一、本章知識(shí)框架圖（核心脈絡(luò)）

二、核心概念清單（精準(zhǔn)辨析）1.二次函數(shù)的定義與構(gòu)成概念定義關(guān)鍵特性易錯(cuò)提醒二次函數(shù)形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a???b???c\)為常數(shù)，\(a\neq0\)）的函數(shù)最高次項(xiàng)為2次，圖像是拋物線易忽略\(a\neq0\)的前提（\(a=0\)時(shí)為一次函數(shù)）一般式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）包含二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)一次項(xiàng)系數(shù)\(b\)、常數(shù)項(xiàng)\(c\)可為0（如\(y=2x^2\)是特殊二次函數(shù)）頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)）直接體現(xiàn)拋物線頂點(diǎn)\((h,k)\)括號(hào)內(nèi)為\(x-h\)，當(dāng)\(h<0\)時(shí)符號(hào)易出錯(cuò)（如\(y=2(x+3)^2\)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3）交點(diǎn)式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)）直接體現(xiàn)拋物線與x軸交點(diǎn)\((x_1,0)???(x_2,0)\)僅當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)存在，\(x_1???x_2\)是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根項(xiàng)與系數(shù)二次項(xiàng)\(ax^2\)（系數(shù)\(a\)）、一次項(xiàng)\(bx\)（系數(shù)\(b\)）、常數(shù)項(xiàng)\(c\)\(a\)決定開口方向與寬窄，\(b\)影響對(duì)稱軸位置，\(c\)是拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)混淆“項(xiàng)”與“系數(shù)”（如“一次項(xiàng)”是\(bx\)，“一次項(xiàng)系數(shù)”是\(b\)）2.拋物線的核心特征開口方向：由\(a\)的符號(hào)決定——\(a>0\)開口向上，\(a<0\)開口向下；\(|a|\)越大，開口越窄；\(|a|\)越小，開口越寬。對(duì)稱軸：一般式中為直線\(x=-\frac{2a}\)，頂點(diǎn)式中為直線\(x=h\)，是拋物線的“鉛直對(duì)稱軸”，對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)到對(duì)稱軸距離相等。頂點(diǎn)：拋物線的最高點(diǎn)（\(a<0\)）或最低點(diǎn)（\(a>0\)），坐標(biāo)為\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)（一般式推導(dǎo)）或\((h,k)\)（頂點(diǎn)式），是最值點(diǎn)。與坐標(biāo)軸交點(diǎn)：與y軸交點(diǎn)：恒為\((0,c)\)（代入\(x=0\)求解）；與x軸交點(diǎn)：解方程\(ax^2+bx+c=0\)，判別式\(\Delta=b^2-4ac\)決定交點(diǎn)個(gè)數(shù)（\(\Delta>0\)有2個(gè)，\(\Delta=0\)有1個(gè)，\(\Delta<0\)無交點(diǎn)）。三、核心性質(zhì)與方法體系（操作指南）1.二次函數(shù)的圖像性質(zhì)（以一般式\(y=ax^2+bx+c\)為例）性質(zhì)維度\(a>0\)（開口向上）\(a<0\)（開口向下）關(guān)鍵結(jié)論開口方向向上向下\(a\)的符號(hào)決定開口方向增減性對(duì)稱軸左側(cè)（\(x<-\frac{2a}\)）y隨x增大而減?。挥覀?cè)（\(x>-\frac{2a}\)）y隨x增大而增大對(duì)稱軸左側(cè)（\(x<-\frac{2a}\)）y隨x增大而增大；右側(cè)（\(x>-\frac{2a}\)）y隨x增大而減小增減性以對(duì)稱軸為界，“左減右增”或“左增右減”最值頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)，\(y_{\text{????°?}}=\frac{4ac-b^2}{4a}\)頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)，\(y_{\text{????¤§}}=\frac{4ac-b^2}{4a}\)最值在頂點(diǎn)處取得，無另一個(gè)極端值對(duì)稱性若\((x_1,y)???(x_2,y)\)在拋物線上，則\(x_1+x_2=-\frac{a}\)同左對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)和為對(duì)稱軸橫坐標(biāo)的2倍2.二次函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)化與求解（1）三種表達(dá)式的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化方向操作步驟示例（將\(y=2x^2+4x-1\)轉(zhuǎn)化）一般式→頂點(diǎn)式1.提取二次項(xiàng)系數(shù)：\(a(x^2+\frac{a}x)+c\)；2.配方：\(a\left[(x+\frac{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\)；3.整理為\(a(x-h)^2+k\)1.\(2(x^2+2x)-1\)；2.\(2[(x+1)^2-1]-1\)；3.\(2(x+1)^2-3\)（頂點(diǎn)\((-1,-3)\)）一般式→交點(diǎn)式1.解方程\(ax^2+bx+c=0\)得根\(x_1???x_2\)；2.