2/24專題03圓錐曲線中常考的二級結(jié)論題型1圓錐曲線中的點差法題型9橢圓焦點三角形內(nèi)切圓問題題型2拋物線焦半徑焦點弦長題型10雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓問題題型3橢圓的焦半徑與焦點弦長題型11橢圓雙曲線共焦點與離心率的關(guān)系題型4雙曲線的焦半徑與焦點弦長及定值題型12雙曲線中的面積定值題型5拋物線的焦半徑倒數(shù)之和為定值題型13圓錐曲線的切點弦方程題型6橢圓的焦半徑倒數(shù)之和為定值題型14橢圓離心率與焦點三角形底角的關(guān)系題型7圓錐曲線中的焦比與離心率題型15圓錐曲線的第三定義題型8橢圓雙曲線的焦點三角形面積問題題型16橢圓焦點三角形最大張角與離心率關(guān)系題型一圓錐曲線中的點差法（共3小題）1．(25-26高二上·貴州部分學?！て谥?已知直線l與橢圓C:x214+y26=1交于A,B兩點，若線段【答案】6【來源】貴州省部分學校2025-2026學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題【分析】利用點差法列方程，整理求得直線l的斜率.【詳解】依題意可知，直線l的斜率存在.設(shè)直線l的斜率為k,Ax則x1214+y因為線段AB的中點坐標為?2,1，所以k=y故答案為：62．(25-26高三上·河南部分校·期中)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0，斜率為2的直線l交C于M、N兩點，P為C上異于M、N的點，且MP⊥NP．直線MP、NP均不過坐標原點O．設(shè)△MOP與△NOP的重心分別為D、E，△MNP的外心為T，直線OD、OE、OT的傾斜角分別為α【答案】7【來源】河南省部分校2025-2026學年高三上學期11月期中考試數(shù)學試題【分析】設(shè)點的坐標，得到重心的坐標，得到OD、OE、OT的斜率，根據(jù)點差法結(jié)合已知條件可求出b2a2【詳解】設(shè)Mx1,y1因為M、N、P都在雙曲線C:x所以x12a2?△MOP與△NOP的重心分別DxEx直線OD、OE的斜率分別為：kOD=y所以tanα=kOD△MNP的外心為T是三角形三邊重直平分線的交點，因為MP⊥NP，所以△MNP是直角三角形，其外心T是三角形斜邊MN的中點，所以Tx1+x2所以tanγ=①?②得x12?x2同理可得kMP?k由題意可知kMN=2，所以b2a2所以該雙曲線的離心率為e=c故答案為：7.3．(23-24高二下·廣東·調(diào)研)已知O為坐標原點，點A,B在拋物線E:x2=4y上，且OA?OB=0,OD=OA+OB.記點D的軌跡為曲線G，若直線l【答案】12【來源】廣東省2023-2024學年高二下學期6月統(tǒng)一調(diào)研聯(lián)考數(shù)學試題【分析】設(shè)直線OA:y=kx，則OB:y=?1kx，結(jié)合已知用k表示出A,B,D【詳解】顯然OA,OB斜率均存在，設(shè)直線OA:y=kx，則OB:y=?1kx，聯(lián)立y=kxx2設(shè)Dx,y，則x=4k?4k設(shè)Mx1,y1則kMN故答案為：12題型二拋物線焦半徑與焦點弦長（共3小題）4．已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，AB=10，AB的中點橫坐標為4，則A．2 B．23 C．4 D．【答案】A【來源】貴州省貴州大學附屬中學2025屆高三下學期5月底質(zhì)量檢測（三）數(shù)學試題【分析】根據(jù)拋物線定義有|AB|=x1+【詳解】設(shè)Ax由拋物線定義知：|AB|=x1+x2所以8+p=10，即p=2.故選：A.5．(24-25高二上·安徽亳州普通高中·期末)已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，過點F的直線l與C交于A，B兩點（B在x軸上方），且BF=3【答案】3【來源】安徽省亳州市普通高中2024-2025學年高二上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，借助圖形并結(jié)合拋物線的定義求解即得.【詳解】過A，B分別作準線x=?p2的垂線，垂足分別為D，過A作直線BE的垂線，垂足為G，依題意，AF=AD=由BF=3AF，得AB=4因此cos∠ABG=BGAB所以l的斜率為tan60°=故答案為：36．(23-24高二上·江蘇常州·期末)在平面直角坐標系xOy中，A，B為拋物線C:y2=4x上兩個不同的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若AF=3FB【答案】433【來源】江蘇省常州市2023-2024學年高二上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試卷【分析】根據(jù)拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)，求出直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出A，B的坐標，進而得到AB，再由點到直線的距離公式，求出△AOB的高，即可求得△AOB的面積．