第七單元立體幾何第40講空間幾何體的三視圖和直觀圖﹑表面積與體積課前雙擊鞏固1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形結(jié)構(gòu)特征①有兩個面互相,其余各個面都是;

②每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

有一個面是,其余各面是有一個公共頂點的的多面體

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,和之間的部分

側(cè)棱

相交于,但不一定相等

延長線交于

側(cè)面形狀

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等,于底面

相交于

延長線交于

軸截面全等的全等的全等的

側(cè)面展開圖

3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則:長對正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測畫法:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中x'軸、y'軸的夾角為,z'軸與x'軸和y'軸所在平面.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍,平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度,平行于y軸的線段在直觀圖中長度為

4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=

S圓錐側(cè)=

S圓臺側(cè)=

5.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=

臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13(S上+S下S上S球S=

V=

常用結(jié)論1.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關(guān)系:S直觀圖=24S原圖形,S原圖形=22S直觀圖2.多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論.(1)設正方體的棱長為a,則它的內(nèi)切球半徑r=a2,外接球半徑R=3(2)設長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則它的外接球半徑R=a2(3)設正四面體的棱長為a,則它的高為63a,內(nèi)切球半徑r=612a,外接球半徑R=3.正方體的截面情況:三角形、四邊形(有菱形、矩形、梯形等)、五邊形、六邊形.題組一常識題1.[教材改編]一個幾何體由5個面圍成,其中兩個面是互相平行且全等的三角形,其他面都是全等的矩形,則該幾何體是;一個等腰直角三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的封閉曲面所圍成的幾何體是.

2.[教材改編]如圖7401所示,圖①②③是圖④表示的幾何體的三視圖,若圖①是正視圖,則圖②是,圖③是.

圖74013.[教材改編]已知正三角形ABC的邊長為a,那么△ABC的平面直觀圖△A'B'C'的面積為.

4.[教材改編]如圖7402所示是一個幾何體的三視圖,正視圖是長為2,寬為1的矩形,俯視圖是正方形,側(cè)視圖是半圓,則這個幾何體的表面積是,體積是.

圖7402題組二常錯題◆索引:不清楚三視圖的三個視圖之間的長度關(guān)系致錯;幾何體的還原不準確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認識不準確致誤;對幾何體與其外接球的結(jié)構(gòu)不清楚致誤.5.給出下列說法:①有兩個平面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱;②四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形;③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;④棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確說法的序號是.

6.一個四面體的三視圖如圖7403所示,則該四面體的表面積是.

圖74037.若某幾何體的三視圖如圖7404所示,則此幾何體的體積是.

圖74048.某幾何體的三視圖如圖7405所示,則該幾何體的外接球的表面積是.