代入\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)解方程\(2x^2+4x-1=0\)得\(x_1=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\)，\(x_2=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\)，故\(y=2\left(x-\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\right)\left(x-\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\right)\)頂點(diǎn)式/交點(diǎn)式→一般式展開、合并同類項(xiàng)\(y=2(x+1)^2-3=2(x^2+2x+1)-3=2x^2+4x-1\)（2）待定系數(shù)法求表達(dá)式（根據(jù)已知條件選擇形式）已知條件選擇表達(dá)式形式求解步驟任意三點(diǎn)坐標(biāo)一般式\(y=ax^2+bx+c\)代入三點(diǎn)得三元一次方程組，解出\(a???b???c\)頂點(diǎn)坐標(biāo)\((h,k)\)+另一點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)代入頂點(diǎn)得\(k\)，再代入另一點(diǎn)求\(a\)與x軸交點(diǎn)\((x_1,0)???(x_2,0)\)+另一點(diǎn)坐標(biāo)交點(diǎn)式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)代入交點(diǎn)得\(x_1???x_2\)，再代入另一點(diǎn)求\(a\)3.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系本質(zhì)關(guān)聯(lián)：二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)中，令\(y=0\)，即轉(zhuǎn)化為一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)；圖像體現(xiàn)：方程的根是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，判別式\(\Delta\)對(duì)應(yīng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)：\(\Delta>0\)：方程有兩個(gè)不等實(shí)根，拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)；\(\Delta=0\)：方程有兩個(gè)相等實(shí)根，拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）；\(\Delta<0\)：方程無實(shí)根，拋物線與x軸無交點(diǎn)；應(yīng)用場(chǎng)景：求拋物線與x軸交點(diǎn)、判斷函數(shù)值正負(fù)區(qū)間（如\(y>0\)時(shí)x的取值范圍）。四、易錯(cuò)點(diǎn)與易混點(diǎn)辨析（避坑指南）1.概念與性質(zhì)易錯(cuò)點(diǎn)誤區(qū)1：認(rèn)為“二次函數(shù)一定有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)”糾正：一次項(xiàng)系數(shù)\(b\)和常數(shù)項(xiàng)\(c\)可為0，如\(y=3x^2\)（\(b=0,c=0\)）、\(y=2x^2-5\)（\(b=0\)）均為二次函數(shù)。誤區(qū)2：對(duì)稱軸公式記錯(cuò)，寫成\(x=\frac{2a}\)糾正：正確公式為\(x=-\frac{2a}\)，符號(hào)易遺漏，可通過頂點(diǎn)式推導(dǎo)驗(yàn)證（如\(y=a(x-h)^2+k\)展開后\(b=-2ah\)，故\(h=-\frac{2a}\)）。誤區(qū)3：判斷增減性時(shí)忽略“以對(duì)稱軸為界”糾正：增減性不能僅憑\(a\)的符號(hào)判斷，需分“對(duì)稱軸左側(cè)”和“右側(cè)”，如\(a>0\)時(shí)，并非y隨x增大而一直增大，而是右側(cè)增大、左側(cè)減小。2.表達(dá)式轉(zhuǎn)化與求解易錯(cuò)點(diǎn)配方時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤：反例：將\(y=-x^2+2x+3\)配方時(shí)，誤寫為\(y=-(x^2+2x)+3\)（應(yīng)為\(-(x^2-2x)+3\)）。正解：提取負(fù)號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)需變號(hào)，正確配方為\(y=-(x-1)^2+4\)。待定系數(shù)法漏條件：反例：已知頂點(diǎn)\((2,1)\)求表達(dá)式時(shí)，僅設(shè)\(y=(x-2)^2+1\)，忽略\(a\)的系數(shù)（需另一個(gè)條件求\(a\)）。正解：應(yīng)設(shè)\(y=a(x-2)^2+1\)，再代入已知點(diǎn)求\(a\)。3.實(shí)際應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)自變量取值范圍忽略實(shí)際意義：反例：用二次函數(shù)求“長(zhǎng)方形面積最值”時(shí)，未考慮邊長(zhǎng)為正數(shù)，導(dǎo)致x的取值范圍包含負(fù)數(shù)。正解：結(jié)合實(shí)際場(chǎng)景（如長(zhǎng)度、時(shí)間、數(shù)量為正）確定自變量取值范圍，最值需在該范圍內(nèi)求解?；煜白畲笾怠迸c“最小值”：反例：\(a<0\)時(shí)（開口向下），誤求“最小值”；\(a>0\)時(shí)（開口向上），誤求“最大值”。正解：開口方向決定最值類型，\(a>0\)有最小值，\(a<0\)有最大值，均在頂點(diǎn)處取得。五、實(shí)戰(zhàn)題型與解析（能力提升）題型1：概念與性質(zhì)辨析題例題：下列關(guān)于二次函數(shù)\(y=-2x^2+4x-1\)的說法正確的是（