【詳解】由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線AB的斜率為正，如圖所示，設(shè)拋物線的準線為l，過點A作AD垂直于l且交l于點D，過點B作BC垂直于l且交l于點C，過點B作BE垂直于AD且交AD于E，則AB=2AE，所以直線AB的傾斜角為又F1,0，故直線AB的方程為y=聯(lián)立y=3x?1y2=4x，消y整理得3x2則A3,23，B1又原點到直線AB的距離為d=32，所以當直線AB的斜率為負，即直線AB的傾斜角為120°時，同理可求．故答案為：43題型三橢圓的焦半徑與焦點弦長（共3小題）7．(24-25高二上·浙江臺州·期末)已知橢圓E:x25+y2b2=1(0<b<5)的左右焦點分別為F1,F2A．x25+C．x25+【答案】D【來源】浙江省臺州市2024-2025學年高二上學期期末質(zhì)量評估數(shù)學試題【分析】先證明焦半徑公式，然后根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)求得GF1=ex0+c，進一步得GO=e【詳解】先證明焦半徑公式，對于橢圓方程：x2由橢圓上任意點P(x,y)及左、右焦點F1(?c,0)、得P=c同理，PF根據(jù)橢圓方程知，ca∈(0,1),|x|≤a?a>c故橢圓x2a2+y如圖,設(shè)△MF1F由圓的性質(zhì)可知GF則GF又GF1+GF2=2c則x1=ex0，由x0=5所以橢圓E的方程為x2故選：D8．(23-24高二下·安徽級示范高中培優(yōu)聯(lián)盟·)在平面直角坐標系xOy中，橢圓Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為F，y軸右側(cè)的兩點A，B在橢圓Γ上，且直線AB與圓O：A．12 B．35 C．34【答案】D【來源】安徽省級示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期春季聯(lián)賽數(shù)學試題【分析】首先證明橢圓的焦半徑公式，記AB與圓O:x2+y2=b2相切于點Q，Ax1,y1，B【詳解】首先證明橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任意一點P(x,y)證明：因為F1(?c,0)、所以P==c同理可得PF根據(jù)橢圓方程知，ca∈(0,1),|x|≤a?a>c故橢圓x2a2+y記AB與圓O:x2+y2=b2相切于點則AQ2=x所以AQ2=1?b2所以AQ+AF=a，同理可得BQ+BF所以2a=15，則a=152，又焦距2c=12，所以所以離心率e=c故選：D9．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為e．傾斜角為120°的直線與A．12 B．33 C．32【答案】A【來源】湖北省武漢市華中師范大學第一附屬中學2023屆高三下學期5月壓軸卷數(shù)學試題（二）【分析】設(shè)Ax1,y1【詳解】設(shè)Ax1,y1消去y1，得x注意到x1≤a，則a+ex同理，BF=x2∵AB的傾斜角為120°，∴直線的斜率k=?3根據(jù)弦長公式，可得AB=由ABAF?BF=2∵AB故選：A題型四雙曲線的焦半徑與焦點弦長及定值（共3小題）10．(24-25高三上·江蘇蘇州第三中學·月考)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1，焦點到一條漸近線的距離為7，離心率e=322，過左焦點F的直線【答案】2【來源】江蘇省蘇州市第三中學2024-2025學年高三上學期12月月考數(shù)學試題【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線方程及左焦點坐標，再按直線AB斜率存在與否分類設(shè)出其方程，并與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出|AF|,|BF|即可計算得解.【詳解】令雙曲線C:x2a2?依題意，bca2+b2雙曲線C的方程為x22?y27=1由y=k(x+3)7x2?2y設(shè)A(x1,y1|AF|=(x1由|AF|+|BF|=λ|AF|?|BF|，得λ==?2當直線AB⊥x時，由x=?37x2?2y所以λ=2故答案為：211．