2024電氣工程師考試《公共基礎》強化模擬題一、單項選擇題1.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,1,0)$，則$\vec{a}\cdot\vec$等于（）A.0B.1C.2D.3本題可根據(jù)向量點積的坐標運算公式來計算\(\vec{a}\cdot\vec\)。向量點積的坐標運算公式為：若\(\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)\)，則\(\vec{m}\cdot\vec{n}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)。已知\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(2,1,0)\)，將其代入上述公式可得：\(\vec{a}\cdot\vec=1\times2+(2)\times1+3\times0\)\(=22+0\)\(=0\)所以答案是A選項。2.函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((\infty,+\infty)\)D.\((1,1)\)本題可先對函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)求導，再根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系來確定其單調(diào)遞增區(qū)間。步驟一：求函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)的導數(shù)\(y^\prime\)。根據(jù)復合函數(shù)求導法則\((f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdotg^\prime(x)\)，令\(u=1+x^2\)，則\(y=\lnu\)。對\(y=\lnu\)關于\(u\)求導，可得\(y^\prime_{u}=\frac{1}{u}\)。對\(u=1+x^2\)關于\(x\)求導，可得\(u^\prime_{x}=2x\)。根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得\(y^\prime=y^\prime_{u}\cdotu^\prime_{x}=\frac{1}{1+x^2}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^2}\)。步驟二：根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系確定單調(diào)遞增區(qū)間。根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系：當函數(shù)的導數(shù)大于\(0\)時，函數(shù)單調(diào)遞增。令\(y^\prime=\frac{2x}{1+x^2}>0\)，因為\(1+x^2>0\)恒成立，所以\(2x>0\)，解得\(x>0\)。即當\(x\in(0,+\infty)\)時，函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)單調(diào)遞增。所以答案是B選項。3.設函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處可導，且\(f(0)=0\)，\(f^\prime(0)=2\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\)等于（）A.0B.1C.2D.不存在本題可根據(jù)導數(shù)的定義來求解\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\)。導數(shù)的定義為：函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處的導數(shù)\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)f(x_0)}{xx_0}\)。已知\(f(0)=0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)f(0)}{x0}\)，根據(jù)導數(shù)的定義可知\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)f(0)}{x0}=f^\prime(0)\)。又因為\(f^\prime(0)=2\)，所以\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2\)。所以答案是C選項。4.已知\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1\)，\(a,b\inR\)，則\(2a+b\)的值為（）A.2B.3C.4D.5本題可先根據(jù)定積分的計算法則求出\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx\)的值，再結(jié)合已知條件求出\(2a+b\)的值。步驟一：計算定積分\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx\)。根據(jù)定積分的運算法則\(\int_{a}^(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)，可得：\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=\int_{0}^{1}axdx+\int_{0}^{1}bdx\)根據(jù)定積分的基本公式\(\int_{a}^x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\vert_{a}^\)（\(n\neq1\)），可得：\(\int_{0}^{1}axdx=a\int_{0}^{1}xdx=a\cdot\frac{1}{2}x^2\vert_{0}^{1}=\frac{a}{2}(1^20^2)=\frac{a}{2}\)\(\int_{0}^{1}bdx=b\int_{0}^{1}dx=b\cdotx\vert_{0}^{1}=b(10)=b\)所以\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=\frac{a}{2}+b\)。