）A.開口向上B.對(duì)稱軸為直線\(x=1\)C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,1)\)D.當(dāng)\(x>1\)時(shí)，y隨x增大而增大解析：A錯(cuò)誤：\(a=-2<0\)，開口向下；B正確：對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}=-\frac{4}{2??(-2)}=1\)；C正確：代入\(x=1\)得\(y=-2+4-1=1\)，頂點(diǎn)\((1,1)\)；D錯(cuò)誤：\(a<0\)，\(x>1\)（對(duì)稱軸右側(cè)），y隨x增大而減??；答案：BC題型2：待定系數(shù)法求表達(dá)式例題：已知二次函數(shù)圖像過點(diǎn)\((0,3)\)、\((1,0)\)、\((3,0)\)，求其表達(dá)式。解析：已知與x軸交點(diǎn)\((1,0)???(3,0)\)，設(shè)交點(diǎn)式\(y=a(x-1)(x-3)\)；代入\((0,3)\)：\(3=a(0-1)(0-3)\)→\(3=3a\)→\(a=1\)；展開得一般式：\(y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3\)；答案：\(y=x^2-4x+3\)（或交點(diǎn)式\(y=(x-1)(x-3)\)）題型3：實(shí)際問題與最值例題：某商店銷售某種商品，每件成本為40元，售價(jià)為x元（\(50\leqx\leq80\)），每天銷售量為\(-2x+200\)件。求每天的最大利潤(rùn)。解析：利潤(rùn)公式：利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×

銷售量，即\(y=(x-40)(-2x+200)\)；整理為一般式：\(y=-2x^2+280x-8000\)（\(a=-2<0\)，開口向下，有最大值）；求對(duì)稱軸：\(x=-\frac{280}{2??(-2)}=70\)（在\(50\leqx\leq80\)范圍內(nèi)）；計(jì)算最大值：\(y=(70-40)(-2??70+200)=30??60=1800\)；答案：每天的最大利潤(rùn)為1800元。題型4：二次函數(shù)與方程綜合例題：已知二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)，求：（1）與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)\(y>0\)時(shí)x的取值范圍。解析：求與x軸交點(diǎn)：令\(y=0\)，解方程(x2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)【示范課精品課件】授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