已知雙曲線C:x24?y22=1的左焦點為F，過點F的直線l交雙曲線C【答案】2【來源】微點16雙曲線方程與性質(zhì)（二）【講】-同步微點進階【分析】利用焦半徑公式可證1AF【詳解】設(shè)∠AFO=α，則∠BFO=πAF=所以1AF從而AF+BF=2故答案為：2.12．(23-24高二上·福建晉江第一中學·期中)已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)焦距為10，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點【答案】?【來源】福建省晉江市第一中學2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學試題【分析】先計算雙曲線的標準方程，再由焦半徑公式計算即可.【詳解】由題意可知F1代入雙曲線方程有yA又△AF1F2的面積為所以雙曲線方程為：x2設(shè)Px則PF同理PF因為x0>4故答案為：?8題型五拋物線的焦半徑倒數(shù)之和為定值（共3小題）13．(25-26高二上·江西九江匡廬星瀚高級中學·月考)已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，過點F的直線l與C交于A．焦點F到拋物線C的準線的距離為4B．1C．若AB的中點的縱坐標為4，則AFD．若2BF=【答案】ABD【來源】江西省九江市匡廬星瀚高級中學2025-2026學年高二上學期第三次月考數(shù)學試題【分析】對A，由拋物線方程求得焦點坐標和準線方程可求解判斷；對BCD，設(shè)直線l:x=my+2，設(shè)Ax【詳解】對于A：拋物線y2=8x的焦點F2,0所以焦點F到準線的距離為4，A正確；對于B：設(shè)直線l:x=my+2，設(shè)Ax則由x=my+2y2=8x所以y1又由拋物線定義可得AF=所以1AF對于C：若AB的中點的縱坐標為4，則y1+y所以AF=y1對于D：若2BF=AF，則2m所以14y1+y所以2y22?y1y所以?12y所以S△AOF故選：ABD.14．(25-26高二上·廣西柳州第一中學·期中)已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，經(jīng)過點F且斜率為3的直線l與拋物線C交于點A,?B兩點（點A．p=4 B．AFC．1AF+1【答案】ABC【來源】廣西柳州市第一中學2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試題【分析】直線l與拋物線C聯(lián)立方程組，求出點A,B的坐標，由AF=8，求得p=4【詳解】設(shè)Ax1,因為Fp2,0，直線的斜率為3，則設(shè)直線l

聯(lián)立方程y2=2pxy=3x?p2，消去y又因為點A在第一象限，則x2<p因為AF=x1+p因為BF=x2且1AF因為AB=且直線l的方程為y=3x?2，即為原點到直線l的距離為d=2所以S△AOB故選：ABC.15．(25-26高三上·湖南益陽·)已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F4,0，過F作直線l交拋物線于A,B兩點，則A．?73 B．112 C．1【答案】C【來源】湖南省益陽市2025-2026學年高三上學期9月教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題【分析】根據(jù)拋物線的焦點坐標求出p，設(shè)出A，B坐標，聯(lián)立直線和拋物線，利用設(shè)而不求思想結(jié)合基本不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】如圖，設(shè)拋物線y2=2px的焦點坐標為∵焦點為F4,0，∴p2=4，得p=8當AB⊥x軸時，易得A(4,8)，B(4,?8)，則則BF9當AB不垂直x軸時，設(shè)斜率為k，Ax1,則直線AB的方程為y=k(x?4)，(k≠0)，代入y可得k2x?42則x1+x過A,B分別作準線的垂線，垂足分別為則AF=AM=1=8+則1AF于是，BF9當且僅當BF9=4綜上：因718>16,故故選：C.題型六橢圓的焦半徑倒數(shù)之和為定值（共3小題）16．(25-26高二上·重慶巴蜀中學教育集團·月考)古希臘數(shù)學家阿基米德最早用不斷分割法求橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的π倍．已知橢圓C:x225+y29=1，F(xiàn)1、FA．橢圓C的面積為15B．若△PF1F2C．橢圓上存在4個點P，使得△PFD．若直線PF1交橢圓于另一點Q【答案】AD【來源】重慶市巴蜀中學教育集團2025-2026學年高二上學期10月月考數(shù)學試題【分析】根據(jù)橢圓面積公式直接求解判斷A；利用焦點三角形面積公式建立方程求解判斷B；分類討論求解點P的個數(shù)判斷C；由余弦定理求出橢圓焦半徑，代入化簡即可判斷D.【詳解】由橢圓C:x225+y所以橢圓C的面積為abπ因為△PF1F由12知tan∠F1當點P在橢圓的上，下頂點時，滿足△F又因為a?c=1≤PF2≤a+c=9，F(xiàn)1同理，滿足PF1=綜上可得，滿足△F1P在△PF1F即PF整理得PF1=所以1P故選：AD．

