專題01數(shù)列（易錯必刷60題12種題型專項訓練）題型一周期數(shù)列題型二等差數(shù)列的通項公式及其應用題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應用題型四等差數(shù)列前項和的比值問題題型五等差數(shù)列片段和的性質(zhì)題型六等差數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和題型七等比數(shù)列的通項公式及其應用題型八等比數(shù)列性質(zhì)的應用題型九等比數(shù)列片段和的性質(zhì)題型十等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和題型十一求數(shù)列的前項和題型十二利用錯位相減法求數(shù)列的前項和題型一周期數(shù)列1．（23-24高二上·云南昆明·期末）在數(shù)列中，若，，，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的周期，再由此求出.【詳解】在數(shù)列中，，則，因此數(shù)列數(shù)列的周期為3，所以.故選：D2．（23-24高二上·河北衡水·期末）在數(shù)列中，，，則的前2024項和為（

）A．589 B．590 C． D．【答案】C【分析】由遞推公式寫出前項，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，從而利用周期可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，，，而，所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，所以的前2024項和．故選：C.3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)遞推式得到數(shù)列的周期，應用周期性求對應項.【詳解】由，，得，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則.故選：B.4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列前2023項的積為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】先找到數(shù)列的周期，然后求得數(shù)列前2023項的積.【詳解】由，，得，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，且，故數(shù)列前2023項的積為.故選：A.5．（23-24高二上·廣西百色·期末）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推式得到數(shù)列的周期，應用周期性求對應項.【詳解】結(jié)合題意：由，可得，，，，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，因為，所以.故選：B.題型二等差數(shù)列的通項公式及其應用6．（22-23高二上·廣東深圳·期末）已知為遞增的等差數(shù)列，，，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和基本量法，列式求解.【詳解】因為為等差數(shù)列，，所以，由，得或（舍），所以，.故選：A7．（23-24高二上·湖北孝感·期末）過圓：內(nèi)一點的2023條弦恰好可以構(gòu)成一個公差為（）的等差數(shù)列，則公差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意，過點的2023條弦構(gòu)成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，要使公差最大，必須使首項取到最短弦長，末項取到最長弦長，利用等差數(shù)列基本量運算即得.【詳解】因經(jīng)過圓：內(nèi)一點的最長的弦為圓的直徑，長度為10，最短弦長為以點為中點且與垂直的弦，其長度為.(理由如下)如圖，過點且與垂直，過點另作弦,過點作于點，在中，顯然,而,因，則得，即為過點的最短弦長.要使公差d最大，則這2023條弦構(gòu)成的等差數(shù)列應以最短弦長為首項，以最長弦長為末項.即，解得：，故公差的最大值為.故選：B.8．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知數(shù)列的首項，且滿足，則（

）A． B． C．16 D．19【答案】B【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列是以，的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，又，所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列，得到，故選：B.9．（23-24高二上·河北滄州·期末）在等差數(shù)列中，p，，且，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出首項和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，兩式相減得，則，故選：C．10．（23-24高二上·四川德陽·期末）等差數(shù)列滿足，，則（

）A．4 B．3 C． D．2【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，先根據(jù)條件列方程求出和，再利用等差數(shù)列的通項公式求即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得，解得，所以.故選：B.題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應用11．（22-23高二上·河北保定·期末）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D12．（23-24高二上·安徽合肥·期末）在等差數(shù)列中，，，則的值是（

）A．13 B．14 C．16 D．17【答案】B【分析】利用等差公式下標和性質(zhì)即可得解.【詳解】因為是等差數(shù)列，，，所以，即，解得.故選：B.13．（22-23高二下·廣東汕尾·期末）在等差數(shù)列中，，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差，進而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以.故選：C14．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知，均為等差數(shù)列，且，，，則（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，均為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列，因此，，所以的公差為1，故，故選：B15．（23-24高二上·山東濟寧·期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而可得公差，再利用和公差求出.【詳解】由等差數(shù)列的下角標性質(zhì)可知，得，，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.故選：D.題型四等差數(shù)列前項和的比值問題16．（23-24高二上·湖北荊州·期末）已知兩等差數(shù)列，，前n項和分別是，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可設(shè)、，計算即可得.【詳解】由，為等差數(shù)列，故可令、，則.故選：C.17．（23-24高二上·安徽蚌埠·階段練習）兩個等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差中項公式和等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由兩個等差數(shù)列，的前項和分別為，且，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得.故選：C.18．（22-23高二上·寧夏中衛(wèi)·階段練習）若兩個等差數(shù)列和的前項和之比為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)直接計算即可.【詳解】因為兩個等差數(shù)列和的前項和之比為，所以令，則.故選：C19．（22-23高二下·湖北·期末）已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】由已知得，可設(shè)，，則，，即，故選：.20．（22-23高二上·浙江嘉興·期末）已知等差數(shù)列和的前項和分別為、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合已知條件求解即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為，所以，因為等差數(shù)列和的前項和分別為、，滿足，所以，所以，故選：C題型五等差數(shù)列片段和的性質(zhì)21．（23-24高二下·海南·期末）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．144 B．120 C．108 D．96【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質(zhì)解題即可.【詳解】記為等差數(shù)列的前項和,則也是等差數(shù)列.由于，則成等差數(shù)列.則，解得.則成等差數(shù)列．故，則.故選：B.22．（22-23高二下·內(nèi)蒙古·期末）等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．6 B．12 C．15 D．21【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質(zhì)可得.【詳解】設(shè)，則，，因為為等差數(shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，則，解得．故選：C23．（22-23高二上·福建福州·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．1240 B．1550 C．1860 D．2170【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)得成等差數(shù)列，即可求得的值.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，所以成等差數(shù)列所以，所以，解得.故選：C.24．（22-23高二上·陜西漢中·期末）已知是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】A【分析】利用等差數(shù)列片段和得性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知數(shù)列為等差數(shù)列，所以有得，解得，故選：A25．（22-23高二上·新疆喀什·期末）若為等差數(shù)列，其前n項和為，，，則（