圖7405課堂考點探究探究點一空間幾何體的三視圖和直觀圖1(1)[2017·南昌二模]一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),12,1,0,繪制該四面體的三視圖時,按照如圖7406所示的方向畫正視圖,則得到的側(cè)視圖可以為 ()圖7406圖7407(2)[2017·北京卷]某四棱錐的三視圖如圖7408所示,則該四棱錐的最長棱的長度為()圖7408A.32 B.23C.22 D.2[總結(jié)反思]分析空間幾何體的三視圖可從以下幾方面著手:(1)由三視圖中的線是否含有曲線,可確定該幾何體是多面體還是旋轉(zhuǎn)體.(2)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面,再根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)面與側(cè)棱的特征,調(diào)整虛、實線對應的棱、面的位置,可確定幾何體的形狀.(3)由三視圖還原實物圖,要遵循以下三步:①看視圖,明關(guān)系;②分部分,想整體;③綜合起來,定整體.式題(1)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖7409所示,則該幾何體的側(cè)視圖為 ()圖7409圖74010(2)某幾何體的三視圖如圖74011所示,則該幾何體中最長棱的長度為 ()圖74011A.33 B.26C.21 D.25探究點二空間幾何體的表面積與體積2(1)[2017·渭南質(zhì)檢]某幾何體的三視圖如圖74012所示,則該幾何體的體積為 ()A.64 B.644πC.648π D.644圖74012(2)[2017·太原模擬]某幾何體的三視圖如圖74013所示,則該幾何體的表面積為 ()A.7π3 B.8C.(4+2)π D.(5+2)π圖74013[總結(jié)反思](1)根據(jù)三視圖求表面積、體積時,解題的關(guān)鍵是對所給三視圖進行分析,得到幾何體的直觀圖.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和,求組合體的表面積時要注意重合部分的面積,不要漏算或多算,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題要熟練應用其側(cè)面展開圖的面積公式.(3)求規(guī)則幾何體的體積,只需確定其底面積與相應的高,而對于一些不規(guī)則幾何體的體積往往需采用分割法或補形法,轉(zhuǎn)化求解.式題(1)[2017·鄭州質(zhì)檢]如圖74014是某個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積是()A.2+π2 B.2+C.4+π3 D.4+圖74014(2)[2017·長沙一中二模]如圖74015,某幾何體的三視圖為三個邊長均為1的正方形及兩條對角線,則該幾何體的表面積為 ()A.22 B.23C.3 D.4圖74015探究點三空間幾何體與球的切﹑接問題考向1幾何體的外接球3(1)[2017·深圳二調(diào)]已知三棱錐SABC中,△ABC是直角三角形,其斜邊AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,則該三棱錐的外接球的表面積為 ()A.64π B.68πC.72π D.100π(2)[2017·全國卷Ⅰ]已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐SABC的體積為9,則球O的表面積為.

[總結(jié)反思]一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題,解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點,即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.考向2幾何體的內(nèi)切球4(1)在三棱錐PABC中,側(cè)棱PA=PB=2,PC=6,則當三棱錐PABC的三個側(cè)面的面積和最大時,三棱錐PABC的內(nèi)切球的表面積是 ()A.(3286)πB.(32166)πC.(4086)πD.(40166)π(2)若一個正四面體的表面積為S1,其內(nèi)切球的表面積為S2,則S1S2[總結(jié)反思]求解多面體的內(nèi)切球問題,一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點,多面體的各側(cè)面為底面的棱錐,利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.強化演練1.【考向1】正四棱錐PABCD的側(cè)棱和底面邊長都等于22,則它的外接球的表面積是()A.16π B.12πC.8π D.4π2.【考向2】在直三棱柱ABCA1B1C1中,BC⊥AC,AC=12,BC=5,若一個球和該三棱柱的各個面都相切,則該三棱柱的表面積為 ()A.60 B.180C.240 D.3603.【考向2】如圖74016,已知球O是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球,則平面ACD1截球O的截面面積為 ()A.66π B.C.π6 D.3圖740164.【考向1】在三棱錐SABC中,側(cè)棱SA⊥底面ABC,AB=5,BC=8,∠ABC=60°,SA=25,則該三棱錐的外接球的表面積為 ()A.643π B.256C.4363π D.20485.【考向1】長方體ABCDA1B1C1D1的各個頂點都在表面積為16π的球O的球面上,若AB∶AD∶AA1=2∶1∶3,則四棱錐OABCD的體積為.

第41講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課前雙擊鞏固1.空間圖形的公理與定理公理1:如果一條直線上的在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2:過的三點,有且只有一個平面.

公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相.

定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角或.

2.空間直線之間的位置關(guān)系(1)空間直線共面(2)異面直線所成的角①定義:設a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點O作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍:.

3.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)a?α有

公共點直線在平面外直線a與平面α平行a∥α

公共點直線a與平面α斜交a∩α=A直線a與平面α垂直

有且只有一個公共點(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點或直線兩平面平行

公共點兩平面相交斜交

有一條公共

垂直

題組一常識題1.[教材改編]共點的三條直線最少可確定個平面,最多可確定個平面.

