材料力學8.1組合變形和疊加原理的基本概念8.2斜彎曲8.3拉伸（壓縮）與彎曲的組合8.4彎曲與扭轉的組合8.5組合變形的一般情況第8章組合變形工程中的構件受力往往比較復雜，當內力引起的變形以某一種基本變形為主時，可忽略其他變形對構件強度和剛度的影響。如果有兩種或兩種以上的變形對構件強度或剛度的影響不可忽略，就稱構件發(fā)生了組合變形。

8.1組合變形和疊加原理的基本概念如圖8-1所示，圓截面懸臂梁在端部邊緣上作用有集中力F，把該力向截面形心簡化并沿三個坐標軸分解，得到分力Fx、Fy、Fz和力偶Mx、My、Mz。其中，發(fā)生以下四種基本變形：①Fx

產生軸向拉伸。②Mx產生扭轉變形。③Mz和Fy產生xy平面內的彎曲變形。④My和Fz產生xz平面內的彎曲變形。圖8-1

8.1組合變形和疊加原理的基本概念工程中常見的組合變形有以下三種：（1）兩個垂直的平面彎曲的組合(斜彎曲或兩向彎曲)，如③和④變形的組合。如圖8-2(a)所示，房頂斜坡上的矩形截面檁條在自重和壓力作用下沿兩個主軸方向發(fā)生彎曲變形。（2）拉伸(壓縮)和彎曲的組合，如①和③或①和④變形的組合。如圖8-2(b)所示，簡易起重機的橫梁發(fā)生彎曲和軸向壓縮的組合變形。（3）扭轉和彎曲、扭轉和拉伸(壓縮)的組合，如②和③或②和④變形的組合。如圖8-2(c)所示，齒輪傳動軸一般都會發(fā)生扭轉和彎曲的組合變形。

8.1組合變形和疊加原理的基本概念圖8-2

8.1組合變形和疊加原理的基本概念要判斷整個構件或構件上某段桿件是哪幾種基本變形的組合，可先將該構件所受的外載荷向軸線簡化，再根據該段桿件上各載荷引起的基本變形來判斷其屬于哪種情況的組合變形。

8.1組合變形和疊加原理的基本概念對于構件的小變形情況，各載荷引起的基本變形都很小，各基本變形之間幾乎沒有相互影響，均可以按原始尺寸進行計算。彈性范圍內的變形和應力均與外載荷成正比關系，可以疊加。因此，可以將組合變形分解成兩種或兩種以上的基本變形，分別計算其應力和變形，然后再進行線性疊加，這就是疊加原理。當構件變形超出線彈性范圍，變形或應力與外載荷之間不再是線性關系，或變形過大，不能再按原始尺寸進行計算時，就不能用疊加原理。

8.1組合變形和疊加原理的基本概念具有對稱截面的梁在橫向載荷作用下發(fā)生彎曲變形，若橫向載荷在對稱平面內，則該梁將發(fā)生對稱平面內的平面彎曲；若橫向載荷通過形心但不在對稱平面內，則梁發(fā)生彎曲變形時，在兩個互相垂直的縱向平面(主慣性平面)內都有彎曲變形，這種組合變形稱為斜彎曲或兩向彎曲。

8.2斜彎曲圖8-2（a）所示的房頂上的矩形截面檁條的變形，塔式起重機的起重臂在自重和側向風載作用下的彎曲變形等。圖8-3（a）所示為矩形截面懸臂梁，y、z軸為橫截面對稱軸，作用在B端的橫向集中力F過形心且與y軸的夾角為θ。力F沿y軸和z軸方向的分量分別為

Fy=Fcosθ，Fz=Fsinθ(8-1)

8.2斜彎曲圖8-3

Fy和Fz分別產生以z軸和y軸為中性軸的平面彎曲變形。距固定端A為x的截面上的彎矩如圖8-3（a）所示，其值為

(8-2)(8-3)

8.2斜彎曲中性軸上σ=0，可得中性軸方程為

(8-5)中性軸過形心，與z軸的夾角為φ［見圖8-3（c）］，則有

(8-6)

