1/22025-2026學年高二上學期期末模擬卷（1）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．考試范圍：人教B版2019選擇性必修第一冊~選擇性必修第二冊（空間向量與立體幾何+平面解析幾何+排列組合與二項式定理+統(tǒng)計與概率）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知直線l1:ax?y+1=0,l2:x?by?2=0，則“ab=?1”是“l(fā)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知橢圓E：x24+y23=1，點F?1,0，若直線x+λy?1=0（λ∈R）與橢圓E交于A．23 B．4 C．433．四面體OABC中，OA?=a→,OB?A．12a→C．12a→4．已知圓C的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標準方程為（

）A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝55．過點P(0,2)作圓C：x2+y2?4x?1=0的切線PA，PB，切點分別為A，BA．2 B．6 C．10 D．156．已知(1+2x)9=aA．a(chǎn)B．a(chǎn)i(i=0,1,2,?,8,9)C．a(chǎn)D．a(chǎn)7．2023年高考考場的規(guī)格為每場30名考生，分為6排5列，依照下圖所示的方式進行座位號的編排．為了確?？荚嚨墓叫?，考生的試題卷分為A卷和B卷，座位號為奇數(shù)的考生使用A卷，座位號為偶數(shù)的考生使用B卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考場參加高考，且三人使用的試卷類型相同，三名考生中任意兩人不得安排在同一行或同一列，則甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（

）第五列第四列第三列第二列第一列2524131201第一排2623141102第二排2722151003第三排2821160904第四排2920170805第五排3019180706第六排A．2016種 B．1008種 C．1440種 D．720種8．已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),A,B是其左右頂點，過點A的直線交圓xA．2 B．2 C．3 D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知空間向量a=(?2,1,2)，b=1,?A．|a|=9 B．若aC．若a//b，則m=1 D．若m=110．在一個抽獎游戲中，有四個編號為1，2，3，4的外觀相同的箱子，其中只有一個箱子里有獎品（只有主持人知道哪個箱子有獎品）.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由抽獎人獲得.抽獎人首次隨機選擇了一個箱子，在抽獎人打開之前，主持人先打開了剩下的三個箱子中的一個空箱子，此時抽獎入有一次重新選擇的機會，則以下說法正確的有（

）A．抽獎人在初始選擇中，每個箱子中獎的概率均為1B．主持人打開一個空箱子后，每個箱子中獎的概率均為13C．主持人打開一個空箱子后，抽獎人換選剩下兩個未開箱中的一個可使中獎概率升至3D．每個箱子中獎的概率始終為1411．如圖所示，動點Px,y(x≥0)到定點F1,0的距離與到定直線l:x=?1的距離之積為1，記P的軌跡為曲線C

A．點P的橫坐標的取值范圍是0,B．C與拋物線y2C．C上任意一點(x0D．C上存在兩個不同的點關于直線y=x?1對稱第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在平面直角坐標系xOy中，已知菱形ABCD的邊長為2，一個內(nèi)角為60°，頂點A，B，C，D均在坐標軸上，以A,C為焦點的橢圓Γ經(jīng)過B，D兩點，請寫出一個這樣的Γ的標準方程：．13．(x2?2y?2)6的展開式中14．空間中，向量a,b,c滿足：a=2b=3c=6，且a,b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在一次聚會臨近結(jié)束時，公司通過摸球抽獎的方式對優(yōu)秀員工發(fā)放獎金.先在一個密閉不透光的箱子中裝入6個標有一定金額的球（除標注的金額不同外，其余均相同），其中標注的金額為500元、1000元、1500元的球分別有1個、2個、3個，每個優(yōu)秀員工每次從箱子中隨機摸出1個球，記下摸出的球上的金額數(shù)，摸m次.規(guī)定：摸出的球上所標注的金額之和為其所獲得的獎金總金額.(1)若m=1，設第一個摸球的優(yōu)秀員工獲得的金額ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；(2)若m=2，采用有放回方式摸球，設事件X=“一個優(yōu)秀員工獲得的總金額不超過2500元”，事件Y=“一個優(yōu)秀員工獲得的總金額不低于2000元”，求PY16．（15分）在平面直角坐標系中，Q2,0，過點P2,4作直線l與圓O:x(1)若直線l的斜率為1，求MN；(2)設直線QM，QN的斜率分別是k1，k2，探索17．（15分）設函數(shù)f(1)當x<0時，求fx表達式的展開式中含有x(2)當x>0時，求ff18．（17分）如圖1，在等腰直角△PAB中，∠A=90°,AB=AP=12,D,C分別為PA,PB的中點.將△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折，得到如圖2所示的四棱錐P?ABCD，且PA=62.記PB的中點為N，動點Q在線段CN