2.[教材改編]已知直線a與b平行,直線c與b相交,則直線a與c的位置關(guān)系是.

3.[教材改編]已知互相垂直的平面α,β交于直線l,若直線n滿足n⊥β,則n與l的位置關(guān)系為.

4.[教材改編]三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,側(cè)棱垂直于底面,底面邊長為2,高為2,M是AB的中點,則直線CM與BC1所成的角等于.

題組二常錯題◆索引:忽略公理2的條件致誤;對異面直線概念的理解不準確致誤;忽視異面直線的取值范圍致誤.5.若a,b是異面直線,c與a,b都相交,則由這三條直線可以確定個平面.

6.下列關(guān)于異面直線的說法正確的是.

(1)若a?α,b?β,則a與b是異面直線;(2)若a與b異面,b與c異面,則a與c異面;(3)若a,b不同在平面α內(nèi),則a與b異面;(4)若a,b不同在任何一個平面內(nèi),則a與b異面.7.已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的條件.(填充分不必要、必要不充分、充要)

8.若一條直線與一個平面所成的角為π3,則此直線與這個平面內(nèi)任意一條直線所成角的取值范圍是課堂考點探究探究點一平面的基本性質(zhì)1在正方體ABCDA1B1C1D1中,判斷下列說法是否正確,并說明理由.(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi);(2)設正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的中心分別為O,O1,則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1;(3)由點A,O,C可以確定一個平面;(4)由A,C1,B1確定的平面是ADC1B1;(5)設直線l是平面ABCD內(nèi)的直線,直線m是平面DD1C1C內(nèi)的直線,若l與m相交,則交點一定在直線CD上.

[總結(jié)反思](1)三個公理是立體幾何的基礎(chǔ).公理1是確定直線在平面內(nèi)的依據(jù);公理2是利用點或直線確定平面的依據(jù);公理3是確定兩個平面有一條交線的依據(jù),同時也是證明多點共線、多線共點的依據(jù).(2)證明點共線或線共點的問題,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上,也就是利用公理3,證明點在兩個平面的交線上,或者選擇其中兩點確定一條直線,然后證明另一點也在該直線上.式題(1)若點P∈平面α,點Q∈平面α,點R∈平面β,α∩β=m,且R?m,PQ∩m=M,過P,Q,R三點確定一個平面γ,則β∩γ是 ()A.直線QR B.直線PRC.直線RM D.以上均不正確(2)給出下列四個說法:①經(jīng)過三點確定一個平面;②梯形可以確定一個平面;③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;④若兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.其中正確說法的個數(shù)是 ()A.0 B.1C.2 D.3探究點二空間兩條直線的位置關(guān)系2(1)[2017·東北三省三校聯(lián)考]已知α是一個平面,m,n是兩條不同的直線,A是一個點,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,則m,n的位置關(guān)系不可能是 ()A.垂直 B.相交C.異面 D.平行(2)[2017·臨汾一模]已知平面α和直線a,b,則下列說法正確的是 ()A.若直線a,b與平面α所成角都是30°,則這兩條直線平行B.若直線a,b與平面α所成角都是30°,則這兩條直線不可能垂直C.若直線a,b平行,則這兩條直線中至少有一條與平面α平行D.若直線a,b垂直,則這兩條直線與平面α不可能都垂直[總結(jié)反思](1)要判斷空間兩條直線的位置關(guān)系(平行、相交、異面),可利用定義及公理4,借助空間想象并充分利用圖形進行判斷.(2)判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法:一是構(gòu)造幾何體(如正方體、空間四邊形等)模型來推斷;二是利用排除法.式題(1)對于任意的直線l與平面α,在平面α內(nèi)必有直線m,使得m與l ()A.平行 B.相交C.垂直 D.互為異面直線(2)設a,b,c是空間中三條不同的直線,給出下面四個說法:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a?平面α,b?平面β,則a與b一定是異面直線.其中說法正確的是.(寫出所有正確說法的序號)

探究點三異面直線所成的角3(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1,D是CC1的中點,則CA1與BD所成角的大小是 ()A.π3 B.C.π2 D.(2)如圖7411,E,F分別是三棱錐PABC的棱AP,BC的中點,PC=10,AB=6,EF=7,則異面直線AB與PC所成的角為.