8.2斜彎曲由此可見，一般φ≠θ，截面的總彎矩矢量方向與中性軸不一致。橫截面總是繞中性軸轉動，正應力分布如圖所示，中性軸一側為拉應力區(qū)域，另一側為壓應力區(qū)域。由于軸線彎曲變形的方向不在總彎矩的平面內，故為斜彎曲。最大正應力發(fā)生在離中性軸最遠的點上，a點的拉應力最大，

，c點的壓應力最大，，這就是該截面的危險點應力。

8.2斜彎曲對于其他截面形狀的梁（見圖8-5)也采用類似的辦法計算危險點應力：先計算兩個形心主軸方向的彎矩及其相應的應力，再通過任意一點應力的表達式找出中性軸，計算距中性軸最遠的點(危險點)的應力。截面有凸角時危險點一般在凸角處，如圖8-5（b）所示。圖8-5

8.2斜彎曲只有當兩個主軸的慣性矩Iy=Iz，或者彎矩矢量沿著主軸方向(θ=0°或90°)時，才有φ=θ，可能發(fā)生平面彎曲。對于圓截面桿，無論橫截面上的總彎矩沿哪個方向，都是慣性主軸方向，該截面上的最大彎曲正應力總在離中性軸最遠的邊緣上，即。由于彎曲變形時橫截面上切應力一般比正應力要小得多，因此可不考慮切應力對梁強度的影響。其強度條件可寫為

σmax≤［σ］

(8-7)

8.2斜彎曲圖8-3中懸臂梁B截面在y方向和z方向的撓度分別為

，(8-8)根據疊加原理，總撓度為

(8-9)方向如圖8-6所示。圖8-6

8.2斜彎曲(1)構件的軸線變形后不再是載荷作用平面內的平面曲線，一般是空間曲線。斜彎曲有以下兩個特點(2)橫截面內中性軸一般與總彎矩矢量方向不重合。

8.2斜彎曲【例8-1】

8.2斜彎曲作梁的計算簡圖［見圖8-7(b)］，分別繪出兩個主軸平面內的彎矩圖，如圖8-7(c)、圖8-7(d)所示。習慣上，Mz畫成沿z軸正向的視圖，My畫成沿y軸正向的視圖，畫在受壓一側，不標正負。圖8-7

8.2斜彎曲從彎矩圖中可以看出危險截面為A截面和D截面，其彎矩值分別為

MAy=0.642qa2，MAz=0.266qa2MDy=0.444qa2，MDz=0.456qa2由型鋼表查得20a號工字鋼的抗彎截面系數Wz和Wy分別為

Wz=237cm3，Wy=31.5cm3按疊加原理分別算出截面A及截面D上的最大拉應力，即

8.2斜彎曲由此可見，梁的危險點在固定端截面A的棱角處。由于危險點處是單向應力狀態(tài)，故其強度條件為

從而解得

8.2斜彎曲【例8-2】圖8-8

8.2斜彎曲對于圓截面桿，最大正應力必定在總彎矩最大的截面上，與總彎矩的方向無關。圖8-8(c)給出了各橫截面上總彎矩的數值，該梁的危險截面在B截面的右側，其彎矩為圓截面桿的抗彎截面系數為危險點在危險截面的邊緣上，其正應力為

該梁的強度足夠。

8.2斜彎曲拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形在工程中比較常見。桁架中不可忽略自重的傾斜桿［見圖8-9(a)］、電線桿立柱［見圖8-9(b)］、車間天車的牛腿［見圖8-9(c)］等都產生拉伸（壓縮）與彎曲組合變形。拉伸(壓縮)與彎曲組合變形的強度計算8.3.1

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合圖8-9構件發(fā)生拉伸（壓縮）與彎曲組合變形時，橫截面上有拉伸（壓縮）產生的正應力σ′和彎曲產生的正應力σ″。圖8-10(a)所示的矩形截面梁發(fā)生拉伸(壓縮)與彎曲組合變形時，若某橫截面上的軸力為FN，彎矩為M［見圖8-10(b)］，則根據疊加原理可得該橫截面上任意一點的正應力的表達式為

(8-10)

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合中性軸方程為

，不通過形心C。正應力分布如圖8-10(c)所示。受拉伸的最大正應力為（）(8-11)

或（受壓側）

(8-12)圖8-10

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合如圖8-11所示，對于矩形截面梁的拉伸(壓縮)與彎曲的組合變形，用Mz、My表示某橫截面上繞y軸和z軸的彎矩，則橫截面上任意一點的正應力的表達式為