(1)證明：CN⊥平面PAB；(2)若QC=2QN，求平面PAQ與平面ABCD夾角的余弦值；(3)求動點Q到直線AP的距離的取值范圍.19．（17分）從雙曲線的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過雙曲線的反射后，反射光線是散開的，反射光線的反向延長線過另一個焦點，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣，雙曲線的這一光學性質(zhì)也被人們廣泛應用．如圖，已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的漸近線方程為y=±22x．O為坐標原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，A1，A2分別為左、右頂點．由其光學性質(zhì)知．由F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線C上一點P03,8反射后，反射光線的反向延長線過點F1，連接P0F

(1)求雙曲線C的標準方程；(2)求直線P1(3)證明：當n為偶數(shù)時，直線OPn+1與直線

2025-2026學年高二上學期期末模擬卷數(shù)學?全解全析第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知直線l1:ax?y+1=0,l2:x?by?2=0，則“aA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用兩條直線垂直求出a,b的關系，利用充分條件和必要條件求解.【詳解】l1:ax?y+1=0,l則a+b=0，由ab=?1可以得到a+b=0，但是由a+b=0不一定得到故“ab=?1”是“故選：A.2．已知橢圓E：x24+y23=1，點F?1,0，若直線x+λy?1=0（λ∈R）與橢圓E交于A．23 B．4 C．43【答案】D【分析】求出直線所過的定點，再利用橢圓的定義求出三角形周長.【詳解】橢圓E：x24+y2則點F(?1,0)為橢圓的左焦點，其右焦點為(1,0)，而直線AB:x+λy?1=0恒過定點(1,0)，所以△ABF的周長為4a=8.故選：D3．四面體OABC中，OA?=a→,OB?A．12a→C．12a→【答案】B【分析】利用空間向量線性運算計算即可.【詳解】因為OM=2所以OM=23OA，點所以MN=ON?故選：B4．已知圓C的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標準方程為（

）A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【答案】B【分析】設圓心C(a,2a?7)，由|AC|=|BC|=r得出圓心和半徑，進而得出方程.【詳解】設圓心C(a,2a?7)，因為|AC|=|BC|=r，所以a2解得a=2，則半徑為r=22+即圓C的標準方程為(x?2)2故選：B5．過點P(0,2)作圓C：x2+y2?4x?1=0的切線PA，PB，切點分別為A，BA．2 B．6 C．10 D．15【答案】D【分析】由圓的方程求圓心坐標和半徑，再求PC，結(jié)合切線性質(zhì)求PA，PB，再利用三角形面積公式求△PAB△PBC的面積，結(jié)合對稱性可得結(jié)論.【詳解】圓x2+y2?4x?1=0由切線性質(zhì)可得CA=CB=5，又點P的坐標為(0,2)，所以PC=所以PA=所以△PAC的面積S△PAC△PBC的面積S△PBC所以四邊形PACB的面積S=S故選：D.6．已知(1+2x)9=aA．a(chǎn)B．a(chǎn)i(i=0,1,2,?,8,9)C．a(chǎn)D．a(chǎn)【答案】C【分析】求出二項式展開式的通項公式，求出a2【詳解】(1+2x)9展開式的通項公式為T對于A，a2對于B，當i∈N,i≤8時，ai+1ai即有a0<a1<?<對于C，當x分別取±1時，a0+a對于D，當x分別取±12時，a0而a0=1，因此故選：C7．2023年高考考場的規(guī)格為每場30名考生，分為6排5列，依照下圖所示的方式進行座位號的編排．為了確?？荚嚨墓叫?，考生的試題卷分為A卷和B卷，座位號為奇數(shù)的考生使用A卷，座位號為偶數(shù)的考生使用B卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考場參加高考，且三人使用的試卷類型相同，三名考生中任意兩人不得安排在同一行或同一列，則甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（

