=()

A.-2B.-1C.0D.I

2.(2022?全國)已知向量a=(x+2.l+x),〃=(x-21-x).若a//b,貝ij()

A.X2=2B.|X|=2C.Y=3D.|X|=3

3.(2022?乙卷)已知向量a=(2,l),〃=(-2,4),則)

A.2B.3C.4D.5

4.(2022?新高考I)在A4HC中，點(diǎn)。在邊48上，BD=2DA.記CA=m,CD=n,則C4=()

A.3m-2nB.-2/n+3nC.2>m+2nD.2m+3n

5.(2020?全國)設(shè)點(diǎn)q,P2,8在OO上，若O[+O6+。4=0,則/片6A=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.(2020?海南)在AAOC中，。是AB邊上的中點(diǎn)，則CB=()

A.2CD+C4B.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

7.(2019?新課標(biāo)II)已知向量a=(2,3),6=(3.2),則|。一力|=()

A.72B.2C.5>/2D.50

8.(2023?上海)已知向量a=(3,4),〃=。,2),貝人/一28=.

9.(2021?乙卷)已知向量a=(2,5),/?=(2,4),若aHb,則2=.

第01講平面向量的概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示

(模擬精練+真題演練)

?最新模擬精練____________________

1.(2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在中，AD=2DB，點(diǎn)P在CD上,且=+：R),

則加=()

A.—B.-C.—D.!

【答案】D

【解析】因?yàn)锳O=2O8,所以=

2

]-.13--I

所以4/>=〃LAC+-A8=〃?AC+-X^4O=〃L4C+-AO,

3322

又HC,3三點(diǎn)共線，所以m+：=1,得

22

故選：D.

2.(2023?廣東廣州?華南師大附中校考三模)已知向量a=(3,4),匕=("”)，且卜+。卜卜-耳，則忖=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】小+小卜-q,兩邊平方得(“+“=(”-q,

展開整理得.??〃?〃=().

二.a?b=3x4+4m=0,解得m=-3.

.?.忖=、42+(—3『=5

故詵：C

3.(2023?福建南平?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知正方形A5C。的邊長為1,點(diǎn)M滿足48+8C=2AM，則|皿卜

()

A.vB.1C.—D.72

22

【答案】C

【解析】

如圖，A8+3C=AC=24M，所以“是AC的中點(diǎn)，打口卜（皿二當(dāng)：

故選：C.

4.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知向量。=（2,5）,U（W,2/n+2）,且0〃人則機(jī)=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因?yàn)閍/4，所以2（2〃什2）=5加，解得，〃=4.

故選：D

5.12023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模〉已知48co是平面四邊形，設(shè)〃：AB=2DC，%ABCQ是梯形，則P是

9的條件（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】在四邊形ABCO中，

若AB=2DC,

則ABDC.\IAB=2LXJ.

即四邊形48co為梯形，充分性成立；

若當(dāng)40.8C為上底和卜.底時(shí)，

湖足四邊形48CZ）為梯形，

但A3=2DC不一定成立，即必要性不成立：

故〃是4的充分不必要條件.

故選:A

6.12023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在/BC中，記CB=a，CA=b,若AO=248,則CD=

（）

1_1,1.2,

A.-a+—bB.-a+—bC.-d+2bD.2a-b

JJ，J

【答案】D

【解析】因?yàn)樵?6C中，若AO=2AB，所以點(diǎn)8為A￡＞中點(diǎn)，所以CQ=2C8-CA=2a-〃.

故選：D

7.12023?內(nèi)蒙古赤峰?赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)在中，P是中線A。的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直

線MN交邊AB于點(diǎn)M,交邊AC于點(diǎn)N,且AB=m4M，AC=fiAN?則小+〃=()

A.-B.2C.；D.4

42

【答案】D

【解析】因?yàn)镻,M,N三點(diǎn)共線，所以AP=/IAM+〃AN,且義+〃=1,

因?yàn)椤ㄊ茿。的中點(diǎn)，所以AP=[AO=：A6+—AC,

244

因?yàn)?8="MM，AC=nAN，

所以AP="AM+CAM,則%+°=1,得〃z+〃=4.

4444

故選：D

8.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知向量。=(1,1),〃=(cosasin?)(0"K7t),則下列命題不正確的

是()

A.%=1B.若aNb，貝ljtand=l

C.存在唯一的8使得卜+q一|〃-目D.卜:〃|的最大值為石

【答案】D

【解析】由向量0=(1向),/?=(cos6?,sin^)(0<^<^,),

對(duì)于A中，由W=Jcos2j+sin2e=l,所以A正確；

對(duì)于B中，若a/m，可得sin6=cos?且COS6H0,可得tan6=l,所以B正確；

對(duì)于C中，若卜+耳=卜一4,可得卜+田=卜一同；整理得〃.〃=().

