第五單元教學計劃單元名稱：數(shù)學廣角——鴿巢問題二、單元教材分析：本教材專門安排“數(shù)學廣角”這一單元，向學生滲透一些重要的數(shù)學思想方法。和以往的義務教育教材相比，這部分內容是新增的內容。本單元教材通過幾個直觀例子，借助實際操作，向學生介紹“鴿巢問題”，使學生在理解“鴿巢問題”這一數(shù)學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“鴿巢問題”加以解決。在數(shù)學問題中，有一類與“存在性”有關的問題。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪個物體（或人）。這類問題依據的理論我們稱之為“抽屜原理”。“抽屜原理”最先是19世紀的德國數(shù)學家狄利克雷運用于解決數(shù)學問題的，所以又稱“狄利克雷原理”，也稱之為“鴿巢問題”?！傍澇矄栴}”的理論本身并不復雜，甚至可以說是顯而易見的。但“鴿巢問題”的應用卻是千變萬化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結論。因此，“鴿巢問題”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應用。三、單元學情分析“鴿巢原理”的變式很多，在生活中運用廣泛，學生在生活中常常遇到此類問題。教學時，要引導學生先判斷某個問題是否屬于“鴿巢原理”可以解決的范疇。能不能將這個問題同“鴿巢原理”結合起來，是本次教學能否成功的關鍵。所以，在教學中，應有意識地讓學生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。六年級的學生理解能力、學習能力和生活經驗已達到能夠掌握本章內容的程度。教材選取的是學生熟悉的，易于理解的生活實例，將具體實際與數(shù)學原理結合起來，有助于提高學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。四、單元教學目標1、使學生經歷“抽屜原理”（“鴿巢原理”）的探究過程，初步了解“抽屜原理”的含義，會用“抽屜原理”解決一些簡單的實際問題。2、使學生通過“抽屜原理”的學習，增強對邏輯推理、模型思想的體驗，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。五、單元教學重難點重點：應用“鴿巢原理”解決實際問題。引導學會把具體問題轉化成“鴿巢問題”。難點：理解“鴿巢原理”，找出”鴿巢問題“解決的竅門進行反復推理。六、教法和學法1、讓學生經歷“數(shù)學證明”的過程。可以鼓勵、引導學生借助學具、實物操作或畫草圖的方式進行“說理”。通過“說理”的方式理解“鴿巢原理”的過程是一種數(shù)學證明的雛形。通過這樣的方式，有助于提高學生的邏輯思維能力，為以后學習較嚴密的數(shù)學證明做準備。2、有意識地培養(yǎng)學生的“模型”思想。當我們面對一個具體的問題時，能否將這個具體問題和“鴿巢原理”聯(lián)系起來，能否找到該問題中的具體情境與“鴿巢原理”的“一般化模型”之間的內在關系，找出該問題中什么是“待分的東西”，什么是“鴿巢”，是解決問題的關鍵。教學時，要引導學生先判斷某個問題是否屬于用“鴿巢原理”可以解決的范疇；再思考如何尋找隱藏在其背后的“鴿巢問題”的一般模型。這個過程是學生經歷將具體問題“數(shù)學化”的過程，從紛繁復雜的現(xiàn)實素材中找出最本質的數(shù)學模型，是學生數(shù)學思維和能力的重要體現(xiàn)。單元課時劃分：本單元計劃課時數(shù)：3課時鴿巢問題…………………1課時“鴿巢問題”的具體應用…………………1課時練習課……………………1課時總課時數(shù)：38自備時間：授課時間：課題鴿巢問題主備人于穎教學內容教材第68-70頁例1、例2，及“做一做”的第1題，及第71頁練習十三的1-2題。教材及學生分析例1借助把4支鉛筆放進3個筆筒中的操作情境，介紹“抽屜原理”的最基本形式。教材呈現(xiàn)了兩種思考方法：一種是枚舉，另一種是假設推理。例2介紹了另一種類型的“抽屜問題”，即“把多于kn（k是正整數(shù)）個的物體任意分放進n個空抽屜，那么一定有一個抽屜中放進了至少（k+1）個物體?！睂W生可以仍然可以采用圖示、分解數(shù)、假設等方法，理解并確認“總有一個抽屜至少放進3本書”的結論。教學目標1、了解“鴿巢問題”的特點，理解“鴿巢原理”的含義。使學生學會用此原理解決簡單的實際問題。2、經歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法，滲透數(shù)形結合的思想。