數(shù)學(xué)符號(hào)意義及其獲得能力培養(yǎng)的研究摘要中學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂后,對(duì)學(xué)生符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)做出了更加具體的要求.新版課標(biāo)對(duì)此在學(xué)習(xí)內(nèi)容中提出：符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行一般性的計(jì)算和推理.建立符號(hào)意識(shí)＂有助于幫助學(xué)生理解符號(hào)使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式＂。本文闡述了數(shù)學(xué)符號(hào)意義及其獲得能力的基本概念，包括數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵，數(shù)學(xué)符號(hào)的意義結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的基本特征。之后探討了數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的培養(yǎng)存在的問題及其影響因素，現(xiàn)今中小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力上還有所欠缺，如對(duì)數(shù)學(xué)自然符號(hào)的感知中缺乏數(shù)學(xué)感，無(wú)法獲得數(shù)學(xué)信息，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)的感知中缺乏結(jié)構(gòu)感，無(wú)法獲得隱性意義，在數(shù)學(xué)記號(hào)識(shí)別和理解存在困難，之所以中小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的問題也有其影響因素，本文在分析影響原因之后切合實(shí)際提出了數(shù)學(xué)命題教學(xué)中數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力培養(yǎng)的教學(xué)案例，希望能夠?qū)W生自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)符號(hào)意義；獲得能力

前言2011年版的九年義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！薄皵?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維：要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法?！盵1]“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程?！薄敖處熃虒W(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和己有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！边@些先進(jìn)的教學(xué)理念在實(shí)踐中卻遇到了諸多困難。首先，教師不知道如何實(shí)踐這些先進(jìn)教學(xué)理念?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中雖然舉例說(shuō)明了教師應(yīng)該如何將基本教學(xué)理念轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為，提出了一些基本要求和原則，卻沒有提供具體的教學(xué)模式和教學(xué)方法，教師們?nèi)匀桓械健盁o(wú)法可依”。[2]其次，教師不敢實(shí)踐這些先進(jìn)教學(xué)理念。因?yàn)楝F(xiàn)代教學(xué)理念和方法與當(dāng)前的教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和制度存在沖突，而教師之間的競(jìng)爭(zhēng)卡分激烈，為了自己的榮譽(yù)和利益，教師不敢冒險(xiǎn)嘗試新的教學(xué)方法。最后，師生不具備實(shí)踐現(xiàn)代教學(xué)理念的能力和水平。廣大師生己經(jīng)習(xí)慣了傳統(tǒng)教學(xué)法，除了幾個(gè)自學(xué)能力比較強(qiáng)的學(xué)生外，大部分學(xué)生理解教師講授的內(nèi)容都存在一定的困難，又如何與教師進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的互動(dòng)呢！師生雙方都不知道應(yīng)該怎樣互動(dòng)。如果學(xué)生不能基于自己的理解提出問題，那么學(xué)生在互動(dòng)中必然處于被動(dòng)地位，也就無(wú)法進(jìn)行富于個(gè)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的不重視，并不表示數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中不重要。恰恰相反，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)必不可少的載體，作為數(shù)學(xué)形式化和符號(hào)化必需的表征方式，其重要性是不言而喻的。數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言具有特殊性，相應(yīng)的，它的學(xué)習(xí)和教學(xué)也就必然有其特殊的一面。因而，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的理論和實(shí)踐研究而言，涉足數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的研究是不可缺少的，然而，就現(xiàn)有的研究情況來(lái)看，在理論上和實(shí)踐上的研究都是較為薄弱的，甚至是空白，所以本研究具有一定的開創(chuàng)性。一、數(shù)學(xué)符號(hào)意義及其獲得能力概述（一）數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)學(xué)符號(hào)有狹義數(shù)學(xué)符號(hào)、中義數(shù)學(xué)符號(hào)和廣義數(shù)學(xué)符號(hào)之分。狹義數(shù)學(xué)符號(hào)是指“有一定數(shù)學(xué)含義的專用標(biāo)記”主要指“中國(guó)數(shù)學(xué)物理名詞委員會(huì)”審定的《數(shù)學(xué)物理符號(hào)表》中的數(shù)學(xué)符號(hào)，比如“*”、“＋”、“一”、“÷”等?，F(xiàn)代常用的數(shù)學(xué)符號(hào)僅有200多個(gè)，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中常用的的數(shù)學(xué)符號(hào)只有幾十個(gè)。中義數(shù)學(xué)符號(hào)是指“用以表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系等的符號(hào)和記號(hào)”，或者“在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中用以表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系等的符號(hào)和記號(hào)”，主要指得是用來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)符號(hào)及其組合，它不僅包括狹義的數(shù)學(xué)符號(hào)，而且還包括它們的一些特定的符號(hào)組合，比如表示函數(shù)的符號(hào)“f（x）”就是由J,（）,x三個(gè)狹義的數(shù)學(xué)符號(hào)組成的。