步驟二：結(jié)合已知條件求出\(2a+b\)的值。已知\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1\)，即\(\frac{a}{2}+b=1\)，等式兩邊同時乘以\(2\)可得\(a+2b=2\)。令\(2a+b=m(a+2b)+n\)，展開可得\(2a+b=ma+2mb+n\)，則可得方程組\(\begin{cases}m=2\\2m=1\end{cases}\)，此方程組無解。我們可直接由\(\frac{a}{2}+b=1\)得到\(a=22b\)，將其代入\(2a+b\)可得：\(2a+b=2(22b)+b=44b+b=43b\)由于\(b\)的值不確定，我們重新對\(\frac{a}{2}+b=1\)變形為\(a=22b\)，則\(2a+b=2(22b)+b=44b+b=43b\)，我們可采用特殊值法，當\(b=0\)時，\(a=2\)，此時\(2a+b=2\times2+0=4\)。所以答案是C選項。5.微分方程\(y^\prime+y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Ce^{x}\)C.\(y=Cx\)D.\(y=C\)本題可通過分離變量法求解微分方程\(y^\prime+y=0\)的通解。步驟一：將微分方程\(y^\prime+y=0\)變形為可分離變量的形式。已知\(y^\prime+y=0\)，移項可得\(y^\prime=y\)，即\(\frac{dy}{dx}=y\)，進一步變形為\(\frac{dy}{y}=dx\)。步驟二：對分離變量后的方程兩邊分別積分。對\(\frac{dy}{y}=dx\)兩邊同時積分，可得\(\int\frac{dy}{y}=\intdx\)。根據(jù)積分公式\(\int\frac{1}{x}dx=\ln\vertx\vert+C\)，可得\(\ln\verty\vert=x+C_1\)（\(C_1\)為常數(shù)）。步驟三：求解\(y\)，得到通解。對\(\ln\verty\vert=x+C_1\)兩邊同時取指數(shù)，可得\(\verty\vert=e^{x+C_1}=e^{C_1}e^{x}\)。令\(C=\pme^{C_1}\)（\(C\)為任意常數(shù)），則\(y=Ce^{x}\)。所以答案是B選項。6.設\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A^{1}\vert\)等于（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.4D.8本題可根據(jù)方陣行列式的性質(zhì)來計算\(\vert2A^{1}\vert\)。步驟一：根據(jù)方陣行列式的性質(zhì)\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)（\(n\)為方陣\(A\)的階數(shù)）計算\(\vert2A^{1}\vert\)。因為\(A\)為\(3\)階方陣，所以\(\vert2A^{1}\vert=2^3\vertA^{1}\vert\)。步驟二：根據(jù)方陣逆矩陣行列式的性質(zhì)\(\vertA^{1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)計算\(\vertA^{1}\vert\)。已知\(\vertA\vert=2\)，則\(\vertA^{1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}=\frac{1}{2}\)。步驟三：將\(\vertA^{1}\vert=\frac{1}{2}\)代入\(\vert2A^{1}\vert=2^3\vertA^{1}\vert\)計算\(\vert2A^{1}\vert\)。\(\vert2A^{1}\vert=2^3\times\frac{1}{2}=8\times\frac{1}{2}=4\)。所以答案是C選項。7.設\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，\(\alpha_3=(3,6,9)^T\)，則向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩為（）A.1B.2C.3D.0本題可通過矩陣的初等變換將向量組構成的矩陣化為行階梯形矩陣，進而求出向量組的秩。步驟一：將向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)構成矩陣\(A\)。\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)步驟二：對矩陣\(A\)進行初等行變換化為行階梯形矩陣。\(r_22r_1\)，\(r_33r_1\)可得：\(\begin{pmatrix}1&2&3\\22\times1&42\times2&62\times3\\33\times1&63\times2&93\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)步驟三：根據(jù)行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)確定向量組的秩。行階梯形矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)的非零行的行數(shù)為\(1\)，所以向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩為\(1\)。所以答案是A選項。8.已知隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.4本題可根據(jù)泊松分布的概率公式列出關于\(\lambda\)的方程，進而求解\(\lambda\)的值。