17．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一個焦點為F，長軸長為4，若過F的直線與橢圓C【答案】3【來源】專項覺醒1橢圓的最值問題【分析】利用焦點弦性質(zhì)1FP【詳解】因為橢圓長軸長為4，所以a=2，由e=32得，c=由焦點弦的性質(zhì)得1PF故PF+2QF=PF+2故答案為：3418．拋物線有一性質(zhì)：“過拋物線y2=2pxp>0的焦點為F的弦AB滿足AF+BF=2pAFBF．”那么類比拋物線，對于橢圓A．23 B．43 C．13【答案】B【來源】專項練—數(shù)學思想與方法1【分析】當直線l的斜率為0時，直接求出λ，當直線l的斜率不為0時，故可設(shè)直線l的方程為x=my+1，設(shè)Ax1,【詳解】由題意可知F21,0，且當直線l的斜率為0時，AF2B當直線l的斜率不為0時，故可設(shè)直線l的方程為x=my+1，由x24+y2設(shè)Ax1,y1，B由x1=myx1x2AF2=2?AF2+即4?43m故選：B．題型七圓錐曲線的焦比與離心率（共3小題）19．已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22．設(shè)l為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于【答案】9+427【來源】大招22第二焦半徑公式【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理代入計算，然后由MFNF【詳解】

因為ca=22，a2設(shè)Ax所以橢圓x2a2+y所以直線AB方程為y=3聯(lián)立x2+2y2=2則y1所以y1令y1y2=t，則解得t=?9±427，所以MF故答案為：9+427或【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于將MFNF轉(zhuǎn)化為?20．(22-23高三·理科數(shù)學-·)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點，B是橢圓的上頂點，過點F1A．33或23 B．22或55 C．【答案】C【來源】理科數(shù)學-【名校面對面】2022-2023學年高三大聯(lián)考（2月）試題【分析】根據(jù)題意，設(shè)出過點F1的直線為x=my?c，與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)關(guān)系，由PF1=3F【詳解】設(shè)過點F1的直線為x=my?c，令P(x1由x2a2易知Δ>0，則y1+由PF1=3F1則y1=?3y2，故y1代入整理得3c又直線BF2⊥PQ，kBF可化為ca2=故選：C．21．（黑龍江省哈爾濱市第三中學校2023屆高三上學期期末考試數(shù)學試題）已知橢圓M:y2a2+x2b2=1a>b>0的長軸長是短軸長的2倍，過橢圓M的上焦點F作斜率為kk>0的直線l，直線A．23913 B．396 C．2【答案】A【來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學校2023屆高三上學期期末考試數(shù)學試題【分析】根據(jù)AF=4FB和長軸是短軸長的2倍可設(shè)橢圓方程，再聯(lián)立直線和橢圓方程通過韋達定理可求解出斜率，從而求得【詳解】因為長軸長是短軸長的2倍，所以a=2b，而c=a2?設(shè)Ax直線l的方程為y=kx+代入橢圓方程可得kx+3b2即k2∵Δ=2∵AF=4FB所以x2=23kb3k2+4因為k>0，所以k=2故選：A.題型八橢圓雙曲線的焦點三角形面積問題（共3小題）22．(25-26高二上·河南新鄉(xiāng)·期中)已知橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A．433 B．833 C．【答案】D【來源】河南省新鄉(xiāng)市2025-2026學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題【分析】由橢圓的定義及余弦定理進行求解．【詳解】在橢圓C中，a2=9，b2由橢圓的定義，得PF在△F1P因為∠F1P即16=36?3PF1所以△F1P故選：D.23．(25-26高二上·黑龍江牡丹江第一高級中學·期中)已知點P為橢圓C：x24+y29=1上的一點，焦點為F1，A．33 B．433 C．9【答案】B【來源】黑龍江省牡丹江市第一高級中學2025-2026學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題【分析】根據(jù)橢圓的定義及余弦定理、面積公式即可求解.