[3]廣義數(shù)學(xué)符號(hào)是指能夠剌激感官，在頭腦中產(chǎn)生數(shù)學(xué)意義的客觀存在，是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)、數(shù)學(xué)交流及數(shù)學(xué)教學(xué)中用來(lái)表達(dá)、傳遞、啟示數(shù)學(xué)意義、數(shù)學(xué)信息的所有載體或剌激物，它不僅包括文字符號(hào)、中義數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表符號(hào)等人類專門創(chuàng)造的抽象符號(hào)，還包括實(shí)物、模型、實(shí)物圖片等用來(lái)傳達(dá)數(shù)學(xué)意義的自然實(shí)物符號(hào)。它們?cè)谛问胶鸵饬x的對(duì)應(yīng)關(guān)系上復(fù)雜、多樣，比如對(duì)于“三個(gè)蘋果”、“三”、“3’＼“three、“皇”、“四”等不同的符號(hào)，人們往往會(huì)獲得相同的數(shù)學(xué)意義。通常語(yǔ)境下的數(shù)學(xué)符號(hào)是指狹義數(shù)學(xué)符號(hào)，是相對(duì)于“符號(hào)”而言的，強(qiáng)調(diào)的是符號(hào)的數(shù)學(xué)特征和數(shù)學(xué)含義。[4]數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)符號(hào)一般是指中義數(shù)學(xué)符號(hào)，是相對(duì)于文字符號(hào)、圖表符號(hào)而言的。所有數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的符號(hào)，除去其中的文字符號(hào)和圖表符號(hào)后都可以劃分為數(shù)學(xué)概念符號(hào)或數(shù)學(xué)命題符號(hào)，因而都屬于中義符號(hào)，都是能夠?yàn)樗死斫獾姆?hào)?，F(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)交往中的符號(hào)一般是指廣義符號(hào)，交往雙方可以臨時(shí)約定各種符號(hào)。[5]本研究中的數(shù)學(xué)符號(hào)是指廣義數(shù)學(xué)符號(hào)，以強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)符號(hào)的交往性，而把狹義數(shù)學(xué)符號(hào)稱為數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)，以突出數(shù)學(xué)符號(hào)的專業(yè)性。這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)中用來(lái)表示數(shù)學(xué)研究對(duì)象的概念、性質(zhì)、運(yùn)算、關(guān)系的所有符號(hào)都納入到數(shù)學(xué)符號(hào)范疇中，為進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)符號(hào)意義建構(gòu)過程提供了方便。（二）數(shù)學(xué)符號(hào)的意義結(jié)構(gòu)1、數(shù)學(xué)符號(hào)的基本意義數(shù)學(xué)符號(hào)的基本意義是指數(shù)學(xué)符號(hào)所表征的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)關(guān)系。要獲得數(shù)學(xué)符號(hào)的基本意義需要具備一定的符號(hào)結(jié)構(gòu)分析能力，而不只是符號(hào)識(shí)記能力。數(shù)學(xué)元素符號(hào)的基本意義是指能夠組成數(shù)學(xué)概念符號(hào)的文字符號(hào)或數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)，它們自身具有一定的數(shù)學(xué)意義，但不能單獨(dú)表征數(shù)學(xué)概念。掌握數(shù)學(xué)元素符號(hào)的基本意義有助于理解和記憶數(shù)學(xué)概念符號(hào)的意義。[6]數(shù)學(xué)概念符號(hào)是指表征數(shù)學(xué)對(duì)象的符號(hào)，一般是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)或幾個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的組合。數(shù)學(xué)概念符號(hào)的基本意義包括三個(gè)方面：（1）明確數(shù)學(xué)概念符號(hào)中的屬概念符號(hào)或上位概念符號(hào)：（2）明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，即描述屬概念特殊性質(zhì)的符號(hào)：（3）明確數(shù)學(xué)概念的外延，即與數(shù)學(xué)概念符號(hào)對(duì)應(yīng)的典型數(shù)學(xué)形象、數(shù)學(xué)形式或客觀事物。數(shù)學(xué)命題符號(hào)是指表征數(shù)學(xué)關(guān)系的符號(hào)，它一般由數(shù)學(xué)概念符號(hào)和數(shù)學(xué)關(guān)系符號(hào)組成。數(shù)學(xué)命題符號(hào)的基本意義包括三個(gè)方面：（1）數(shù)學(xué)命題中涉及的數(shù)學(xué)概念：（2）數(shù)學(xué)概念需要滿足的特定條件：（3）數(shù)學(xué)命題所表達(dá)的數(shù)學(xué)概念之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。數(shù)學(xué)問題符號(hào)是指表征數(shù)學(xué)問題的符號(hào)序列，是由數(shù)學(xué)概念符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系符號(hào)和輔助說(shuō)明符號(hào)組成的數(shù)學(xué)命題結(jié)構(gòu)。[7]數(shù)學(xué)問題符號(hào)的基本意義包括三個(gè)：（1）正確識(shí)別數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)概念及其屬性：（2）正確識(shí)別數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)命題及其關(guān)系：（3）正確識(shí)別數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)，確定己知與求證的關(guān)系，明確求證的目標(biāo)。通過分析數(shù)學(xué)問題符號(hào)的上述三個(gè)方面的意義可以判斷學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題題意的理解情況，提高問題解決教學(xué)的針對(duì)性。2、數(shù)學(xué)符號(hào)的轉(zhuǎn)換意義數(shù)學(xué)符號(hào)的轉(zhuǎn)換意義是指在思維的參與下，通過對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行同形或同義轉(zhuǎn)換后所獲得的，不同于數(shù)學(xué)符號(hào)的基本意義的意義。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)換是非常普遍的，它既是一種思想方法，也是一項(xiàng)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。