）A．10 B．14 C．16 D．18【答案】D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，，成等差數(shù)列，即，代入求值即可.【詳解】為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，成等差數(shù)列，∴，即，解得：．故選：D．題型六等差數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和26．（15-16高二上·廣東深圳·期末）等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則的值是A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)列式計算即得.【詳解】等差數(shù)列共有項，偶數(shù)項之和，奇數(shù)項之和，因此，所以.故選：A27．（2023·重慶·二模）已知等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項和公差的方程，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，則，所以，因為，即，則，等差數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項有15項，所以，得，所以.故選：B28．（22-23高二下·河南周口·期中）一個等差數(shù)列共100項，其和為80，奇數(shù)項和為30，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的項的關(guān)系及和的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由條件可知：數(shù)列的奇數(shù)項之和為，①偶數(shù)項之和為，②由②-①，得，所以，即該數(shù)列的公差為.故選：D.29．（23-24高二上·陜西榆林·階段練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為其中奇數(shù)項之和為偶數(shù)項之和為則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知等差數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，故奇數(shù)項、偶數(shù)項的和直接代入等差數(shù)列的前項和公式，結(jié)合等差中項的性質(zhì)化簡即可.【詳解】項數(shù)為的中奇數(shù)項共有項,其和為項數(shù)為的中偶數(shù)項共有項,其和為所以解得故選:A.30．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列共有20項，其偶數(shù)項和為200，奇數(shù)項和為100，則（

）A．10 B． C． D．20【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，得到，求得，再由等差數(shù)列的求和公式，列出方程求得的值，結(jié)合通項公式，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為數(shù)列共有20項，其偶數(shù)項和為200，奇數(shù)項和為100，可得，解得，所以奇數(shù)項的和為，解得，故．故選：B.題型七等比數(shù)列的通項公式及其應用31．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．2 B．﹣2 C． D．4【答案】A【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：∵等比數(shù)列中，，，所以，解得.又，可得與同號，故.故選：A.32．（22-23高二上·廣東深圳·期末）在數(shù)列中，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定公比，再利用通項公式求解.【詳解】因為，，則，所以為等比數(shù)列，公比，所以.故選：D.33．（23-24高二上·福建福州·期末）在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比為（

）A． B．4 C． D．2【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后將已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式化簡計算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，，所以，所以，解得或（舍去），故選：D34．（23-24高二上·山東青島·期末）等差數(shù)列的首項為1，公差為，若成等比數(shù)列，則（

）A．0或 B．2或 C．2 D．0或2【答案】A【分析】利用等比中項及等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】因為成等比數(shù)列，所以，因為等差數(shù)列的首項為1，公差為，所以，即，解得或.故選：A.35．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的通項公式列方程求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以.故選：A.題型八等比數(shù)列性質(zhì)的應用36．（23-24高二下·青?！て谀┰诘缺葦?shù)列中，，，則（

）A．64 B．128 C． D．【答案】B【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】由題意得，得，則.由，得.所以.故選：B．37．（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，則公比的值是（

）A．3 B．－3 C．2 D．－2【答案】C【分析】根據(jù)等邊數(shù)列的性質(zhì)即可求解方程得，即可求解.【詳解】解：由是單調(diào)遞增的等比數(shù)列且，所以是的兩個實數(shù)根，且，得，故．故選：C．38．（23-24高二下·河南·期末）在各項為正的等比數(shù)列中，與的等比中項為2，則（

）A．4 B．3 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】因為與的等比中項為2，所以，所以．故選：D．39．（23-24高二上·江蘇南通·期末）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合，，成等差數(shù)列，列出方程，求得的值，進而求得的值.【詳解】因為等比數(shù)列滿足，可得，解得，又因為，，成等差數(shù)列，可得，所以，解得或（舍去），所以.故選：A.40．（23-24高二上·湖北孝感·期末）若等比數(shù)列的第2項和第6項分別為3和12，則的第4項為（

