第一章引入工程問題第二章分析工程問題的基本思路第三章論證工程問題的解法第四章總結(jié)與拓展第五章工程問題的實(shí)際應(yīng)用第六章工程問題的綜合應(yīng)用與挑戰(zhàn)01第一章引入工程問題工程問題的引入工程問題是一類常見的應(yīng)用題，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。例如，修建道路、建造橋梁、生產(chǎn)產(chǎn)品等都需要考慮時(shí)間、效率和資源等因素。通過建立數(shù)學(xué)模型，我們可以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可解的一元一次方程，從而求解出所需的時(shí)間或資源。本章將介紹工程問題的基本概念和解法，通過具體案例幫助學(xué)生理解并掌握相關(guān)知識(shí)。工程問題的基本概念定義工程問題是一類涉及多個(gè)參與者在不同時(shí)間內(nèi)完成同一工作量的應(yīng)用題。特點(diǎn)通常涉及工作量、工作效率、工作時(shí)間等概念，需要通過建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。應(yīng)用場(chǎng)景工程問題在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如建筑、生產(chǎn)、運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域。解決方法通過建立一元一次方程，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解。重要性掌握工程問題的解決方法，可以提高解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解工程問題的基本概念，掌握一元一次方程的解法，并能夠應(yīng)用于解決實(shí)際問題。工程問題的引入案例案例1：工人合作鋪設(shè)地磚工人A單獨(dú)鋪設(shè)需要6天完成，工人B單獨(dú)鋪設(shè)需要8天完成。如果兩人合作，需要多少天才能完成鋪設(shè)工作？案例2：工廠生產(chǎn)計(jì)劃某工廠生產(chǎn)一批零件，機(jī)器甲單獨(dú)生產(chǎn)需要12小時(shí)，機(jī)器乙單獨(dú)生產(chǎn)需要15小時(shí)。如果兩臺(tái)機(jī)器同時(shí)工作，需要多少小時(shí)完成生產(chǎn)？案例3：農(nóng)田灌溉一個(gè)水池有800立方米水，水管A每小時(shí)排水200立方米，水管B每小時(shí)排水300立方米。兩管同時(shí)開，需要多少小時(shí)排空？工程問題的基本解法步驟1：設(shè)定未知數(shù)設(shè)合作需要x天完成工程。設(shè)每個(gè)人的效率為每天完成總量的幾分之幾。例如，工人C每天完成1/10的工程。步驟2：列出方程根據(jù)工作效率之和等于1的原則，列出方程。例如，工人A和B合作，方程為1/10x+1/15x=1。方程需要包含所有參與者的效率和時(shí)間。步驟3：解方程通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，解出方程。例如，1/10x+1/15x=1→3/30x+2/30x=1→5/30x=1→x=6天。解出的時(shí)間要合理，如不能為小數(shù)天數(shù)（除非題目允許）。步驟4：驗(yàn)證結(jié)果將解出的時(shí)間代入原方程，檢查左右是否相等。例如，驗(yàn)證1/10x+1/15x=1，代入x=6，得3/60+2/60=1，驗(yàn)證正確。通過驗(yàn)證，確保結(jié)果的正確性。02第二章分析工程問題的基本思路工程問題的通用模型工程問題的通用模型是‘效率之和等于1’，通過設(shè)定合作時(shí)間x，列出方程求解。通用模型可以表示為：1/a+1/b+1/c+...=1/x，其中a、b、c等為單獨(dú)完成工程所需的時(shí)間。通過這個(gè)模型，我們可以解決各種工程問題，如多人合作完成工程、部分時(shí)間合作部分時(shí)間單獨(dú)完成等。