廣東省2026屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項:1.答卷前，考生務(wù)必在答題卡寫上考生姓名、考生號、考場號、座位號等相關(guān)信息。

2.選擇題每小題選出答案后，用

2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)的位置上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動的，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在直線上，則()A. B. C. D.2．已知集合，，則()A. B. C. D.3．“”是“”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去，另一種是乘公共汽車去.顯然公共汽車的速度比自行車快，但乘公共汽車有一個等候時間（候車時間假設(shè)是固定不變的）.在任何情況下，他總是花時間最少的最佳方案.下表列出他到達甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的時間.則他離住地8千米的地方，需要的時間為()目的地目的地離住地的距離最佳方案所需時間甲地2千米12分鐘乙地4千米18分鐘丙地6千米22分鐘A.24分鐘 B.26分鐘 C.28分鐘 D.30分鐘5．已知向量a在向量b上的投影向量為，，則()A. B. C. D.36．已知是首項和公差均為m的等差數(shù)列，是首項和公比均為m的等比數(shù)列，.若的前5項和與的前4項和都等于S，則()A.30 B.32 C.42 D.467．已知是R上的奇函數(shù)，，若在上單調(diào)遞增，且，則在R上的最小值是()A. B. C. D.8．單位圓上有7個不同的點，則任意兩點間距離平方和的最大值為()A.42 B.49 C.56 D.64一、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．兩組數(shù)據(jù)和，它們的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則()A.的平均數(shù)為B.的方差為C.若，則D.若，則10．如圖，在直三棱柱中，，，點P，Q，M，N分別是，，，的中點，則()A.P，Q，M，N四點共面B.線段為直三棱柱外接球的直徑C.三棱錐的體積為D.異面直線與所成角為11．雙曲線的左、右焦點分別為，，過C上一點P作切線與x軸交于點Q，直線與C的兩條漸近線分別交于點A，B，滿足，則()A. B.滿足條件的點P有2個C. D.點P為外接圓圓心三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若的展開式中，的系數(shù)等于x的系數(shù)的5倍，則________.13．已知圓與圓交于A，B兩點，則公共弦長________.14．已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）把的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)，求使成立的x的取值集合.16．（15分）某地舉行足球賽，共有16支球隊參加賽程先進行小組單循環(huán)賽（小組內(nèi)每兩支球隊打一場比賽，前兩名晉級下一輪）；然后進行淘汰賽（贏球晉處下一輪，輸球被淘汰），對陣圖如下.現(xiàn)16支球隊分為A，B，C，D四組，每組4支球隊.已知甲、乙、丙、4支球隊分在A組，甲隊勝乙隊、丙隊、丁隊的概率分別為，，.假設(shè)每一輪每場比賽互不影響，甲隊在嫁一輪每場比賽勝其他球隊的概率不變.（1）求甲隊在小組單循環(huán)賽中至少勝兩場的概率；（2）已知通過第一輪角逐，甲隊和乙隊均進入淘汰賽，且甲隊對B、C、D組每支球隊的勝率均為，乙隊對B、C、D組每支球隊的勝率均為.求甲隊奪冠的概率.注：A1-D2表示A小組第1名與D小組第2名對陣.17．（15分）如圖，在三棱臺中，，，，點在底面的投影是的重心G.（1）證明：平面平面；（2）已知空間直角坐標(biāo)系中的方程：，它表示球心為，半徑為R的球面.S，T是棱上兩點，，P是三棱臺表面上一點，且.求滿足條件的P點軌跡的長度.18．（17分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若，證明：函數(shù)有3個零點；（3）當(dāng)時，對任意的，滿足，證明：.19．（17分）已知橢圓，O為坐標(biāo)原點，點M，N分別在直線與上，P是上一點，M，N，O，P四點構(gòu)成平行四邊形.（1）證明是定值，并求該值；（2）求平行四邊形面積的最大值；（3）一族直線與交于點，，證明每條弦被定直線平分，并求該直線的方程.

