2025~2026學年上海市黃浦區(qū)上學期九年級期中數(shù)學試卷一、單選題1.如果，且是和的比例中項，那么的值是（）

A．B．C．D．2.已知是的重心，如果，，那么底邊的長是（）

A．4B．6C．8D．103.在中，，、、分別是、、的對邊，下列關系正確的是（）

A．B．C．D．4.已知、是非零向量，如果，下列說法中正確的是（）

A．B．C．D．5.已知點、分別在的邊和的反向延長線上，．當時，，那么的值是（）

A．B．C．D．6.如圖，將兩個寬度為的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形，如果四邊形的面積為，那么直線、所夾銳角的正切值是（）

A．B．C．D．二、填空題7.已知，那么_____．8.如果向量、和滿足，那么____．9.已知線段AB的長為2cm，點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），那么線段PB的長等于_____（結果保留根號）．10.如果兩個等腰三角形是相似三角形，其中一個三角形的一內角為，那么另一個三角形中底角的度數(shù)為____________度．11.如圖，已知，它們與直線依次交于點A、B、C，點D、E、F，如果，，那么線段的長是________．12.在中，，，，則___________．13.已知三邊長分別為2、3、4，的兩條邊長為6、9，當最長邊為___________時，與相似．14.已知在中，，是邊上的高，如果，，那么面積與的面積的比值是____________．15.如圖，在平行四邊形中，點，分別是邊、的中點，設，，那么____________（用含有向量、的式子表示）．16.物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像．設，．小孔到的距離為，則小孔到的距離為_____．17.如圖，在平行四邊形中，，過點作對角線的垂線，交邊于點，如果是邊的中點，那么的值是____________．18.如圖，已知Rt，，，，將繞著頂點旋轉，點，的對應點為，，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，那么的長為____________．三、解答題19.計算：．20.如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，．(1)設，，試用、的線性組合表示向量；(2)如果，，，求的長．21.如圖，在中，，，點在邊上，，過作，交延長線于點．(1)求的正弦值；(2)求的值．22.如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另外兩邊上，那么我們把這個正方形叫做三角形的內接正方形．小明用如下的方法畫出了銳角的內接正方形：如圖，在的邊取點，過點作，垂足為，以為邊在的內部作正方形，連接并延長，交邊于點．過點作，交邊于點，分別過點、作邊的垂線，垂足為、，得到的四邊形為的一個內接正方形．(1)請按照上述畫圖過程在圖中畫出一個內接正方形．（保留畫圖痕跡）(2)請證明這種畫法的正確性．23.已知：如圖，在Rt中，，平分，點在邊上，與相交于點，．(1)求證：；(2)求證：．24.某校九年級數(shù)學興趣小組在學習“圖形的相似”后，開展了一次主題探究活動．他們從一個基本圖形出發(fā)，逐步深入，請你參與他們的探究過程，完成下列任務．如圖，已知為等邊三角形，點、分別在邊、上，且，與相交于點．任務：觀察與發(fā)現(xiàn)——尋找相似三角形寫出圖中的相似三角形（全等三角形除外），并選擇其中一對寫出證明過程；任務：特殊情況探究——中點條件下的比例如圖，如果，求的值；任務：一般化推廣——比例條件下的規(guī)律，如果，直接寫出的值（用含的代數(shù)式表示）25.在中，，，，點在邊或上（不與、重合），點在邊上，點關于直線的對稱點為，連接