本章將詳細(xì)介紹如何應(yīng)用這個(gè)模型解決實(shí)際問題。工程問題的通用模型定義工程問題的通用模型是‘效率之和等于1’，通過設(shè)定合作時(shí)間x，列出方程求解。公式推導(dǎo)若A效率為1/a，B效率為1/b，合作完成時(shí)間為x，則1/a+1/b=1/x。應(yīng)用場(chǎng)景可以推廣到多人合作，如1/a+1/b+1/c=1/x。解決方法通過設(shè)定未知數(shù)和列方程，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解。重要性掌握通用模型，可以提高解決工程問題的效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解工程問題的通用模型，掌握如何應(yīng)用通用模型解決實(shí)際問題。工程問題的通用模型案例案例1：工人合作完成工程工人D單獨(dú)完成工程需要10天，工人E單獨(dú)完成需要15天，合作需要多少天？案例2：機(jī)器合作生產(chǎn)零件機(jī)器甲單獨(dú)生產(chǎn)零件需要12小時(shí)，機(jī)器乙單獨(dú)生產(chǎn)需要18小時(shí)，合作需要多少小時(shí)？案例3：水管合作排空水池水管A排水速度是B的兩倍，兩管同時(shí)開排空水池需要4小時(shí)，B單獨(dú)需要多少小時(shí)？工程問題的通用模型解法步驟1：設(shè)定未知數(shù)設(shè)合作需要x天完成工程。設(shè)每個(gè)人的效率為每天完成總量的幾分之幾。例如，工人F每天完成1/12的工程。步驟2：列出方程根據(jù)工作效率之和等于1的原則，列出方程。例如，工人D和E合作，方程為1/10x+1/15x=1。方程需要包含所有參與者的效率和時(shí)間。步驟3：解方程通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，解出方程。例如，1/10x+1/15x=1→3/30x+2/30x=1→5/30x=1→x=6天。解出的時(shí)間要合理，如不能為小數(shù)天數(shù)（除非題目允許）。步驟4：驗(yàn)證結(jié)果將解出的時(shí)間代入原方程，檢查左右是否相等。例如，驗(yàn)證1/10x+1/15x=1，代入x=6，得3/60+2/60=1，驗(yàn)證正確。通過驗(yàn)證，確保結(jié)果的正確性。03第三章論證工程問題的解法典型工程問題1：兩人合作完成典型工程問題1：工人G單獨(dú)完成工程需要12天，工人H單獨(dú)完成需要18天，兩人合作需要多少天？通過設(shè)定合作需要x天，列出方程1/12x+1/18x=1，解得x=36/5=7.2天。這個(gè)案例展示了如何通過建立數(shù)學(xué)模型求解兩人合作完成工程的時(shí)間。典型工程問題1：兩人合作完成問題描述工人G單獨(dú)完成工程需要12天，工人H單獨(dú)完成需要18天，兩人合作需要多少天？數(shù)學(xué)建模設(shè)合作需要x天，則G每天完成1/12，H每天完成1/18，合作效率為1/12+1/18。方程建立1/12x+1/18x=1。解方程1/12x+1/18x=1→3/36x+2/36x=1→5/36x=1→x=36/5=7.2天。驗(yàn)證結(jié)果將x=7.2代入原方程，驗(yàn)證正確。典型工程問題1：兩人合作完成案例案例1：工人G和H合作完成工程工人G單獨(dú)完成工程需要12天，工人H單獨(dú)完成需要18天，合作需要多少天？案例2：機(jī)器甲和乙合作生產(chǎn)零件機(jī)器甲單獨(dú)生產(chǎn)零件需要12小時(shí)，機(jī)器乙單獨(dú)生產(chǎn)需要18小時(shí)，合作需要多少小時(shí)？案例3：水管A和B合作排空水池水管A排水速度是B的兩倍，兩管同時(shí)開排空水池需要4小時(shí)，B單獨(dú)需要多少小時(shí)？典型工程問題1：兩人合作完成解法步驟1：設(shè)定未知數(shù)設(shè)合作需要x天完成工程。設(shè)每個(gè)人的效率為每天完成總量的幾分之幾。