步驟一：寫出泊松分布的概率公式。若隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，則\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{\lambda}}{k!}\)（\(k=0,1,2,\cdots\)）。步驟二：根據(jù)\(P(X=1)=P(X=2)\)列出關于\(\lambda\)的方程。已知\(P(X=1)=P(X=2)\)，將\(k=1\)和\(k=2\)代入泊松分布的概率公式可得：\(\frac{\lambda^1e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{\lambda}}{2!}\)步驟三：求解關于\(\lambda\)的方程。因為\(e^{\lambda}\neq0\)，所以方程\(\frac{\lambda^1e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{\lambda}}{2!}\)兩邊同時除以\(e^{\lambda}\)可得：\(\frac{\lambda}{1}=\frac{\lambda^2}{2}\)移項可得\(\lambda^22\lambda=0\)，提取公因式\(\lambda\)可得\(\lambda(\lambda2)=0\)，解得\(\lambda=0\)或\(\lambda=2\)。因為參數(shù)\(\lambda>0\)，所以\(\lambda=2\)。所以答案是B選項。9.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^2=\frac{1}{n1}\sum_{i=1}^{n}(X_i\overline{X})^2\)，則\(\frac{\overline{X}\mu}{S/\sqrt{n}}\)服從（）A.\(N(0,1)\)分布B.\(\chi^2(n1)\)分布C.\(t(n1)\)分布D.\(F(n1,n1)\)分布本題可根據(jù)正態(tài)總體下樣本均值和樣本方差的性質(zhì)來確定\(\frac{\overline{X}\mu}{S/\sqrt{n}}\)的分布。已知總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)，即\(\frac{\overline{X}\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)。又因為\(\frac{(n1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n1)\)，且\(\overline{X}\)與\(S^2\)相互獨立。根據(jù)\(t\)分布的定義：若\(U\simN(0,1)\)，\(V\sim\chi^2(n)\)，且\(U\)與\(V\)相互獨立，則\(\frac{U}{\sqrt{V/n}}\simt(n)\)。令\(U=\frac{\overline{X}\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)，\(V=\frac{(n1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n1)\)，則\(\frac{\frac{\overline{X}\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n1)S^2}{\sigma^2}/(n1)}}=\frac{\overline{X}\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n1)\)。所以答案是C選項。10.已知電路中某元件的電壓\(u=10\sin(314t+30^{\circ})V\)，電流\(i=2\sin(314t30^{\circ})A\)，則該元件的性質(zhì)是（）A.電阻B.電感C.電容D.無法確定本題可通過計算電壓與電流的相位差，根據(jù)相位差與元件性質(zhì)的關系來判斷該元件的性質(zhì)。步驟一：計算電壓與電流的相位差\(\varphi\)。已知電壓\(u=10\sin(314t+30^{\circ})V\)，其初相位\(\varphi_u=30^{\circ}\)；電流\(i=2\sin(314t30^{\circ})A\)，其初相位\(\varphi_i=30^{\circ}\)。則電壓與電流的相位差\(\varphi=\varphi_u\varphi_i=30^{\circ}(30^{\circ})=60^{\circ}>0\)，即電壓超前電流\(60^{\circ}\)。步驟二：根據(jù)相位差與元件性質(zhì)的關系判斷元件的性質(zhì)。對于電阻元件，電壓與電流同相位，即相位差為\(0^{\circ}\)。對于電感元件，電壓超前電流\(90^{\circ}\)。對于電容元件，電流超前電壓\(90^{\circ}\)。由于本題中電壓超前電流\(60^{\circ}\)，且\(0^{\circ}<60^{\circ}<90^{\circ}\)，所以該元件為感性元件，可能是電感與電阻的組合，但從整體表現(xiàn)來看更傾向于電感的性質(zhì)。所以答案是B選項。二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\([1,1]\)上滿足羅爾定理條件的有（）A.\(f(x)=x^21\)B.\(f(x)=\vertx\vert\)C.\(f(x)=x^3\)D.\(f(x)=\sin^2x\)本題可根據(jù)羅爾定理的條件逐一分析各選項。羅爾定理的條件為：1.函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)；2.函數(shù)\(f(x)\)在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導；3.\(f(a)=f(b)\)。選項A：\(f(x)=x^21\)。連續(xù)性：\(f(x)=x^21\)是二次函數(shù)，二次函數(shù)在\(R\)上連續(xù)，所以\(f(x)\)在\([1,1]\)上連續(xù)?？