所以cos0+sin0=0,可得tan0=—l,因?yàn)?4〃4兀，可得。=芬，所以C正確：

4

對(duì)于D中，由,/+/J=a+//+%?力=2+l+2(cos8+sin0)=3+2&sin(e+；),

因?yàn)?4。工兀，所以四彳0+工匕2,可得-立wsin(0+巴］VI,

4442I4J

所以卜+〃『的最大值為3+2&，即,叫的最大值為1+應(yīng)，所以D錯(cuò)誤.

故選：D.

9.（多選題）（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預(yù)測）已知向量。=（-2）,則正確的

是（）

A.若〃?=1,貝4a-N=Ji3B.若4〃〃，則，〃=2

C.若。與〃的夾角為鈍角，則〃?〉-：D.若向量是3與〃同向的單位向量，則-攣

?155yl

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,若m=l,則〃一人=（2,-3）,所以卜=故A正確；

對(duì)于B,若“//力，則〃?-2=0,所以〃?=2,故B正確:

對(duì)于C,若a與〃的夾角為鈍角，則仆〃<0.且。與人不共線，

—1-2/?1<0]

即1C八，解得/且〃?工2,故C不正確：

/52工02

一a（布-竽故D正確.

對(duì)于D,若向量是c與a同向的單位向量，則c=「[=w

M15

故選：ABD.

10.（多選題）（2023?湖南?模擬預(yù)測）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

A.若線段AC=A6+8C,則向量AC=A6+6C

B.若向量AC=A8+8C，貝ij線段AC=A8+3C

C.若向量八B與3C共線，則線段AC=AB+8C

D.若向量AS與3C反向共線，貝”A6-6C|=A6+6C

【答案】AD

【解析】選項(xiàng)A：由AC=A3+8C得點(diǎn)4在線段AC匕貝ljAC=A6+6C，A正確：

選項(xiàng)B；三角形ABC,AC=A8+8C，但ACVAB+8C,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：A8.3c反向共線時(shí)，,。=卜〃+3。卜卜8卜,4,故4cHAB+BC,C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：八從8c反向共線時(shí)，卜8-8q=%B+（—〃C）卜AB+8C,故D正確.

故選：AD.

11.（多選題）（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）在中，記入B=a，AC=〃，點(diǎn)。在直線上，且AO=3/）C.

若ADab，貝哼的值可能為（

A.-2D.2

【答案】BC

【解析】當(dāng)。點(diǎn)在線段8C上時(shí)，如圖,

3-3/--\1-3-1-3—

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC=-a+-b,

44、74444

所以絲

〃93

4

當(dāng)。點(diǎn)在線段8c的延長線上時(shí)，如圖，

AD=AB+BD^AB+-BC^AB+-（\C-AB]=一一AB+-AC=--a+-b,

22、72222

1

?.m71

則一=、/=一￡，

II￡3

2

故選：BC.

12.（多選題）（2023?遼寧?新民市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）已知A,R,C是同一條直線上三個(gè)不

同的點(diǎn)，。為直線外一點(diǎn).在正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃”｝中，己知4>2,且0八=603+4"，則｛4”｝的公比4的

值可能是（）

A.73B.1+6C.2GD.2+V3

【答案】CD

【解析】VA,B、C是同一條直線上三個(gè)不同的點(diǎn)，且。4=%。8+%”,

.*.生+/=1.

???｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以公比少0.

出+《=~T+—=Cl41W=1,/.&=——>2,

q-qI<?'Ji+夕

V<7>0,.?.1+4>0,:.q，>2+2q,（f-2q-2>0,

解得”1-6（舍）或q>l+G.?.9€（1+6甸

對(duì)于A,6?1+6,鈣），故選項(xiàng)A不正確：

對(duì)JB,1+G0（l+6+oo）,故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于C,273€（1+73,+^）,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,2+Ge（l+G,”），故選項(xiàng)D正確.

故選：CD.

13.（2023?寧夏石嘴山?石嘴山市第一中學(xué)校考三模）設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若向量妨+2〃與

的方向相反，貝必=.

【答案】-4

【解析】由題意可知北+2〃與1+M共線，

所以存在實(shí)數(shù)丸使履+2h=2（8〃+幼）=84a+kAb,

解得卜二3或卜:一3

k=^A

因?yàn)閍，/?不共線，所以

2=Uk=4|女=-4

_1

因?yàn)橄蛄靠?2。與85+4的方向相反,ll|J-2.

故答案為：-4.

14.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）給出下列命題：

①若方力同向,則有,+4=忖+同：

②Z+0與卜|+1|表示的意義相同：

③若a,方不共線，則有卜+4>W+W：

④,卜”+忖恒成立；

⑤對(duì)任意兩個(gè)向量占匕，總有卜+陷K|?/|+w：

⑥若三向量”也。滿足〃+〃+c=0，則此三向量圍成一個(gè)三角形.