3、通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發(fā)學生的學習興趣，使學生感受數(shù)學的魅力。重點引導學生把具體問題轉化成“鴿巢問題”。難點找出“鴿巢問題”解決的竅門進行反復推理。教學方法引導探究、合作交流教學準備課件課時安排1課時參考教學內容與教學過程個人補充一、訓練鋪墊，情境導入(課件出示例題1情境圖）思考問題：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有1個筆筒里至少有2支鉛筆。“總有”和“至少”是什么意思？學生自主回答。（總有就是一定有，至少就是最少、最起碼）二、明確目標，探究新知用擺一擺、畫一畫、寫一寫等方法把自己的想法表示出來。三、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律學生通過操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律→理解關鍵詞的含義→探究證明→認識“鴿巢問題”的學習過程來解決問題。(1)操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律：通過吧4支鉛筆放進3個筆筒中，可以發(fā)現(xiàn)：不管怎么放，總有1鴿筆筒里至少有2支鉛筆。(2)理解關鍵詞的含義：“總有”和“至少”是指把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，一定有1個筆筒里的鉛筆數(shù)大于或等于2支。(3)探究證明。方法一：用“枚舉法”證明。方法二：用“分解法”證明。把4分解成3個數(shù)。由圖可知，把4分解成3個數(shù)，與枚舉法相似，也有4中情況，每一種情況分得的3個數(shù)中，至少有1個數(shù)是不小于2的數(shù)。方法三：用“假設法”證明。通過以上幾種方法證明都可以發(fā)現(xiàn)：把4只鉛筆放進3個筆筒中，無論怎么放，總有1個筆筒里至少放進2只鉛筆。（4）認識“鴿巢問題”像上面的問題就是“鴿巢問題”，也叫“抽屜問題”。在這里，4支鉛筆是要分放的物體，就相當于4只“鴿子”，“3個筆筒”就相當于3個“鴿巢”或“抽屜”，把此問題用“鴿巢問題”的語言描述就是把4只鴿子放進3個籠子，總有1個籠子里至少有2只鴿子。這里的“總有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鴿子最多的那個“籠子”里鴿子“最少”的個數(shù)。小結：只要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多，就總有1個筆筒里至少放進2支鉛筆。如果放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多2，那么總有1個筆筒至少放2支鉛筆；如果放的鉛筆比筆筒的數(shù)量多3，那么總有1個筆筒里至少放2只鉛筆……小結：只要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多，就總有1個筆筒里至少放2支鉛筆。（5）歸納總結：鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜里（m>n，且n是非零自然數(shù)），那么一定有一個抽屜里至少放進了放進了2個物體。（6）、提升思維。教學例2(課件出示例題2情境圖）思考問題：（一）把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少有3本書。為什么呢？（二）如果有8本書會怎樣呢？10本書呢？學生通過“探究證明→得出結論”的學習過程來解決問題（一）。探究證明。方法一：用數(shù)的分解法證明。把7分解成3個數(shù)的和。把7本書放進3個抽屜里，共有如下8種情況：由圖可知，每種情況分得的3個數(shù)中，至少有1個數(shù)不小于3，也就是每種分法中最多那個數(shù)最小是3，即總有1個抽屜至少放進3本書。方法二：用假設法證明。把7本書平均分成3份，7÷3=2（本）......1（本），若每個抽屜放2本，則還剩1本。如果把剩下的這1本書放進任意1個抽屜中，那么這個抽屜里就有3本書。得出結論。通過以上兩種方法都可以發(fā)現(xiàn)：7本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進3本書。學生通過“假設分析法→歸納總結”的學習過程來解決問題（二）。（1）用假設法分析。