【詳解】由題可得a=3,b=2，所以c=9?4設(shè)PF1=x,所以x2由余弦定理可得cos60即36?2xy?202xy=1所以S△故選：B.24．(25-26高二上·河北邢臺卓越聯(lián)盟·期中)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的兩個焦點，P為A．32 B．33 C．6 【答案】A【來源】河北省邢臺市卓越聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期期中數(shù)學試題【分析】根據(jù)雙曲線的焦點三角形的面積公式列式求解即可.【詳解】下面證明雙曲線的焦點三角形的面積公式，S△P由題意，PF1?則△PF由余弦定理可得:F=P則PF所以S=b由雙曲線的焦點三角形的面積公式可知S△PF1即b=32故選：A.題型九橢圓焦點三角形內(nèi)切圓問題（共3小題）25．(25-26高二上·重慶名校聯(lián)盟·)設(shè)點F1、F2為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個焦點，離心率e=22，M是橢圓上與F1、F【答案】2【來源】重慶市名校聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期第一次聯(lián)合考試數(shù)學試卷【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合三角形角平分線的性質(zhì)與比例的性質(zhì)，可求MI:【詳解】如圖：連接F因為I為△MF1F2的內(nèi)切圓圓心，所以根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)，可得F2又IN平分∠F1MF2，所以M所以MIIN=F2MF2故答案為：226．(25-26高二上·河南部分重點中學·)已知M是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上一點，F(xiàn)1,F2分別是橢圓的左?右焦點，點I是【答案】1【來源】河南省部分重點中學2025~2026學年高二上學期10月末質(zhì)量檢測數(shù)學試題【分析】根據(jù)橢圓的基本概念，以及角平分線分線段成比例定理，列出各邊長的關(guān)系，再根據(jù)離心率的定義，求出結(jié)果即可.【詳解】在△MF1F2中，連接F1I,F2I，因I由角平分線分線段成比例定理得：MIIN=M因為MF1+又因為橢圓的離心率e=ca，所以故答案為：1.27．已知O為坐標原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，F(xiàn)1F2【答案】34/【來源】湖南省長沙市周南中學2026屆高三上學期第2次階段性檢測數(shù)學試題【分析】根據(jù)橢圓的定義及三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)可得出.【詳解】在等腰△F1P分別延長PF2與F1M，交于點G，因為點Q是三角形F1又因F1M⊥PM，故△PMF1與△PMQ全等，所以M為又因為O為F1F2的中點，OM所以|F2G|=2|OM|=4所以由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2故答案為：3題型十雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓問題（共3小題）28．(25-26高二上·江蘇揚州廣陵區(qū)揚州大學附屬中學·期中)已知點F1、F2分別為雙曲線C:x2?y2=4的左、右焦點，過點F2的直線l與雙曲線C的左支和右支分別交于A，B兩點，設(shè)r1、r2分別為△AF1F【答案】?23+2【來源】江蘇省揚州市廣陵區(qū)揚州大學附屬中學2025-2026學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題【分析】①根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到F2D?F1【詳解】設(shè)△AF1F2內(nèi)切圓與邊所以F1P=F1F2又F2D+F1D=2c所以△AF②同理可證，△BF1F設(shè)r1、r2分別為△AF設(shè)點M、N分別為△AF1F根據(jù)雙曲線的定義可知內(nèi)切圓⊙M與x軸相切于D點，所以MD⊥x軸，同理，NE⊥x軸；又點M、N分別為△AF1F2、△BF注意到Rt△MDF2～Rt△NEF在Rt△NEF2中，EF2【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的解題關(guān)鍵在于根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到F229．