）第五列第四列第三列第二列第一列2524131201第一排2623141102第二排2722151003第三排2821160904第四排2920170805第五排3019180706第六排A．2016種 B．1008種 C．1440種 D．720種【答案】A【分析】考慮甲、乙、丙三人使用A卷，則這三個人的座位號都為奇數(shù)，對三個人選擇奇數(shù)列的人數(shù)進行分類討論，確定第一、二、三個人選擇座位的種數(shù)，結(jié)合分步乘法和分類加法計數(shù)原理可得出三人使用A卷的座位排法種數(shù)，再由對稱性可得出三人都使用B卷座位排法種數(shù)，綜合可得結(jié)果.【詳解】先考慮甲、乙、丙三人使用A卷，則這三個人的座位號都為奇數(shù)，分以下幾種情況討論：（1）若這三人都在奇數(shù)列，則有一人需在第一列選一個奇數(shù)號的座位，有3種情況，然后有一人在第三列要選一個奇數(shù)號的座位，但與第一人不能同在一排，只有2種情況，最后一人只能在第五列選擇一個奇數(shù)號的座位，但該人不能與前兩人在同一排，最后一人的座位只有一個，此時，不同的排法有3×2×1×A（2）三人中只有兩人在奇數(shù)列，首先在第一、三、五列中選兩列，有C3其次，第一個人在其中的第一個奇數(shù)列中選擇一個奇數(shù)號的位置，有3種選擇，第二個人在另一個奇數(shù)列中選擇一個奇數(shù)號的位置，有2種選擇，第三個人在兩個偶數(shù)列中選擇一個奇數(shù)號的位置，有6種選擇，此時，共有C3（3）三人中只有一人在奇數(shù)列，第一個人在第一、三、五列中隨便選擇一個奇數(shù)號的位置，有9種選擇，其次，第二個人在第二列中選擇一個奇數(shù)號的位置，有3種選擇，例如第二個人選擇10號座位，由于第三個人不能與第二個人同排或同列，則第三個人只有2種選擇，即20號和24號兩個位置可供選擇，此時，不同的排法種數(shù)為9×3×2×A綜上所述，當三個人都考A卷時，不同的排法種數(shù)為36+648+324=1008.由對稱性可知，當三人都考B卷時，不同的排法種數(shù)也為1008種.綜上，當三人的考卷類型相同時，不同的座位安排方案種數(shù)為1008×2=2016種.故選：A.【點睛】易錯點點睛：求解分類、分步計數(shù)原理需要注意以下幾點：（1）處理計數(shù)問題，應扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，要搞清楚“分類”或“分步”的具體標準；（2）分類時要滿足要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥（保證不重復）；②總數(shù)要完備（保證不遺漏），也就是要確定一個合理的分類標準；（3）分步時應按事件發(fā)生的連貫過程進行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續(xù)型.8．已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),A,B是其左右頂點，過點A的直線交圓xA．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，設Qx,y,Px0,y0，點P是AQ【詳解】由題，雙曲線x2a2因為AP=PQ，點P是設Qx,y,Px因為點P在圓x2+y2=化簡得：x?a2+y2=4x2+y2=6a2代入x2+y2=6因為點Q在雙曲線上，代入雙曲線方程：3a22a雙曲線中c2=a離心率e=c故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知空間向量a=(?2,1,2)，b=1,?A．|a|=9 B．若aC．若a//b，則m=1 D．若m=1【答案】BD【分析】根據(jù)模長公式即可求解A，根據(jù)垂直的坐標關系即可求解B，根據(jù)平行滿足的坐標關系即可求解C，根據(jù)夾角公式即可求解D.【詳解】A：|aB：由a⊥b知，a?C：由a//b知，1?2D：若m=1，b=1,?1故選：BD10．在一個抽獎游戲中，有四個編號為1，2，3，4的外觀相同的箱子，其中只有一個箱子里有獎品（只有主持人知道哪個箱子有獎品）.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由抽獎人獲得.抽獎人首次隨機選擇了一個箱子，在抽獎人打開之前，主持人先打開了剩下的三個箱子中的一個空箱子，此時抽獎入有一次重新選擇的機會，則以下說法正確的有（