參考答案及解析1．答案：B解析：由題得，，解得，則，故選B.2．答案：D解析：由，得，則；由，得，則，所以，故選D.3．答案：C解析：因為是R上的增函數(shù)，故選C.4．答案：B解析：由，，則，結(jié)合到甲地需要12分鐘，得公共汽車每行駛1千米需要2分鐘.所以，，即候車時間為10分鐘.若到甲地乘公共汽車，則需要時間為分鐘，大于12分鐘，則到甲地為騎自行車，騎自行車每公里需要6分鐘.所以到8千米的地方，最佳方案是乘公共汽車，需要時間為分鐘.故選B.5．答案：A解析：.故選A.6．答案：A解析：由題得，，，所以，即，則或，解得，所以，故選A.7．答案：C解析：由是奇函數(shù)，則；由，則的圖象關(guān)于對稱，即，所以.因為在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在單調(diào)遞減.所以，故選C.8．答案：B解析：設(shè)，則，所以，因為，所以，當(dāng)7個點均勻分布在單位圓上時，根據(jù)正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)有，則，因此所求的最大值為49.故選B.9．答案：AC解析：根據(jù)平均數(shù)與方差的性質(zhì)，易知A、C正確，B、D錯誤，故選AC.10．答案：BC解析：由于與是異面直線，則P，M，Q，N四點不可能共面，A錯誤；三棱柱為正方體一半，側(cè)面為正方體對角面，其對角線為正方體外接球直徑，則B正確；，則C正確；異面直線與所成角即為正方體體對角線與棱所成角，可求得則.故選BC.11．答案：ACD解析：由雙曲線光學(xué)性質(zhì)知為的平分線，則，即，A正確；設(shè)，，，則，所以，得，即，所以，所以或，又，所以或，所以滿足條件的P點在右支上，且只有4個，B錯誤；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以.設(shè)，則，聯(lián)立，可得交點，，則，所以，C正確；A，B中點坐標(biāo)為，所以P是線段中點，又，所以P為外接圓圓心，D正確.故選ACD.12．答案：7解析：由題得，，即，所以，解得.13．答案：解析：由題得，，，兩方程相減得，，則圓心到此直線距離為，所以.14．答案：解析：設(shè)，則當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，由，得，則不成立；當(dāng)時，若，則，即成立；若，則，即，得.綜上，a的取值范圍是.15．答案：（1）；（2）解析：（1），由圖知，過點，即，則，由圖得，，解得.所以.（2）由題得，，由，得，則，所以，解得，因此，使成立的x的取值集合是.16．答案：（1）；（2）解析：（1）設(shè)在一輪比賽中，甲隊勝乙隊為事件，甲隊勝丙隊為事件，甲隊勝丁隊為事件，由題得，，，.設(shè)甲隊在第一輪比賽中至少勝兩場為事件A，則.由題可得，.因此，甲隊在第一輪比賽中至少勝兩場的概率為.（2）由題得，甲隊進入決賽的概率為；乙隊進入決賽的概率為.則乙隊進入決賽甲隊奪冠的概率為；乙隊沒進入決賽甲隊奪冠的概率為.因此，甲隊奪冠的概率為.17．答案：（1）證明見解析；（2）解析：（1）連接并延長交于點M，連接，則M為BC中點，平面.取的中點為N，連接，，則.由題得，，，所以.所以四邊形是平行四邊形，則.所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，由，得，整理得，所以P點軌跡表示球心在，半徑的球面.又P是棱臺表面上的點，所以P點軌跡是球面與棱臺表面的交線.由題得，，則，所以.又，，則，，.所以球面只與棱臺側(cè)面，側(cè)面，底面相交.而計算得，，.因此所求交線長度為.18．答案：（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析解析：（1）當(dāng)時，，則，所以，.因此曲線在處的切線方程為.（2）的定義域是，，若，令，得或，且.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在處取得極大值，在處取得極小值.因為，所以，又，所以，使得，即在上有1個零點；因為，所以，則，所以，所以，使得，即在上有1個零點；又，所以，使得，即在上有1個零點.綜上，當(dāng)，有3個零點.（3）在處的切線方程為，設(shè)，下面證明：當(dāng)時，.設(shè)，則，設(shè)，則，顯然，時，，所以遞增，則，即，所以遞減，則，從而，即.所以，，…，，得.即.19．答案：（1）證明見解析，該定值為2；（2）4；（3）答案見解析，解析：（1）由題，設(shè)，，，又，因為