例如，工人G每天完成1/12的工程。步驟2：列出方程根據(jù)工作效率之和等于1的原則，列出方程。例如，工人G和H合作，方程為1/12x+1/18x=1。方程需要包含所有參與者的效率和時(shí)間。步驟3：解方程通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，解出方程。例如，1/12x+1/18x=1→3/36x+2/36x=1→5/36x=1→x=36/5=7.2天。解出的時(shí)間要合理，如不能為小數(shù)天數(shù)（除非題目允許）。步驟4：驗(yàn)證結(jié)果將解出的時(shí)間代入原方程，檢查左右是否相等。例如，驗(yàn)證1/12x+1/18x=1，代入x=7.2，得3/86.4+2/86.4=1，驗(yàn)證正確。通過驗(yàn)證，確保結(jié)果的正確性。04第四章總結(jié)與拓展本章知識(shí)總結(jié)本章介紹了工程問題的基本概念和解法，通過具體案例幫助學(xué)生理解并掌握相關(guān)知識(shí)。工程問題的通用模型是‘效率之和等于1’，通過設(shè)定合作時(shí)間x，列出方程求解。本章還介紹了如何應(yīng)用通用模型解決實(shí)際問題，如多人合作完成工程、部分時(shí)間合作部分時(shí)間單獨(dú)完成等。通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解工程問題的基本概念，掌握一元一次方程的解法，并能夠應(yīng)用于解決實(shí)際問題。本章知識(shí)總結(jié)工程問題的基本概念工程問題是一類涉及多個(gè)參與者在不同時(shí)間內(nèi)完成同一工作量應(yīng)用題。通用模型‘效率之和等于1’，通過設(shè)定合作時(shí)間x，列出方程求解。解決方法通過設(shè)定未知數(shù)和列方程，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解。應(yīng)用場(chǎng)景建筑、生產(chǎn)、運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域。學(xué)習(xí)目標(biāo)理解工程問題的基本概念，掌握一元一次方程的解法，并能夠應(yīng)用于解決實(shí)際問題。重要性提高解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。本章知識(shí)總結(jié)案例案例1：工人合作完成工程工人D和E合作完成工程，D單獨(dú)完成需要10天，E單獨(dú)完成需要15天，合作需要多少天？案例2：機(jī)器合作生產(chǎn)零件機(jī)器甲單獨(dú)生產(chǎn)零件需要12小時(shí)，機(jī)器乙單獨(dú)生產(chǎn)需要18小時(shí)，合作需要多少小時(shí)？案例3：水管合作排空水池水管A排水速度是B的兩倍，兩管同時(shí)開排空水池需要4小時(shí)，B單獨(dú)需要多少小時(shí)？本章知識(shí)總結(jié)解法步驟1：設(shè)定未知數(shù)設(shè)合作需要x天完成工程。設(shè)每個(gè)人的效率為每天完成總量的幾分之幾。例如，工人D每天完成1/10的工程。步驟2：列出方程根據(jù)工作效率之和等于1的原則，列出方程。例如，工人D和E合作，方程為1/10x+1/15x=1。方程需要包含所有參與者的效率和時(shí)間。步驟3：解方程通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，解出方程。例如，1/10x+1/15x=1→3/30x+2/30x=1→5/30x=1→x=6天。解出的時(shí)間要合理，如不能為小數(shù)天數(shù)（除非題目允許）。步驟4：驗(yàn)證結(jié)果將解出的時(shí)間代入原方程，檢查左右是否相等。例如，驗(yàn)證1/10x+1/15x=1，代入x=6，得3/60+2/60=1，驗(yàn)證正確。通過驗(yàn)證，確保結(jié)果的正確性。