蓪裕簩(f(x)=x^21\)求導，\(f^\prime(x)=2x\)，\(f^\prime(x)\)在\((1,1)\)內(nèi)存在，所以\(f(x)\)在\((1,1)\)內(nèi)可導。端點值：\(f(1)=(1)^21=0\)，\(f(1)=1^21=0\)，即\(f(1)=f(1)\)。滿足羅爾定理的三個條件。選項B：\(f(x)=\vertx\vert\)。\(f(x)=\vertx\vert=\begin{cases}x,&x\geq0\\x,&x<0\end{cases}\)，在\(x=0\)處，\(f^\prime_{}(0)=\lim\limits_{x\to0^{}}\frac{f(x)f(0)}{x0}=\lim\limits_{x\to0^{}}\frac{x0}{x}=1\)，\(f^\prime_{+}(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{f(x)f(0)}{x0}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x0}{x}=1\)，\(f^\prime_{}(0)\neqf^\prime_{+}(0)\)，所以\(f(x)\)在\(x=0\)處不可導，不滿足羅爾定理中在開區(qū)間\((1,1)\)內(nèi)可導的條件。選項C：\(f(x)=x^3\)。\(f(1)=(1)^3=1\)，\(f(1)=1^3=1\)，\(f(1)\neqf(1)\)，不滿足羅爾定理中\(zhòng)(f(a)=f(b)\)的條件。選項D：\(f(x)=\sin^2x\)。連續(xù)性：\(\sinx\)在\(R\)上連續(xù)，\(f(x)=\sin^2x\)是\(\sinx\)的復合函數(shù)，所以\(f(x)\)在\([1,1]\)上連續(xù)?？蓪裕簩(f(x)=\sin^2x\)求導，根據(jù)復合函數(shù)求導法則\(f^\prime(x)=2\sinx\cosx=\sin2x\)，\(f^\prime(x)\)在\((1,1)\)內(nèi)存在，所以\(f(x)\)在\((1,1)\)內(nèi)可導。端點值：\(f(1)=\sin^2(1)=\sin^21\)，\(f(1)=\sin^21\)，即\(f(1)=f(1)\)。滿足羅爾定理的三個條件。綜上，答案是AD選項。2.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)本題可根據(jù)常見級數(shù)的斂散性以及級數(shù)斂散性的判別方法來判斷各選項。選項A：\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)。這是\(p\)級數(shù)，\(p\)級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)，當\(p>1\)時收斂，當\(p\leq1\)時發(fā)散。在\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)中，\(p=2>1\)，所以該級數(shù)收斂。選項B：\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)。這是調(diào)和級數(shù)，調(diào)和級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是發(fā)散的。選項C：\(\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n\frac{1}{n}\)。這是交錯級數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法：若交錯級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(1)^nu_n\)（\(u_n>0\)）滿足\(u_n\gequ_{n+1}\)（\(n=1,2,\cdots\)）且\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)，則該交錯級數(shù)收斂。在\(\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n\frac{1}{n}\)中，\(u_n=\frac{1}{n}\)，顯然\(\frac{1}{n}\geq\frac{1}{n+1}\)，且\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)，所以該交錯級數(shù)收斂。選項D：\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)。這是\(p\)級數(shù)，\(p\)級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)，在\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\)中，\(p=\frac{1}{2}<1\)，所以該級數(shù)發(fā)散。綜上，答案是AC選項。3.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列命題中正確的有（）A.若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)B.若\(AB=E\)，則\(A\)可逆，且\(A^{1}=B\)C.若\(A\)可逆，則\(A^T\)也可逆D.若\(A\)，\(B\)都可逆，則\(AB\)也可逆本題可根據(jù)方陣的性質(zhì)逐一分析各選項。選項A：若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。舉反例，設\(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)，則\(AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)，但\(A\neq0\)且\(B\neq0\)，所以該命題錯誤。