第第頁江蘇省2025年秋季學(xué)期中職三年級期初考試（職教高考）數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，三大題，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．本試卷共4頁，包含選擇題（第1題~第10題，共10題）、非選擇題（第11題~第23題，共13題）兩部分．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、班級、考場、座位號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與您本人是否相符4．作答選擇題（第1題~第10題），必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽宇筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑．一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在下列每小題中，選出一個正確答素，將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑）1.下列對象能組成集合的是（）A.很大的實數(shù) B.大于20的自然數(shù)C.班上身高很高的同學(xué) D.班上數(shù)學(xué)成績好的同學(xué)【答案】B【解析】【分析】由集合的概念即可得解.【詳解】“很大的實數(shù)”“身高很高”“成績好”沒有具體標(biāo)準(zhǔn)，A、C、D選項中的對象都無法確定，A、C、D均不能組成集合.而大于20的自然數(shù)是確定的對象，故B正確.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運算，及虛部的概念，即可求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以，所以，所以的虛部為．故選：B．3.設(shè)向量，，，則（）A. B.5 C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量坐標(biāo)的線性運算，及向量的模的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】因為向量，，，所以，所以．故選：A．4.“”是“”（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件及必要條件的定義結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】當(dāng)時，則，即充分性成立；反之，當(dāng)時，，即必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要條件．故選：.5.從3臺甲型和6臺乙型打印機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型打印機各1臺，則不同的取法共有（）A.15利 B.21種 C.63種 D.84種【答案】C【解析】【分析】分為兩種情況，結(jié)合組合數(shù)公式和計數(shù)原理求解即可．【詳解】由題意得，可以取甲型打印機2臺，乙型打印機1臺，或取甲型打印機1臺，乙型打印機2臺，則不同的取法共有（種）．故選：C．6.把函數(shù)的圖像上的所有點向右平移個單位，再把所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，則所得圖像的表達式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角函數(shù)圖像的變化規(guī)律即可得解.【詳解】函數(shù)的圖像上的所有點向右平移個單位得函數(shù)，再把所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍得函數(shù)．故選：．7.已知中，，，，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體為共底面的兩個圓錐，結(jié)合題意代入圓錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖所示，中，，，所以，，以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的組合體為共底面的兩個圓錐，圓錐底面半徑，設(shè)共底面的兩個圓錐的高分別為，則，則幾何體的體積為．故選：.8.已知等邊三角形的邊長為1，則（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量內(nèi)積的定義及運算律計算即可.【詳解】由題意，．故選：C．9.已知雙曲線的離心率為，且焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的焦距為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式及點到直線的距離公式，列出方程組求解.【詳解】雙曲線漸近線的方程為，即．不妨取右焦點，則焦點到漸近線的距離為，由題意知解得，所以雙曲線的焦距．故選：B．10.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值是（）A. B.4 C. D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】正實數(shù)x，y滿足，令，則，，則，由基本不等式可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為，即的最小值是，故選：.二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11.已知，則___________．【答案】【解析】【分析】由兩邊同時平方可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式可求出結(jié)果.【詳解】由兩邊同時平方得，即，得，則．故答案為：.12.已知數(shù)列滿足，，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列的遞推公式，可判斷數(shù)列是一個等差數(shù)列，繼而求得首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式，代入，即可求解.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，因此，所以，所以．故答案為：.13.在空間四邊形中，，的中點分別是P，Q，若，，，則異面直線和所成的角的大小為___________．【答案】【解析】【分析】取中點，則，，所以為異面直線和所成的角或其補角，即可求解.【詳解】取中點，連接，，，因為P，Q分別為，的中點，所以，，所以為異面直線和所成的角或其補角．在中，因為，，，則，所以，即異面直線和所成的角的大小為．故答案為：.14.已知直線與圓相交于兩點，且弦的中點坐標(biāo)是，點為圓上異于的一點，則面積的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合垂徑定理可求得弦心距，繼而求得弦長和點到直線的最大距離，結(jié)合三角形面積公式，即可求解.