一、多元函數(shù)的微分學(xué)

二元函數(shù)的定義

.設(shè)有兩個獨立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時，第三個變量z就以某一確定的法則有唯一確定的值

與其對應(yīng)，那末變量z稱為變量x與y的二元函數(shù)。

.記作：z=f(x,y).其中x與y稱為自變量，函數(shù)z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域。

.關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題

.我們知道一元函數(shù)的定義域一般來說是一個或幾個區(qū)間.二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成的

連通的部分平面.這樣的部分在平面稱為區(qū)域,圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，邊界上的點稱為邊界點，包括邊界在內(nèi)的區(qū)

域稱為閉域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域。

.如果一個區(qū)域D(開域或閉域)中任意兩點之間的距離都不超過某一常數(shù)M,則稱D為有界區(qū)域；否則稱D為無界區(qū)域。常見

的區(qū)域有矩形域和圓形域。如下圖所示：

*?

.例題：求的定義域.

.解答：該函數(shù)的定義域為：x》,y20.

二元函數(shù)的幾何表示

.把自變量x、y及因變量z當作空間點的直角坐標，先在xOy平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(x,y)的定義域D；再過D域中得任一點

M(x,y)作垂直于xOy平面的有向線段MP,使其值為與(x,y)對應(yīng)的函數(shù)值z；

.當M點在D中變動時，對應(yīng)的P點的軌跡就是函數(shù)z=f(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面，

.其定義域D就是此曲面在xOy平面上的投影。

二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性

在一元函數(shù)中，我們曾學(xué)習(xí)過當自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限。對于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣可以學(xué)習(xí)當自變

量x與y趨向于有限值2與n時，函數(shù)z的變化狀態(tài)。

在平面xOy上，(x,y)趨向(W,n)的方式可以時多種多樣的，因此二元函數(shù)的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜得多。如果當點

(x,y)以任意方式趨向點(&,n)時,f(x,y)總是趨向于一個確定的常數(shù)A,

那末就稱A是二元函數(shù)f(x,y)當(x,力-G,n)時的極限。

這種極限通常稱為二重極限。

下面我們用￡-6語言給出二重極限的嚴格定義：

二重極限的定義

如果定義于("n)的某一去心鄰域的一個二元函數(shù)f(x,y)跟一個確定的常數(shù)A有如下關(guān)系：對于任意給定的正數(shù)￡,

無論怎樣小，相應(yīng)的必有另一個正數(shù)6,凡是滿足

的一切(x,y)都使不等式

成立，

那末常數(shù)A稱為函數(shù)f(x,y)當(x,v)f(&,n)時的二重極限。

正像--元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類似的運算法則：

二重極限的運算法則

如果當(x,y)-(&,n)時,f(x,y)-*A,g(x,y)-B.

那末C)：f(x,y)±g(x,y)-A±B；

(2)：f(x,y).g(x,y)-*A.B；

(3)：f(x,y)/g(x,y)->A/B.其中BWO

像?元函數(shù)一樣，我們可以利用二重極限來給出二元函數(shù)連續(xù)的定義：

二元函數(shù)的連續(xù)性

如果當點(x,y)趨向點(xO,yO)時，函數(shù)f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(xO,yO)處的函數(shù)值f(xO,yO),那末稱函數(shù)

f(x,y)在點：x0,yO)處連續(xù).如果f(x,y)在區(qū)域D的每一點都連續(xù)，那末稱它在區(qū)域D連續(xù)。

如果函數(shù)z=f(x,y)在(xO,yO)不滿足連續(xù)的定義,那末我們就稱(xO,yO)是f(x,y)的一個間斷點。

關(guān)丁二元函數(shù)間斷的問題

二元函數(shù)間斷點的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜，它除J'有間斷點，還有間

斷線。

二元連續(xù)函數(shù)的和，差，枳，商(分母不為零)和復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。

例題：求下面函數(shù)的間斷線

解答：x=0與y=0都是函數(shù)的間斷線。

偏導(dǎo)數(shù)

在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。對于二元函數(shù)我們同樣要研究它的"變化率”。然而，由于自變量

多了一個，情況就要復(fù)雜的多.在xOy平面內(nèi)，當變點由(xO,yO)沿不同方向變化時，函數(shù)f(x,y)的變化快慢一般說來時不同

的，因此就需要研究f(x,y)在(xO,yO)點史沿不同方向的變化率。

在這里我們只學(xué)習(xí)(X,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時f(x,y)的變化率。

偏導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y),點(xO,yO)是其定義域D內(nèi)一點.把y固定在yO而讓x在xO有增量△*,相應(yīng)地函數(shù)

z=f(x,y)有增量(稱為對x的偏增量)

△xz=f(x()+Ax)-f(xO,yO).

如果Axz與Ax之比當Axf()時的極限

存在，

那末此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(xO,yO)處對x的偏導(dǎo)數(shù)。

記作：Fx(xO,yO)或

關(guān)于對x的偏導(dǎo)數(shù)的問題

函數(shù)z=f(x,y)在(xO,yO)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，實際上就是把y固定在yO看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,yO)在xO處的導(dǎo)數(shù)

同樣，把x固定在x(),讓y有增量Ay,如果極限

存在，

那末此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(xO,yO)處對y的偏導(dǎo)數(shù).