圖7411[總結(jié)反思]用平移法求異面直線所成角的一般步驟:(1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角;(2)求角——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角,通過解三角形,求出所找的角;(3)結(jié)論——設由(2)求出的角的大小為θ,若0°<θ≤90°,則θ即為所求,若90°<θ<180°,則180°θ即為所求.式題(1)已知四棱錐PABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等,點E是PB的中點,則異面直線AE與PD所成角的余弦值為 ()A.13 B.C.33 D.(2)如圖7412所示,正三棱錐ABCD的底面BCD與正四面體EBCD的底面BCD重合,連接AE,則異面直線AE與CD所成角的大小為 ()圖7412A.30° B.45°C.60° D.90°第42講直線、平面平行的判定與性質(zhì)課前雙擊鞏固1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件

結(jié)論a∥αb∥αa∩α=?a∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件

結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α常用結(jié)論1.兩個平面平行,則其中任意一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化:線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導思想,解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律,又要看清題目的具體條件,選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.題組一常識題1.[教材改編]已知直線a∥平面α,P∈α,那么過點P且平行于直線a的直線有條.

2.[教材改編]空間四邊形ABCD中,E,F分別在邊AD,CD上,且滿足DEEA=DFFC,則直線EF與平面ABC的位置關(guān)系是3.[教材改編]如圖7421所示,長方體ABCDA1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1DC1的位置關(guān)系是.

圖74214.[教材改編]如圖7422,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為DD1的中點,則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為.

圖7422題組二常錯題◆索引:對空間平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化條件理解不夠致誤;忽略線面平行判定定理的條件致誤;應用面面平行的判定定理時忽視“面內(nèi)兩條相交直線”這一條件致誤.5.設m,l表示兩條不同的直線,α表示平面,若m?α,則“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的條件.

6.(1)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a與α的位置關(guān)系是.

(2)已知直線a,b和平面α,β,若a?α,b?α,a∥β,b∥β,則α,β的位置關(guān)系是.

(3)若α∥β,直線a∥α,則a與β的位置關(guān)系是.

7.下列條件中,能判斷兩個平面平行的是.

(1)一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面;(2)一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面;(3)一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面;(4)一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面.課堂考點探究探究點一平行關(guān)系的基本問題1(1)[2017·全國卷Ⅰ]如圖7423,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是 ()ABCD圖7423(2)[2017·濟南模擬]平面α∥平面β的一個充分條件是 ()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α[總結(jié)反思]解決空間中線面、面面平行的基本問題要注意以下幾個方面:(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視定理成立的條件;(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷;(3)舉反例否定結(jié)論.式題(1)過三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有 ()A.2條 B.4條C.6條 D.8條(2)設m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,給出下列四個說法:①若m?α,n∥α,則m∥n;②若α∥γ,β∥γ,則α∥β;③若α∩β=n,m∥n,m∥α,則m∥β;④若m∥α,n∥β,m∥n,則α∥β.其中正確說法的序號是.

探究點二線面平行的判定與性質(zhì)2如圖7424所示,在直三棱柱ABCA'B'C'中,M為CC'的中點,N為AB的中點,AA'=BC=3,AB=2,AC=13.圖7424(1)求證:CN∥平面AB'M;(2)求三棱錐B'AMN的體積.