8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分別放進其中2個抽屜中，使其中2個抽屜都變成3本，因此把8本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進3本書。10÷3=3（本）......1（本），把10本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進4本書。（2）歸納總結：綜合上面兩種情況，要把a本書放進3個抽屜里，如果a÷3=b（本）......1（本）或a÷3=b（本）......2（本），那么一定有1個抽屜里至少放進（b+1）本書。鴿巢原理（二）：古國把多與kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數(shù)，n是非0的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中至少放進了（k+1)個物體。四、變式訓練，鞏固新知1、完成教材第70頁的“做一做”第1題。學生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。2、完成教材第71頁練習十三的1-2題。學生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。五、課反饋思考，拓展應用課堂小結：說說本節(jié)課的收獲。板書設計鴿巢問題教學反思總課時數(shù)：39自備時間：授課時間：課題“鴿巢問題”的具體應用主備人于穎教學內容教材第70-71頁例3，及“做一做”的第2題，及第71頁練習十三的3-4題。教材及學生分析本例是“抽屜原理”的具體應用，也是運用“抽屜原理”進行逆向思維的一個典型例子。要解決這個問題，可以把兩種“顏色”看成兩個“抽屜”，“同色”就意味著“同一抽屜”。這樣，就可以把“摸球問題”轉化成“抽屜問題”。教學目標1、在了解簡單的“鴿巢原理”的基礎上，使學生學會用此原理解決簡單的實際問題。2、經歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法，滲透數(shù)形結合的思想。3、通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發(fā)學生的學習興趣，使學生感受數(shù)學的魅力。重點引導學生把具體問題轉化成“鴿巢問題”。難點找出“鴿巢問題”中的“鴿巢”是什么，“鴿巢”有幾個，在利用“鴿巢原理”進行反向推理。教學方法引導探究、合作交流教學準備課件課時安排1課時參考教學內容與教學過程個人補充一、訓練鋪墊，情境導入猜測1：只摸2個球只要舉出一個反例就可以推翻這種猜測。就能保證這2個球驗證如：這兩個球正好是一紅一藍時就不能同色。滿足條件。猜測2：摸出5個球，把紅、藍兩種顏色看作兩個“鴿巢”，因為肯定有2個球是同驗證5÷2=2...1，所以摸出5個球時，至少有3色的。個球是同色的，因此摸出5個球是沒必要的。猜測1：摸出3個球，把紅、藍兩種顏色看作兩個“鴿巢”，因為至少有2個球是同驗證3÷2=1...1，所以摸出3個球時，至少有3色的。2個是同色的。綜上所述，摸出3個球，至少有2個球是同色的。（2）分析推理。根據“鴿巢原理（一）”推斷：要保證有一個抽屜至少有2個球，分的無圖個數(shù)失少要比抽屜數(shù)多1?，F(xiàn)在把“顏色種數(shù)”看作“抽屜數(shù)”，結論就變成了“要保證摸出2個同色的球，摸出的球的個數(shù)至少要比顏色種數(shù)多1”。因此，要從兩種顏色的球中保證摸出2個同色的，至少要摸出3個球。2、趁熱打鐵：箱子里有足夠多的5種不同顏色的球，最少取出多少個球才能保證其中一定有2個顏色一樣的球？學生獨立思考解決問題，集體交流。3、歸納總結：運用“鴿巢原理”解決問題的思路和方法：（1）分析題意；（2）把實際問題轉化成“鴿巢問題”，弄清“鴿巢”和分放的“鴿子”。（3）根據“鴿巢原理”推理并解決問題。三、鞏固練習1、完成教材第70頁的“做一做”的第2題。（學生獨立解答，集體交流。）2、完成教材第71頁的練習十三的第3-4題。（學生獨立解答，集體交流。）3、課外拓展延伸題：一個布袋里有紅色、黑色、藍色的襪子各8只。每次從布袋里最少要拿出多少只可以保證其中有2雙顏色不同的襪子？（襪子不分左右）四、課堂總結二、明確目標，探究新知1、教學例3（課件出示例3的情境圖）.出示思考的問題：盒子里有同樣大小的紅球和籃球各4個，要想摸出的球一定有2個同色的，少要摸出幾個球？三、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律學生通過“猜測驗證→分析推理”的學習過程解決問題。（1）猜測驗證。