記作f'y(xO,yO)或偏導(dǎo)數(shù)的求法

當函數(shù)z=f(x,y)在(xO,yO)的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(xO,yO)與fy(xO,yO)都存在時,

我們稱f(x,y)在(xO,yO)處可導(dǎo)。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點均可導(dǎo),

那末稱函數(shù)f(x,y)在域D可導(dǎo)。

此時，對應(yīng)丁?域D的每點(x,y),必有?個對x(對y)的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域D確定了個新的二元函數(shù)，

稱為f(x,y)對x(對y)的偏導(dǎo)函數(shù)。簡稱偏導(dǎo)數(shù)。

例題：求z=x2siny的偏導(dǎo)數(shù)

解答：把y看作常量對x求導(dǎo)數(shù)，得

把x看作常最對'y求導(dǎo)數(shù)，得

注意：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數(shù)。

例題：求的偏導(dǎo)數(shù)。

解答：我們根據(jù)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法來做。

把y和z看成常量對x求導(dǎo)，得.

把x和z看成常量對y求導(dǎo)，得.

把x和y看成常量對z求導(dǎo)，得.

高階偏導(dǎo)數(shù)

如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)f*x(x,y)與f*y(x,y)仍然可導(dǎo),

那末這兩個偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為Z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個：f"xx,f*xy,f*yx,f"yy.

注意：rxy與f〃yx的區(qū)別在于：前者是先對x求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對y求偏導(dǎo)；后者是先對y求偏導(dǎo)再對

x求偏導(dǎo).當rxy與ryx都連續(xù)時，求導(dǎo)的結(jié)果于求導(dǎo)的先后次序無關(guān)，

例題：求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).

解答：，，

全微分

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分的概念了，現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的的全增量，從而把微分的概

念推廣到多元函數(shù)。

這里我們以二元函數(shù)為例。

全微分的定義

函數(shù)z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)分別與自變量的增量△*,Ay乘積之和

fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay

若該表達式與函數(shù)的全增量之差：

當P-0時，是P()

的高階無窮小，

那末該表達式稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)處(關(guān)于△*,Ay)的全微分。

記作：dz=f'x(x,y)Ax+f*y(x,y)Ay

注意:其中△z=f'x(x,y)Z\x+f'y(x,y)4y+ap,(a是當p—0時的無窮小)

注意：在找函數(shù)相應(yīng)的全增量時.，為了使與偏導(dǎo)數(shù)發(fā)生關(guān)系，我們把由(x0,y0)變到(x0+Z\x,y0+Z\y)的過程分為兩

部：先由點：x0,y0)變到點(x0,yO+Ay),再變到點(xO+/\x,yO+/\y).其過程如下圖所示：

例題：求的全微分

解答：由于，

所以

關(guān)于全微分的問題

如果偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),f，y(x,y)連續(xù):那末z=f(x,y)一定可微。

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式在求導(dǎo)法中所起的重要作用，對于多元函數(shù)來說也是如此。下面我

們來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式。我們先以二元函數(shù)為例：

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

鏈導(dǎo)公式：

設(shè)均在(x,y)處可導(dǎo)，函數(shù)z=F(u,v)在對應(yīng)的(u,v)處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，

那末,復(fù)合函數(shù)在(x,y)處可導(dǎo),且有鏈導(dǎo)公式：

例題：求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

解答：令

由于

而

由鏈導(dǎo)公式可得：

其中

上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。

一個多元復(fù)合函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)的個數(shù)取決于此復(fù)合函數(shù)自變量的個數(shù)。在一階偏導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式中，項數(shù)的多少取

決干與此自變量有美的中間變量的個數(shù).

全導(dǎo)數(shù)

由二元函數(shù)z=f(u,v)和兩個一元函數(shù)復(fù)合起來的函數(shù)是x的一元函數(shù).

這時復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為全導(dǎo)數(shù).

此時的鏈導(dǎo)公式為：

例題：設(shè)z-u2v,u-cosx,v-sinx,求

解答：由全導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式得:

將u=cosx,v=sinx代入上式，得：

關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的問題

全導(dǎo)數(shù)實際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是求導(dǎo)的過程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來完成而已。

多元函數(shù)的極值

在一元函數(shù)中我們看到，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以求得函數(shù)的極

值，從而可以解決一些最大、最小值的應(yīng)用問題。多元函數(shù)也有類

似的問題，這里我們只學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極值問題。

二元函數(shù)極值的定義

如果在(xO,yO)的某一去心鄰域內(nèi)的一切點(x,y)恒有等式：

f(x,y)

Wf(xO,yO)

成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點GO,yO)處取得極大值

f(xO,yO)；如果恒有等式：

f(x,y)

2f(xO,yO)

f(xo,yo)

成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(x(),yO)處取得極小值

f(xO,yO).

極大值與極小值統(tǒng)稱極值.使函數(shù)取得極值的點(xO,yO)稱為

極值點.

二元可導(dǎo)函數(shù)在(xO,yO)取得極值的條件是：.

