§4邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”學習目標1.了解“且”“或”作為邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，掌握“p或q”“p且q”命題的真假規(guī)律(重點).2.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義，能寫出簡單命題的綈p命題(重、難點).知識點一“且”(1)定義：一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作p且q.(2)命題p且q的真假判定pqp且q真真真真假假假真假假假假(3)邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與集合中的“交集”的含義相同，可以用“且”來定義集合A與B的交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.知識點二“或”(1)定義：一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作p或q.(2)命題p或q的真假判定pqp或q真真真真假真假真真假假假(3)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與集合中的“并集”含義相同，可以用“或”來定義集合A與B的并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.【預習評價】(正確的打√，錯誤的打×)(1)48是16與12的公倍數(shù).()(2)方程x2＋x＋3＝0沒有實數(shù)根.()(3)相似三角形的周長相等或?qū)窍嗟?()提示(1)這個命題是“p∧q”的形式，其中p：48是16的倍數(shù)，是真命題；q：48是12的倍數(shù)，是真命題，所以“48是16與12的公倍數(shù)”是真命題.(2)這個命題是“綈p”的形式，其中p：方程x2＋x＋3＝0有實數(shù)根，是假命題，所以命題“方程x2＋x＋3＝0沒有實數(shù)根”是真命題.(3)這個命題是“p∨q”的形式.其中p：相似三角形的周長相等，是假命題；q：相似三角形的對應角相等，是真命題，所以“相似三角形的周長相等或?qū)窍嗟取笔钦婷}.答案(1)√(2)√(3)√知識點三“非”(1)定義：一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作綈p，讀作非p.(2)命題綈p的真假判定p綈p真假假真(3)邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”與集合中的“補集”含義相同，可以用“非”來定義集合A在全集U中的補集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}.(4)命題“p且q”與“p或q”的否定命題：①綈(p且q)＝綈p或綈q；②綈(p或q)＝綈p且綈q.【預習評價】1.x∈A∪B的含義是什么？提示x∈A或x∈B，有三種情況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A并且x∈B.2.綈p是命題p的否命題嗎？提示不是，設命題p為：若m則n，那么命題p的否命題是若綈m則綈n，而綈p是若m則綈n.即：命題的否定只否定命題的結(jié)論，而否命題既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論.3.用“充分、必要、充要”填空：(1)p∨q為真命題是p∧q為真命題的________條件.(2)綈p為假命題是p∨q為真命題的________條件.解析因為或命題為真，則一真即真，且命題為真，必須都為真，因此第一個命題中，條件是結(jié)論成立的必要條件，而(2)中，非p為假，說明p為真，則或命題為真，因此(2)中，條件是結(jié)論成立的充分條件.答案(1)必要(2)充分題型一p且q命題及p或q命題【例1】分別寫出下列命題構(gòu)成的“p且q”“p或q”的形式，并判斷它們的真假.(1)p：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)，q：函數(shù)y＝3x2是增函數(shù)；(2)p：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，q：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角；(3)p：eq\r(3)是無理數(shù)，q：eq\r(3)是實數(shù)；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，q：方程x2＋2x＋1＝0兩根的絕對值相等.解(1)p且q：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)且是增函數(shù)；∵p真，q假，∴p且q為假.p或q：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)或是增函數(shù)；∵p真，q假，∴p或q為真.(2)p且q：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和且大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角；∵p真，q真，∴p且q為真.p或q：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和或大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角；∵p真，q真，∴p或q為真.(3)p且q：eq\r(3)是無理數(shù)且是實數(shù)；∵p真，q真，∴p且q為真.p或q：eq\r(3)是無理數(shù)或是實數(shù)；∵p真，q真，∴p或q為真.(4)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根且兩根的絕對值相等；∵p真，q真，∴p且q為真.p或q：方程x2＋2x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根或兩根的絕對值相等；∵p真，q真，∴p或q為真.規(guī)律方法(1)判斷“p且q”形式的命題的真假，首先判斷命題p與命題q的真假，然后根據(jù)真值表“一假則假，全真則真”進行判斷.(2)判斷“p或q”形式的命題的真假，首先判斷命題p與命題q的真假，只要有一個為真，即可判定“p或q”形式命題為真，而p與q均為假命題時，命題“p或q”為假命題，可簡記為：有真則真，全假為假.【訓練1】指出下列命題的構(gòu)成形式及構(gòu)成它們的簡單命題：(1)李明是男生且是高一學生；(2)方程2x2＋1＝0沒有實數(shù)根；(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一學生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有實根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.題型二綈p命題【例2】寫出下列命題的否定形式.(1)面積相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，則實數(shù)m、n全為零；(3)若xy＝0，則x＝0或y＝0.解(1)面積相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，則實數(shù)m、n不全為零.(3)若xy＝0，則x≠0且y≠0.規(guī)律方法綈p是對命題p的全盤否定，對一些詞語的正確否定是寫綈p的關(guān)鍵，如“都”的否定是“不都”，“至多兩個”的反面是“至少三個”、“p且q”的否定是“綈p或綈q”等.