PAGE12024~2025學(xué)年度第二學(xué)期期末抽測(cè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則的虛部為（）A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意得，，故的虛部為.故選：A2.已知，，則（）A.2 B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和向量的模進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?所以.故選：B.3.用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取1個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人.已知該校高二年級(jí)共有學(xué)生600人，則該校學(xué)生總數(shù)為（）A.1400人 B.1600人 C.1800人 D.2000人【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)先求出抽樣比，進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒◤哪承W(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，所以高二年級(jí)要抽取人，因?yàn)樵撔８叨昙?jí)共有學(xué)生600人，所以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，所以該校學(xué)生總數(shù)是，即該校學(xué)生總數(shù)為1800人．故選：C.4.從分別寫(xiě)有1，2，3，4的4張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出從4張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2張所有可能的組合的可能數(shù)，求出和為奇數(shù)的條件的組合數(shù)即可求解.【詳解】從4張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2張，所有可能的組合有：，共種等可能的結(jié)果，和為奇數(shù)的條件是一奇一偶，符合條件的組合為：，所以抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率為.故選：D.5.設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線(xiàn)，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】B【解析】分析】根據(jù)線(xiàn)面位置關(guān)系，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，使得，由，則，即，故B正確；對(duì)于C，由題意可得與的位置關(guān)系可能為相交、平行或在面內(nèi)，當(dāng)與相交時(shí)，與的位置關(guān)系可能是相交或異面不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)且時(shí)，，，，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.在梯形中，，，，，若在上的投影向量為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，利用投影向量可得，利用向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可求解.【詳解】依題意，設(shè)，則，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，又，所以，所以，即，因，，，則，解得，所以.故選：C.7.已知一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，滿(mǎn)足，，，，則（）A.A，B相互獨(dú)立 B.A，B互斥C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算，由互斥事件、獨(dú)立事件以及對(duì)立事件的概率公式，可得答案.【詳解】由題意可得，，，由，則，故C正確，B錯(cuò)誤；由，則事件不是相互獨(dú)立的，故A錯(cuò)誤；由，則D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式和輔助角公式將題設(shè)等式化簡(jiǎn)，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得.【詳解】因?yàn)樗裕?故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有兩組樣本數(shù)據(jù)：和，則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（）A.樣本平均數(shù)不相同 B.樣本中位數(shù)相同C.樣本標(biāo)準(zhǔn)差不相同 D.樣本極差相同【答案】AD【解析】【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的意義逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2，數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差都為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩組數(shù)據(jù)的極差分別為，故D正確.故選：AD10.在銳角中，，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，將兩個(gè)等式利用和差的正弦公式展開(kāi)，即可求得的值；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)條件求出的值，進(jìn)而可得到的關(guān)系；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)先求出其余弦值，進(jìn)而得到正切值；對(duì)于選項(xiàng)D，首先將展開(kāi)，然后根據(jù)求出.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋寓佗?，所以，所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?所以，即，所以B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所?所以，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?又，所以，化簡(jiǎn)得，所以解得.又是銳角，所以，所以，D正確.故選：ABD.11.如圖①，在長(zhǎng)方形中，，，M，N為的三等分點(diǎn)，P，為的三等分點(diǎn)，連接，，，分別交于點(diǎn)K，G，O.如圖②，將沿翻折至，形成三棱錐，則（）A.平面B.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與所成的角C.當(dāng)二面角為時(shí)，D.直線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離為【答案】ACD【解析】【分析】在矩形中可證、、，故可證平面，從而可判斷A的正誤，對(duì)于B，連接，或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)所成的角，結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)判斷其正誤，對(duì)于C，在平面中，過(guò)作，垂足為，連接，結(jié)合余弦定理及垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化計(jì)算后可判斷其正誤，對(duì)于D，由公垂線(xiàn)可知直線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離即為，故可判斷其正誤,【詳解】對(duì)于A，在矩形中，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，故，同理，而，故四邊形為平行四邊形，故，同理.在直角三角形中，，故，而為銳角，故，同理，故，故，故，同理，故在三棱錐中，有，而平面，故平面，故A正確；對(duì)于B，連接，因?yàn)?，故或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)所成的角，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以平面，而平面，所以故直線(xiàn)與所成的角是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)二面角為時(shí)，在平面中，過(guò)作，垂足為，連接，由A的分析可得,，故為二面角的平面角，故，故，故，，其中，，故，故，所以，故，因?yàn)槠矫?，而平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，故，故，故，故C正確；對(duì)于D，由A的分析可得，，故為與的公垂線(xiàn)，故直線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離為即為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】由題意可得母線(xiàn)長(zhǎng)與底面半徑，利用側(cè)面展開(kāi)圖是扇形可求側(cè)面積.【詳解】由題意可得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，底面半徑為，所以圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.13.已知數(shù)據(jù)1，2，4，的方差為，則______.【答案】或3【解析】【分析】根據(jù)方差公式計(jì)算即可.【詳解】數(shù)據(jù)1，2，4，的平均數(shù)為，故方差為，化簡(jiǎn)可得，即，解得或.故答案為：或314.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的面積的最大值為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】由題意得，結(jié)合余弦定理、基本不等式有的最大值為12，結(jié)合三角形面積公式即可得解.【詳解】由題意，所以，而，解得，由余弦定理有，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為12，所以的面積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.近日，江蘇省城市足球聯(lián)賽（簡(jiǎn)稱(chēng)“蘇超”）登上熱搜，為了解各年齡層對(duì)“蘇超”的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了200名年齡在內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù)；（2）利用頻率分布直方圖的組中值對(duì)這200名市民的年齡的平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這200名市民的年齡數(shù)據(jù)的70%分位數(shù).【答案】（1）140人（2）歲（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出市民年齡在內(nèi)的頻率，進(jìn)而可求出頻數(shù).（2）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù).（3）根據(jù)百分位數(shù)的定義和公式進(jìn)行求解計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得市民年齡在內(nèi)的頻率為，由題得，隨機(jī)選取了200名市民，所以市民年齡在內(nèi)的人數(shù)為.所以選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù)為140人.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖，可估計(jì)200名市民年齡的平均數(shù)為.所以這200名市民的年齡的平均數(shù)為37歲.【小問(wèn)3詳解】由頻率分布直方圖，可知市民年齡在內(nèi)的頻率之和為，市民年齡在內(nèi)的頻率之和為，所以70百分位數(shù)應(yīng)在中，設(shè)為，可得，解得.所以這200名市民的年齡數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為42.5.16.已知復(fù)數(shù)，，.（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，O為原點(diǎn)，若，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式，由復(fù)數(shù)的乘法以及加減，結(jié)合模長(zhǎng)公式，可得答案；（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算以及三角函數(shù)的輔助角公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，，則.【小問(wèn)2詳解】由已知得，，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以，?17.如圖，在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）設(shè)D為中點(diǎn)，分別在邊，上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使點(diǎn)C，D關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理對(duì)等式進(jìn)行角化邊并整理化簡(jiǎn)，從而解得所求角的余弦值，可得答案；（2）由正弦定理與余弦定理求得三角形的邊與角，根據(jù)中垂線(xiàn)以及中點(diǎn)的性質(zhì)，利用余弦定理，可得答案.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理可得.所以即，所以.又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，由余弦定理得，即，所以，，連接，，則，設(shè)為，，設(shè)為y，在中，由余弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，解得，所以.18.定義向量，.（1）求；（2）若與共線(xiàn)，求；（3）證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）按題目所給定義帶入相應(yīng)值求解；（2）根據(jù)兩共線(xiàn)向量的坐標(biāo)關(guān)系列出等式，再利用同角三角函數(shù)商的關(guān)系、二倍角的正切公式進(jìn)行計(jì)算即可.（3）按題目所給定義將不等式化簡(jiǎn)為證明，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)成立，當(dāng)時(shí)方法一與方法二均為取特值說(shuō)明不等式不恒成立.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榕c共線(xiàn)，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所?【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，，要證，只要證.方法1：①當(dāng)時(shí)，對(duì)成立，②當(dāng)時(shí)，取，，解得，取，，所以，，即，，又因?yàn)?，，所以不存在使原不等式成?綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.方法2：令，，則，①當(dāng)時(shí)，成立，②當(dāng)時(shí)，取，，，而，所以.③當(dāng)時(shí)，取，，，而，所以.④當(dāng)時(shí)，取，，，而，所以.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，.（1）證明：平面；（2）若平面平面，證明：點(diǎn)P，A，B，C在以D為球心的同一球面上；（3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）由題意可得，由線(xiàn)面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)E，連接，，平面，可求得，從而可得結(jié)論；（3）設(shè)P在底面上的射影為點(diǎn)G，平面，則就是與平面所成的角.當(dāng)點(diǎn)G在上，則就是與平面所成的角，求解可得范圍，當(dāng)點(diǎn)不在上，連接，，設(shè)，，，，可求得，，進(jìn)而得，求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)E，連接，，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，且，所以，，.又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面?/p>