數(shù)學(xué)符號(hào)的轉(zhuǎn)換意義是相對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)的基本意義而言的。[8]如果不進(jìn)行有意的意義建構(gòu)活動(dòng)，學(xué)生一般不會(huì)主動(dòng)探討數(shù)學(xué)符號(hào)的轉(zhuǎn)換意義。個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從不同的角度去觀察會(huì)產(chǎn)生不同的符號(hào)表達(dá)形式，不同形式的數(shù)學(xué)符號(hào)往往形成不同的數(shù)學(xué)理論，形成不同的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法，將數(shù)學(xué)符號(hào)從一種“記號(hào)”轉(zhuǎn)換為另一種“記號(hào)”，可以溝通不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，形成系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)。獲得數(shù)學(xué)符號(hào)的轉(zhuǎn)換意義是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的必要條件。解決數(shù)學(xué)問題的過程實(shí)際上就是數(shù)學(xué)符號(hào)的相互轉(zhuǎn)換和化歸的過程。數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換是正確理解題意，有效進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，順利解決問題的基礎(chǔ)。[9]一般說(shuō)來(lái)，學(xué)生能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換，可以幫助其發(fā)現(xiàn)解題的思路，確定解題的方向，避免解題陷入盲目的境地。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)符號(hào)主要包括數(shù)學(xué)自然符號(hào)、數(shù)學(xué)模型符號(hào)、數(shù)學(xué)語(yǔ)音符號(hào)、數(shù)學(xué)文字符號(hào)、數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)、數(shù)學(xué)圖表符號(hào)、數(shù)學(xué)行為符號(hào)共七類符號(hào)，這七類數(shù)學(xué)符號(hào)之間形成了四十九種轉(zhuǎn)換關(guān)系，其中包括七類數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)的轉(zhuǎn)換及四十二種不同類型數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換。3、數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)符意義在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的主要對(duì)象是數(shù)學(xué)符號(hào)文本，它是由各種數(shù)學(xué)符號(hào)按照數(shù)學(xué)語(yǔ)法規(guī)則組合、聯(lián)結(jié)而成的，因而理清數(shù)學(xué)符號(hào)文本的記號(hào)結(jié)構(gòu)，將數(shù)學(xué)文本符號(hào)從形式上切分為可認(rèn)知的數(shù)學(xué)單位符號(hào)是獲得數(shù)學(xué)符號(hào)意義的前提。（1）段落、節(jié)次與篇章根據(jù)語(yǔ)言的線性特征，數(shù)學(xué)文本符號(hào)總體上是數(shù)學(xué)符號(hào)的線性結(jié)構(gòu)。在這種線性結(jié)構(gòu)序列中，根據(jù)支本主題的不同，數(shù)學(xué)文本可分別稱為段落、節(jié)次、篇章等。段落文本是指圍繞一個(gè)具體的主題而展開的，描述數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)情境或數(shù)學(xué)現(xiàn)象的某個(gè)側(cè)面屬性的符號(hào)序列，是最小的數(shù)學(xué)文本。[10]節(jié)次文本是圍繞一個(gè)較大的主題展開的，描述相對(duì)完整的數(shù)學(xué)情境、數(shù)學(xué)現(xiàn)象或數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系的符號(hào)序列，它在符號(hào)長(zhǎng)度或內(nèi)容上適合于一節(jié)課學(xué)習(xí)的量，它在形式上可劃分為若干段落文本。篇章文本是圍繞一個(gè)大的主題展開的，全面論述或描述數(shù)學(xué)情境、數(shù)學(xué)現(xiàn)象或數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系的符號(hào)序列，能夠形成一個(gè)相對(duì)完整的知識(shí)體系，它在形式上可劃分為若干節(jié)次文本。要描述的信息量越大，包含的篇章數(shù)量越多。在一般的數(shù)學(xué)教材中，教材的內(nèi)容分為若干章，每章分為若干節(jié)，每節(jié)分為若干段，每段都圍繞一個(gè)明確的主題展開。在同一冊(cè)教材中，每章的研究對(duì)象或主題一般是不同的，每節(jié)研究主題的一個(gè)方面或一個(gè)層次，每段描述數(shù)學(xué)對(duì)象的一個(gè)屬性或問題。（2）語(yǔ)句“語(yǔ)句“是表達(dá)數(shù)學(xué)信息或數(shù)學(xué)判斷的最短的符號(hào)序列，一般是由數(shù)學(xué)圖像符號(hào)、數(shù)學(xué)文字符號(hào)、數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)、數(shù)學(xué)圖表符號(hào)組成的線性序列。[11]語(yǔ)句是組成段落的基本單元，不同的語(yǔ)句圍繞一個(gè)共同的主題聯(lián)結(jié)在一起形成一個(gè)段落。一般文獻(xiàn)中，段落是文本創(chuàng)作者根據(jù)所描述的主題劃分的，段落與段落之間的界限分明，“一望便知”，而在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，為了使數(shù)學(xué)表達(dá)簡(jiǎn)潔明了，直觀呈現(xiàn)前后、上下的邏輯關(guān)系，許多數(shù)學(xué)語(yǔ)句需要單獨(dú)成“行”，導(dǎo)致數(shù)學(xué)段落之間的界限不是很明顯，需要學(xué)習(xí)者根據(jù)語(yǔ)句的相關(guān)性確定數(shù)學(xué)段落。數(shù)學(xué)語(yǔ)句有多種類型，不同類型的數(shù)學(xué)語(yǔ)句有不同的結(jié)構(gòu)。按照語(yǔ)句中數(shù)學(xué)符號(hào)的類型不同，數(shù)學(xué)語(yǔ)句可分為三類：數(shù)學(xué)文字語(yǔ)句、數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)混合語(yǔ)句。（三）數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的基本特征1、數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的內(nèi)涵所謂數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力，是指從數(shù)學(xué)符號(hào)中獲取各種數(shù)學(xué)信息的能力。