/4.7相似三角形的性質第1課時相似三角形中對應線段的比基礎夯實知識點 相似三角形對應線段的比1.轉移教材變式「2025河北張家口橋西期中」已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它們的對應角平分線,若ACA'C'=A.2 B.3 C.6 D.92.跨理域學科教材變式「2025河南南陽期中」為了證明光小孔成像素養(yǎng)P108習題T2沿直線傳播這一性質，大約在二千四百年前，我國杰出的科學家墨翟和他的學生做了世界上第一個小孔成像的實驗，解釋了小孔成倒像的原理.如圖所示的是小孔成像原理的示意圖，AB為蠟燭，CD為蠟燭AB在暗盒中所成的像，若6cm長的蠟燭AB在暗盒中所成的像CD的長是1cm,AB與小孔O之間的距離為18cm，則小孔O到像CD的距離為()A.1cm B.2cmC.3cm D.4cm3.「2025北京順義三中期中」圖1是可折疊的熨衣架的實物圖，圖2是它的側面示意圖，AD與CB相交于點O，AB∥CD，根據圖2中的數據可得x的值為()A.0.4 B.0.35 C.0.3 D.0.64.「2025上海金山期中」如果兩個相似三角形對應邊上的高之比是4∶9，那么它們的對應中線之比等于5.新考慮作圖求證：相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比.要求：(1)根據給出的△ABC與∠A'(∠A'=∠A),以A'B'為一邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不寫作法,保留作圖痕跡.(2)在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據此寫出已知、求證和證明過程.6.如圖,△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分別是△ABC,△A'B'C'的角平分線,D,D'分別是BC,B'C'的三等分點,且CD=2BD,C'D'=2B'D',連接AD,A'D'.求證：AD7.「2025山東濟南月考，窗」圖1是裝滿了液體的高腳杯(數據如圖)，用去部分液體后，放在水平的桌面上，如圖2所示，此時液面距離杯口的距離h為()A.?/5cm B.2cm C.125 cm 8.「2024江西贛州大余二模，☆☆」如圖，某校宣傳欄BC后面12米處種有一排與宣傳欄平行的樹，即BC∥ED，且相鄰兩棵樹的間隔為2米，一人站在宣傳欄前面的A處正好看到兩端的樹干，其余的樹均被宣傳欄擋住.已知AF⊥BC,AF=3米,BC=10米,則該宣傳欄后線段DE上(含端點)共有棵樹.(不計宣傳欄的厚度)9.三角形余料ABC,它的邊BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的邊QM在BC上,頂點P,N分別在AB,AC上,且PN與AD交于點E.(1)求加工成的正方形零件的邊長.(2)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形可分割成兩個并排放置的正方形，如圖2，此時，這個矩形零件的兩條相鄰邊長分別為多少?請計算.素養(yǎng)提優(yōu)10.新疆唯力當∠BAE和∠B'A'E'分別是△ABC和△A'B'C'的外角時,定義:若AD,A'D'分別是∠BAE和∠B'A'E'的平分線,且交CB,C'B'的延長線于D,D',則稱AD,A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的外角平分線段.我們知道：兩個相似三角形對應邊上的高、中線和對應的角平分線之比都等于相似比，那么兩個相似三角形對應的外角平分線段之比是否等于相似比呢?例如：如圖，已知△ABC∽△A'B'C',且△ABC與△A'B'C'的相似比為k,AD、A'D'分別是△ABC、△A'B'C'的外角平分線段，那么ADA相似三角形周長比、面積比的性質基礎夯實知識點1相似三角形的周長比和面積比1.「2024重慶中考B卷」若兩個相似三角形的相似比為1：4，則這兩個三角形面積的比是 ()A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:162.「2025河北武邑期中」若△ABC∽△DEF,AB=1,DE=2,則△ABC與△DEF的周長比是 ()A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:23.「2024河北石家莊模擬」如圖所示,△ABC中,DE∥BC,若AD:DB=1:2,則下列結論中正確的是()AC.△ADE的面積△ABC的面積=13 D.△ADE的周長△ABC的周長4.「2024云南中考」如圖,AB與CD交于點O,且AC∥BD.若OA+OC+5.如圖所示,平行四邊形ABCD中,E是BC邊上一點,且BE=EC,BD,AE相交于F點.(1)求△BEF與△AFD的周長之比.(2)若S△BEF知識點2相似多邊形的性質6.如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G分別是BA,BD,BC上的點,EF∥AD,FG∥DC,且AEBE=12A.4:3 B.3:2 C.4:1 D.2:17.「2024陜西咸陽武功期末」四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D',AB:A'B'=1:4,，若四邊形ABCD的周長為3,則四邊形A'B'C'D'的周長為.能力提升8.如圖，在正方形網格中，A，B,C,D是網格線的交點,AC與BD相交于點O,則△ABO的周長與△CDO的周長之比為 ()A.1:2 B.2 :2 C.1:4 D.2 :49.「2025山東棗莊市中期中,」如圖,△ABC∽△ADE,S△A.6 B.22 C.3210.「2025四川威遠新場中學期中,☆☆」如圖,D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點,且DE∥AC,AE、CD相交于點O,若S△DOE:S△COA=4:49,A.23 B.25 C.13 11.如圖,在△ABC中,點D,E,F分別在邊AB,AC,BC上,連接DE,EF,已知四邊形BFED是平行四邊形，DE(1)若AB=8,求線段AD的長.(2)若△ADE的面積為1,求平行四邊形BFED的面積.素養(yǎng)提優(yōu)12.