注意：此條件只是取得極值的必要條件。

凡是使的點(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)的駐點.可導(dǎo)函數(shù)的極值

點必為駐點，但駐點卻不一定是極值點。

二元函數(shù)極值判定的方法

設(shè)2=￡6,力在(、。,yO)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).

如果，那末函數(shù)f(x,y)在(俞河頻得極值的條件如下表所示：

A<0時取極大值

△<0

A>0時取極小值

△>0非極值

△二0不定

其中

例題：求的極值。

解答:設(shè)，則

解方程組，得駐點(i,D,90).

對于駐點(1,1)有，故

B2-AC=(-3)2-6.6=-27<0,A=6>0

因此，在點(1,1)取得極小值

對于駐點@0)有，故

B2-AC=(-3)2-0.0=9>0

因此，在點(0,0)不取得極值.

多元函數(shù)的最大、最小值問題

我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值、極小值的步驟，對于多元函數(shù)的極大值、極小值的求解也可采月同樣的步驟。下面我

們給出實際問題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。如下：

a)：根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定其定義域；

b)：求出駐點;

c)：結(jié)合實際意義判定最大、最小值.

例題：在平面3x+4y-z=26上求一點，使它與坐標原點的距離最短。

解答：a；：先建立函數(shù)關(guān)系，確定定義域

求解與原點的距離最短的問題等價于求解與原點距離的平方

最小的問題.但是P點位于所給的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我們所需的函數(shù)關(guān)系：

,-8VxV+8,-00<y<+00

b)：求駐點

解得唯一駐點x=3,y=4.由于點P在所給平面上,故可知

z=-l

c)：結(jié)合實際意義判定最大、最小值

由問題的實際意義可知，原點與平面距離的最小值是客觀存在的，且這個最小值就是極小值.而

函數(shù)

僅有唯一的駐點.所以，平面上與原點距離最短的點為P(3,4,-l).

從上例我們可以看出，上面函數(shù)關(guān)系也可看成是：求三元函數(shù)

在約束條件

3x+4y-z=26

下的最小值.一個多元函數(shù)在一個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值。

二、多元函數(shù)的積分學(xué)

二重積分的定義

設(shè)z=f(x,y)為有界閉區(qū)域(。)上的有界函數(shù)：

⑴把區(qū)域(。)任意劃分成n個子域(△ok)(k=l,2,3,…,n),其面積記作△。k(k=l,2,3,…,n)；

(2)在每一個子域(△ok)上任取一點，作乘積；

(3)把所有這些乘積相加，即作出和數(shù)

⑷記子域的最大直徑d.如果不論子域怎樣劃分以及怎樣選取,上述和數(shù)當n-+8且d-0時的極限存在，那末稱

此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域(。)上的二重積分.記作：

即：=

其中x與y稱為積分變量，函數(shù)f(x,y)稱為被積函數(shù)，f(x,y)do稱為被積表達式，(。)稱為積分區(qū)域.

關(guān)于二重積分的問題

對于二重積分的定義,我們并沒有f(x,y)20的限.容易看出，當f(x,y)20時，二重積分在幾何上就是以z=f(x,y)為曲

頂，以(。)為底且母線平行于z軸的曲頂柱體的體積。

上述就是二重積分的幾何意義。

如果被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域(。)上連續(xù)，那末二重積分必定存在。

二重積分的性質(zhì)

(1).被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號外面去.

(2).有限個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和.

⑶.如果把積分區(qū)域(。)分成兩個子域(。1)與(。2),即(。)=(。1)+(。2),那末:

(4).如果在(。)上有f(X,y)<g(x,y),那末:

（5）.設(shè)f（x,y）在閉域（。）上連續(xù),則在（。）上至少存在一點（&,n）,使

其中。是區(qū)域（。）的面積.

二重積分的計算法

直角坐標系中的計算方法

這里我們采取的方法是累次積分法。也就是先把x看成常量，對y進行積分，然后在對x進行積分，或者是先把y看

成常量，對x進行積分，然后在對y進行積分。為此我們有積分公式，如下：

或

在這里我們可能會有這個問題：累次積分的上下限是怎么確定的呢？

累次積分上下限的確定方法

我們先來對區(qū)域作些補充說明:如果經(jīng)過區(qū)域（。）內(nèi)任意一點（即不是區(qū)域邊界上的點）作平行于y軸（或x軸）的直線,

且此直線交（。）的邊界不超過兩點，那末稱（。）為沿y軸（x軸）方向的正規(guī)區(qū)域.如果（。）即是沿y軸方向也是沿x軸方向

的正規(guī)區(qū)域，那末（。）就稱為正規(guī)區(qū)域.下圖所示的即為正規(guī)區(qū)域：

關(guān)于累次積分上下限的取法如下所述：

（1）.如果（。）為沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域，那末二重積分可化為先對y再對x的累次積分.其中對y的積分下限是（。）

的下部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)yl（x）,積分上限是上部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)y2（x）.對x的積分下限與上限分別是（。）的

最左與最右點的橫坐標a與b.