[總結(jié)反思](1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,解題的思路是利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.(2)應用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置,有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線.式題如圖7425所示,在四棱錐PABCD中,AD∥BC,AD=2BC,E為側(cè)棱PC上不同于端點的任意一點.若PA∥平面BDE,求CEPE的值.圖7425

探究點三面面平行的判定與性質(zhì)3如圖7426,在以A,B,C,D,E,F為頂點的多面體中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD.請在圖中作出平面α,使得DE?α,且BF∥α,并說明理由.圖7426

[總結(jié)反思]證明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的定義或判定定理;(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β?α∥β);(3)利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ?α∥γ).式題已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,AD=2BC,E,F分別為CC1,DD1的中點.求證:平面BEF∥平面AD1C1.圖7427

第43講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課前雙擊鞏固1.直線與平面垂直(1)定義:如果直線l與平面α內(nèi)的都垂直,就稱直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫作平面α的,平面α叫作直線l的.

(2)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應用判定根據(jù)定義,證明一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線b是平面α內(nèi)任意一條直線,b?α,a證明直線和平面垂直一條直線與一個平面內(nèi)的都垂直,則該直線與此平面垂直

a,l⊥α如果兩條平行直線中的垂直于一個平面,那么也垂直于同一個平面

a⊥α,a性質(zhì)如果一條直線和一個平面垂直,那么這條直線和這個平面內(nèi)的都垂直

b?α,a證明兩條直線垂直垂直于同一個的兩條直線平行

a⊥α,b證明兩條直線平行2.兩個平面垂直(1)定義:兩個平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個平面互相垂直.

(2)兩個平面垂直的判定和性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應用判定根據(jù)定義,證明兩平面所成的二面角是

∠AOB是二面角αlβ的平面角,且,則α⊥β

證明兩平面垂直如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條,那么這兩個平面互相垂直

l?β,l性質(zhì)如果兩個平面垂直,那么它們所成是直角

α⊥β,∠AOB是二面角αlβ的平面角,則

證明兩條直線垂直如果兩個平面垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的直線垂直于

α⊥l⊥α證明直線與平面垂直常用結(jié)論1.與線面垂直相關(guān)的兩個常用結(jié)論:(1)兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直;(2)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則與另一個平面也垂直.2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化:線線垂直線面垂直面面垂直題組一常識題1.[教材改編]已知直線a,b和平面α,且a⊥α,b∥α,則a與b的位置關(guān)系為.

2.[教材改編]已知三棱錐PABC的三條側(cè)棱都相等,頂點P在底面ABC上的射影為O,則O是△ABC的心.

3.[教材改編]如圖7431所示,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中點,E是PC上的點,且EF⊥BC,則PEEC=圖74314.[教材改編]如圖7432所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD,則在三棱錐ABCD中,平面ADC⊥平面.

圖7432題組二常錯題◆索引:忽略線面垂直的條件致誤;忽視平面到空間的變化致誤.5.“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面α垂直”的條件.

6.已知直線a,b,c,若a⊥b,b⊥c,則a與c的位置關(guān)系為.

7.已知直線a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,則a與α的位置關(guān)系為.

8.已知互相垂直的平面α,β交于直線l,若直線n滿足n⊥β,則n與l的位置關(guān)系是.

課堂考點探究探究點一垂直關(guān)系的基本問題1(1)設a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列四個說法中錯誤的是 ()A.若a⊥b,a⊥α,b?α,則b∥αB.若a∥α,a⊥β,則α⊥βC.若a⊥β,α⊥β,則a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,則α⊥β(2)[2017·全國卷Ⅲ]在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則 ()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC[總結(jié)反思]解決空間中線面、面面垂直的問題有以下三種方法:(1)依據(jù)相關(guān)定理得出結(jié)論;(2)結(jié)合符合題意的模型(如構(gòu)造正方體、長方體)作出判斷;(3)否定命題時只需舉一個反例即可.式題(1)[2017·宣城二調(diào)]已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則下列四個說法中錯誤的是 ()A.若m∥α,m∥β,α∩β=n,則m∥nB.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,則m⊥nC.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,則m⊥αD.若α∥β,m∥α,則m∥β(2)[2017·洛陽三模]若空間中四個不重合的平面α1,α2,α3,α4滿足α1⊥α2,α2⊥α3,α3⊥α4,則下列結(jié)論一定正確的是 ()A.α1⊥α4B.α1∥α4C.α1與α4既不垂直也不平行D.α1與α4的位置關(guān)系不確定探究點二線面垂直的判定與性質(zhì)2[2018·鄭州一中月考]在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB的一個三等分點(靠近點A),CE的延長線與DA的延長線交于點F,連接PF.證明:(1)CD⊥PF;(2)在線段PC,PD上可以分別找到兩點A',A″,使得直線PC⊥平面AA'A″.圖7433