(25-26高三上·江西吉安西路七?！?雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P是雙曲線右支上一點，S△PF1【答案】2【來源】江西省吉安市西路七校2025-2026學年高三上學期第一次聯(lián)考（10月）數(shù)學試題【分析】根據(jù)角平分線定理、PI=2IM、雙曲線的定義可得Ma2,0，再由切線長定理、雙曲線的定義得G點為雙曲線的右頂點，過點P作PH⊥x軸于點H，根據(jù)相似比可得x【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c，I是△PF1F2的內(nèi)心，連接F2因PI=2IM，則由角平分線定理得PIMI=P∴PF1∴PF1又F1M+F2M=2c設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓I分別切邊PF1，PF2，則由切線長定理得PD=PE，F(xiàn)1所以PF又因為F1G+F2即G點為雙曲線的右頂點，則IG⊥x軸，過點P作PH⊥x軸于點H，連IG，得MGGH∴GH=a，所以又因為S△PF1F2所以4a2a2?故答案為：2.30．（湖北省騰云聯(lián)盟2026屆高三上學期開學考試數(shù)學試卷）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2a2?y2b2=1b>a>0的左右焦點，O為坐標原點，過雙曲線上任一點P作兩條漸近線的垂線，記垂足分別為A，B，有F1F2【答案】4【來源】湖北省騰云聯(lián)盟2026屆高三上學期開學考試數(shù)學試卷【分析】先求出雙曲線C的方程為x24?y212=1，設(shè)直線l的方程為：x=my+4，Mx1,y1x1>2,y1<0,N【詳解】因為點P是雙曲線C：x2a2因為雙曲線C的漸近線方程為bx±ay=0,所以點P到兩條漸近線的距離分別為:PA=而F1因此由F1F2即3a即3a4?10a2所以由b>a>0得:3a因為當∠F1P所以12PF1?所以雙曲線C的方程為x2因為F1,F2是雙曲線C的左、右焦點，所以因為過點F2的直線l與雙曲線C的右支交于M,N所以設(shè)直線l的方程為：x=my+4，Mx由x=my+4x24依題意得，3m2?1≠0因此y1設(shè)圓G與△MF1F2三邊：由于點M在雙曲線右支上，因此4=MF1?MF2同理可得：HD因此若圓G，H的半徑分別為r1因為F1所以12MF1+即r1=?4因為雙曲線C的右準線為：x=1，離心率e=2，所以雙曲線的定義知：MF因此GH====48×12因為m<33因此4≤4m所以GH的取值范圍是：4故答案為：4題型十一橢圓雙曲線共焦點與離心率的關(guān)系（共3小題）31．(25-26高二上·湖北黃梅縣第一中學·)如圖，F(xiàn)1,F2是雙曲線C1:x2?y23=1A．a(chǎn)B．△AF1F2C．若F1F2=D．若AF1【答案】BCD【來源】湖北省黃梅縣第一中學2025-2026學年高二上學期數(shù)學周測試卷（12.8）【分析】由雙曲線和橢圓共焦點，得到a,b,c的關(guān)系，判斷A，根據(jù)切線長性質(zhì)和雙曲線的定義得到F1M?F2M=2，再由F1M【詳解】A.由雙曲線C1:x2?B.設(shè)△AF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I，且圓心與邊可得AN=AK，F(xiàn)1又因為AF所以F1又F1M+F2可得M的橫坐標為1，即I的橫坐標為1，故B正確；C.在橢圓C2中，F(xiàn)1A則2F由F1F2=F則C2的離心率e=D.因為F1A?則F1A=a+1若AF1⊥A又c=2，b2=a2?則橢圓方程為x2故選：BCD32．已知F是橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點，A為橢圓C1的下頂點，雙曲線C2：x2m2?y2n2=1（m>0【答案】2【來源】河南省洛陽市強基聯(lián)盟2023屆新高三摸底大聯(lián)考數(shù)學（理科）試題【分析】根據(jù)直線AF與C2的一條漸近線平行，得到bc=【詳解】解：設(shè)C1的半焦距為c（c>0），則Fc,0，又所以kAF=bc，又直線所以bc=n所以a2所以a2所以e1又1e當且僅當e2=2e1，即即1e1+故答案為：233．(24-25高二上·遼寧實驗中學等五?！て谀?如圖，P是橢圓C1:x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線CA．PF1=a+m，PF2C．tanθ2=nb D．若【答案】ACD【來源】遼寧省實驗中學等五校2024-2025學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷【分析】A.