新課標的如圖，有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,點B、C、Q、R在同一條直線上，當C、Q兩點重合時，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直線l按箭頭所示方向開始勻速運動，ts后正方形ABCD與等腰三角形PQR重合部分的面積為Scm2.(1)當t=3時,求S的值.(2)當t=5時,求S的值.13.新應用意識「2025山西長治壺關期中」閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心.(1)特例感知：如圖a，已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點O,求△OBC與△ABC的面積.(2)性質探究：如圖b，已知△ABC的重心為點O，請判斷ODOA(3)性質應用：如圖c，在正方形ABCD中，點E是CD的中點,連接BE交對角線AC于點M.①若正方形ABCD的邊長為4,求EM的長度；②若S△7相似三角形的性質第1課時相似三角形中對應線段的比1.C∵△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它們的對應角平分線，∴AC:A'C'=BD:B'D',∵AC2.C設小孔O到像CD的距離為hcm,由題意可知△ABO與△CDO相似,∵6cm長的蠟燭AB在暗盒中所成的像CD的長是1cm，∴183.A∵AB∥CD,∴△COD∽△BOA,∴CD4答案4.9解析：兩個相似三角形對應邊上的高之比是4：9，..這兩個相似三角形的相似比為4∶9，∴它們的對應中線之比等于4：9.故答案為4：9.5解析(1)如圖所示,△A'B'C'即為所求.(2)(答案不唯一)已知:如圖,△ABC∽△A'B'C',A'B'證明:∵D是AB的中點,D'是A'B'的中點,∵△ABC△6.證明∵△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分別是△ABC,△A'B'C'的角平分線,∴∵CD=2BD,C'D'=2B'D',∴∵∠ABD=∠A'B'D',∴△ABD∽△A'B'D',∴能力提升7.A如圖,過O作ON⊥CD于N,交AB于M,∵CD∥AB,∴OM⊥AB,?∴··CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,∴OA=OMN,∴答案26解析如圖，設AF的延長線交DE于點G，∵BC∥ED,AF⊥BC,∴△ABC∽△ADE,AG⊥DE,?AF∴AG=AF+FG=15米,又BC=10米,∴∴DE=50米.∵50÷2=25,∴DE上共有25+1=26棵樹，故答案為26.9.解析(1)設正方形PQMN的邊長為xmm,則PN=PQ=ED=xmm,∴AE=AD-ED=(80-x)mm,∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴PNBC=AE∴加工成的正方形零件的邊長是48mm.(2)設PQ=xmm,則PN=2xmm,AE=(80-x)mm,.PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴PNBC=AEAD,..這個矩形零件的兩條相鄰邊長分別為2407mm素養(yǎng)提優(yōu)10.解析結論:ADA證明:∵.△ABC∽△A'B'C',且△ABC與△A'B'C'的相似比為k，∴∠BAC=∠B'A'C',∠C=∠C',AB:A'B'=k,∴∠EAB=∠E'A'B',∵∠ABD=∠BAC+∠C,∠A'B'D'=∠B'A'C'+∠C',∴∠ABD=∠A'B'D',∵AD、A'D'分別是△ABC、△A'B'C'的外角平分線段,∴∠..∠BAD=∠B'A'D',∴△BAD∽△B'A'D',.AD:A'D'=AB:A'B'=k，即AD第2課時相似三角形周長比、面積比的性質1.D根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方知，若兩個相似三角形的相似比為1∶4，則這兩個三角形面積的比是1∶16，故選D.2.A.△ABC∽△DEF,∴△ABC與△DEF的相似比頭頭ABDE3.D∵DE∥BC,..△ADE∽△ABC,∵AD:DB=1∶2,∵AD:AB=1:3,∴△ADE和△ABC的相似比為1∶3，∵周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，∴D中結論正確.故選D.4.答案1解析∵AC∥BD,∴△AOC∽△BOD,根據相似三角形的周長比等于相似比知OA+OC+ACOB5.解析(1)∵在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,∴△BEF∽△DAF.∵AD=BC,BE=EC,∴BE=12BC=12(2)由(1)可知△BEF∽△DAF,且相似比為126.B因為AEBE=1因為EF∥AD,所以△BEF∽△BAD,所以BE因為FG∥CD,所以△BFG∽△BDC,所以BFBD=FG由EF∥AD,FG∥CD可知∠A=∠BEF,∠C=∠FGB,∠ADB=∠EFB,∠BDC=∠BFG,所以∠ADC=∠EFG,又∠ABC=∠EBG,所以四邊形ABCD∽四邊形EBGF,所以7.答案 12解析∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C能力提升8.A設題圖中每個小正方形的邊長為1，易知AB=2,CD=2∴△ABO的周長:△CDO的周長=AB∶CD=1∶2.故選A.9.A∵S△10.B∵D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點,且DE∥AC,∴△DOE∽△COA,△DBE∽△ABC,∵S△DOE11.解析(1)因為四邊形BFED是平行四邊形,所以DE∥BC,所以△ADE∽△ABC.所以AD因為AB=8,所以AD=2.(2)設△ABC的面積為S,△ADE的面積為S?,△CEF的面積為S?.因為DEBC=14,所以S1S=DEBC2=116.因為S素養(yǎng)提優(yōu)12.解析(1)過P作PE⊥QR于點E,如圖.∵在Rt△PQE中，根據勾股定理，得PE當t=3時,QC=3cm.設PQ交CD于點G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴:∴S△QCC(2)當t=5時,點B與點Q重合,CR=3cm,過P作PE⊥BC于點E,設PR與DC交于點M,如圖.:PE∥DC,∴△RCM∽△REP.同(1)可求出S698cm1