其中正確的命題是（填序號(hào)）

【答案】??

【解析】對(duì)于①，若。力同向，則與4〃同向，所以M+a|=|4+|4,故①正確：

對(duì)于②，a+方與忖+W前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意義不相同，故②不正確：

對(duì)于③，若。為不共線，則有卜+q<“+w，故③不正確：

對(duì)于④，若〃=(),則卜卜H+W，故④不正確；

對(duì)于⑤，對(duì)任意兩個(gè)向量總有卜+4W4+W，故⑤正確；

對(duì)于⑥，若三向量〃,b,c?滿足q+b+c=0，若《，瓦不中有零向量，則此三向量不能圍成一個(gè)三角形，故⑥不

正確.

故答案為：

15.(2023?上海黃浦?上海市大同中學(xué)?？既?在/BC中，ZC=90,N8=30,/3AC的平分線

交BC于點(diǎn)、。,若AO=/L48+〃AC(/1,〃GR),則楙=.

【答案】；/0.5

【解析】在中，NC=90,NB=30,貝iJNB4C=60,又4Z)平分/BAC,即有NCAD=NZMb=3。，

|一一]-一_.]一？一

因止匕8￡>=AO=2CD,即有CO=-OB,AD-AC=-(AB-AD),整理得AO=-43+-AC,

2233

12

ifUAD=AAB+pAC,且48,AC小共線，于是尤=§'〃=5，

所以J.

42

故答案為：y

16.(2023喃建龍巖統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知向量。=(1,2),為+〃=(4,2)1=(1,/1),若/,/仆則2=.

【答案】-1

【解析】由a=(l,2),為+8=(4.2)可得：。=(2,-2),

又因?yàn)?=(")，由可得：以(-2)-2/1=0,

解得：2=-1,

故答案為：T.

17.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測）在AA8C中，已知B。=2。。，CE=EA,BE與AD

相交于0,^BO=.xBA+yBC（xtyeR）,則x+），=.

4

【答案】-/0.8

mu3UE一1

【解析】因?yàn)锽O=2OC，CE=EA，所以BC=QB。，BE=Q（BA+BC）,

因?yàn)?O=xBA+yBC,所以3O=x5A+爭。

又BE與AD交丁點(diǎn)、O,所以X+孝=1,

另方面，設(shè)8。=28旦AeR）,因?yàn)锽E=g（8A+8C）,

所以80=^84+亨8。=x8A+y8C,則x=_y=（,代入X+募=1中，

可解得x=）,=[=：,則x+y=]

4

故答案為：—.

18.（2023?上海浦東新?華師大二附中校考三模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整

點(diǎn)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長度都是5且落在整點(diǎn)處.則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)

。（33,33）所跳躍次數(shù)的最小值是.

【答案】10

【解析】每次跳躍的路徑對(duì)應(yīng)的向量為

UUUULUU11111

4=（3,4）,4=（4,3）,q=（5,0）,4=（0,5）,勺=（一3,-4）也=（＜-3）,0=（-5,O）,t/2=（0,-5）,

因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取々=（3,4）4=（4,3武=（5,0）2=（。,5）,

設(shè)對(duì)應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為,其中〃h「5?N,

L1LN1U11nli

可得=+他+cq+1&=（3a+4/）+5c,4a+3/?+5d）=（33,33）

則包+3H5d=33,兩式相加可得7（a+b）+5（c+d）=66,

a+b=8(a+b=3

因?yàn)閍+〃，c+deN,則.c+d=2^\c+d=9

a+。=8

當(dāng)〈,c時(shí)，則次數(shù)為8+2=10；

c+d=2

a+h=3

當(dāng)〈,c，則次數(shù)為3+9=12：

c+d=9

綜上所述：次數(shù)最小值為10.

故答案為：10.

1.(2023?北京)已知向量a,A滿足a+b=(2,3),a-b=(-2A),則|4|2-|?！?()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】va+b=(2,3),a-b=(-2,1),

a=(0,2),h=(2,1),

二|小聞2=4-5=-1.

故選：B.

2.(2022?全國)已知向量a=(x+2」+x),b={x-2,\-x).若a"6,則()

A.x2=2B.|x|=2C..r=3D.|x|=3

【答案】八

【解析】va/lb,a=(x+2,l+x),6=(x-2,1-x).

/.(%+2)(I-x)-(l+x)(x-2)=0,

..-lx1+4=0,.-.x2=2.

故選：A.

3.(2022?乙卷)已知向量2=(2/)，5=(-2,4),則"一方|=()

A.2B.3C.4D.5