【詳解】因為圓，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，因為弦AB的中點坐標(biāo)是，由垂徑定理可得,所以圓心到直線的距離，所以，因此點到直線的距離最大為，所以面積的最大值為．故答案為：.15.已知函數(shù)若方程有4個不同的實根，，，．且滿足，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像，作出的圖像，再作出直線，可得出的取值情況，從而得解.【詳解】的圖像開口向下，對稱軸為；先作出函數(shù)的圖像，再作出直線，如圖，由圖可得，，即，，因此，，所以．故答案為：.三、解答題（本大題共8小題，共90分）16.已知關(guān)于的不等式的解集為．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關(guān)系，及含參數(shù)的不等式的解法，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及二次不等式的解法，即可求解.【小問1詳解】因為不等式的解集為，所以，即，所以，解得，所以實數(shù)取值范圍為．【小問2詳解】因為，所以指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，又不等式，即，所以，即，所以，解得，故原不等式的解集為．17.已知函數(shù)，其中m，n為常數(shù)，且，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由．【答案】（1）（2）函數(shù)為奇函數(shù)，理由見解析【解析】【分析】（1）由，列方程組求出即可；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可．【小問1詳解】因為，，所以解得所以．【小問2詳解】因為函數(shù)的定義域為，．所以函數(shù)為奇函數(shù)．18.某中職學(xué)校社團活動深受學(xué)生歡迎，每屆高一新生都踴躍報名參加．現(xiàn)已知高一某藝術(shù)班36名同學(xué)中，有2名男同學(xué)和4名女同學(xué)參加攝影社，在這6名同學(xué)中，2名同學(xué)初中畢業(yè)于同一所學(xué)校，其余4名同學(xué)初中畢業(yè)于其他4所不同的學(xué)校．現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選取2名同學(xué)代表社團參加校際交流活動（每名同學(xué)被選到的可能性相同）（1）若在該班隨機選取2名同學(xué)，求這2名同學(xué)都參加攝影社的概率；（2）求從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表中恰有1名男同學(xué)的概率；（3）求從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表來自不同的初中學(xué)校的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)的應(yīng)用，及古典概率的計算，即可求解.【小問1詳解】由題意，該班36名同學(xué)中共有6名同學(xué)參加攝影社，所以在該班隨機選取2名同學(xué)，這2名同學(xué)都參加攝影社的概率為．【小問2詳解】由題意從6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表共有（種）等可能的結(jié)果，其中恰有1名男同學(xué)的結(jié)果有（種），根據(jù)古典概率計算公式，從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表恰有1名男同學(xué)的概率為．【小問3詳解】從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表來自不同的初中學(xué)校的概率為．19.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足．（1）若，且，求的面積；（2）若，且，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式可求得，由得，結(jié)合條件可得，然后由三角形面積公式求解；（2）由余弦定理得，結(jié)合已知條件可求得，由可求得，進而可得周長．小問1詳解】根據(jù)正弦定理，由得，即，在中，，，所以，又，則，因為，所以．由，得，代入，解得，所以．【小問2詳解】因為，即，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的周長為．20.2025年國慶假期即將來臨，某海邊景區(qū)的酒店有80間海景房，若每間房每天的住宿費為500元時，房間恰好住滿；若將每間房一天的收費標(biāo)準(zhǔn)提升元，則人住的房間數(shù)會相應(yīng)減少間．（1）該酒店每間海景房每天住宿費為多少元時每天的收入不少于60000元？（2）若該海景酒店每天的固定消耗成本為30000元，每間入住的房間消耗成本為200元，問每間海景房每天住宿費為多少元時利潤最大？最大為多少元？【答案】（1）每天住宿費在元之間時每天的收入不少于60000元（2）每天住宿費為1350元時利潤最大，最大為22900元【解析】【分析】（1）由題意列出不等式求解；（2）設(shè)海景酒店每天的利潤為元，得出的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【小問1詳解】由題意得，化簡得，即，，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以該酒店每間海景房每天住宿費在元之間時每天的收入不少于60000元．【小問2詳解】設(shè)海景酒店每天的利潤為元，則，化簡得，，所以當(dāng)時，，即每間海景房每天住宿費為1350元時利潤最大，最大為22900元．21.如圖所示，在正四棱錐中，是四棱錐的高，是斜高，且，．（1）求四棱錐表面積和體積；（2）證明：平面平面．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用棱錐的表面積和體積公式計算即可；（2）由平面得，又，所以平面，進而可證得結(jié)論．【小問1詳解】在中，，由題可知四邊形為正方形，所以，則，所以．在中，，所以四棱錐的表面積，四棱錐的體積．【小問2詳解】由題意得，平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又因平面，所以平面平面．22.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件化簡，并利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由（1）求出等比數(shù)列的通項公式，進而求出數(shù)列的通項公式；（3）由分組求和法結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和法，求出數(shù)列的前項和.【小問1詳解】因為，所以，又，則，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知數(shù)列為等比數(shù)列，又，所以首項為，公比，所以，所以.【小問3詳解】.23.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的方程；（2）過點作