猜測1：只摸2個球就能保證這2個球驗證如：這兩個球正好是一紅一藍時就不能同色。猜測2：摸出5肯定有2個球是同色的驗證：把紅、藍兩種顏色看作兩個“鴿巢”，因為5÷2=2...1，所以摸出5個球時，至少有3個球是同色的，因此摸出5個球是沒必要的。猜測3：摸出3至少有2個球是同色的驗證：把紅、藍兩種顏色看作兩個“鴿巢”，因為3÷2=1...1，所以摸出3個球時，至少2個是同色的。綜上所述，摸出3個球，至少有2個球是同色的。（2）分析推理。根據“鴿巢原理（一）”推斷：要保證有一個抽屜至少有2個球，分的無圖個數(shù)失少要比抽屜數(shù)多1?，F(xiàn)在把“顏色種數(shù)”看作“抽屜數(shù)”，結論就變成了“要保證摸出2個同色的球，摸出的球的個數(shù)至少要比顏色種數(shù)多1”。因此，要從兩種顏色的球中保證摸出2個同色的，至少要摸出3個球。2．箱子里有足夠多的5種不同顏色的球，最少取出多少個球才能保證其中一定有2個顏色一樣的球？學生獨立思考解決問題，集體交流。3．歸納總結運用“鴿巢原理”解決問題的思路和方法。（1）分析題意；（2）把實際問題轉化成“鴿巢問題”，弄清“鴿巢”和分放的“鴿子”。（3）根據“鴿巢原理”推理并解決問題。四、變式訓練，鞏固新知1．完成教材第70頁的“做一做”的第2題。2．完成教材第71頁的練習十三的第3-4題。3．課外拓展延伸題：一個布袋里有紅色、黑色、藍色的襪子各8只。每次從布袋里最少要拿出多少只可以保證其中有2雙顏色不同的襪子？（襪子不分左右）五、課反饋思考，拓展應用板書設計鴿巢問題教學反思總課時數(shù)：40自備時間：授課時間：課題鴿巢問題主備人于穎教學內容教材教材71頁練習十三的5、6題，及相關的練習題。教材及學生分析教學目標1．進一步熟知“鴿巢原理”的含義，會用“鴿巢原理”熟練解決簡單的實際問題。2．體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法，滲透數(shù)形結合的思想。3．用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發(fā)學生的學習興趣，使學生感受數(shù)學的魅力。重點引導學生學會把具體問題轉化成“鴿巢問題”。難點理解“鴿巢原理”，找出”鴿巢問題“解決的竅門。教學方法引導探究、合作交流教學準備課件課時安排1課時參考教學內容與教學過程個人補充一、復習導入二、指導練習（一）基礎練習題1、填一填：（1）水東小學六年級有30名學生是二月份（按28天計算）出生的，六年級至少有（）名學生的生日是在二月份的同一天。（2）有3個同學一起練習投籃，如果他們一共投進16個球，那么一定有1個同學至少投進了（）個球。（3）把6只雞放進5個雞籠，至少有（）只雞要放進同1個雞籠里。（4）某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，小書架上至少要有（）本書，才可以保證至少有1個同學能借到2本或2本以上的書。學生獨立思考解答，集體交流糾正。2．解決問題。（1）六（1）班有50名同學，至少有多少名同學是同一個月出生的？（2）書籍里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次一定能拿出2本科技書。一次至少要拿出多少本書？（3）把16支鉛筆最多放入幾個鉛筆盒里，可以保證至少有1個鉛筆盒里的鉛筆不少于6支？（二）拓展延伸題1、把27個球最多放在幾個盒子里，可以保證至少有1個盒子里有7個球？引導學生分析：盒子數(shù)看作抽屜數(shù)，如果要使其中1個抽屜里至少有7個球，那么球的個數(shù)至少要比抽屜數(shù)的（7-1）倍多1個，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因此最多放進4個盒子里，可以保證至少有1個盒子里有7個球。2、一個袋子里裝有紅、黃、藍襪子各5只，一次至少取出多少只可以保證每種顏色至少有1只？教師引導學生分析：假設先取5只，全是紅的，不符合題意，要繼續(xù)去；假設再取5只，5只有全是黃的，這時再取一只一定是藍色的，這樣取5×2+1=11（只）可以保證每種顏色至少有1只。3、六（2）班的同學參加一次數(shù)學考試，滿分為100分，全班最低分是75。已知每人得分都是整數(shù)，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）班至少有多少名同學？教師引導學生分析：因為最高分是100分，最低分是75分，所以學生可能得到的不同分數(shù)有100-745+1=26（種）。三、鞏固練習：練習十三的5、6題。四、課堂總結。板書設計鴿巢問題教學反思抽屜原理單元測試(41)1、某班有個小書架，