2025-2026學(xué)年北京市西城區(qū)魯迅中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若分式1a-1有意義，則a的取值范圍是A.a≠1 B.a≠0 C.a=12.下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是(

)A.3，4，7 B.5，6，10 C.2，3，6 D.5，6，113.下面式子計(jì)算正確的是(

)A.(-2a)(-a)2=2a3 4.下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是(

)A.(x+2y)(x-2y)=5.如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，EF⊥AB于點(diǎn)F，CD=EF.要根據(jù)“HL”A.∠A=∠B

B.∠C=∠D6.將一副三角板按如圖所示的方式放置，圖中∠CAF的大小等于(

)

A.50° B.60° C.75°7.如圖，已知∠AOB=58°，C為射線OB上一點(diǎn)，用尺規(guī)按如下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E；②以點(diǎn)C為圓心，OD為半徑作弧，交OC于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，DE為半徑作弧，交上一步作的弧于點(diǎn)G；④連接CG并延長(zhǎng)，交OA于點(diǎn)H.則∠A.58° B.64° C.61°8.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，將△ABC按如圖所示的方式依次折疊：

有下面四個(gè)結(jié)論；

①DE平分∠FDC；②BF=AD；③∠ADB=3∠A.①③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.約分：-10mn210.計(jì)算：(3x3y)11.如圖，在△ABC和△DEF，AC=DF，BF=CE，當(dāng)添加一個(gè)條件

12.已知：如圖，AD是△ABC中BC邊上的高，∠ABC=42°，AE平分∠BAC，∠ACB

13.若(x2-m)x+4x的展開(kāi)式中只含有14.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)嘗試將正方形紙片剪去一個(gè)小正方形，剩余部分沿虛線剪開(kāi)，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的方案是

.(請(qǐng)?zhí)钌险_的序號(hào))

15.如果關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+(m+1)x+4是完全平方式，那么16.在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝的《詳解九章算法》一書(shū)中，給出了展開(kāi)式(a+b)n的系數(shù)規(guī)律，如圖.

當(dāng)式子x4-12x3三、解答題：本題共8小題，共68分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題8分)

計(jì)算：

(1)3a(5a-2)；

(2)18.(本小題10分)

分解因式：

(1)12ab-6b；

(2)x19.(本小題6分)

已知：如圖，C是AE的中點(diǎn)，∠B=∠D，BC//20.(本小題10分)

(1)計(jì)算：(2a-3b)(a+2b)21.(本小題7分)

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

(1)尺規(guī)作圖，求作∠B的平分線交AC于點(diǎn)E；(保留作圖痕跡)

(2)由(1)可知點(diǎn)E到AB，BC的距離相等，依據(jù)是______；

(3)取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，畫(huà)出AD邊上的高BF；

(4)若△ABC的面積是20，22.(本小題7分)

已知：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求證：23.(本小題12分)

【閱讀理解】數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍.

【方法探索】(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE.這樣就能把線段AB，AC，2AD集中在△ABE中.請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

①補(bǔ)全圖形，由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是______；

(A)SSS；

(B)SAS；

(C)AAS；

(D)ASA.

②利用三角形的三邊關(guān)系可以確定AE的取值范圍，從而可以得到AD的取值范圍是______.

【問(wèn)題解決】(2)由第(1)問(wèn)方法的啟發(fā)，請(qǐng)解決下面問(wèn)題：

①如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，AE是△ABD的中線，CD=AB，∠BDA=∠BAD，證明AC=2AE；

②如圖3，AD是△ABC的中線，過(guò)點(diǎn)A分別向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，直接寫(xiě)出線段EF與AD的關(guān)系.

【問(wèn)題拓展】(3)我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形.