利用橢圓和雙曲線的定義，即可求解；BD.應(yīng)用余弦定理整理可設(shè)設(shè)1e1=2【詳解】A.由題意可知，PF1+得PFBD.△PF1F2中，若根據(jù)余弦定理，4c整理為4c2=設(shè)1e1=2則1e1=2cosα>1,因為1e又因為1e當α+π3=π2，即α=C.在橢圓中，2P=4a整理為PF在雙曲線中，2P整理為PF所以2n21?而0<θ2<故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用橢圓和雙曲線的定義，并在兩個曲線中正確表示離心率，以及焦點三角形中應(yīng)用余弦定理.題型十二雙曲線中的面積定值（共3小題）34．已知雙曲線C：x2?y22=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且PF1=2PF2，過點A．cos∠MON=13C．PM=PN 【答案】BCD【來源】第三部分檢測小卷第七周檢測小卷23【分析】根據(jù)∠MON為雙曲線漸近線的夾角求出對應(yīng)的值即可判斷A選項；根據(jù)三角形的面積公式可判斷B選項；根據(jù)題意寫出切線方程，求出M，N兩點的橫坐標，證明點P為線段MN的中點可判斷C選項，根據(jù)三角形的面積公式可判斷D選項【詳解】易得C的漸近線方程為y=±2x，設(shè)漸近線y=2x與x軸的夾角為θ，則tanθ=因為PF1=2PF2，根據(jù)雙曲線定義可得PF1?PF2=2a=2設(shè)點Px0,y0，則點P處的切線方程為x又因為y02=2x0可知雙曲線與直線有一個交點，所以，雙曲線C:x2?y2聯(lián)立y=2xx0x?聯(lián)立y=?2xx0x?所以xM+xN=22易得cosθ=33，則OM=3?xM=62x0故選：BCD35．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線l1、l2的方程分別為y=x、y=?x，過點P作l1、l2的垂線，垂足分別為A、B，四邊形OAPB的面積為1，點P的軌跡為曲線A．圓O:x2+B．曲線y=x+1x與C．C上存在三點E、F、G，使得△EFG為等邊三角形D．C在點P處的切線與l1、l2分別交于M、N兩點，則【答案】BCD【來源】山東省青島市2025屆高三年級第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學試卷【分析】設(shè)點Px,y，根據(jù)四邊形OAPB的面積為1求出點P的軌跡方程，將曲線C的方程與圓O的方程聯(lián)立，判斷公共解的個數(shù)，可判斷A選項；將曲線C的方程以曲線y=x+1x的方程聯(lián)立，判斷公共解的個數(shù)，可判斷B選項；取點E0,2，取直線EF的方程為y=3x+2，取直線EG的方程為y=?3【詳解】易知l1⊥l2，又因為PA⊥OA，設(shè)點Px,y，則PA=x?y矩形OAPB的面積為S=PA?PB故曲線C的方程為x2對于A選項，聯(lián)立x2?y2=2所以，曲線C與圓O有4個公共點，其坐標分別為2,0、?2,0、0,對于B選項，聯(lián)立y=x+1xx所以，曲線y=x+1x與對于C選項，不妨取點E0,2，取直線EF的方程為取直線EG的方程為y=?3聯(lián)立y=3x+2y2聯(lián)立y=?3x+2y2由平面內(nèi)兩點間的距離公式可得EF=同理可得EG=FG=2對于D選項，設(shè)Px0,先證明出雙曲線x2?y2=2聯(lián)立x0x?y0y=2所以，雙曲線x2?y2=2易知，直線l1、l2的方程可視為設(shè)點Mx1,y1、N由韋達定理可得x1所以，S△OMN因為點P關(guān)于直線y=x的對稱點為Qy0,所以，曲線C關(guān)于直線y=x對稱，由對稱性可知，當點P在曲線y2?x2=2故選：BCD.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．36．(23-24高二上·江西上饒·期末)已知雙曲線C:x2?y2b2=1b>0的左、右焦點分別為F1、F2，左、右頂點分別為A1、A2，P為雙曲線右支上的一點，且直線PA．雙曲線C的漸近線方程為y=±3x C．離心率e=3 D．【答案】BCD【來源】江西省上饒市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試題【分析】設(shè)點Px0,y0，利用斜率公式求出b的值，可得出雙曲線C的漸近線方程，可判斷A選項；寫出切線方程，求出點M、N【詳解】對于A選項，設(shè)點Px0,y0易知點A1?1,0、A2因為b>0，解得b=2，所以，雙曲線C的漸近線方程為y=±對于B選項，接下來證明雙曲線C:x2?y2聯(lián)立x0x?y又因為y02=2x0所以，雙曲線C:x2?y2聯(lián)立y=2xx0x?聯(lián)立y=?2xx0x?