（2）.如果（。）為沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末二重積分可化為先對x再對y的累次積分.其中對x的積分下限是（。）的左

部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)xl（y）,積分上限是右部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)x2（y）.對y的積分下限與上限分別是（。）的最低

與最高點的橫坐標c與d.

（3）.如果（。）為正規(guī)區(qū)域，那末累次積分可以交換積分次序。

（4）.如果（。）既不是沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域,也不是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末總可以把它化分成幾塊沿y軸方向的

正規(guī)區(qū)域或沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,然后根據(jù)積分的性質(zhì)即可求解積分.

例題：求二重積分，其中（。）是由所圍成的區(qū)域。

解答，因為是正規(guī)區(qū)域，所以我們可先對y后對x積分，也可先對x后對y積分.這里我們采用前者

先對y后對x積分：

極坐標系中的計算法

如果二重積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域（。）的邊界方程均由極坐標的形式給出，那末我們?nèi)绾斡嬎隳叵旅嫖覀兘o出極坐

標系中二重積分的計算公式.

如果極點。在（。）的外部,區(qū)域（。）用不等式表示為R1（0）WPWR2（8）,a&。WB,則積分公式如下：

如果極點0在（。）的內(nèi)部，區(qū)域（。）的邊界方程為P=R（0）,0^e^2n,則積分公式如下：

如果極點。在（。）的邊界上,邊界方程為P=R（e）,01^0^62,則積分公式如下：

有了上面這些公式，一些在直角坐標系中不易積出而在極坐標系中易積出的函數(shù)，我們就可以把它轉(zhuǎn)化為在極坐標系

中的積分即可，反之依然。

注：直角坐標與極坐標的轉(zhuǎn)換公式為：

例題：求，其中（。）是圓環(huán)a2Wx2+y2Wb2

解答：由于積分域由同心圓圍成以及被積函數(shù)的形式，顯然，這個二重積分化為極坐標計算比較方便。

把，do=pdpd。代入，即可轉(zhuǎn)化為極坐標系的積分形式。如下:

在對其進行累次積分計算:

三重積分及其計算法

二重積分的被積函數(shù)是一個二元函數(shù)，它的積分域是一平面區(qū)域.如果考慮三元函數(shù)f(x,y,z)在一空間區(qū)域(V)上的

積分，就可得到三重積分的概念。

三重積分的概念

設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域(V)任意劃分成n個子域(△,「)，(△V2),(△VS),…，(△Vn),它們的體積分別記作

△Vk(k=l,2,…,n).在每一個子域上任取一點，并作和數(shù)

如果不論怎樣劃分，點怎樣選取，當nf+8而且最大的子域直徑5—0時，這個和數(shù)的極限都存在，那末此極限就

稱為函數(shù)在域(V)上的三重枳分,記作：

即:

如果f(x,y,z)在域(V)上連續(xù)，那末此三重枳分一定存在。

對于三重積分沒有直觀的幾何意義，但它卻有著各種不同的物理意義。

直角坐標系中三重積分的計算方法

這里我們直接給出三重積分的計算公式，具體它是怎樣得來的，請大家參照有關(guān)書籍。

直角義標系中三重積分的計算公式為：

此公式是把一個三重積分轉(zhuǎn)化為一個定積分與一個二重積分的問題，根據(jù)我們前面所學(xué)的結(jié)論即可求出。

例題：求，其中(V)是由平面x=O,y=O,z=O及x+y+z=l所圍成的區(qū)域.

解答：把I化為先對z積分，再對y和x積分的累次積分，那末應(yīng)把(V)投影到xOy平面上，求出投影域(。)，它就是

平面x+y+z=l與xOy平面的交線和x軸、y軸所圍成的三角區(qū)域.

我們?yōu)榱舜_定出對z積分限,在(。)固定點(x,y),通過此點作一條平行于7.的直線,它與(V)上下邊界的交

點的豎坐標：與z=l-x-y,這就是對/積分的下限弓上限，于是由積分公式得：

其中(。)為平面區(qū)域：x20,y20,x+yWl,如下圖紅色陰影部分所示：

再把(。)域上的二重積分化成先對y后對x的累次積分，得：

柱面坐標系中三重積分的計算法

我們先來學(xué)習(xí)下空間中的點用極坐標的表示方法。

平面上點P可以用極坐標(P,。)來確定，因此空間中的點P可用數(shù)組(P,9,z)來表示.顯然，空間的點P與數(shù)組(P,

0,z)之間的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)關(guān)系,數(shù)組(P,0,z)稱為空間點P的柱面坐標.它與直角坐標的關(guān)系為：

構(gòu)成柱面坐標系的三族坐標面分別為：

P=常數(shù)：以z軸為對稱軸的同軸圓柱面族，

。二常數(shù)：通過z釉的半平面族，

z二常數(shù)：與z軸垂直的平面族.

因此，每三個這樣的坐標面確定著空間的唯一的一點，由于利用了圓柱面，所以稱為柱面坐標。

柱面竺標系下三重枳分的計算公式為：

三曲線積分與曲面積分

§3.1對弧長的曲線積分

一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量

設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xQy面內(nèi)的一段曲線弧L上已知曲線形構(gòu)件在點區(qū)），）處的線

密度為（x,y）.求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.