具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力是指學(xué)習(xí)者根據(jù)所掌握的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)與組合規(guī)則，通過分析數(shù)學(xué)符號(hào)的形式和意義，經(jīng)歷識(shí)別、聯(lián)想、分析、推理、綜合、表征等思維過程，從數(shù)學(xué)符號(hào)中獲取各種數(shù)學(xué)意義的能力。[12]數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的核心不是能知道“數(shù)學(xué)符號(hào)表示什么”，而是能知道“數(shù)學(xué)符號(hào)意味著什么”，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)符號(hào)賦予“新生命”，能使“死板、枯燥”的數(shù)學(xué)符號(hào)變得“生動(dòng)、有趣’。數(shù)學(xué)符號(hào)獲得能力除了具有符號(hào)意義獲得能力的一般特征外，還具有以下學(xué)科特征：（1）數(shù)學(xué)符號(hào)感知能力的敏銳性由于不同數(shù)學(xué)分支的數(shù)學(xué)符號(hào)具有相對(duì)獨(dú)立性，是自成體系的，使得整個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)劃分為不同的數(shù)學(xué)符號(hào)子系統(tǒng)。除了小部分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)只屬于某個(gè)數(shù)學(xué)分支外，大部分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)都是多學(xué)科共用的。這種現(xiàn)象導(dǎo)致了三類特殊符號(hào)：同形同義符號(hào)、同形異義符號(hào)、異形同義符號(hào)。連同符號(hào)中大量存在的形似符號(hào)、近義符號(hào)等使得數(shù)學(xué)符號(hào)的形式和意義及它們之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系異常復(fù)雜，需要學(xué)習(xí)者具有更敏銳的感知能力。比如，運(yùn)算符號(hào)＋，一，×，÷是所有學(xué)科共用的，但它們卻有多種不同的意義：符號(hào)“R”在集合論中表示實(shí)數(shù)集，而在代數(shù)學(xué)和分析學(xué)中也表示實(shí)數(shù)集，其意義是相同的，但在離散數(shù)學(xué)中卻又用來(lái)表示關(guān)系：符號(hào)“Im”在復(fù)數(shù)論中表示復(fù)數(shù)的虛部，而在集合論和代數(shù)學(xué)中則表示映射的像：符號(hào)“k”在代數(shù)學(xué)中一般表示系數(shù)或常數(shù)，在應(yīng)用數(shù)學(xué)中表示高斯常數(shù)，在微分幾何中表示曲率，而在特殊函數(shù)中則表示貝克函數(shù)。（2）數(shù)學(xué)符號(hào)結(jié)構(gòu)分析能力的細(xì)致性數(shù)學(xué)符號(hào)除了一般符號(hào)所具有的線性結(jié)構(gòu)外，還存在大量的“嵌套”結(jié)構(gòu)和組合結(jié)構(gòu)，因而比其他符號(hào)的結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，所蘊(yùn)含的意義更加多樣，需要更加細(xì)致和更大的耐心。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生由于“粗心大意”，對(duì)一些特殊的結(jié)構(gòu)和條件“視而不見”，影響了對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決。（3）數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的廣泛性理論上，對(duì)于每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，我們都應(yīng)嘗試分析并獲得它的七種意義：基本意義、轉(zhuǎn)換意義、隱性意義、史學(xué)意義、美學(xué)意義、操作意義和個(gè)性化意義，從而使數(shù)學(xué)符號(hào)所表征的知識(shí)與原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中的知識(shí)建立廣泛的聯(lián)系。[12]現(xiàn)實(shí)上，大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師和學(xué)生往往滿足于獲得數(shù)學(xué)符號(hào)的一種或兩種意義，只要解決所面對(duì)的問題，就再探討數(shù)學(xué)符號(hào)的其他意義，致使學(xué)生感到數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的廣泛的數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力，讓學(xué)生樹立從六個(gè)維度建構(gòu)數(shù)學(xué)符號(hào)意義的意識(shí)和習(xí)慣非常重要。2、數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的綜合表現(xiàn)形式-符號(hào)感及其培養(yǎng)一般來(lái)說(shuō)，符號(hào)感是看到符號(hào)后產(chǎn)生的一種復(fù)雜的和多方面的感覺，這種感覺是由于符號(hào)作用于我們的眼睛，通過視覺系統(tǒng)把剌激信號(hào)傳遞到大腦中所引起的心理的和行為上的反應(yīng)。感覺是最簡(jiǎn)單的心理過程，是形成各種復(fù)雜心理過程的基礎(chǔ)，但它也是人們長(zhǎng)期學(xué)習(xí)、實(shí)踐的結(jié)果，是過去經(jīng)驗(yàn)的積累的結(jié)果。[13]因此，我們與其將符號(hào)感定義為意識(shí)、習(xí)慣、態(tài)度或一系列的行為表現(xiàn)，不如將符號(hào)感就視作是一種特殊的，具有綜合性的感覺。由于符號(hào)并不是具有自身價(jià)值和屬性的客觀事物，而只是意義的表征形式或感官的剌激物，它的主要價(jià)值在于替代其他客觀事物為感官提供剌激，產(chǎn)生相應(yīng)的心理反應(yīng)或認(rèn)識(shí)判斷。符號(hào)與事物的這種本質(zhì)區(qū)別決定了人們對(duì)符號(hào)的感覺不同于一般事物的感覺。數(shù)學(xué)符號(hào)感的獲得有兩種方式：自然言語(yǔ)實(shí)踐與自覺言語(yǔ)實(shí)踐。自然言語(yǔ)實(shí)踐是指通過多讀、多背、多說(shuō)、多寫等大量的言語(yǔ)實(shí)踐，使言語(yǔ)本身的規(guī)則在主體大腦中形成一種言語(yǔ)體系，從而形成語(yǔ)感。自覺言語(yǔ)實(shí)踐是指依據(jù)一定的學(xué)習(xí)理論，有意識(shí)地學(xué)習(xí)具有典型意義的言語(yǔ)材料、言語(yǔ)知識(shí)以及特定語(yǔ)境的社會(huì)文化知識(shí)，總結(jié)語(yǔ)言使用的規(guī)律，有意識(shí)地，自覺地形成某種言語(yǔ)習(xí)慣，并使得言語(yǔ)知識(shí)內(nèi)化為主體的心理行為結(jié)構(gòu)模式，從而形成語(yǔ)感。