選項B：若\(AB=E\)，則\(A\)可逆，且\(A^{1}=B\)。根據(jù)可逆矩陣的定義：若存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)，則稱\(A\)可逆，且\(A^{1}=B\)。已知\(AB=E\)，因為\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，由\(AB=E\)兩邊取行列式可得\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert=\vertE\vert=1\)，所以\(\vertA\vert\neq0\)，\(\vertB\vert\neq0\)，即\(A\)，\(B\)都可逆。在\(AB=E\)兩邊左乘\(A^{1}\)可得\(A^{1}AB=A^{1}E\)，即\(B=A^{1}\)，所以該命題正確。選項C：若\(A\)可逆，則\(A^T\)也可逆。因為\(A\)可逆，所以\(\vertA\vert\neq0\)，根據(jù)行列式的性質(zhì)\(\vertA^T\vert=\vertA\vert\)，所以\(\vertA^T\vert\neq0\)，即\(A^T\)可逆，所以該命題正確。選項D：若\(A\)，\(B\)都可逆，則\(AB\)也可逆。因為\(A\)，\(B\)都可逆，所以\(\vertA\vert\neq0\)，\(\vertB\vert\neq0\)，根據(jù)行列式的性質(zhì)\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\neq0\)，所以\(AB\)可逆，所以該命題正確。綜上，答案是BCD選項。4.已知隨機變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率密度為\(f(x,y)=\begin{cases}kxy,&0<x<1,0<y<1\\0,&其他\end{cases}\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(k=4\)B.\(X\)與\(Y\)相互獨立C.\(E(X)=E(Y)=\frac{2}{3}\)D.\(D(X)=D(Y)=\frac{1}{18}\)本題可根據(jù)聯(lián)合概率密度的性質(zhì)、隨機變量的獨立性、數(shù)學期望和方差的計算公式來逐一分析各選項。選項A：求\(k\)的值。根據(jù)聯(lián)合概率密度的性質(zhì)\(\int_{\infty}^{+\infty}\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1\)，可得：\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}kxydxdy=1\)先對\(x\)積分：\(\int_{0}^{1}ky[\frac{1}{2}x^2]_0^1dy=\frac{k}{2}\int_{0}^{1}ydy\)再對\(y\)積分：\(\frac{k}{2}[\frac{1}{2}y^2]_0^1=\frac{k}{4}=1\)，解得\(k=4\)，所以該選項正確。選項B：判斷\(X\)與\(Y\)是否相互獨立。先求\(X\)的邊緣概率密度\(f_X(x)\)：\(f_X(x)=\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\int_{0}^{1}4xydy=4x[\frac{1}{2}y^2]_0^1=2x\)，\(0<x<1\)，\(f_X(x)=0\)，其他。再求\(Y\)的邊緣概率密度\(f_Y(y)\)：\(f_Y(y)=\int_{\infty}^{+\infty}f(x,y)dx=\int_{0}^{1}4xydx=4y[\frac{1}{2}x^2]_0^1=2y\)，\(0<y<1\)，\(f_Y(y)=0\)，其他。因為\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=4xy\)（\(0<x<1\)，\(0<y<1\)），所以\(X\)與\(Y\)相互獨立，該選項正確。選項C：求\(E(X)\)和\(E(Y)\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{2}{3}\)因為\(X\)與\(Y\)同分布，所以\(E(Y)=E(X)=\frac{2}{3}\)，該選項正確。選項D：求\(D(X)\)和\(D(Y)\)。先求\(E(X^2)=\int_{\infty}^{+\infty}x^2f_X(x)dx=\int_{0}^{1}x^2\cdot2xdx=2[\frac{1}{4}x^4]_0^1=\frac{1}{2}\)根據(jù)方差公式\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=\frac{1}{2}(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{2}\frac{4}{9}=\frac{1}{18}\)因為\(X\)與\(Y\)同分布，所以\(D(Y)=D(X)=\frac{1}{18}\)，該選項正確。綜上，答案是ABCD選項。5.如圖所示電路，已知\(R_1=10\Omega\)，\(R_2=20\Omega\)，\(U=12V\)，則下列說法正確的有（）（此處應插入一個包含\(R_1\)、\(R_2\)和電源\(U\)的串聯(lián)電路的圖）A.電路中的電流\(I=0.4A\)B.\(R_1\)兩端的電壓\(U_1=4V\)C.\(R_2\)消耗的功率\(P_2=3.2W\)D.電源提供的功率\(P=4.8W\)本題可根據(jù)串聯(lián)電路的特點以及歐姆定律、功率公式來逐一分析各選項。選項A：求電路中的電流\(I\)。在串聯(lián)電路中，總電阻\(R=R_1+R_2=10+20=30\Omega\)。根據(jù)歐姆定律\(I=\frac{U}{R}\)，可得\(I=\frac{12}{30}=0.4A\)，該選項正確。選項B：求\(R_1\)兩端的電壓\(U_1\)。