11.1.6祖暅原理與幾何體體積

人教B版（2019）必修第四冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)CONTENTS1.了解祖暅原理的內(nèi)容，掌握利用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（重點(diǎn)）3.了解組合體的概念，掌握求組合體表面積、體積的方法，并解決實(shí)際應(yīng)用問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（難點(diǎn)）課程引入一個(gè)幾何體所占空間的大小稱為這個(gè)幾何體的體積，長(zhǎng)方體的體積、圓柱的體積都等于底面積乘以高．下面我們探討其他幾何體體積的求法．課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)同一摞書，當(dāng)改變擺放書的形式時(shí)（如圖所示），這摞書的總體積是否會(huì)改變？由此能得到有關(guān)體積的什么結(jié)論？沒有改變課程內(nèi)容教學(xué)祖暅原理早在南北朝時(shí)期，祖沖之與他的兒子祖暅就研究了幾何體的體積，并在總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上提出了如下的祖暅原理．冪勢(shì)既同，則積不容異截面積立體的高含義：這就是說，夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等，如圖所示．課程內(nèi)容教學(xué)知識(shí)拓展：祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣人（今河北省淶源縣人），南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.祖暅原理可以用于求解柱、錐、臺(tái)球等的體積，解決了劉徽尚未解決的球體積公式,該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年.課程內(nèi)容教學(xué)柱體的體積棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體．注意到柱體被平行于底面的平面所截時(shí)，得到的截面與底面全等，因此截面面積一定等于底面面積，從而由祖暅原理可知，等底面積，等高的兩個(gè)柱體，體積相等又因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積等于底面積乘以高，所以如果柱體的底面積為S，高為h，則柱體的體積計(jì)算公式為V柱體=Sh課程內(nèi)容教學(xué)錐體的體積棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體.當(dāng)錐體被平行于底面的平面所截時(shí)，得到的截面與底面相似，即△A′B′C′∽△ABC，而且相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比，因此截面與底面的面積之比：從而由祖暅原理可知，等底面積、等高的兩個(gè)錐體，體積相等.課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)如圖所示，將底面積為S，高為h的直三棱柱分割成如下3個(gè)三棱錐，所得到的3個(gè)三棱錐的體積之間有什么關(guān)系？由此能得到三棱錐的體積計(jì)算公式嗎？課程內(nèi)容教學(xué)錐體的體積如果錐體的底面積為S，高為h，則錐體的體積計(jì)算公式為V錐體＝課程內(nèi)容教學(xué)例1：如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，求棱錐ADD′A′的體積和長(zhǎng)方體的體積之比.已知的長(zhǎng)方體可以看成直棱柱ADD′A′-BCC′B′，設(shè)它的底面ADD′A′面積為S，高為h,則長(zhǎng)方體的體積為

VADD′A′-BCC′B′=Sh因?yàn)槔忮FD′-A′CD可以看成棱錐C-A′DD′，且△A′DD′的面積為

，棱錐的高為h，所以因此所求體積比為1：6.課程內(nèi)容教學(xué)臺(tái)體的體積棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.因?yàn)榕_(tái)體可以看成錐體截去一個(gè)小錐體得到，所以臺(tái)體的體積可以通過計(jì)算錐體的體積之差來得到.如果臺(tái)體的上、下底面面積分別為S、S′，高為h，則臺(tái)體的體積計(jì)算公式為V臺(tái)體=課程內(nèi)容教學(xué)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系S’=S上底擴(kuò)大S’=0上底縮小課程內(nèi)容教學(xué)例2：已知四棱臺(tái)上下底面面積分別為S1，S2，而且高為h，求這個(gè)棱臺(tái)的體積.如圖所示，將四棱臺(tái)看成從棱錐P-ABCD中截去棱錐P-A1B1C1D1所得到的，且設(shè)兩個(gè)棱錐的高分別為PO與PO1.由已知有再由PO-PO1=OO1=h，因此可得：課程內(nèi)容教學(xué)例2：已知四棱臺(tái)上下底面面積分別為S1，S2，而且高為h，求這個(gè)棱臺(tái)的體積.從而可知棱臺(tái)的體積為：課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)1.你能想辦法測(cè)出一個(gè)乒乓球的體積嗎？2.如圖所示是底面積和高都相等的兩個(gè)幾何體，左邊是半球，右邊是圓柱被挖去一個(gè)倒立的圓錐剩余的部分．用平行于半球與圓柱底面的平面去截這兩個(gè)幾何體，分別指出截面的形狀，并討論兩個(gè)截面面積的大小關(guān)系．由此你能得到球的體積公式嗎？課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)如圖，左圖的截面為半徑為r的圓，右圖的截面分別為半徑為R，h的兩個(gè)同心圓環(huán)，由于右圖的圓環(huán)面積為S=πR2-πh2=πr2，即左右兩圖的截面面積始終相等，由祖暅原理，左右兩個(gè)立體圖形的體積相等，即：如果球的半徑為R，那么球的體積計(jì)算公式為V球=課程內(nèi)容教學(xué)球的體積設(shè)球的半徑為R，則課程內(nèi)容教學(xué)例3：如圖所示，某鐵質(zhì)零件由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)球組成，已知正四棱柱底面邊長(zhǎng)與球的直徑均為1cm，正四棱柱的高為2cm，現(xiàn)有這種零件一盒共50kg，取鐵的密度為7.8g/cm3，π≈3.14.(1)估計(jì)有多少個(gè)這樣的零件？每個(gè)零件的體積為因此每個(gè)零件的質(zhì)量為因此可估計(jì)出零件的個(gè)數(shù)為課程內(nèi)容教學(xué)(2)如果要給這盒兩件的每個(gè)零件表面涂上一種特殊的材料，則需要能涂多少平方厘米的材料（球和棱柱接口處面積不計(jì)，結(jié)果精確到1cm2）？每個(gè)零件的表面積為：因此零件的表面積之和約為2541×(10+π)≈33389(cm2)即需要能涂33389cm2的材料.課程內(nèi)容教學(xué)組合體的概念例3中的幾何體，是由球和棱柱組合而成的，類似的幾何體一般稱為組合體.求空間幾何體體積（或表面積）的解題方法：只需要算出其中每個(gè)幾何體的體積（或表面積），然后再