1/22025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷01參考答案第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678ADACBDDA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ACDACDABC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12． 13． 14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，則將兩式相加，可得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（3分）將兩式相減，可得，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．（6分）（2）解：由（1）可得，，所以．①②①②得，所以．（13分）16．（15分）【詳解】（1）如圖，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影為的中點(diǎn)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?，又四邊形是平行四邊形，所以四邊形是矩形?分）（2）由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得：，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得：.設(shè)二面角的平面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為（10分）（3）由題可得：，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以，所以，由于，所以，因此得證：（15分）17．（15分）【詳解】（1）證明：依題意有，直線l過點(diǎn)F，且斜率存在，則設(shè)直線l方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去y并整理得，因?yàn)閘過橢圓右焦點(diǎn)F，所以l一定與橢圓相交，即恒成立，所以，，（3分），設(shè)，則，，，要使為定值，則，解得，此時(shí)，所以在x軸上存在點(diǎn)，使為定值，定值為．（7分）（2）設(shè)AB中點(diǎn)，則，所以，即，所以AB中垂線方程為，令，則，即，所以，，，所以，由相交弦定理得，A，M，B，N四點(diǎn)共圓．（15分）18．（17分）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，所以，又，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為，即；（3分）（2）由，求導(dǎo)得，若，，所以在上單調(diào)遞增；若，令，得，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（9分）（3）（i）由題意知方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，由（2）知，且，所以，解得，所以的取值范圍．（ii）由（i）得，所以，，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得，，兩式相減得，即，要證，只需證明，即，所以，令，只需證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，所以不等式成立，于是原不等式成立．（17分）19．（17分）【詳解】（1）∵漸近線為．又過點(diǎn)，代入雙曲線的方程得，，即雙曲線的方程為，若，則過對(duì)應(yīng)的直線方程為，與雙曲線聯(lián)立得：或（舍去）．代入直線方程求得該直線與雙曲線得另一個(gè)交點(diǎn)．（3分）（2）過斜率為直線為：，與雙曲線聯(lián)立得：，因?yàn)?，則，由韋達(dá)定理得，.將代入直線方程，并取相反數(shù)得，①，②，得，由條件可知首項(xiàng)為，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．（8分）（3）要證明為定值，只需證明．與求面積時(shí)，都看作以為底，則原問題轉(zhuǎn)化為高相等，即需證明兩點(diǎn)到直線的距離相等，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明，即只需證明，以下為其證明.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得到兩式作差并整理得：，由合