①如圖4，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，連接EG.求證：△ABC與△AEG為偏等積三角形；

②如圖5，將△ABC分別以AB，BC，AC為邊向外作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，連接DG，24.(本小題8分)

(1)如圖1，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)A正好落在直線l上，分別作BD⊥l于點(diǎn)D，CE⊥l于點(diǎn)E，直接寫(xiě)出線段BD、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角.(1)中結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3，直線PQ經(jīng)過(guò)Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C，△ABC的邊上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)D、E，點(diǎn)D以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C→B移動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)E以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A移動(dòng)到點(diǎn)A，兩動(dòng)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)到終點(diǎn).過(guò)點(diǎn)答案和解析1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】-210.【答案】9x11.【答案】AB=DE(答案不12.【答案】14

13.【答案】4

14.【答案】①②

15.【答案】3或-516.【答案】2或4

17.【答案】解：(1)3a(5a-2)=15a18.【答案】(1)6b(2a-1)解：(1)12ab-6b

=6b?19.【答案】證明：∵C是AE的中點(diǎn)，

∴AC=CE.

∵BC//DE，

∴∠ACB=∠E.20.【答案】(1)2a2+ab-解：(1)(2a-3b)(a+2b)

=2a21.【答案】解：(1)如圖，射線BE即為所求．

(2)由(1)可知點(diǎn)E到AB，BC的距離相等，依據(jù)是角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等．

故答案為：角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等．

(3)如圖，BF即為所求．

(4)∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，△ABC的面積是20，

∴S△ABD=12S△ABC22.【答案】證明：(1)∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=DC，

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CDBE=CF，

23.【答案】(1)解：①如圖1，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中，

AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

故答案為：B；

②∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=10，

在△ABE中，10-6<AE<10+6，

∴4<2AD<16，

∴2<AD<8，

故答案為：2<AD<8；

故答案為：2<AD<8；

(2)①證明：如圖2，延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F，使得AE=EF，連接DF.

∵AE是BD邊上的中線，

∴DE=EB，

在△ABE和△FDE中，

AE=EF∠AEB=∠DEFDE=EB，

∴△ABE≌△FDE(SAS)，

∴∠BAE=∠F，DF=AB，

∴DF//AB，

∴∠ADF+∠BAD=180°，

∵CD=AB，DF=AB，

∴CD=DF，

∵∠ADC+∠ADB=180°，∠BDA=∠BAD，

∴∠CDA=∠ADF，

在△ADC和△ADF中，

AD=AD∠ADC=∠ADFDC=DF，

∴△ADC≌△ADF(SAS)，

∴AC=AF，

∵AF=2AE，

∴AC=2AD；

②解：EF=2AD；EF⊥AD；理由如下：

如圖3，延長(zhǎng)DA交EF于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AD，使AD=DG，連接BG，

∵AD為BC邊上的中線，

∴BD=DC，

∵∠BDG=∠ADC，

在△ADC和△GDB中，

DC=DB∠ADC=∠GDBAD=DG，

∴△ADC≌△GDB(SAS)，

∴BG=AC，∠CAD=∠G，

∴AC//BG，

∴∠ABG+∠BAC=180°，

∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠EAF+∠BAC=360°-90°-90°=180°，

∴∠ABG=∠EAF，

∵AF=AC，BG=AC，

∴BG=AF，

在△ABG和△EAF中，

AB=EA∠ABG=∠EAFBG=AF，

∴△ABG≌△EAF(SAS)，

∴EF=AG，∠BAG=∠E，

∵AG=2AD，

∴EF=2AD.

∵∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°，

∴∠E+∠EAP=90°，

∴∠APE=90°，

∴EF⊥AD.

綜上所述，EF=2AD；EF⊥AD.

(3)①證明：作EH⊥AG，交GA的延長(zhǎng)線于H，如圖，

∵四邊形ABDE是正方形，

∴AB=AE，∠BAE24.【答案】解：(1)DE=BD+CE，理由如下：

如圖1，∵∠BAC=90°，∠1+∠BAC+∠2=180°，

∴∠1+∠2=90°，

∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠2，

在△ADB和△CEA中，

∠ABD=∠2∠ADB=∠AECAB=AC，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴BD=AE，AD=