湘大隨機過程試卷及答案

一、單項選擇題（總共10題，每題2分）1.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則P{X+Y=1}等于多少？|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|A.0.2B.0.5C.0.7D.0.9答案：B2.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，則隨機變量Z=X+Y的分布是什么？A.N(0,2)B.N(0,1)C.N(0,√2)D.N(0,∞)答案：A3.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則F(x)具有以下哪個性質(zhì)？A.F(x)是非遞減的B.F(x)是有界的C.F(x)是連續(xù)的D.以上都是答案：D4.設(shè)隨機變量X和Y的協(xié)方差為0，則X和Y的關(guān)系是什么？A.獨立B.不相關(guān)C.相互依賴D.無法確定答案：B5.設(shè)隨機變量X～Poisson(λ)，則E[X]和Var[X]分別是什么？A.λ,λB.λ,λ^2C.λ,1/λD.1/λ,λ答案：A6.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，則邊緣概率密度函數(shù)f_X(x)是什么？A.∫_(-∞)^∞f(x,y)dyB.∫_(-∞)^∞f(y,x)dyC.∫_(-∞)^∞f_X(x)dxD.∫_(-∞)^∞f_Y(y)dy答案：A7.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則P{X>Y}等于多少？|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案：B8.設(shè)隨機變量X～N(μ,σ^2)，則標準化后的隨機變量Z=(X-μ)/σ的分布是什么？A.N(0,1)B.N(μ,σ^2)C.N(0,σ^2)D.N(μ,0)答案：A9.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則E[XY]等于多少？|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8答案：C10.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，則隨機變量Z=X^2+Y^2的分布是什么？A.χ^2(2)B.χ^2(1)C.N(0,1)D.N(0,2)答案：A二、多項選擇題（總共10題，每題2分）1.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則以下哪些是正確的？|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|A.P{X=0,Y=0}=0.1B.P{X+Y=1}=0.6C.P{X>Y}=0.5D.P{X=1,Y=0}=0.3答案：A,B,D2.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，則以下哪些是正確的？A.E[X+Y]=0B.Var[X+Y]=2C.X和Y不相關(guān)D.X和Y獨立答案：A,B,C,D3.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則以下哪些是正確的？A.F(x)是非遞減的B.F(x)是有界的C.F(x)是連續(xù)的D.F(x)是單調(diào)遞增的答案：A,B,D4.設(shè)隨機變量X和Y的協(xié)方差為0，則以下哪些是正確的？A.X和Y獨立B.X和Y不相關(guān)C.X和Y相互依賴D.無法確定答案：B5.設(shè)隨機變量X～Poisson(λ)，則以下哪些是正確的？A.E[X]=λB.Var[X]=λC.E[X]=1/λD.Var[X]=1/λ答案：A,B6.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，則以下哪些是正確的？A.f_X(x)=∫_(-∞)^∞f(x,y)dyB.f_Y(y)=∫_(-∞)^∞f(y,x)dyC.f_X(x)是X的邊緣概率密度函數(shù)D.f_Y(y)是Y的邊緣概率密度函數(shù)答案：A,C,D7.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則以下哪些是正確的？|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|A.P{X>Y}=0.5B.P{X+Y=1}=0.6C.P{X=1,Y=0}=0.3D.P{X=0,Y=0}=0.1答案：A,B,C,D8.設(shè)隨機變量X～N(μ,σ^2)，則標準化后的隨機變量Z=(X-μ)/σ的分布是什么？A.N(0,1)B.N(μ,σ^2)C.N(0,σ^2)D.N(μ,0)答案：A9.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則以下哪些是正確的？|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|A.E[XY]=0.6B.E[X]=0.6C.E[Y]=0.6D.Var[XY]=0.6答案：A10.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，則以下哪些是正確的？A.Z=X^2+Y^2～χ^2(2)B.Z=X^2+Y^2～χ^2(1)C.Z=X^2+Y^2～N(0,1)D.Z=X^2+Y^2～N(0,2)答案：A三、判斷題（總共10題，每題2分）1.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則P{X+Y=1}=0.6。|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|答案：正確2.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，則X和Y獨立。答案：正確3.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則F(x)是非遞減的。答案：正確4.設(shè)隨機變量X和Y的協(xié)方差為0，則X和Y不相關(guān)。答案：正確5.設(shè)隨機變量X～Poisson(λ)，則E[X]=λ。答案：正確6.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，則f_X(x)=∫_(-∞)^∞f(x,y)dy。答案：正確7.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則P{X>Y}=0.5。|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|答案：正確8.設(shè)隨機變量X～N(μ,σ^2)，則標準化后的隨機變量Z=(X-μ)/σ～N(0,1)。答案：正確9.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示，則E[XY]=0.6。|X\Y|0|1||-------|-----|-----||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|答案：正確10.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，則Z=X^2+Y^2～χ^2(2)。答案：正確四、簡答題（總共4題，每題5分）1.簡述隨機變量的獨立性和不相關(guān)性的區(qū)別。答案：隨機變量的獨立性和不相關(guān)性是兩個不同的概念。獨立性是指兩個隨機變量之間沒有任何關(guān)系，它們的聯(lián)合分布可以表示為邊緣分布的乘積。而不相關(guān)性是指兩個隨機變量的協(xié)方差為0，即它們之間沒有線性關(guān)系。兩個隨機變量可以不相關(guān)但不是獨立的，也可以獨立但不相關(guān)。2.簡述泊松分布的性質(zhì)。答案：泊松分布是一種離散分布，具有以下性質(zhì)：1)泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為P(X=k)=λ^ke^-λ/k!，其中λ是泊松分布的參數(shù)；2)泊松分布的期望和方差相等，即E[X]=Var[X]=λ；3)泊松分布是可加的，即如果X和Y是兩個相互獨立的泊松分布隨機變量，那么X+Y也是泊松分布的隨機變量，其參數(shù)為λ1+λ2。3.簡述正態(tài)分布的性質(zhì)。答案：正態(tài)分布是一種連續(xù)分布，具有以下性質(zhì)：1)正態(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標準差；2)正態(tài)分布的期望和方差分別為E[X]=μ和Var[X]=σ^2；3)標準正態(tài)分布的均值為0，標準差為1，其密度函數(shù)為f(x)=1/√(2π)e^(-x^2/2)；4)正態(tài)分布具有對稱性，即其密度函數(shù)關(guān)于均值μ對稱。4.簡述隨機變量的邊緣分布和聯(lián)合分布的關(guān)系。答案：隨機變量的邊緣分布是指從聯(lián)合分布中得到的單個隨機變量的分布。對于離散隨機變量，邊緣分布可以通過對聯(lián)合分布表中的行或列求和得到；對于連續(xù)隨機變量，邊緣分布可以通過對聯(lián)合概率密度函數(shù)進行積分得到。聯(lián)合分布描述了多個隨機變量之間的相互關(guān)系，而邊緣分布則描述了單個隨機變量的分布情況。邊緣分布可以從聯(lián)合分布中得到，但聯(lián)合分布不能直接從邊緣分布中得到。五、討論題（總共4題，每題5分）1.討論隨機變量的獨立性和不相關(guān)性的關(guān)系。答案：隨機變量的獨立性和不相關(guān)性是兩個不同的概念。獨立性是指兩個隨機變量之間沒有任何關(guān)系，它們的聯(lián)合分布可以表示為邊緣分布的乘積。而不相關(guān)性是指兩個隨機變量的協(xié)方差為0，即它們之間沒有線性關(guān)系。兩個隨機變量可以不相關(guān)但不是獨立的，也可以獨立但不相關(guān)。例如，對于兩個同分布的隨機變量，它們是獨立的，但不相關(guān)；而對于兩個具有線性關(guān)系的隨機變量，它們是不獨立的，但可能不相關(guān)。2.討論泊松分布的應(yīng)用場景。答案：泊松分布是一種離散分布，常用于描述在固定時間間隔內(nèi)發(fā)生的事件的數(shù)量。泊松分布的應(yīng)用場景非常廣泛，例如：1)在排隊論中，泊松分布常用于描述到達系統(tǒng)的顧客數(shù)量；2)在保險業(yè)中，泊松分布常用于描述在一定時間內(nèi)發(fā)生的索賠數(shù)量；3)在生物學中，泊松分布常用于描述在一定區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的生物個體的數(shù)量；4)在物理學中，泊松分布常用于描述在一定時間內(nèi)發(fā)生的放射性衰變事件的數(shù)量。3.討論正態(tài)分布的應(yīng)用場景。答案：正態(tài)分布是一種連續(xù)分布，具有廣泛的應(yīng)用場景。正態(tài)分布的應(yīng)用場景包括：1)在統(tǒng)計學中，正態(tài)分布是許多統(tǒng)計推斷方法的基礎(chǔ)，例如假設(shè)檢驗和置信區(qū)間估計；2)在自然科學中，許多測量數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，例如身高、體重、溫度等；3)在工程學中，正態(tài)分布常用于描述產(chǎn)品的質(zhì)量特性，例如尺寸、強度等；4)在經(jīng)濟學中，正態(tài)分布常用于描述股票價格、利率等金融指標的分布