相比較而言，前者屬于一種無(wú)計(jì)劃、無(wú)意識(shí)、自然的、低效的語(yǔ)感獲得方式，后者是一種有計(jì)劃、有目的、自覺的、高效的獲得語(yǔ)感獲得方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師可以從以下幾個(gè)方面入手，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)感。二、數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的培養(yǎng)存在的問題及其影響因素（一）中小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的問題1、對(duì)數(shù)學(xué)自然符號(hào)的感知中缺乏數(shù)學(xué)感，無(wú)法獲得數(shù)學(xué)信息數(shù)學(xué)研究的是事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它們隱藏在客觀事物的內(nèi)部結(jié)構(gòu)中或外部的相互作用中，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)感。學(xué)生雖然通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)掌握了一些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題，但卻不能將這些數(shù)學(xué)知識(shí)與紛繁復(fù)雜的客觀世界有機(jī)地聯(lián)系在一起。因此，雖然日常生活中無(wú)處沒有數(shù)學(xué)關(guān)系，但學(xué)生卻感知不到數(shù)學(xué)關(guān)系，更不善于用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)處理日常生活中的實(shí)際問題。[14]由于缺乏數(shù)學(xué)感，學(xué)生眼中看到的只是具體的客觀事物，不是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，使得數(shù)學(xué)知識(shí)喪失了生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。這種實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的缺乏不僅直接影響了學(xué)生對(duì)其他數(shù)學(xué)符號(hào)的理解，更直接影響了對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)一步的信息加工。因此，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，重視數(shù)學(xué)符號(hào)的經(jīng)驗(yàn)化，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，提煉數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，具有非常重要的教育意義和教學(xué)價(jià)值。2、對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)的感知中缺乏結(jié)構(gòu)感，無(wú)法獲得隱性意義數(shù)學(xué)是研究各種關(guān)系結(jié)構(gòu)的科學(xué)，因而表征數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)符號(hào)一般也是以結(jié)構(gòu)的形式存在于數(shù)學(xué)文本中。當(dāng)前，很多數(shù)學(xué)教育工作者仍然將數(shù)學(xué)符號(hào)等同于數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)，即國(guó)際上統(tǒng)一規(guī)定的少量的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)字母。實(shí)事上，孤立地認(rèn)識(shí)和記憶這些數(shù)學(xué)符號(hào)并無(wú)實(shí)際價(jià)值，因?yàn)閹缀跛械臄?shù)學(xué)知識(shí)都是由這些組合而成的數(shù)學(xué)符號(hào)結(jié)構(gòu)。脫離數(shù)學(xué)符號(hào)的結(jié)構(gòu)性談話數(shù)學(xué)符號(hào)將一無(wú)所獲，就象離開漢字的整體結(jié)構(gòu)只談?wù)摴P畫一樣。特別是數(shù)學(xué)中大量存在的“嵌套”結(jié)構(gòu)，使得數(shù)學(xué)符號(hào)所表達(dá)的數(shù)學(xué)意義更加復(fù)雜。例如，36+64=100只是一道簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算題，而改變它們的結(jié)構(gòu)后，62+82=102就具有了新的內(nèi)涵，進(jìn)而一般化為x2+y2=z2或Xn+yn=Zn后，就具有了新的數(shù)學(xué)意義。這些不同的數(shù)學(xué)符號(hào)通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起，結(jié)構(gòu)的變化就意味著數(shù)學(xué)意義的變化，從而形成不同的數(shù)學(xué)知識(shí)。3、數(shù)學(xué)記號(hào)識(shí)別和理解存在困難不同的數(shù)學(xué)符號(hào)具有不同的存在形式，各種存在形式之間存在著本質(zhì)或數(shù)量上的差異。有的符號(hào)差異是顯著的，便于識(shí)別：有的差異卻是細(xì)微的，不易識(shí)別，很容易彼此混淆。所以，當(dāng)差異不明顯的符號(hào)組合在一起時(shí)，學(xué)生往往難以識(shí)別；當(dāng)兩個(gè)形式上相似的符號(hào)屬于同一知識(shí)領(lǐng)域或處于同一語(yǔ)境時(shí)，應(yīng)用頻次低的符號(hào)往往被錯(cuò)誤地識(shí)別為應(yīng)用頻次高的符號(hào)。例如，命題的否定與否命題是完全不同的概念。前者是針對(duì)簡(jiǎn)單命題p而言的，p與「p是兩個(gè)截然相反的判斷：后者是針對(duì)復(fù)合命題或假言命題“若p則q”而言的，指的是命題“若「p則「q”。但在學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生往往將命題的否定識(shí)別為否命題。再如，全稱量詞“V”對(duì)“V”不具分配性，而對(duì)“<”具有分配性：存在性量詞“3”對(duì)“八”不具分配性，而對(duì)“〉”則具有分配性。如果學(xué)生記不住，就無(wú)法進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換：如果學(xué)生記憶不清，就很容易導(dǎo)致轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有目的的符號(hào)特征分析，對(duì)相關(guān)符號(hào)，特別是形似或形近符號(hào)之間的差異給予重點(diǎn)關(guān)注，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)識(shí)別能力。數(shù)學(xué)符號(hào)是種特殊的符號(hào)系統(tǒng)。在形式上，數(shù)學(xué)符號(hào)中存在大量的“一符多義”和“多符一義”現(xiàn)象，需要學(xué)習(xí)者根據(jù)對(duì)整個(gè)語(yǔ)境的理解進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剡x擇：在意義上，數(shù)學(xué)符號(hào)意義具有“二重性”，即同時(shí)具有兩種迥然不同的意義：操作意義和結(jié)構(gòu)意義。