）A．抽獎人在初始選擇中，每個箱子中獎的概率均為1B．主持人打開一個空箱子后，每個箱子中獎的概率均為13C．主持人打開一個空箱子后，抽獎人換選剩下兩個未開箱中的一個可使中獎概率升至3D．每個箱子中獎的概率始終為14【答案】AC【分析】根據(jù)古典概型判斷A，B，D選項，根據(jù)條件概率判斷選項C.【詳解】對于A選項，抽獎人在不知道獎品在哪個箱子的情況下，每個箱子中獎的概率均為14對于B選項，主持人打開一個空箱后，抽獎人最初選的箱子中獎的概率仍為14，而非1對于C選項，抽獎人剛開始選錯的概率為34，換選時在剩余的兩箱中選中獎箱的概率為1所以抽獎人換選剩下兩個未開箱中的一個可使中獎概率為38對于D選項，初始選擇后每個箱子中獎的概率始終為14，但主持人打開空箱后，未選的箱子概率變化了，并非始終為1故選：AC11．如圖所示，動點Px,y(x≥0)到定點F1,0的距離與到定直線l:x=?1的距離之積為1，記P的軌跡為曲線C

A．點P的橫坐標的取值范圍是0,B．C與拋物線y2C．C上任意一點(x0D．C上存在兩個不同的點關于直線y=x?1對稱【答案】ABC【分析】由題可得曲線C的方程為(x?1)2+y2(x+1)2=1(x≥0)，令y=0即可得到x的范圍即可得到A；聯(lián)立方程，根據(jù)方程解的情況可判斷B；根據(jù)曲線方程可得y【詳解】根據(jù)題意，曲線C的方程為(x?1)2則(x?1)2(x+1)2=1?y2(x+1)2≤1所以C上的點P(x,y)的橫坐標x的取值范圍是[0,2將拋物線y2=4x的方程與(x?1)2整理得(x+1)4=1，解得x=0，所以C與拋物線當點x0,y0在C上時，x0所以y02x對于D，如果C上存在兩個不同的點關于直線y=x?1對稱，則將曲線C向左平移1個單位長度得到的曲線C上必存在兩點關于直線y=x對稱，設C′上關于直線y=x對稱的兩點為Ax0則x02+所以x0+22所以y0+2=?x0+2x02+因為x0≥?1，所以所以關于x0的方程2所以曲線C′上不存在兩點關于直線y=x故選：ABC．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分．12．在平面直角坐標系xOy中，已知菱形ABCD的邊長為2，一個內(nèi)角為60°，頂點A，B，C，D均在坐標軸上，以A,C為焦點的橢圓Γ經(jīng)過B，D兩點，請寫出一個這樣的Γ的標準方程：．【答案】x2【分析】以菱形ABCD的對角線的交點O為原點建立平面直角坐標系，不妨取∠BAD=60°，求出AC,BD的長度，進而可求得焦距及短軸長，進而可得出答案.【詳解】如圖，以菱形ABCD的對角線的交點O為原點建立平面直角坐標系，因為菱形ABCD的邊長為2，一個內(nèi)角為60°，不妨取∠BAD=60°，則△ABD為等邊三角形，故AC=23則橢圓的焦距2c=23，短軸長2b=2，所以b=1,c=則長軸長2a=2b2+所以此時橢圓的標準方程為x2故答案為：x213．(x2?2y?2)6的展開式中【答案】?480【分析】根據(jù)二項式定理的通式,寫出所有能得到目標項的可能,求出結(jié)果.【詳解】由題意可知((x2當k=2時C62(x2則(x2?2)4通式為C4可得x6y2故答案為:?480.14．空間中，向量a,b,c滿足：a=2b=3c=6，且a,b【答案】15?6【分析】先利用已知條件求出相關向量的模及數(shù)量積，分析可知點M的軌跡是與OC垂直的平面，記為平面α，點N的軌跡是以線段AB為直徑的球，且e1?e2即為平面α上的點M與球O1上的點N【詳解】設a=因為a=2b=3c=6則a?可得BA=若c?e1可知點M的軌跡是與OC垂直的平面，記為平面α，且向量OM在OC方向上的投影為OC?又因為AN=若e2?a?e可知點N的軌跡是以線段AB為直徑的球，設球心為AB的中點O1，則OO1可知平面α的法向量為c，且e1則e1?e2即為平面α上的點M與球因為MO則MO可得球心O1到平面α的距離為：d=且d=154>r=33故答案為：15?63四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在一次聚會臨近結(jié)束時，公司通過摸球抽獎的方式對優(yōu)秀員工發(fā)放獎金.