把曲線分成〃小段Ah,加2,???7"（2也表示弧長）;

任取?,?。甑?得第i小段質(zhì)量的近似值（第〃次W；

整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M主嗚/4;

/=1

令&max{a1,A*2,??L}->0,則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為

M=lim￡〃（芻,%）入立.

這種和的極限在研究其它問題時也會遇到.

定.設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧函數(shù)f（xy）在L上有界在L上任意插入一點

列MlM2（（（Mn（l把L分在n個小段.設(shè)第i個小段的長度為（si又（ii）為第

i個小段上任意取定的一點作乘積f（ii）（si（i1.2（（.）并作和如果當

各小弧段的長度的最大值（0這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f（xy）在曲線弧L

上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作即

其中凡ay）叫做被積函數(shù)/叫做積分弧段.

設(shè)函數(shù)_/U,y）定義在可求長度的曲線L上，并且有界.

將L任意分成n個弧段:As?,…,As”,并用A的表示第i段的弧長；

在每一-弧段畫上任取一點（女初作和

*=|

令Qmax{As?…A”},如果當：。時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)凡r在曲

線弧L上對弧長的

曲線積分或第一類曲線積分，記作，即

JJ。,y）d$=史唐/（。,7）色.

其中7U，）叫做被積函數(shù),L叫做積分弧段.

曲線積分的存在性:當人■）在光滑曲線弧L上連續(xù)時，對弧長的曲線積分（7（x,y）ds是存在

的.以后我們總假定Kay）在L上是連續(xù)的.

根據(jù)對弧長的曲線積分的定義，曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值，其中

(x,y)為線密度.

對弧長的曲線積分的推廣JjG,y,zWs=lim￡/&;7，)&呼.

|=1

如果L(或)是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在L(或)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各

段上的曲線積分的和例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧b及心則規(guī)定

\L+L/(x,y)ds=Lf(x，y)“s+L/(X,)油.

閉曲線枳分:如果L是閉曲線,則函數(shù)人白，)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作

對弧長的曲線積分的性質(zhì)：

性質(zhì)1設(shè)cl.c2為常數(shù)則

￡[q/(x,y)+C2g(x,y)W5-q￡/(A；yWs+cJg(x,y)ds;

性質(zhì)2若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧匕和心則

L/(x,y)ds=J/(My)ds+J/(x,y)ds

性質(zhì)3設(shè)在乙上/y)<g(xy)則

Jj(x,),)ds?ig(x,),)ds

特別地有

l￡/Uy)ds[1|f(x,y)\ds

二、對弧長的曲線積分的計算法

根據(jù)對弧長的曲線積分的定義如果曲線形構(gòu)件L的線密度為?Q，)則曲線形構(gòu)件

L的質(zhì)量為

[Lf\x,y)ds.

另一方面,若曲線L的參數(shù)方程為

x=奴⑺(a<t<p),

則質(zhì)量元素為

f(x,y)ds=f[兇),〃⑺H0’2Q)+”2⑺山，

曲線的質(zhì)最為

即￡/(樂)')ds=，力*I叭律⑴+▼'2sdi.

定理設(shè)yu歷在曲線弧L上有定義且連續(xù)』的參數(shù)方程為

4奴。，"歡。(必匹0,

其中必)、兇)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且02⑺+“2(AM,則曲線積分存在且

\Lf(x,y)ds=^fg)9⑴13S+/2sdi(a<p).

證明(略)

應(yīng)注意的問題:定積分的下限a?定要小于上限及

討論：

(1)若曲線L的方程為.尸始)3。助)，則￡/(x,y)ds=

提示】的參數(shù)方程為x=x,y=i/Kx)(a<x<b\

Jzf(x,y)ds=(：/[U必戲Jl+w'2(x)dx.

(2)若曲線L的方程為后斜)，)(區(qū),&/),則f(x,y)ds=

提示1的參數(shù)方程為.=約),廣){區(qū))&0,

//(x,y)ds=ff\(p(y\外/(),)+1力.

(3)若曲「的方程為x=(p{t},y=y4/),z=<y(/)(a<t<fi),

則1/(x，y，zWs=

提示:「〉'*)為=「力奴/),wQ),口⑺]J"?⑺+“2⑺+42⑺力

例1計算(4A,其中L是拋物線"f上點。(0,0)與點4(1,1)之間的一段弧.

解曲線的方程為廣爐(OD因此

￡后ds=(而1J+(N)'2dx=^xyl\+4x2dx=-j^(5x/5-l).

例2計算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量/(設(shè)線密度為=1)

解取坐標系如圖所示，則/=Jj2ds.

曲線L的參數(shù)方程為

x=Rcos”y=/?sin，(-必欣a).

于是/=￡y2ds=JR2sin2Oyl(-RsinO)2+(Rcos0)2dO

=R3jsin2OdO=R3(a-sinacosa).

例3計算曲線積分L(x2-y2+z2)ds,其中「為螺旋線KRCOS/、}jsinf、2=燈上相應(yīng)于：從0

到達2遍一段弧.