例如“”既具有操作意義一一運(yùn)算結(jié)果的“引導(dǎo)符”，又具有結(jié)構(gòu)意義二表示相等關(guān)系符：符號(hào)“＋”既具有操作意義一加法操作命令，又具有結(jié)構(gòu)意義一“代數(shù)和”或“正號(hào)”，同時(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)還蘊(yùn)含著大量的隱性意義，需要學(xué)習(xí)者去分析、發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)符號(hào)的這些特征直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)符號(hào)的理解困難，無(wú)法獲得數(shù)學(xué)符號(hào)的真正意義。（二）中小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力培養(yǎng)的影響因素1、數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)符號(hào)觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師和學(xué)生直接面對(duì)的是數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文本符號(hào)，而不是孤立的數(shù)學(xué)單元符號(hào)，孤立的數(shù)學(xué)單元符號(hào)無(wú)法表征和傳遞數(shù)學(xué)信息。而根據(jù)現(xiàn)代現(xiàn)代學(xué)理論，學(xué)生與數(shù)學(xué)文本之間不是單向的理解關(guān)系，而是雙向的“對(duì)話”關(guān)系。數(shù)學(xué)文本符號(hào)、文本作者與讀者之間具有互動(dòng)關(guān)系，學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)文本的過程應(yīng)視作是讀者與作者的“心靈”對(duì)話，而不是形式上的符號(hào)記憶。沒有“心靈”的參與就無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力，也就無(wú)法完成“心靈”塑造的教育任務(wù)。（1）數(shù)學(xué)文本符號(hào)和學(xué)生之間具有相互選擇性通常情況下，人們只看到了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文本的自由選擇性，而忽視了數(shù)學(xué)文本對(duì)讀者的內(nèi)在選擇性。實(shí)事上，數(shù)學(xué)文本和學(xué)生之間具有相互選擇性。一方面，文本對(duì)讀者具有選擇性。任何文本的創(chuàng)作都會(huì)有明確的目標(biāo)讀者或昕眾，創(chuàng)作文本的目的是想要告訴他們什么。通俗文本與專業(yè)文本顯然服務(wù)于不同的讀者。小學(xué)生不可能選擇閱讀高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。另一方面，讀者對(duì)文本具有選擇性。讀者或聽眾根據(jù)自己的喜歡選擇文本，以自己的接受方式與文本發(fā)生關(guān)系。兩種選擇的一致程度既代表著文本創(chuàng)作的成功與否，也代表著學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的水平。（2）作者和讀者通過文本符號(hào)實(shí)現(xiàn)了“隔空”的“心靈”對(duì)話要培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意義獲得能力必須改變數(shù)學(xué)符號(hào)在學(xué)生心目中的形式。教師要幫助學(xué)生感受符號(hào)中蘊(yùn)含的作者的思想和“靈魂”。不應(yīng)把數(shù)學(xué)符號(hào)視作冷冰冰的、僵化的物質(zhì)存在形式，應(yīng)用“心”去體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的“生命”。為此，教師應(yīng)重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)的對(duì)話功能，重新界定作者、文本與讀者之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不應(yīng)讓學(xué)生被動(dòng)地服從于數(shù)學(xué)符號(hào)，導(dǎo)致學(xué)生自我與數(shù)學(xué)符號(hào)的對(duì)立，而應(yīng)讓學(xué)生建立兩種“自我”觀，一個(gè)“自我”代表自己，另一個(gè)“自我”代表作者，使兩個(gè)自我之間展開對(duì)話。兩個(gè)“自我”在對(duì)話中扮演不同的角色，一方負(fù)責(zé)意義發(fā)現(xiàn)，盡可能聯(lián)想到符號(hào)中蘊(yùn)含的不同意義，另一方負(fù)責(zé)意義內(nèi)化，在新知識(shí)與原有經(jīng)驗(yàn)之間找到“契合點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重構(gòu)。2、數(shù)學(xué)教師的教學(xué)資源觀數(shù)學(xué)教學(xué)資源是為數(shù)學(xué)教學(xué)的有效開展提供的各種可資利用的條件、資料和信息。在當(dāng)前教學(xué)模式下，除了學(xué)校的硬件設(shè)施，數(shù)學(xué)教學(xué)資源主要有兩類：一是來(lái)自教師的教學(xué)資源：二是來(lái)自數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)教輔資料的教學(xué)資源。相應(yīng)地，學(xué)生主要有兩項(xiàng)任務(wù)：一是在課堂上聽教師講授：二是在課后完成教輔資料中的數(shù)學(xué)習(xí)題。在教學(xué)活動(dòng)中，這種數(shù)學(xué)教學(xué)模式蘊(yùn)含著一個(gè)重大矛盾：教師在課堂上主要用語(yǔ)音符號(hào)向?qū)W生講授數(shù)學(xué)知識(shí)，而學(xué)生在課后主要通過書面符號(hào)自主解答數(shù)學(xué)習(xí)題。數(shù)學(xué)符號(hào)的這種差異性，在低年級(jí)階段還不明顯，隨著數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)的增加，高年級(jí)的學(xué)生會(huì)感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來(lái)越難。因此，我們需要反思我們現(xiàn)有的教學(xué)資源觀，為數(shù)學(xué)教學(xué)的有效開展提供更充分的條件。在教學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)教材是最主要的教學(xué)資源，師生的交流互動(dòng)都是圍繞建構(gòu)數(shù)學(xué)符號(hào)意義展開的，其他的教學(xué)資源都是教材資源的補(bǔ)充。為了提高數(shù)學(xué)的效率和質(zhì)量，教師主要開發(fā)兩種教學(xué)資源：一是教材資源的開發(fā)，主要是數(shù)學(xué)問題的變式、拓展，能夠由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地將相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)整合在一個(gè)數(shù)學(xué)問題中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的數(shù)學(xué)符號(hào)意義建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的高級(jí)數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力：二是學(xué)生“錯(cuò)誤”的開發(fā)，主要是對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行變式和拓展，能夠讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的原因有全面的感知和分析，形成有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有效防止錯(cuò)誤的再次發(fā)生。