專題01三角函數(shù)的概念與三角恒等變換0505點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】確定角終邊所在象限的方法【方法技巧02】扇形的弧長(zhǎng)與面積應(yīng)用【方法技巧03】三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法【方法技巧04】對(duì)sina，cosa，tana的知一求二問(wèn)題【方法技巧05】利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟【方法技巧06】給值求值問(wèn)題的求解策略【方法技巧07】給值求角問(wèn)題的求解策略01任意角與弧度制1.角的相關(guān)概念（1）角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.（2）角的表示：如圖，射線OA為始邊，射線OB為終邊，點(diǎn)為角的頂點(diǎn).“角”或““可簡(jiǎn)記為“”．（3）角的分類名稱定義圖形正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角這樣,我們就把角的概念推廣到了任意角，（5）角的加、減法②相反角：把射線OA繞端點(diǎn)按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角的相反角記為.2.終邊相同的角3.象限角與軸線角（1）象限角、軸線角的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，便稱此角為第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱這個(gè)角為軸線角．（2）象限角的集合（3）軸線角的集合角終邊的位置角的集合特點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上集合中角之間的差都為360°的整數(shù)倍在軸的非負(fù)半軸上在軸的非負(fù)半軸上在軸的非正半軸上在軸上集合中角之間的差都為180°的整數(shù)倍在軸上在坐標(biāo)軸上集合中角之間的差為90°的整數(shù)倍象限角的注意事項(xiàng)2．象限角只能反映角的終邊所在的象限，不能反映角的大小，不能說(shuō)第二象限角大于第一象限角．終邊在軸上的角的集合的推導(dǎo)過(guò)程A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4.角度制、弧度制的概念（2）弧度制定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2角的表示的書寫規(guī)范5.角度與弧度的互化（1）角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度（2）一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度弧度在弧度制下，軸線角的集合6.扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式角度制弧度制弧長(zhǎng)公式面積公式對(duì)扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式的理解（2）運(yùn)用弧度制下的公式時(shí)要注意前提：為弧度數(shù)?！菊骖}實(shí)戰(zhàn)2】（2025·甘肅白銀·二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的圖形為圖中陰影區(qū)域，其外邊界為一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)邊界由四個(gè)直徑相同且均與正方形一邊相切的圓的四段圓弧組成，如圖所示，則該陰影區(qū)域的面積為（

）

弧度制下扇形面積公式的記憶技巧02三角函數(shù)的概念1.三角函數(shù)的概念（1）利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)（2）利用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)直角三角形中的三角函數(shù)在RtΔABC中，C=90°,A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做A的正弦函數(shù)，即sinA=對(duì)邊斜邊=BCAB;A的鄰直角邊與斜邊的比值叫做A的余弦函數(shù)，即②一些特殊角的三角函數(shù)值00101101001—10—同一個(gè)三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)的角有無(wú)數(shù)個(gè)，如sinα=12，則α=2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件A．2 B．4C．6 D．82.三角函數(shù)的定義域和值域三角函數(shù)定義域值域α正弦函數(shù)的值域3.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線口訣記憶：上加下減；左減右加；左斜減，又斜加.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【真題實(shí)戰(zhàn)2】（2025·北京東城·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，其終邊落在第一象限，則下列三角函數(shù)值中一定大于零的是（