解在曲線r上有A2+r+?=(?cost)2+(asin於出產(chǎn)小女斗,并且

ds=J(-asinf)2+(acosrj2+z2力-dM+k2dt,

于是j^(x2+y2+z2)ds=0(〃2+k2t-)>!a2+k2dt

=^7ry]a2-^-k2(3a2+4^2Z:2).

小結(jié):用曲線積分解決問題的步驟：

(1)建立曲線積分；

(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標方程)，確定參數(shù)的變化范圍；

(3)將曲線積分化為定積分；

(4)計算定積分.

§3.2對坐標的曲線積分

一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)

變力沿曲線所作的功：

設(shè)一個質(zhì)點在宜方面內(nèi)在變力尸。》)=尸(蒼)，*+。(X,1/的作用下從點4沿光滑曲線弧上移動到

點區(qū)試求變力戶(x,y)所作的功.

用曲線L上的點A=4),4A,-AcA尸B把L分成〃個小弧段，

設(shè)4=(必必),有向線段4t&+i的長度為它與x軸的夾角為〃，則

=cos

AA+i{^-^inTk(A=0,1,2,1).

顯然，變力尸(Xy)沿有向小弧段A；4+i所作的功可以近似為

斤(％，M)4Ki=[P(2?)CQsn+a3?)sinrg?;

于是，變力尸(x,y)所作的功

n-1-n-1

W=Z尸氏，”>AkiH￡[P?,%)cosq+Qg,)%)sinqja”，

￡=14=1

從而

W=JjRx,y)cosr+Q(x,y)sinr]ds.

這里uzUj),{cosz,sin"是曲線L在點(xj)處的與曲線方向一致的單位切向量.

把L分成〃個小弧段“心,…,U

變力在心上所作的功近似為：

尸(備,?)?△$尸尸(。，喻Axi+Q(4,，■)△)%

變力在L上所作的功近似為：

力尸(4,%)回+7)△闈；

/=1

變力在L上所作的功的精確值:

卬=9+C（耳,

u/=i

其中是各小弧段長度的最大值.

提示：

用As產(chǎn)｛表示從乙的起點到其終點的的向量用0表示&酎的模.

對坐標的曲線積分的定義：

定義設(shè)函數(shù)人外，）在有向光滑曲線L上有界.把L分成n個有向小弧段人上,…，L小小弧

段乙的起點為（M-i,）ki）,終點為（M,y）,;（備,〃）為乙上任意一點,尤為各小弧段

長度的最大值.

如果極限iim?總存在，則稱此極限為函數(shù)

4%），）在有向曲線L上對義標X的曲線積分，記作￡/（x,y）公，即

￡了（用），心=理￡/（務(wù)％）小，，

如果極限limZ/?，％）AX?總存在，則稱此極限為函數(shù)

/=1

加力）在有向曲線L上對絲標x的曲線積分，記作（/（xy）dy,即

[Lf^y)dy=X\m

f°i=I

設(shè)L為面上一條光滑有向曲線，｛cosr.sinH是與曲線方向一致的單位切向量，函數(shù)Pir,y）、

Qa,y）在L上有定義.如果下列二式右端的積分存在，我們就定義

￡P(guān)(x,y)dx=^P(x,y)cosrds,

￡Qx,y)dy=L驅(qū)>')，皿rds，

前者稱為函數(shù)片xj）在有向曲線LI：對坐標x的曲線積分，后者稱為函數(shù)Q（x,y）在有向曲線L

上對坐標y的曲線積分,對坐標的曲線積分也叫第二類曲線積分.

定義的推廣：

設(shè)「為空間內(nèi)一條光滑有向曲線，｛cosa,cos夕,cosy｝是曲線在點（x,y,z）處的與曲線方向一致的

單位切向量，函數(shù)P（xj,z）、Q（gz）、&xj,z）在r上有定義.我們定義（假如各式右端的枳分存在）

JrP(x,)，,z)dY=LP(x,y,z)cosacls,

工Qx,y,z)dy=J]Qx,y,z)cosa/s,

1.R(x、y\z)dz=R(x.y,z)cos泌.

⑶公=[吧￡/(第%4)氏￥,

"Z=1

Jja,y，zW產(chǎn)吧￡/6，/，4)△%，

1i=\

L/(xy，z)dz=!%￡/(QzKg..

i=l

對坐標的曲線積分的簡寫形式：

LP(x,y)公+[Qx,y)d)=LP(x,y)心十Q(x,y)dy;

J「P(x,y,z)c/x+J「0(x,y,z)dy+^R(x,y,z)dz

=j0(工,y,z)dx+2(A;y,z)dy+R(x,y,z)dz.

對坐標的曲線積分的性質(zhì)：

(1)如果把L分成Li和E則

￡P(guān)dx+Qdy=￡P(guān)dx+Qdy+￡P(guān)dx+Qdy.

(2)設(shè)L是有向曲線弧，-乙是與L方向相反的有向曲線弧，則

￡/(.v,y)dx+y)d=-￡P(guān)(X,y)心+QU,y)dy.