(8-13)式中，彎矩的矢量方向為相應坐標軸的正向，如圖8-11(a)所示。具體計算時，可根據實際彎矩方向判斷正應力疊加時的正負。中性軸不通過橫截面形心，正應力分布如圖8-11(b)所示。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合圖8-11

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合【例8-3】

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合危險截面上的軸力為壓力，應力疊加后下邊緣的壓應力最大，危險點在該截面的下邊緣。因要選擇截面尺寸，按照危險點應力試算時可以先不考慮軸力FN的影響，只根據彎曲強度條件選取工字鋼。根據彎曲正應力強度條件，有查型鋼表，選取Wz=141cm3的16號工字鋼，其橫截面面積A=26.1cm2。初選定工字鋼后，再按壓縮與彎曲組合變形進行危險點應力校核，即

結果表明，最大壓應力與許用應力接近相等，故選擇16號工字鋼是合適的。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合圖8-12

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合【例8-4】

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合圖8-13

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合立柱橫截面上存在軸力和彎矩，如圖8-13(c)所示。立柱產生拉伸與彎曲組合變形。軸力FN和彎矩M分別為

FN=F，M=(350+z0)F=425F這里，默認軸力F的單位為N，彎矩M的單位為N·mm。軸力FN對應的應力是均布的拉應力，即

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合彎矩M對應的正應力按線性分布，最大拉應力和壓應力分別為

，

兩種應力疊加后可知，在截面內側邊緣上產生最大拉應力，外側邊緣上產生最大壓應力，根據強度條件，有

(Ⅰ)

(Ⅱ)由式（Ⅰ）解得F≤45.1kN，由式（Ⅱ）解得F≤171.3kN，所以壓力機的許可壓力為［F］=45.1kN。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合偏心拉伸（壓縮）的截面核心8.3.2當直桿只受到不通過軸線的軸向力作用時，外載荷向軸線簡化，得到軸上的力和彎曲力偶。這也是拉伸(壓縮)與彎曲組合問題，稱為偏心拉伸(壓縮)。如圖8-9(c)所示的車間天車的支柱、圖8-13(a)所示的壓力機立柱、偏心拉壓的連桿、塔式起重機的塔身等都屬于偏心拉壓構件。軸向力和軸線之間的距離稱為偏心距，用e表示。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合設圖8-14(a)所示的矩形截面短柱下端固定，上端承受偏心壓力F作用，y、z方向的偏心距分別為ey和ez。把偏心力向形心簡化得到軸線上的壓力F′和y、z方向的力偶My=Fez和Mz=Fey。任一截面上(y，z)點的正應力為

(8-18)其中，

，

分別為橫截面對其形心主慣性軸y、z的慣性半徑。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合中性軸方程為

(8-19)如圖8-14(b)所示，中性軸pq在y、z軸上的截距為

(8-20)

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合圖8-14

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合可見中性軸pq和偏心力的作用點E分居形心C的兩側，所以截面上最大正應力必定在偏心力作用點附近的尖角(B點)上。式(8-20)表明，偏心距越小，中性軸離形心越遠。當中性軸在橫截面范圍以外時，整個截面均承受壓應力。通常把使整個截面呈現一種正應力（拉應力或壓應力）的偏心力作用范圍，稱為截面核心，它與偏心力的大小和拉壓無關。截面核心在建筑工程中非常有用，比如混凝土、大理石等抗拉能力比抗壓能力小得多的材料，設計時希望在構件中不產生拉應力。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合從式(8-19)可以看出，如果偏心力作用點在pq直線上，也可以得到E點的正應力為零。因此，偏心力作用在某一點可使一條直線(中性軸)上的正應力為零，偏心力作用點在某一直線時可保證某個點的正應力始終為零。截面核心的邊界可通過使橫截面邊界的正應力為零來確定。橫截面為凸角多邊形時，可以通過以下兩種方法確定截面核心：（1)確定使截面的各邊界應力為零的點，以這些點為頂點的凸多邊形為其截面核心。（2)確定使截面各頂點應力為零的直線，這些直線圍成的凸多邊形為其截面核心。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合圖8-14(b)中矩形截面中通過AD邊應力為零確定點a，