[總結(jié)反思](1)解決直線與平面垂直問題的常用方法:①利用線面垂直的定義;②利用線面垂直的判定定理;③利用線面垂直的性質(zhì);④利用面面垂直的判定定理;⑤利用面面垂直的性質(zhì).(2)由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化,因此整個證明過程圍繞著“線面垂直”這個核心展開,這是化解空間垂直關(guān)系問題難點的技巧所在.式題[2017·北京海淀區(qū)期中]如圖7434所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E,F分別是棱BC,CC1的中點.證明:(1)AB⊥平面AA1C1C;(2)EF⊥A1C.圖7434

探究點三面面垂直的判定與性質(zhì)3[2018·豫南九校質(zhì)檢]在四棱錐PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,△PAD是等邊三角形,已知AD=2,BD=23,AB=2CD=4.(1)設M是PC上一點,求證:平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱錐PABCD的體積.圖7435

[總結(jié)反思](1)證明面面垂直的常用方法:①利用面面垂直的定義;②利用面面垂直的判定定理,轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中(或作輔助線)尋找平面的垂線,即證明線面垂直.(2)兩個平面垂直問題,通常是通過“線線垂直→線面垂直→面面垂直”的過程來實現(xiàn)的.式題如圖7436,在三棱柱ABCA1B1C1中,AC=AA1,AB=BC,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C.求證:BC1⊥平面AA1C1C.圖7436

探究點四平行與垂直的綜合問題考向1平行與垂直關(guān)系的證明4如圖7437,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.圖7437

[總結(jié)反思]處理空間圖形中的平行與垂直問題,一般考慮判定定理和性質(zhì)的應用,當滿足相關(guān)定理的條件時,可直接使用相關(guān)定理得出結(jié)論.考向2探索性問題中的平行與垂直關(guān)系5如圖7438所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由;(2)證明:平面PAB⊥平面PBD.圖7438

[總結(jié)反思]處理空間中平行或垂直的探索性問題,一般是先根據(jù)條件猜測點或直線的位置再給出證明.點一般為中點或三等分點,直線一般為中位線.考向3折疊問題中的平行與垂直關(guān)系6如圖7439(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D為AC的中點,AE⊥BD于點E(不同于點D),延長AE交BC于點F,將△ABD沿BD折起,得到三棱錐A1BCD,如圖(2)所示.(1)若M是FC的中點,求證:直線DM∥平面A1EF.(2)求證:BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD,試判斷直線A1B與直線CD能否垂直?請說明理由.圖7439

[總結(jié)反思]證明折疊問題中的平行與垂直,關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變.一般地,折疊前位于“折痕”同側(cè)的點、線間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變,而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點、線間的位置關(guān)系折疊后會發(fā)生變化.對于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理,而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.強化演練1.【考向1】在三棱錐SABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形,給出以下結(jié)論:①異面直線SB與AC所成的角為90°;②直線SB⊥平面ABC;③平面SBC⊥平面ABC;④點C到平面SAB的距離是12其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ()A.1 B.2C.3 D.4圖743102.【考向1】[2017·寶雞質(zhì)檢]對于四面體ABCD,給出下列四個說法:①若AB=AC,BD=CD,則BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,則BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,則BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,則BC⊥AD.其中正確的說法是 ()A.①② B.②③C.②④ D.①④3.【考向3】如圖74311,以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,翻折△ABD和△ACD,使得平面ABD⊥平面ACD.給出下列四個結(jié)論:①BD⊥AC;②△BAC是等邊三角形;③三棱錐DABC是正三棱錐;④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的結(jié)論是 ()圖74311A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④4.【考向2】如圖74312,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,AB=1,∠ABC=π3,E為PD的中點,PA=1(1)求證:PB∥平面AEC.(2)在棱PC上是否存在點M,使得直線PC⊥平面BMD?若存在,求出點M的位置;若不存在,說明理由.圖74312