先在一個密閉不透光的箱子中裝入6個標有一定金額的球（除標注的金額不同外，其余均相同），其中標注的金額為500元、1000元、1500元的球分別有1個、2個、3個，每個優(yōu)秀員工每次從箱子中隨機摸出1個球，記下摸出的球上的金額數(shù)，摸m次.規(guī)定：摸出的球上所標注的金額之和為其所獲得的獎金總金額.(1)若m=1，設第一個摸球的優(yōu)秀員工獲得的金額ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；(2)若m=2，采用有放回方式摸球，設事件X=“一個優(yōu)秀員工獲得的總金額不超過2500元”，事件Y=“一個優(yōu)秀員工獲得的總金額不低于2000元”，求PY【答案】(1)分布列見解析，Eξ=3500(2)22【分析】（1）得到ξ的可能取值和對應的概率，得到分布列，求出數(shù)學期望；（2）先求出PX=3【詳解】（1）ξ的可能取值為500、1000、1500，其中Pξ=500=16，故ξ的分布列如下：ξ50010001500P111則數(shù)學期望為Eξ=500×（2）采用有放回方式摸球，每次摸到500元的概率為p1每次摸到1000元的概率為p2=1事件X包含1種情況，即兩次均摸到1500元，故PX故PX事件XY包含3種情況，兩次均摸到1000元；一次摸到500元，一次摸到1500元；一次摸到1000元，一次摸到1500元；故PXY則PY16．（15分）．在平面直角坐標系中，Q2,0，過點P2,4作直線l與圓O:x(1)若直線l的斜率為1，求MN；(2)設直線QM，QN的斜率分別是k1，k2，探索【答案】(1)2(2)k1+【分析】（1）先計算圓心0,0到直線l的距離，再利用垂徑定理計算即可；（2）設l:y?4=kx?2，與圓O【詳解】（1）依題意，得直線l:y?4=x?2，即y=x+2，則圓心0,0到直線l的距離d=22=（2）依題意，直線l的斜率存在且不為零，設Mx1,聯(lián)立y?4=kx?2x2則x1+x所以k=2k+4所以k1+k17．（15分）設函數(shù)f(1)當x<0時，求fx表達式的展開式中含有x(2)當x>0時，求ff【答案】(1)?448(2)1120【分析】（1）先求出x?2x8的通項，然后令8?2r=2（2）先求出x?2x【詳解】（1）當x<0時，fx其展開式通項為Tr+1令8?2r=2，得r=3，所以展開式中含有x2項的系數(shù)為C（2）當x>0時，ffx?2x令4?r=0，得r=4，所以展開式中的常數(shù)項為T518．（17分）如圖1，在等腰直角△PAB中，∠A=90°,AB=AP=12,D,C分別為PA,PB的中點.將△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折，得到如圖2所示的四棱錐P?ABCD，且PA=62.記PB的中點為N，動點Q在線段CN

(1)證明：CN⊥平面PAB；(2)若QC=2QN，求平面PAQ與平面ABCD夾角的余弦值；(3)求動點Q到直線AP的距離的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)3(3)6,3【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證；（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角；（3）根據(jù)向量共線求出Q3λ,6,3λ【詳解】（1）因為折疊前D為PA中點，PA=12，所以PD=AD=6，折疊后，PA=62所以PD2+AD2=PA所以DC//AB，又因為折疊前PA⊥AB，所以所以在折疊后PD⊥AD，DC⊥PD，AD⊥DC；以D為坐標原點，DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立空