）A．4 B． C．6 D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式求出答案.【詳解】由題意得，又，故.故選：C題型九等比數(shù)列片段和的性質(zhì)41．（23-24高二上·安徽宣城·期末）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】成等比數(shù)列，得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，，因為成等比數(shù)列，故，即，解得，故.故選：B42．（23-24高二上·河南開封·期末）記為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A．21 B．18 C．15 D．12【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到成等比數(shù)列，求出，得到答案.【詳解】因為為等比數(shù)列的前項和且，所以成等比數(shù)列，即3，6，成等比數(shù)列，所以，所以．故選：A．43．（23-24高二上·廣西·期末）正項等比數(shù)列的前n項和為，，，則等于（

）A．9 B．72 C．70 D．48【答案】D【分析】用等比數(shù)列基本量列方程組求解.【詳解】由題意，，設(shè)公比為q，，.故選:D.44．（23-24高二上·河北保定·期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（

）A．144 B．324 C．400 D．364【答案】D【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，，成等比數(shù)列，從而得到方程，求出答案.【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得．故選：D45．（23-24高二上·甘肅甘南·期中）已知為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為為等比數(shù)列的前項和，所以成等比數(shù)列，由，得，則，所以，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故選：C.題型十等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和46．（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列有項，，所有奇數(shù)項的和為85，所有偶數(shù)項的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項為，偶數(shù)項為，得到等比數(shù)列的公比q的值，然后用等比數(shù)列的前n項和的公式求出n即可．【詳解】因為等比數(shù)列有項，則奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項，設(shè)公比為，得到奇數(shù)項為，偶數(shù)項為，整體代入得，所以前項的和為，解得.故選：B47．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，其中，則“”是“無最大值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由等比數(shù)列中等價于公比或，結(jié)合前項和公式單調(diào)性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面舉反例發(fā)現(xiàn)無最大值不一定推得,繼而選項可定.【詳解】充分性：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，可得或，又，當時，若為奇數(shù)，，，，當為奇數(shù)時單調(diào)增，則無最大值，當時，，,單調(diào)增,則無最大值；必要性：當時，，又，則無最大值.可得“”不是“無最大值”的必要條件；由此可知“”是“無最大值”的充分不必要條件.故選：A.48．（2024高二·全國·專題練習）等比數(shù)列共有2n項，其和為240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比.【答案】/【分析】結(jié)合題意列方程組分別求出，，再由等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項的和、偶數(shù)項的和分別為，.由題意可得解得所以．故答案為：.49．（2025·廣東·模擬預測）已知等比數(shù)列的前6項和為63，其中偶數(shù)項和是奇數(shù)項和的兩倍，則．【答案】1【分析】設(shè)出公比，根據(jù)，求出公比，故，得到.【詳解】設(shè)公比為，則，其中，又，故，，故，即，解得.故答案為：150．（24-25高二上·全國·隨堂練習）若等比數(shù)列共有項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列的所有項之和為．【答案】300【分析】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為則，，則可求出,值，從而得出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，，由題意可得：，即，解得，故數(shù)列的所有項之和是.故答案為：300.題型十一求數(shù)列的前項和51．（24-25高三上·江西鷹潭·期中）已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列及其前項和的基本量的計算求出即可得解；（2）分和兩種情況討論即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，所以，解得，所以.（2）由（1）知，當時，，所以；當時，，所以當時，，當時，.綜上，.52．（24-25高二上·福建寧德·階段練習）在等差數(shù)列中，的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最大值；(3)設(shè)，求．【答案】(1)(2)36(3)【分析】（1）求出等差數(shù)列的公差和首項，即可求得通項公式；（2）利用等差數(shù)列的前項和公式，即可求得答案；（3）判斷數(shù)列的項的正負情況，討論的取值，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式，即可求得答案.【詳解】（1）解：由題意知在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為，則，解得，則，故，∴通項公式為；（2）解：由（1）可得前項和，∴當時，取最大值；（3）解：∵，∴當時，得，即時有，時有，當時，，當時，，綜上所述.53．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習）在等差數(shù)列中，的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求取最大值時的值；(3)設(shè)，求．【答案】(1)(2)6(3)【分析】（1）求出等差數(shù)列的公差和首項，即可求得通項公式；（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案；（3）判斷數(shù)列的項的正負情況，討論n的取值，結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為d，則，則，故，故通項公式．（2）結(jié)合（1）可得，當時，取最大值．（3），由，得，即時有，時有，若，，若時，，綜合上述．54．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，已知(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和…【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用數(shù)列前n項和與數(shù)列通項的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列前3項都小于0，第4項等于0，從第5項開始都大于0，當時求和，和時，利用分組法求出數(shù)列的和．【詳解】（1）當時，當時，所以.（2）數(shù)列前3項都小于0，第4項等于0，從第5項開始都大于0，當時，，，當時，所以55．（24-25高三上·河北衡水·開學考試）已知為數(shù)列的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2).【分析】（1）由解的方式解出，進而解出；（2）分類討論去除絕對值解出即可.【詳解】（1）因為，且，當時，，得，整理得：，所以為首項是，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）由，所以當時，，當時，；所以當，，當時，，而，所以.題型十二利用錯位相減法求數(shù)列的前項和56．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2