第44講空間向量及其運算和空間位置關(guān)系課前雙擊鞏固1.空間向量及其有關(guān)概念名稱語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線

共面向量平行于的向量

共線向量定理對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使

共面向量定理若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb空間向量基本定理(1)定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=.

(2)推論:設O,A,B,C是不共面的四點,則對空間任一點P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=

2.兩個向量的數(shù)量積(1)a·b=.

(2)a⊥b?(a,b為非零向量).

(3)|a|2=,|a|=x23.向量的坐標運算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=

向量差ab=

數(shù)量積a·b=

共線a∥b?(λ∈R,b≠0)

垂直a⊥b?

夾角公式cos<a,b>=a題組一常識題1.[教材改編]已知向量a=(2,3,5),b=3,λ,152,且a∥b,則2.[教材改編]若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(2,0,4),則l與α的位置關(guān)系為.

3.[教材改編]已知在空間四邊形ABCD中,G為CD的中點,則化簡AB+12(BD+BC)=4.[教材改編]如圖7441所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點.若AB=a,AD=b,AA1=c,則BM可用a,b,c表示為圖7441題組二常錯題◆索引:忽略向量共線與共面的區(qū)別,使用向量的數(shù)量積公式出錯.5.給出下列命題:①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行;②若三個向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面;③已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p,總存在實數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc;④若A,B,C,D是空間任意四點,則有AB+BC+CD+DA=0.其中為真命題的是(填序號).

6.已知向量a=(4,2,4),b=(6,3,2),則(a+b)·(ab)的值為.

7.在空間直角坐標系中,A(1,2,3),B(2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),則直線AB與CD的位置關(guān)系是.

課堂考點探究探究點一空間向量的線性運算1如圖7442所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,設AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量(1)AP;(2)A1N;(3)MP+圖7442

[總結(jié)反思]進行向量的線性運算,有以下幾個關(guān)鍵點:(1)結(jié)合圖形,明確圖形中各線段的幾何關(guān)系;(2)正確運用向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義;(3)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍然成立.式題如圖7443所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,O為AC的中點.(1)化簡:A1O12AB(2)用AB,AD,AA1表示OC1,則圖7443探究點二共線﹑共面向量定理的應用2如圖7444所示,已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,用向量方法證明:(1)E,F,G,H四點共面;(2)BD∥平面EFGH.圖7444

[總結(jié)反思]證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題,如要證明P,A,B,C四點共面,只要能證明PA=xPB+yPC即可.對空間任意一點O,若OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),則P,A,B,C四點共面.式題如圖7445所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,點M,N分別在AC1和BC上,且滿足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1),問向量MN是否與向量AB,AA圖7445

探究點三利用空間向量證明平行或垂直3[2017·常錫二模]如圖7446所示,在四面體ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分別為AB,AD,AC的中點,AC=BC,∠ACD=90°.(1)求證:AB⊥平面EDC;(2)若P為FG上任一點,證明:EP∥平面BCD.圖7446

[總結(jié)反思](1)選取空間不共面的三個向量為基底,用基底表示已知條件和所需解決問題的過程就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的過程;(2)通過計算向量的數(shù)量積為0,可證明垂直問題;(3)要證線面平行,證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示.式題如圖7447所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面為平行四邊形,以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長;(2)求證:AC1⊥BD;(3)求異面直線BD1與AC夾角的余弦值.圖7447

第45講立體幾何中的向量方法課前雙擊鞏固1.兩條異面直線所成角的求法(1)設兩條異面直線a,b的方向向量分別為a,b,其夾角為θ,則cosφ=|cosθ|=(其中φ為異面直線a,b所成的角).