【訓練2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假.(1)p：y＝sinx是周期函數(shù)；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的約數(shù).解(1)綈p：y＝sinx不是周期函數(shù).命題p是真命題，綈p是假命題；(2)綈p：3≥2.命題p是假命題，綈p是真命題；(3)綈p：空集不是集合A的子集.命題p是真命題，綈p是假命題；(4)綈p：5是75的約數(shù).命題p是假命題，綈p是真命題.【探究1】已知命題p：函數(shù)f(x)＝2ax2－x－1(a≠0)在(0，1)內(nèi)恰有一個零點；命題q：函數(shù)y＝x2－a在(0，＋∞)上是減函數(shù).若p且綈q為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析由題意，命題p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝1＋8a＞0，,a＞0，,f（0）·f（1）＝（－1）·（2a－2）＜0，))解得a＞1.命題q：2－a＜0，得a＞2，所以綈q：a≤2，故由p且綈q為真命題，得1＜a≤2.答案(1，2]【探究2】已知c＞0，且c≠1.設命題p：函數(shù)f(x)＝logcx為減函數(shù)，命題q：當x∈[eq\f(1,2)，2]時，函數(shù)g(x)＝x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)恒成立.如果p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)c的取值范圍為________.解析由f(x)＝logcx為減函數(shù)得0＜c＜1.當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時，由基本不等式可得g(x)＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值為g(1)＝2.當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時，由函數(shù)g(x)＝x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)恒成立，得2＞eq\f(1,c)，解得c＞eq\f(1,2)，又c≠1，所以c＞eq\f(1,2)且c≠1.如果p真q假，則0＜c≤eq\f(1,2)；如果p假q真，則c＞1，所以實數(shù)c的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)【探究3】已知命題p：方程x2＋2ax＋1＝0有兩個大于－1的實數(shù)根，命題q：關(guān)于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集為R，若“p或q”與“綈q”同時為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.解命題p：方程x2＋2ax＋1＝0有兩個大于－1的實數(shù)根，等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4≥0，,x1＋x2>－2，,（x1＋1）（x2＋1）>0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1≥0，,－2a>－2,2－2a>0，))，解得a≤－1.命題q：關(guān)于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集為R，等價于a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))由于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a<0，))解得0<a<4，所以0≤a<4.因為“p或q”與“綈q”同時為真命題，即p真且q假，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－1，,a<0或a≥4，))解得a≤－1.故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1].規(guī)律方法由真值表可判斷p或q、p且q、綈p命題的真假，反之，由p或q，p且q，綈p命題的真假也可判斷p、q的真假情況.一般求滿足p假成立的參數(shù)范圍，應先求p真成立的參數(shù)的范圍，再求其補集.課堂達標1.命題p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分條件，命題q：△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件，則()A.p真q假 B.p且q為真C.p或q為假 D.p假q真解析命題p假，命題q真.答案D2.給出下列命題：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判別式大于或等于0；③25是6或5的倍數(shù)；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析①由于2>1是真命題，所以“2>1或1>3”是真命題；②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判別式大于或等于0”是真命題；③由于25是5的倍數(shù)，所以命題“25是6或5的倍數(shù)”是真命題；④由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命題“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命題.答案D3.命題“菱形的對角線垂直并且互相平分”中使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞是________，所以此命題是________形式的命題.解析命題使用了“且”，是“p且q”形式的命題.答案且p且q4.已知p：不等式ax＋b＞0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞－\f(b,a)))，q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集為{x|a＜x＜b}.若“p或q”是假命題，則a，b滿足的條件是________.解析因為p或q為假命題，所以p，q均為假命題，p假?a≤0，q假?a≥b，則b≤a≤0.答案b≤a≤05.分別指出由下列命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命題的真假.(1)p：3是9的約數(shù)，q：3是18的約數(shù).(2)p：菱形的對角線相等，q：菱形的對角線互相垂直.(3)p：方程x2＋x－1＝0的兩實根符號相同，q：方程x2＋x－1＝0的兩實根絕對值相等.(4)p：π是有理數(shù)，q：π是無理數(shù).解(1)因為p是真命題，q是真命題，所以p或q是真命題，p且q是真命題，綈p是假命題.(2)因為p是假命題，q是真命題，所以p或q是真命題，p且q是假命題，綈p是真命題.(3)因為p是假命題，q是假命題，所以p或q是假命題，p且q是假命題，綈p是真命題.(4)因為p是假命題，q是真命題，所以p或q是真命題，p且q是假命題，綈p是真命題.課堂小結(jié)1.正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞是解題的關(guān)鍵，日常用語中的“或”是兩個中任選一個，不能都選，而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”是兩個中至少選一個.2.