兩類曲線積分之間的關(guān)系：

設(shè)(cos以sin看}為與As,同向的單位向量，我們注意到(Ax。△?}=△§〃所以

A?v/=cosz?A$j，Ay產(chǎn)sin??△.%,

￡/UyXv=lim史f&,小心i

Uj=[

n

=liniZ/(4,7)COS￡A5；=[/(x,y)cosrds,

JJ?y)力弓吧必)A%

u/=1

=!叫￡/?，7)sin2?=L/(x,y)sinids.

4T。i=\

即jPiA+(>Jy=￡[PcosT+()sinr]ds,

^^Adr=^Atds.

其中A={?,()},/={COST,sinr}為有向曲線弧L上點(x,y)處邑位切向量,分=心={必必］

類似地有

J「Pdx+Qdy+Rdz=JjPcosa+Qcos/?+7?cos/Jds,

或ds.

其中4={P,2,/?},T={cosa,cos以cos/)為有向曲線弧「上點(x,y,z)處單們切向量

、dr=Tds={dx,dy,dz}4為向量人在向量，上的投影.

二、對坐標的曲線積分的計算：

定理:設(shè)P(x9y).Q(.qy)是定義在光滑有向曲線

L:x=(p(t),y=i/>(t),

上的連續(xù)函數(shù)，當參數(shù)t單調(diào)地由a變到例寸，點M(x,y)從L的起點A沿L運動到終點￡則

力?(兒)，),〃=［片例/)9(/)］“(/)"/,

力。(工,)”?=「。9(/),以川/。)力.

討論？

提示:［P(x,y)dx+Q(x,)"=「{凡8(。,必。］而)+。［9(/),夕(川”'(。}力.

定理：若P(x,_y)是定義在光滑有向曲線

L:4叭電尸叭以心性仇

上的連續(xù)函數(shù)1的方向與/的增加方向一致，則

力P(x,)，)公=CP［磯以川“⑺山.

簡要證明：不妨設(shè)心”對應(yīng)于/點與曲線L的方向一致的切向量為{。⑺,“(/)},

所以cos/=/一⑺,

切2?)+“2(/)

從而￡P(guān)(x,y)dx=^P(x,y)cosrcls

="*),*)]/y)、j“%)+”2+)力

以加2c?Q)

應(yīng)注意的問題：

下限a對應(yīng)于L的起點，上限網(wǎng)應(yīng)于L的終點,a不一定小于力

討論：

若空間曲線「由參數(shù)方程

x=(pt),y=y/(t),z=co(t)

給出，則曲線積分

「P(x,y,z)公+Qx,y,z)力+R(x,y,z)dz=?

如何計算

提示:「P(x,y,z)dx+z)dy+H(x,y,z)dz

=口/*),女),初川”(。+。*),/),0，)〃(，)+用的),/),碗)以(，)｝力,

其中a對應(yīng)于「的起點/對應(yīng)于「的終點.

例題：

例1.計算L?yydx,其中L為拋物線)?=%上從點41,-1)到點8(1,1)的一段弧.

解法一:以X為參數(shù)Z分為4。和0B兩部分：

AO的方程為y=-Vxn從1變至U0;OB的方程為y=4x從0變至ij1.

因此￡xydx=^^xydx+^^xydx

=j^°x[-y[x)dx+￡xjxdx=2^x^dx=^.

第二種方法:以y為積分變量Z的方程為足雙)，從-1變到1.因此

[x必=￡y2y(y2Sdy=2二.

例2.計算工、2公

(DL為按逆時針方向繞行的上半圓周/+./=標；

(2)從點A(a,0)沿x軸到點8(-a,0)的直線段.

解(1%的參數(shù)方程為

x=acosa"。sin。

。從0變到加

因此力(一。sin=?3(1-cos20)dcos0=--a3.

(2)L的方程為產(chǎn)OK從。變到-4

因此Jj2dx=J0d工=0.

例3計算力2pdx+x4/),.⑴拋物線y=/上從a。,。倒B(1,1)的一段弧;(2)拋物線4y2上從

0(0,0)到8(1,1)的一段弧;⑶從0(0,0)到41,0),再到R(l,1)的有向折線OAB.

解⑴八="從0變到1.所以

(2x*Zr+x2dy=￡(2.rx2+x2?2.r)J.r=4^.x3J.r=l.

(23%從0變到1.所以

^2xydx+x2dy=^(2y2-y2y+y4)dy=5()/dy=l.

(3)OAy=0/從0變到1j從0變到1.

^^Ixydx+^dy=j^2xydx+x2dy+^^lxydx+x2dy

=￡(2%?()+/.o)dx+￡(2y?0+\)dy=0+1=1.

例4.計算「13公+3與2個一工2”〃,其中「是從點A(3,2,1)到點8(0,0,0)的直線段AB.

解：直線4B的參數(shù)方程為

,)=21/=r,

f從1變到。所以

所以/=J：［(3f)3.3+3Q)2.2—⑶)22m=87(戶力=一手

例5.設(shè)一個質(zhì)點在M(K.V)處受到力F的作用，尸的大小與M到原點O的距離成正比，尸的方向

恒指向原點.此質(zhì)點由點&見0)沿橢圓與+2=1按逆時針方向移動到點8(0力)，求力/所作

出b-

的功W.