）4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）基本關(guān)系式的幾種變形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的推導(dǎo)（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的常見變形對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的理解03誘導(dǎo)公式1.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式1公式2公式3公式4公式5公式6對(duì)誘導(dǎo)公式的說(shuō)明1．正、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角，但正切函數(shù)誘導(dǎo)公式中的角必須使公式中的角的正切值有意義。2．在判斷三角函數(shù)值的符號(hào)時(shí)，可以把看成銳角。3．誘導(dǎo)公式可以根據(jù)角的終邊的對(duì)稱性，結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行推導(dǎo)或理解．2．誘導(dǎo)公式的理解與記憶（2）＂變＂與＂不變＂是針對(duì)三角函數(shù)名稱而言的．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變.誘導(dǎo)公式的作用公式三：將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值。公式五和公式六：實(shí)現(xiàn)正弦與余弦的相互轉(zhuǎn)化．A． B． C． D．A． B． C． D．04三角恒等變換公式1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保證tanα，tanβ，tan(α±β)都有意義．利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)誘導(dǎo)公式2.二倍角公式（1）二倍角公式S2αsin2α＝2sinαcosα；C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（2）倍角公式的逆用及變形（3）配方變形（4）因式分解變形（5）升冪公式（6）降冪公式3.輔助角公式常見輔助角結(jié)論4.半角公式（1）半角公式的無(wú)理形式（2）半角正切公式的有理形式A． B． C． D．5.萬(wàn)能公式A． B． C．3 D．6.積化和差與和差化積公式（1）積化和差公式積化和差公式的記憶口訣前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正負(fù)半余弦差。和差化積公式和差化積公式的記憶口訣正加正，正在前；余加余，余并肩；正減正，余在前；余減余，負(fù)正弦．應(yīng)用和差化積與積化和差公式化簡(jiǎn)的關(guān)鍵點(diǎn)利用和差化積與積化和差公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是將同名稱的正弦與余弦進(jìn)行恰當(dāng)組合，組合時(shí)遵循原則：（1）盡量使兩角的和（差）出現(xiàn)特殊角；（2）對(duì)于特殊角的三角函數(shù)應(yīng)求出其值．01sinα，cosα齊次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見的結(jié)構(gòu)有：（1）sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問(wèn)題常采用“切”代換法求解；（2）sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的問(wèn)題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧．A． B． C． D．A．2 B．1 C． D．02sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．A． B． C． D．03三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則【注意】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等．04尋找角的關(guān)系1.計(jì)算與化簡(jiǎn)題中的角的關(guān)系：2．“已知若干解或若干角的三角函數(shù)值，求目標(biāo)解或目標(biāo)解的三解函數(shù)值”問(wèn)題中的解的關(guān)系：05積化和差與和差化積公式積化和差與和差化積解題策略1．抓角的關(guān)系：分析角的和、差、倍或特殊角（如），明確轉(zhuǎn)化方向。2．配公式結(jié)構(gòu)：①積化和差：乘積轉(zhuǎn)和差，記系數(shù)與符號(hào)（同名積和差，異名積差和）；3．聯(lián)用+驗(yàn)符號(hào)：結(jié)合誘導(dǎo)、和差角、倍角公式化簡(jiǎn)，通過(guò)角的范圍判斷三角函數(shù)符號(hào)，排除矛盾解．A． B．7 C． D．A． B． C． D．A．6 B．7 C．8 D．9A． B． C．1 D．01忽略角的度量單位的一致性角的終邊相關(guān)集合問(wèn)題三個(gè)核心規(guī)律【典例1】與角終邊相同的角的集合是（

）02忽略終邊相同角的公式中π的系數(shù)的要求，不能分類討論03應(yīng)用三角函數(shù)的定義求值時(shí)遺漏終邊的位置終邊落在直線Ax+By=0上,即要確定終邊在哪些象限,需分類討論,利用三角函數(shù)的定義求值時(shí)必須明確終邊的條件,清楚其在坐標(biāo)系中的位置.簡(jiǎn)言之，遇直線型終邊，先定象限、再分類.A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．004應(yīng)用三角函數(shù)的定義求參數(shù)時(shí)忽略參數(shù)的取值范圍簡(jiǎn)言之，用定義求值時(shí)，先借符號(hào)定坐標(biāo)范圍，再驗(yàn)解保結(jié)果合理，規(guī)避增根與邏輯矛盾。A．－4和 B． C．－4 D．1A．2 B． C． D．05忽略題目隱含范圍致錯(cuò)06不能精確確定角的取值范圍導(dǎo)致錯(cuò)解A． B． C．或 D．一、確定角αnn（1）分類討論法：利用已知條件寫出的范圍（用表示），由此確定的范圍，在對(duì)進(jìn)行分類討論，從而確定所在象限。（2）幾何法：先把各象限分為等份，再?gòu)妮S的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四……則原來(lái)是第幾象限的角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即角終邊所在的區(qū)域?！镜淅?】（2425高一下·上?！るA段練習(xí)）已知為第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【典例2】（2425高一下·江西撫州·階段練習(xí)）已知是鈍角三角形中最大的角，則是（

）A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角【典例3】（2324高三上·上海靜安·期末）設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【典例4】（2425高三·河北石家莊·期中）如果角的終邊在第三象限，則的終邊一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、扇形的弧長(zhǎng)與面積應(yīng)用1.利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.2.求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.3.在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.【典例1】（2425高三上·湖南·階段練習(xí)）如圖，圓的半徑為1，劣弧的長(zhǎng)為，則陰影部分的面積為（

）【典例2】（2025·浙江溫州·二模）扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于（

）A．1 B． C．3 D．6【典例3】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知某扇形的圓心角為2rad，面積為25，則該扇形所對(duì)應(yīng)圓的面積為（

）A． B． C． D．三、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法1.已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。2.已知角的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角有關(guān)的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問(wèn)題。A． B．1 C． D．四、對(duì)sinα，cosα，tanα的知一求二問(wèn)題A． B． C． D．五、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟eq\x(\a\al(任意負(fù)角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式一)))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”．A． B．1 C． D．3六、給值求值問(wèn)題的求