(2)兩異面直線所成角φ的取值范圍是.

2.直線和平面所成角的求法(1)如圖7451所示,設直線l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為φ,向量e與n的夾角為θ,則有sinφ=|cosθ|=.

圖7451(2)直線和平面所成角φ的取值范圍是.

3.求二面角的大小(1)如圖7452①所示,AB,CD是二面角αlβ的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小為<AB,CD>.圖7452(2)如圖7452②③所示,n1,n2分別是二面角αlβ的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小為<n1,n2>(或π<n1,n2>).(3)二面角的平面角的取值范圍是.

常用結(jié)論空間距離的幾個結(jié)論:(1)點到直線的距離:設過點P的直線l的方向向量為單位向量n,A為直線l外一點,點A到直線l的距離d=|PA(2)點到平面的距離:設P為平面α內(nèi)的一點,n為平面α的法向量,A為平面α外一點,點A到平面α的距離d=PA·(3)線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點到面的距離.題組一常識題1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,點E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為.

2.[教材改編]如果平面的一條斜線和斜線在這個平面上的射影的方向向量分別是a=(0,2,1),b=(2,5,5),那么這條斜線與平面所成的角是.

3.[教材改編]如圖7453所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱AA1和BB1的中點,則sin<CM,D1N>的值為圖74534.[教材改編]在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則BB1與平面A1BC1所成角的正弦值為.

題組二常錯題◆索引:異面直線所成角的取值范圍出錯;二面角的取值范圍出錯;直線和平面所成的角的取值范圍出錯.5.已知2a+b=(0,5,10),c=(1,2,2),a·c=4,|b|=12,則以b,c為方向向量的兩直線的夾角為.

6.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為.

7.已知向量m,n分別是直線l的方向向量、平面α的法向量,若cos<m,n>=12,則l與α所成的角為8.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的角等于.

第1課時空間角的求法課堂考點探究探究點一異面直線所成角1(1)[2018·扶余一中月考]在正方體ABCDA1B1C1D1中,點E,F分別是BB1,D1B1的中點,則EF與A1D所成角的大小為 ()A.60° B.90°C.45° D.75°(2)在如圖7454所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,直線AF⊥平面ABCD,EF∥AB,AD=2,AB=AF=2EF=1,若P是DF的中點,則異面直線BE與CP所成角的余弦值是.

圖7454[總結(jié)反思](1)兩異面直線所成角的余弦值等于兩條異面直線的方向向量所成角的余弦值的絕對值;(2)在證明兩直線垂直時,可證兩條直線所成的角為90°;(3)注意兩異面直線所成角的范圍是(0°,90°].式題如圖7455所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°.求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值.圖7455

探究點二直線與平面所成的角2[2017·廣州二模]如圖7456所示,四邊形ABCD是邊長為a的菱形,∠BAD=60°,EB⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,EB=2FD=3a.(1)求證:EF⊥AC;(2)求直線CE與平面ABF所成角的正弦值.圖7456

[總結(jié)反思](1)利用向量求直線與平面所成的角有兩個思路:①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角);②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.(2)若直線l與平面α的夾角為θ,直線l的方向向量l與平面α的法向量n的夾角為β,則θ=π2β或θ=βπ2,故有sinθ=|cosβ|=式題[2016·全國卷Ⅲ]如圖7457,四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明:MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.圖7457

探究點三二面角3[2017·全國卷Ⅰ]如圖7458,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角APBC的余弦值.圖7458

[總結(jié)反思](1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.(2)利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量,求法向量的方法主要有兩種:①求平面的垂線的方向向量;②利用法向量與平面內(nèi)兩個不共線向量的數(shù)量積為零,列方程組求解.式題[2017·全國卷Ⅱ]如圖7459,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點.(1)證