所有的錯(cuò)誤都是認(rèn)知結(jié)構(gòu)不完善造成的，因此，減少錯(cuò)誤的最有效方法就是完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。3、數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法觀當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的最大問題是：片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)，忽視數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)教學(xué)。數(shù)學(xué)教師卻沒有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“門檻”作用，普遍忽視數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)，不能結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)組織知識(shí)教學(xué)，主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：（1）教學(xué)目標(biāo)中的缺位。根據(jù)三維教學(xué)目標(biāo)的要求，在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中一般都有知識(shí)點(diǎn)、能力、情感與價(jià)值觀的明確要求，但很少有關(guān)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)的相關(guān)目標(biāo)要求。（2）教學(xué)過程中的缺位。教學(xué)過程中，教師的關(guān)注點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)命題（定理、規(guī)則）的理解與應(yīng)用，而對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言不是只字不提就是一帶而過。（3）學(xué)習(xí)要求中的缺位。數(shù)學(xué)教師對(duì)于學(xué)習(xí)所提出的要求中很少或幾乎沒有涉及數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)方面的具體要求，全部是背誦、記憶數(shù)學(xué)概念和定理，掌握習(xí)題類型和方法方面的要求。（4）教學(xué)設(shè)計(jì)中的缺位。教學(xué)設(shè)計(jì)中教師重點(diǎn)思考得是如何設(shè)計(jì)流暢的教學(xué)程序，把教學(xué)大綱、考試大綱中規(guī)定的那些目標(biāo)落實(shí)下去。在這種教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師關(guān)心的是教的邏輯，而不是學(xué)的邏輯。教師只是完成了自己的教學(xué)任務(wù)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果缺少必要的檢測(cè)手段。這使得教師意識(shí)不到學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中存在的語(yǔ)言障礙和符號(hào)障礙，失去了從數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)入手引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)“門檻”的機(jī)會(huì)。在教師看來(lái)，研究學(xué)生如何學(xué)習(xí)是心理學(xué)家思考的問題，與完成自己的教學(xué)任務(wù)關(guān)系不大。教師只要把知識(shí)向?qū)W生講了，解釋清楚了，剩下的就是學(xué)生練習(xí)的問題。三、數(shù)學(xué)命題教學(xué)中數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力培養(yǎng)的教學(xué)案例本章節(jié)就數(shù)學(xué)命題教學(xué)進(jìn)行符號(hào)意義獲得能力培養(yǎng)的案例研究。數(shù)學(xué)公式、定理的形成過程大致有兩種情況：一是經(jīng)過觀察、分析，用不完全歸納法、類比等提出猜想，而后尋求邏輯證明：二是從理論推導(dǎo)得出結(jié)論。因此，在數(shù)學(xué)命題教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生分析公式、定理的發(fā)現(xiàn)過程，并將發(fā)現(xiàn)過程和證明過程與所使用的符號(hào)建立聯(lián)系，從而幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)命題的記憶和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意義獲得能力。（一）數(shù)學(xué)命題教學(xué)中符號(hào)結(jié)構(gòu)分析的特點(diǎn)1、數(shù)學(xué)命題的特點(diǎn)（1）數(shù)學(xué)命題有不同的符號(hào)表征。數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)命題一般有數(shù)學(xué)文字符號(hào)與數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)兩種符號(hào)表征。前者主要用于說(shuō)明，便于學(xué)生理解；后者主要用于記億，便于學(xué)生運(yùn)用。此外，一些數(shù)學(xué)命題還可以用數(shù)學(xué)圖表符號(hào)表征，將數(shù)學(xué)關(guān)系直觀呈現(xiàn)出來(lái)，既便于學(xué)生的理解，又便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)關(guān)系。（2）數(shù)學(xué)命題有不同的轉(zhuǎn)換命題。數(shù)學(xué)命題一般有四種彼此相關(guān)的轉(zhuǎn)換形式：原命題、逆命題、否命題、逆否命題。學(xué)生很容易混淆四種命題之間的差異。例如，許多學(xué)生分不清“三垂線定理”與“三垂線逆定理”的差異。（3）數(shù)學(xué)命題有不同的真值。數(shù)學(xué)命題有真命題與假命題之分，但假命題并不是完全錯(cuò)誤的命題，它們很多是似真命題，通過對(duì)條件或結(jié)論進(jìn)行細(xì)微的修改，除去“致錯(cuò)因子”后就成為真命題。這種對(duì)假命題的改造不僅加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)命題的認(rèn)識(shí)，而且培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。（4）數(shù)學(xué)命題有固定的結(jié)構(gòu)。每個(gè)命題都是由題設(shè)（條件）和結(jié)論兩部分構(gòu)成的，常常可以寫成“如果，那么”或“若，則”的結(jié)構(gòu)形式。