例5.一個質(zhì)點在力尸的作用下從點A(d())沿橢圓W+￡=l按逆時針方向移動到點B(C3)，尸

cr

的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比，方向恒指向原點.求力/所作的功W.

解:橢圓的參數(shù)方程為XTCOS/,)，_加irwj從0變到段.

r=0M=xi+yj9F=k-\r\{—^)=-k(xi+yj),

\r\

其中Q0是比例常數(shù).

于是W=[.-kxdx-kydy=-k^xdx-\-ydy.

7T

=j2(一。2Costsin/+b2sintcos。力

=k(a2-b2)廬sin/costdt=4(a2-b2).

三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

由定義，得

(Pdx+Qdy=^(Pcosr+ijsinr)ds

=￡{P,0}{COST,sinT}ds=^Fdr,

其中F={P,Q},T={COSQsin"為有向曲線弧L上點(xj)處單位切向量,小八/日火為，}.

類似地有

1rPdx+Qdy+Rdz=「（尸cow+Qcos/？+Rcos?）ds

=，{只Q,RHcoscr,cosp,cosy}ds=伊dr.

其中f'NRQ,RLT'Wcosacos及cos/）為有向曲線弧「上點（x,），,z）處單們切句量

,dr=Tds={dx,dy,dz}.

§3.3格林公式及其應(yīng)用

一、格林公式

單連通與復(fù)連通區(qū)域：

設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬『。，則稱D為平面單連通區(qū)域、否則

稱為復(fù)連通區(qū)域.

對平面區(qū)域D的邊界曲線L我們規(guī)定L的正向如F當觀察者沿L的這個方向行走時

D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊

區(qū)域。的邊界曲線L的方向：

定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x?及Q(xj)在。上具有?階連續(xù)偏導(dǎo)

數(shù)，則有

g筌副xdy^Pdx+Qdy,

其中L是。的取正向的邊界曲線.

簡要證明：

僅就D即是x一型的又是丫一型的區(qū)域情形進行證明.

設(shè)D={g，)leG將Ws(x)M仝4}.因為W連續(xù),所以由二重積分的計算法有

“普海y=仆j{Pfx,02⑼一不必⑼團.

另一方面，由對坐標的曲線積分的性質(zhì)及計算法有

[Pdx+^Pdx=^F\x^(p[(x)\lx+^

=￡{P[x,^(x)]-P[x,^2(x)]]dx.

因此

設(shè)D=（（x,y）l6（y）〈Ws（y）,W）M/}.類似地可證

由于D即是X-型的又是丫一型的，所以以上兩式同時成立,兩式合并即得

g督即將="+。私

應(yīng)注意的問題：

對復(fù)連通區(qū)域。，格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域。的全部邊界的曲線積分,且邊界的方向?qū)^(qū)域

。來說都是正向.

設(shè)區(qū)域。的邊界曲線為L取P=-y,Q=x,則由格林公式得

2,dxdy-^xdy-ydxy或A=Jjdxdy=-^xdy-ydx.

DD

例1.橢圓x=acosO,y=bsin慚圍成圖形的面積A.

分析:只要普嚼=1，就有JJ伊膏儂可癡M

,DJD

解：設(shè)。是由橢圓kacos”.尸加in斷圍成的區(qū)域.

令73,則普-新叫，

于是由格林公式，

A=^dxdy=^~ydx+^xdy=義卜）也+xdy

D''

=T0in26+abcos20)d0=^ab^dO=mib.

例2設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線，證明

[2xydx+x2dy=0.

證:令P=2D，,Q=.F,則挈一空=2x-2x=0.

exdy

因此由格林公式有(為什么二重積分前有””號？)

例3.計算，歹產(chǎn)以dy,其中。是以0(0,0),A(l,1),8(0,1)為頂點的三角形閉區(qū)域.

D

分析要使羋一"二歹)'2,只需P=0,Q=xe-y\

oxdy

解:令P=0,Q”，貝喘春….因此由格林公式有

dy-^xe^x'(1-e^').

jje-y7dxdy=^xe-y\ly-jxe-y2

DOA+AB+BOOA

例4計算f絲W二其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線』的方向

JLx2+y2

為逆時針方向.

解：令「二三二，Q=zfrz.則當T+./M時，有孚=,Iz一：>=嗜?

片+廿x+yox(x+y-ydy

記L所圍成的閉區(qū)域為D當(0,0)gD時，由格林公式得￡斗不罟二0；

當(0,0)eD時，在。內(nèi)取一圓周/:.F+y2=r2(,.>0)由L及I圍成了一個復(fù)連通區(qū)域Dl,應(yīng)用格

林公式得

xdy-ydxcxdy-ych

=0,

Lx2+/】ix2+y2

其中/的方向取逆時針方向.

X。一ydxjxdy-ydx「2"r2cos2^+r2sin2^

于是力=JodO=2

x1+y2J，x2+y2

解記L所圍成的閉區(qū)域為D

當(0,0)史。時,由格林公式得

I*押號副即。

當(0,0)eD時，在。內(nèi)取一圓周/:/+爐=3(/>0).由