章末復(fù)習(xí)第26章

二次函數(shù)aiTujmiaNg1.二次函數(shù)的概念一般地，形如

(a，b，c是常數(shù)，

)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．y＝ax2＋bx＋ca≠0[注意](1)等號(hào)右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當(dāng)

b＝0，c＝0時(shí)，y＝ax2是特殊的二次函數(shù)．2.二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象是一條

，它是

對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸平行于_____軸.拋物線軸y

(1)一般式：____________________；3.二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)(2)頂點(diǎn)式：____________________；y=a(x-

h)2+k(a≠0)(3)交點(diǎn)式：

.y=a(x-

x1)(x

-

x2)

(a≠0)4.二次函數(shù)的平移一般地，平移二次函數(shù)

y＝ax2的圖象可得到二次函數(shù)

y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象．y＝ax2上、下平移y＝ax2左、右平移左、右平移上、下平移上、下移且左、右移[注意]抓住頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，熟記平移規(guī)律：左加右減，上加下減．二次函數(shù)

y=a(x?h)2+ky=ax2

+bx

+c開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值a＞0a＜0增減性a＞0a＜05.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a＞0時(shí)開口向上a＜0時(shí)開口向下x=h(h，k)y最小

=ky最大

=k在對(duì)稱軸左邊

x↗y↗，在對(duì)稱軸右邊

x↗y↘

在對(duì)稱軸左邊

x↗y↘，在對(duì)稱軸右邊x↗y↗y最小=y最大=6.二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式的關(guān)系：b2-4ac的符號(hào)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)的圖象一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的根不等式

ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集不等式

ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集x2x1xyOOx1=x2xyOyxb2-4ac＞0b2-4ac＝0b2-4ac＜0x1，x2x1=x2=沒有實(shí)數(shù)根x＜x1或

x＞x2x≠x1全體實(shí)數(shù)x1＜x＜x2無解無解考點(diǎn)一求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值例1

拋物線

y＝x2－2x＋3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______．【解析】方法一：配方，得

y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，

則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)．方法二：代入公式

，

，

則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)．(1，2)

解決此類題目可以先把二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c配方為頂點(diǎn)式

y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，得到其對(duì)稱軸是直線

x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)，當(dāng)自變量范圍沒有限制時(shí)，其最值為

y＝k；也可以直接利用公式求解.方法歸納1.對(duì)于

y＝2(x－3)2＋2的圖象，下列敘述正確的是

(

)A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(－3，2)

B.對(duì)稱軸為

y＝3C.當(dāng)

x≥3時(shí)，y隨

x的增大而增大D.當(dāng)

x≥3時(shí)，y隨

x的增大而減小C針對(duì)訓(xùn)練yx考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)值的大小比較例2二次函數(shù)

y＝-x2＋bx＋c的圖象如圖所示，若點(diǎn)

A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖象上，且

x1＜x2＜1，則

y1與

y2

的大小關(guān)系是

(

)A.y1≤y2

B.y1＜y2

C.y1≤y2

D.y1＞y2【解析】由圖象看出，拋物線開口向下，對(duì)稱軸是

x＝1，當(dāng)

x＜1時(shí)，y隨

x的增大而增大.∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.B

當(dāng)二次函數(shù)的表達(dá)式與已知點(diǎn)的坐標(biāo)中含有未知字母時(shí)，可以用如下方法比較函數(shù)值的大?。?1)用含有未知字母的代數(shù)式表示各函數(shù)值，然后進(jìn)行比較；(2)在相應(yīng)的范圍內(nèi)取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象比較.方法總結(jié)2.下列函數(shù)中，當(dāng)

x＞0

時(shí)，y

值隨

x

值增大而減小的是（）

A.y=x2B.y=x-

1C.D.y=-3x2D針對(duì)訓(xùn)練例3已知二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正確的個(gè)數(shù)是