；通過DB邊應力為零確定出點d，

；D點應力為零對應的直線為ad連線。圖8-14(c)中的陰影部分給出了其截面核心。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合對于有凹角的多邊形截面，凹角處正應力為零并不能使整個截面上的正應力均為拉應力或壓應力。如圖(a)所示，通過AB、BC、CD、DE可以確定截面核心的b、c、d、e四點，凹角處把A、E兩點連接起來，通過AE確定a點。凸多邊形abcde就是該截面的截面核心。如果截面的邊界是曲線，其對應的截面核心邊界也為曲線，如圖(b)所示。圓的截面核心也是圓，如圖(c)所示。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合【例8-5】

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合其中慣性半徑

。確定軸向力作用點的偏心距為

(Ⅱ)若考慮中性軸在軸上的截距為ay=-r，根據式(8-20)也可得到上述式（Ⅱ）。中性軸切于圓周的其他點時，也可以得到同樣的結果，所以半徑為r的圓形截面的截面核心為一個半徑為r/4的圓。

8.3拉伸(壓縮)與彎曲的組合圖8-16工程中，軸上發(fā)生扭轉變形的同時，一般都伴隨有橫向彎曲變形，當橫向彎曲不可忽略時，就要考慮彎曲與扭轉的組合變形問題，如圖8-2(c)所示。機床上被加工的軸、電動機的主軸、圖8-16（a）所示的L型直角拐AB段、圖8-16（b）所示的公路旁警告牌受到風力時的立柱等均發(fā)生彎曲與扭轉的組合變形。

8.4彎曲與扭轉的組合

8.4彎曲與扭轉的組合這里僅考慮圓截面桿的彎扭組合變形。設直徑為d的圓軸發(fā)生彎曲與扭轉組合變形，任一橫截面上的扭矩為T，彎矩為M［見圖(a)］，則橫截面上的扭轉切應力τρ=Tρ/Ip，最大值在圓周上；彎曲正應力σx=My/I，最大值在上下邊緣，如圖(b)所示。A、B兩點均為危險點，從A點取出原始單元體［見圖(c)］，其中

，

。對于塑性材料桿件，應選用第三或第四強度理論進行強度校核。由于Wp=2W，所以相當應力的表達式(7-59)可寫為

(8-21)

(8-22)由于橫向剪力引起的切應力比較小，一般在彎扭組合變形問題的計算中都不予考慮。對于圓截面發(fā)生兩向彎曲和扭轉組合變形時，就需要計算出各截面上的總彎矩，根據總彎矩圖和扭矩圖來判斷桿的各危險界面，然后考核其強度。

8.4彎曲與扭轉的組合【例8-6】

8.4彎曲與扭轉的組合圖8-18

8.4彎曲與扭轉的組合從總彎矩圖8-18(f)可以看出，橫截面B上的總彎矩最大，MB=1.064kN·m。該截面的扭矩也為最大，T=1kN·m。故截面B為危險截面。其實，也可以根據Mz圖和My圖中的最大彎矩值，計算這兩個截面(截面B和截面C)的總彎矩，一般可直接得到該軸上的總彎矩最大值。根據式(8-22)建立強度條件

式中，。

8.4彎曲與扭轉的組合由此可求得滿足第四強度理論的直徑應為

可選取d=52mm。由于實際工作中軸的內力和應力往往是隨時間高頻變化的，軸的強度會有所下降，而且有時還要考慮軸的剛度問題，所以其設計直徑還應再大一些。

8.4彎曲與扭轉的組合任意載荷作用下的等直桿如圖8-1所示。構件橫截面上可能存在的內力有軸力、剪力、彎矩和扭矩，彎矩和剪力不一定在主慣性軸方向上。這就是桿件發(fā)生組合變形最一般的情況。前面分別介紹了斜彎曲、拉（壓）彎組合、彎扭組合時的強度計算問題。如果構件中幾種基本變形同時存在，同樣可以分析每一種基本變形產生的應力（正應力和切應力），然后應用疊加原理分析危險點單元體上的應力，應用強度理論分析構件的安全性。

8.5組合變形的一般情況設圓截面桿橫截面上的內力有扭矩T、彎矩M、剪力FS和軸力FN，此時剪力和彎矩矢量方向不垂直(兩向彎曲)，如圖所示。彎曲問題中，剪力FS產生的切應力同彎曲正應力比較，一般可以