判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的步驟：(1)逐一判斷命題p，q的真假.(2)根據(jù)“且”“或”的含義判斷“p且q”，“p或q”的真假.p且q為真?p和q同時為真，p或q為真?p和q中至少一個為真.3.若命題p為真，則“綈p”為假；若p為假，則“綈p”為真，類比集合知識，“綈p”就相當于集合p在全集U中的補集?Up.因此(綈p)且p為假，(綈p)或p為真.4.命題的否定只否定結(jié)論，否命題既否定結(jié)論又否定條件，要注意區(qū)別.基礎過關(guān)1.已知命題p：2＋2＝5，命題q：3>2，則下列判斷正確的是()A.“p或q”為假，“綈q”為假B.“p或q”為真，“綈q”為假C.“p且q”為假，“綈p”為假D.“p且q”為真，“p或q”為假解析顯然p假q真，故“p或q”為真，“p且q”為假，“綈p”為真，“綈q”為假，故選B.答案B2.已知全集S＝R，A?S，B?S，若p：eq\r(2)∈(A∪B)，則“綈p”是()A.eq\r(2)A B.eq\r(2)?SBC.eq\r(2)(A∩B) D.eq\r(2)∈(?SA)∩(?SB)解析p：eq\r(2)∈(A∪B)，綈p：eq\r(2)∈?S(A∪B)，即eq\r(2)∈(?SA)∩(?SB).答案D3.已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命題是()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④解析當x>y時，－x<－y，故命題p為真命題，從而綈p為假命題.當x>y時，x2＞y2不一定成立，故命題q為假命題，從而綈q為真命題.由真值表知，①p且q為假命題；②p或q為真命題；③p且(綈q)為真命題；④(綈p)或q為假命題.故選C.答案C4.命題“若a<b，則2a<2b”的否命題為“________________”，命題的否定為“________________”.解析命題“若a<b，則2a<2b”的否命題為“若a≥b，則2a≥2b”，命題的否定為“若a<b，則2a≥2b”.答案若a≥b，則2a≥2b若a<b，則2a≥2b5.若命題p：不等式ax＋b>0的解集為{x|x>－eq\f(b,a)}，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集為{x|a<x<b}，則“p且q”“p或q”“非p”中真命題是________.解析因為命題p，q均為假命題，所以“p或q”“p且q”均為假命題，而“非p”為真命題.答案非p6.已知命題p：方程x2＋ax＋1＝0有兩個不等的實根；命題q：方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0無實根，“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)a的取值范圍.解∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p與q一真一假，由a2－4>0得a>2或a<－2.由4(a－4)2－4×4<0得2<a<6.①若p真q假，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>2或a<－2，,a≤2或a≥6，))∴a<－2或a≥6；②若p假q真，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a≤2，,2<a<6，))通過分析可知不存在這樣的a.綜上，a<－2或a≥6.實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)∪[6，＋∞).7.已知c>0，設p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，q：曲線y＝4x2－4ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋c2＋1與x軸交于不同的兩點，若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求c的取值范圍.解方法一∵函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，∴0<c<1.令A＝{c|0<c<1}.由y＝4x2－4ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋c2＋1與x軸交于不同的兩點，可得方程4x2－4cx＋c2－2c＋1＝0所對應的判別式Δ＝16c2－16(c2－2c＋1)>0.解得c>eq\f(1,2)，令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|c>\f(1,2))).根據(jù)題意，如果p真，q假，則0<c≤eq\f(1,2)；如果p假，q真，則c≥1，∴c的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).方法二同方法一，問題等價于求集合[(?RB)∩A]∪[(?RA)∩B]＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).∴c的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).能力提升8.已知命題p：若a＝(1，2)與b＝(－2，λ)共線，則λ＝－4；命題q：任意k∈R，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2－2y＝0相交.則下面結(jié)論正確的是()A.(綈p)或q是真命題 B.p且(綈q)是真命題C.p且q是假命題 D.p或q是假命題解析命題p為真，命題q：圓心(0，1)到直線kx－y＋1＝0的距離為d＝eq\f(|0|,\r(k2＋1))<1，命題q是真命題.故(綈p)或q是真命題.答案A9.給定命題p：函數(shù)y＝ln[(1－x)(x＋1)]為偶函數(shù)；命題q：函數(shù)y＝eq\f(ex－1,ex＋1)為偶函數(shù)，下列說法正確的是()A.p或q是假命題 B.(綈p)且q是假命題C.p且q是真命題 D.(綈p)或q是真命題解析p中，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，又定義域關(guān)于原點對稱，故函數(shù)為偶函數(shù)，故p為真；q中，f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(1－ex,ex＋1)＝－f(x)，定義域為R，故函數(shù)為奇函數(shù)，故q為假，故(綈p)且q為假.答案B10.已知命題p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，則有平面α∥平面γ；命題q：若平面α上不共線的三點到平面β的距離相等，則有平面α∥平面β.對以上兩個命題，下列結(jié)論中：①p且q為真；②p或q為假；③p或q為真；④(綈p)或(綈q)為假.其中，正確的是________(填序號).解析命題p是假命題，這是因為α與γ也可能相交，命題q也是假命題，這兩個平面α，β也可能相交.答案②11.命題p：若a·b＞0，則a與b的夾角為銳角；命題q：若函數(shù)f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù).給出下列結(jié)論：①“p或q”是真命題；②“p或q”是假命題；③綈p為假命題；④綈q為假命題.其中所有正確的結(jié)論的序號為________.解析當a·b＞0時，a與b的夾角為銳角或零度角，所以命題p是假命題；命題q是假命題，例如f(x)＝eq\b\