(

)A．1

B．2

C．3

D．4yx考點(diǎn)三

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠

0)的圖象與系數(shù)

a，b，c的關(guān)系①abc＞0解析：由圖象開口向下可得

a＜0，由對(duì)稱軸在

y軸左側(cè)可得

b＜0，由圖象與

y軸交于正半軸可得

c＞0，

則

abc＞0，故①正確.yx②2a－b＜0由對(duì)稱軸

x＞－1可得2a－b＜0，故②正確.③4a－2b＋c＜0由圖象上橫坐標(biāo)為x＝－2的點(diǎn)在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正確由圖象上橫坐標(biāo)為

x＝1的點(diǎn)在第四象限得

a＋b＋c＜0，由圖象上橫坐標(biāo)為

x＝－1的點(diǎn)在第二象限得a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，所以(a＋c)2＜b2，故④正確.故選D.yx④(a＋c)2＜b2方法總結(jié)1.可根據(jù)對(duì)稱軸的位置確定

b的符號(hào)：b＝0?對(duì)稱軸是

y軸；a、b同號(hào)?對(duì)稱軸在

y軸左側(cè)；

a、b異號(hào)?對(duì)稱軸在

y軸右側(cè).

這個(gè)規(guī)律可簡(jiǎn)記為“左同右異”.2.當(dāng)

x＝1時(shí)，函數(shù)值

y＝a＋b＋c，當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)

x＝1的點(diǎn)在

x軸上方時(shí)，a＋b＋c＞0；當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)

x＝1的點(diǎn)在

x軸上時(shí)，a＋b＋c＝0；當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)

x＝1的點(diǎn)在

x軸下方時(shí)，a＋b＋c＜0.同理，可由圖象上橫坐標(biāo)

x＝－1，±2的點(diǎn)判斷

a－b＋c，4a±b＋c

的符號(hào).針對(duì)訓(xùn)練解析：∵二次項(xiàng)系數(shù)為－1＜0，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為由題意知，當(dāng)

x＞1

時(shí)，y

的值隨

x

值的增大而減小，∴拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)在直線

x

=

1

的左側(cè).

3.已知二次函數(shù)

y

=－x2＋2bx＋c，當(dāng)

x＞1

時(shí)，y

的值隨

x

值的增大而減小，則實(shí)數(shù)

b

的取值范圍是()A.b≥－1

B.b≤－1

C.b≥1

D.b≤1DxyOb1∴

b≤1.如圖所示.考點(diǎn)四拋物線的幾何變換例4將拋物線

y＝x2－6x＋5

向上平移2

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移

1

個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線解析式是

(

)A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－5【解析】因?yàn)?/p>

y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的解析式為

y＝(x－3－1)2－4＋2，即

y＝(x－4)2－2.故選B.B4.若拋物線y=－7(x+4)2－1平移得到y(tǒng)=－7x2，則可以（）A.先向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位B.先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位C.先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位D.先向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位B針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)五二次函數(shù)表達(dá)式的確定例5已知關(guān)于

x的二次函數(shù)，當(dāng)

x=-1時(shí)，函數(shù)值為10；當(dāng)

x=1時(shí)，函數(shù)值為4；當(dāng)

x=2時(shí)，函數(shù)值為7.求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.待定系數(shù)法解：設(shè)所求的二次函數(shù)為

y=ax2+bx+c，由題意得解得a=2，b=-3，c=5.∴所求的二次函數(shù)表達(dá)式為

y=2x2

-

3x+5.方法總結(jié)1.若已知圖象上的任意三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)一般式求表達(dá)式；2.若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最值時(shí)，則可設(shè)頂點(diǎn)式求表達(dá)式，最后化為一般式；3.若已知二次函數(shù)圖象與

x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，0)、(x2，0)時(shí)，可設(shè)交點(diǎn)式求表達(dá)式，最后化為一般式.5.已知拋物線

y=ax2

+bx+c

與拋物線

y=－x2－3x+7

的形狀相同，頂點(diǎn)在直線

x=1上，且頂點(diǎn)到

x軸的距離為5，請(qǐng)寫出滿足此條