05第五章工程問題的實(shí)際應(yīng)用實(shí)際案例1：工人合作鋪設(shè)地磚實(shí)際案例1：工人G單獨(dú)鋪設(shè)地磚需要6天完成，工人H單獨(dú)鋪設(shè)需要8天完成。如果兩人合作，需要多少天才能完成鋪設(shè)工作？通過設(shè)定合作需要x天，列出方程1/6x+1/8x=1，解得x=24/7≈3.43天。這個(gè)案例展示了如何通過建立數(shù)學(xué)模型求解兩人合作完成鋪設(shè)地磚的時(shí)間。實(shí)際案例1：工人合作鋪設(shè)地磚問題描述工人G單獨(dú)鋪設(shè)地磚需要6天完成，工人H單獨(dú)鋪設(shè)需要8天完成。如果兩人合作，需要多少天才能完成鋪設(shè)工作？數(shù)學(xué)建模設(shè)合作需要x天，則G每天完成1/6，H每天完成1/8，合作效率為1/6+1/8。方程建立1/6x+1/8x=1。解方程1/6x+1/8x=1→4/48x+3/48x=1→7/48x=1→x=48/7≈6.86天。驗(yàn)證結(jié)果將x=6.86代入原方程，驗(yàn)證正確。實(shí)際案例1：工人合作鋪設(shè)地磚案例案例1：工人G和H合作鋪設(shè)地磚工人G單獨(dú)鋪設(shè)地磚需要6天完成，工人H單獨(dú)鋪設(shè)需要8天完成，合作需要多少天？案例2：機(jī)器甲和乙合作生產(chǎn)零件機(jī)器甲單獨(dú)生產(chǎn)零件需要12小時(shí)，機(jī)器乙單獨(dú)生產(chǎn)需要18小時(shí)，合作需要多少小時(shí)？案例3：水管A和B合作排空水池水管A排水速度是B的兩倍，兩管同時(shí)開排空水池需要4小時(shí)，B單獨(dú)需要多少小時(shí)？實(shí)際案例1：工人合作鋪設(shè)地磚解法步驟1：設(shè)定未知數(shù)設(shè)合作需要x天完成工程。設(shè)每個(gè)人的效率為每天完成總量的幾分之幾。例如，工人G每天完成1/6的工程。步驟2：列出方程根據(jù)工作效率之和等于1的原則，列出方程。例如，工人G和H合作，方程為1/6x+1/8x=1。方程需要包含所有參與者的效率和時(shí)間。步驟3：解方程通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，解出方程。例如，1/6x+1/8x=1→4/48x+3/48x=1→7/48x=1→x=48/7≈6.86天。解出的時(shí)間要合理，如不能為小數(shù)天數(shù)（除非題目允許）。步驟4：驗(yàn)證結(jié)果將解出的時(shí)間代入原方程，檢查左右是否相等。例如，驗(yàn)證1/6x+1/8x=1，代入x=6.86，得4/41.16+3/41.16=1，驗(yàn)證正確。通過驗(yàn)證，確保結(jié)果的正確性。06第六章工程問題的綜合應(yīng)用與挑戰(zhàn)綜合案例1：多人多工程問題綜合案例1：工人D、E、F分別單獨(dú)完成一項(xiàng)工程需要10天、15天、20天，三人合作需要多少天完成？通過設(shè)定合作需要x天，列出方程1/10x+1/15x+1/20x=1，解得x=60/11≈5.45天。這個(gè)案例展示了如何通過建立數(shù)學(xué)模型求解多人合作完成工程的時(shí)間。綜合案例1：多人多工程問題問題描述工人D、E、F分別單獨(dú)完成一項(xiàng)工程需要10天、15天、20天，三人合作需要多少天完成？數(shù)學(xué)建模設(shè)合作需要x天，則D每天完成1/10，E每天完成1/15，F(xiàn)每天完成1/20，合作效率為1/10+1/15+1/20。方程建立1/10x+1/15x+1/20x=1。解方程1/10x+1/15x+1/20x=1→6/60x+4/60x+3/60x=1→13/60x=1→x=60/13≈4.62天。驗(yàn)證結(jié)果將x=4.62代入原方程，驗(yàn)證正確。綜合案例1：多人多工程問題案例案例1：工人D、E、F合作完成工程工人D單獨(dú)完成需要10天，工人E單獨(dú)完成需要15天，工人F單獨(dú)完成需要20天，合作需要多少天？案例2：機(jī)器甲、乙、丙合作生產(chǎn)零件機(jī)器甲單獨(dú)