根據(jù)歐姆定律\(U_1=IR_1=0.4\times10=4V\)，該選項正確。選項C：求\(R_2\)消耗的功率\(P_2\)。根據(jù)功率公式\(P=I^2R\)，可得\(P_2=I^2R_2=0.4^2\times20=3.2W\)，該選項正確。選項D：求電源提供的功率\(P\)。根據(jù)功率公式\(P=UI=12\times0.4=4.8W\)，該選項正確。綜上，答案是ABCD選項。三、計算題1.求曲線\(y=x^33x^2+2x\)在點\((1,0)\)處的切線方程和法線方程。本題可先對曲線方程求導，得到切線的斜率，進而求出切線方程和法線方程。步驟一：求曲線\(y=x^33x^2+2x\)的導數(shù)\(y^\prime\)。根據(jù)求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，對\(y=x^33x^2+2x\)求導可得：\(y^\prime=(x^33x^2+2x)^\prime=3x^26x+2\)步驟二：求曲線在點\((1,0)\)處的切線斜率\(k\)。將\(x=1\)代入\(y^\prime=3x^26x+2\)，可得\(y^\prime\vert_{x=1}=3\times1^26\times1+2=1\)，即切線斜率\(k=1\)。步驟三：求曲線在點\((1,0)\)處的切線方程。根據(jù)點斜式方程\(yy_0=k(xx_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為已知點，\(k\)為斜率），可得切線方程為\(y0=1\times(x1)\)，即\(x+y1=0\)。步驟四：求曲線在點\((1,0)\)處的法線斜率\(k_{法}\)。因為切線與法線垂直，兩條垂直直線的斜率之積為\(1\)，所以法線斜率\(k_{法}=\frac{1}{k}=\frac{1}{1}=1\)。步驟五：求曲線在點\((1,0)\)處的法線方程。根據(jù)點斜式方程可得法線方程為\(y0=1\times(x1)\)，即\(xy1=0\)。綜上，切線方程為\(x+y1=0\)，法線方程為\(xy1=0\)。2.計算二重積分\(\iint_{D}xydxdy\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(y=x\)，\(y=x^2\)所圍成的區(qū)域。本題可先確定積分區(qū)域\(D\)的范圍，然后將二重積分化為累次積分進行計算。步驟一：確定積分區(qū)域\(D\)的范圍。聯(lián)立\(\begin{cases}y=x\\y=x^2\end{cases}\)，解方程組可得\(\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}\)和\(\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\)，即兩曲線的交點為\((0,0)\)和\((1,1)\)。所以積分區(qū)域\(D\)可以表示為\(0\leqx\leq1\)，\(x^2\leqy\leqx\)。步驟二：將二重積分化為累次積分。根據(jù)二重積分化為累次積分的方法，可得\(\iint_{D}xydxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{x}xydy\)。步驟三：計算累次積分。先對\(y\)積分：\(\int_{x^2}^{x}xydy=x[\frac{1}{2}y^2]_{x^2}^{x}=\frac{1}{2}x(x^2x^4)\)再對\(x\)積分：\(\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x(x^2x^4)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x^3x^5)dx\)\(=\frac{1}{2}[\frac{1}{4}x^4\frac{1}{6}x^6]_0^1=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}\frac{1}{6})=\frac{1}{24}\)綜上，\(\iint_{D}xydxdy=\frac{1}{24}\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\\3&3&6\end{pmatrix}\)，求矩陣\(A\)的逆矩陣\(A^{1}\)。本題可通過伴隨矩陣法或初等變換法求矩陣\(A\)的逆矩陣。這里我們采用初等變換法。步驟一：構造增廣矩陣\((A|E)\)。\((A|E)=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\2&1&3&0&1&0\\3&3&6&0&0&1\end{pmatrix}\)步驟二：對增廣矩陣\((A|E)\)進行初等行變換，將其化為\((E|A^{1})\)的形式。\(r_22r_1\)，\(r_33r_1\)可得：\(\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\22\times1&12\times2&32\times3&02\times1&12\times0&02\times0\\33\times1&33\times2&63\times3&03\times1&03\times0&13\times0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&3&3&2&1&0\\0&3&3&3&0&1\end{pmatrix}\)\(r_3r_2\)可得：\(\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&3&3&2&1&0\\00&3(3)&3(3)&3(2)&01&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&3&3&2&1&0\\0&0&0&1&1&1\end{pmatrix}\)由于第三行出現(xiàn)\(0\0\0\1\1\1\)，說明矩陣\(A\)不可逆。4.設隨機變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}Ax^2,&0\leq