所以，xM所以，點P為線段MN的中點，即PM=對于C選項，離心率e=c對于D選項，OM=點P到直線2x?y=0的距離為d=所以，S△OMN故選：BCD.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.題型十三圓錐曲線的切點弦方程（共3小題）37．(24-25高二上·新疆烏魯木齊第六十八中學·期中)過橢圓C:x24+y23=1上的點Ax1,【答案】?【來源】新疆烏魯木齊市第六十八中學2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷【分析】利用橢圓的切點弦方程得直線AB的方程為x+ty【詳解】先證橢圓上一點的切線方程：對于x2a2+y2b證明：當該切線存在斜率時，不妨設(shè)其方程為y=kx+t，與橢圓方程聯(lián)立可得：a2則Δ=2a代入切線方程得n=b于是k=?tma2整理得：mxa由橢圓方程x24+y23=1設(shè)兩切線交點P4,t，易得切線PA的方程為x切線PB的方程為x2由于點P在切線PA、PB上，則x1+ty1聯(lián)立方程x24+y23=1由韋達定理得y1即y1?y故答案為：?938．(23-24高二·3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（精練）-·)過點P(3,4)作雙曲線C：x2?y2=1【答案】3x?4y?1=0【來源】3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（精練）-2023-2024學年高二數(shù)學《一隅三反》系列（人教A版2019選擇性必修第一冊）【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，求得直線PA的方程為y【詳解】設(shè)Ax1,y1則PA:y?y1=k消去y可得：x2整理可得：1?k因為PA與雙曲線相切，所以Δ=4∴4y1?k即x1∵x∴x代入可得：y12k所以k=x∴PA:y?y1=同理，切線PB的方程為y2∵P3,4在切線PA,PB上，所以有4∴A,B滿足直線方程4y=3x?1，而兩點唯一確定一條直線，∴直線AB的方程為3x?4y?1=0.故答案為：3x?4y?1=0.39．(24-25高三上·河北部分學校·期末)過直線y=x?3上一點M引拋物線x2=4y的兩條切線MA,MB,A,B為切點，拋物線焦點為F，則F到AB距離的最大值為【答案】2【來源】河北省部分學校2024-2025學年高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題【分析】由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再由點斜式求出切線MA和MB方程，然后將Mx0,【詳解】設(shè)Mx0,y0，Ax1MA方程：y?y1=同理MB方程：x2x?2y?2y2=0，將M故Ax1,y1而y0=此為直線AB方程，恒過點H2,3，焦點F0,1，F(xiàn)H=22即為故答案為：22題型十四橢圓的離心率與焦點三角形底角的關(guān)系（共3小題）40．(25-26高二上·陜西渭南大荔縣大荔中學·)已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的上、下焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M【答案】33/【來源】陜西省渭南市大荔縣大荔中學2025-2026學年高二上學期第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試卷【分析】首先表示MF1，MF2，再由橢圓的定義得到MF【詳解】設(shè)F1F2=2c，在△MF1F所以MF1=由橢圓的定義得MF即233c+43故答案為：341．設(shè)F1、F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，點P【答案】5【來源】8.5橢圓-【創(chuàng)新教程】2026年高考數(shù)學總復(fù)習大一輪講義（北師大版2019）【分析】利用同角關(guān)系及兩角差的正弦公式求得sinβ【詳解】因為cosα=55又sinα+β=35，所以當cosα+β=35×5所以cosα+β=?35設(shè)PF1=r1所以r1又r1+r2=2a故答案為：542．(25-26高三上·江蘇如皋·調(diào)研)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F【答案】53/【來源】江蘇省如皋市2025-202