其中，前半部分是題設(shè)，后半部分是結(jié)論。為了表述的簡(jiǎn)潔，在不引起混淆的情況下，數(shù)學(xué)教材中的許多數(shù)學(xué)命題進(jìn)行了省略，出現(xiàn)了一些簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)。例如，“對(duì)頂角相等”。在學(xué)習(xí)這種簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)命題時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生轉(zhuǎn)化為一般結(jié)構(gòu)形式，以便于學(xué)生理解和記憶。例如，“若兩個(gè)角互為對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等”。2、數(shù)學(xué)命題教學(xué)中符號(hào)結(jié)構(gòu)分析的內(nèi)容及目標(biāo)數(shù)學(xué)命題教學(xué)主要包括三個(gè)階段：命題證明、命題分析、命題應(yīng)用。在每個(gè)階段具有不同的符號(hào)結(jié)構(gòu)分析內(nèi)容和目標(biāo)。（1）命題證明階段。命題證明不僅僅說(shuō)明數(shù)學(xué)命題的正確性，而是要挖掘多方面的教學(xué)價(jià)值。首先，數(shù)學(xué)命題反映的是數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，需要從數(shù)學(xué)命題中分離出相關(guān)的數(shù)學(xué)概念及其符號(hào)表征：其次，數(shù)學(xué)命題本身是一個(gè)基本數(shù)學(xué)問題，需要建立數(shù)學(xué)命題的基本問題模型：最后，剖析數(shù)學(xué)命題證明過程中的數(shù)學(xué)思想方法，確定證明的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)，要與歸納出的數(shù)學(xué)問題模型建立聯(lián)系。（2）命題分析階段。通過對(duì)數(shù)學(xué)命題的證明，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)命題有了充分的理解。接下來(lái)要“趁熱打鐵”，對(duì)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行全面的分析，包括確定數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，分析數(shù)學(xué)命題的不同符號(hào)表征及結(jié)構(gòu)特征，分析數(shù)學(xué)命題的不同表述形式及轉(zhuǎn)換命題，確定它們的真值情況等。（3）命題的應(yīng)用階段。數(shù)學(xué)命題的應(yīng)用主要是解決各種數(shù)學(xué)題。與數(shù)學(xué)命題相關(guān)的數(shù)學(xué)問題主要包括判斷題一一判斷命題的真?zhèn)?、?jì)算題一一利用數(shù)學(xué)公式計(jì)算、證明題一一利用數(shù)學(xué)定理進(jìn)行邏輯證明、綜合題一一綜合利用多個(gè)數(shù)學(xué)命題解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。因此，數(shù)學(xué)問題實(shí)事上是一個(gè)有待確定真?zhèn)位蛘哂写晟频?、情境化的?shù)學(xué)命題。如果去除數(shù)學(xué)問題中的情境成分，那么數(shù)學(xué)問題就是一個(gè)“邏輯環(huán)”。如果將其中的一部分稱為“題設(shè)”，另一部分稱為“結(jié)論”，則這個(gè)數(shù)學(xué)問題就成為一個(gè)數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)問題的解決過程就如同數(shù)學(xué)命題的證明過程，也就是“邏輯環(huán)”的建構(gòu)過程。（二）數(shù)學(xué)命題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力的教學(xué)設(shè)計(jì)案例在教學(xué)實(shí)踐中，為了提高教學(xué)效率，并不是對(duì)每個(gè)數(shù)學(xué)命題都進(jìn)行全面的符號(hào)結(jié)構(gòu)分析，而是要根據(jù)數(shù)學(xué)符號(hào)的自身特點(diǎn)，學(xué)生的實(shí)際水平及教學(xué)進(jìn)度要求進(jìn)行科學(xué)的設(shè)計(jì)。1、以理解數(shù)學(xué)命題為目的的數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計(jì)案例課題：“例2直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似?！边@是用數(shù)學(xué)文字符號(hào)表述的一個(gè)問題，也是一個(gè)數(shù)學(xué)命題。可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)程序：（1）轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)命題的符號(hào)表征，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)轉(zhuǎn)換能力首先，教師要求學(xué)生將問題符號(hào)化，即把數(shù)學(xué)文字符號(hào)翻譯為數(shù)學(xué)專業(yè)符號(hào)。在翻譯的過程中可能得到多種表述形式，但總體上可以分為直譯與轉(zhuǎn)譯兩種形式。直譯比較容易，只需要將其中的數(shù)學(xué)概念符號(hào)化，但比較繁瑣。比如可以直譯為：直角三角形△ABC被斜邊上的高CD分成的兩個(gè)直角三角形△ADC與△BDC和原三角形△ABC相似：也可以直譯為“己知求證”的模式：己知Rt△ABC被斜邊上的高CD分成Rt△ADC與Rt△BDC，證明Rt△ADC與Rt△BDC和Rt△ABC相似。轉(zhuǎn)譯需要對(duì)題目深入了解，不僅需要確定數(shù)學(xué)命題中的數(shù)學(xué)概念，還要確定其間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并將它們符號(hào)化，比直譯要困難，但簡(jiǎn)潔美觀。如果學(xué)生能夠比較深入地理解題意，并且在頭腦中繪出圖形的直觀形象，就可以用轉(zhuǎn)譯的方法，把頭腦中的圖形完全用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出來(lái)：在Rt△ABC中，∠ACB=90，作CD⊥AB，垂足為D，求證△ACD～△ABC,△CBD～△ABC。其次，將數(shù)學(xué)命題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖表符號(hào)。符號(hào)化的數(shù)學(xué)命題與下面的數(shù)學(xué)圖表符號(hào)相對(duì)應(yīng)，可以把問題所描繪的情境直觀地呈現(xiàn)出來(lái)。2、探求數(shù)學(xué)命題的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的問題模型意識(shí)和方法意識(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生探討命題的證明方法。根據(jù)三角形相似的判定定理，可以很容易地證明這個(gè)問題。證明：?CD⊥AB，?△ADC為直角三角形。在Rt△ADC與Rt△ABC中，因?yàn)椤螦為公共角，所以△ACD～△ABC。同理可證△CBD～△ABC。如果到此為止，題目的教育價(jià)值就基本喪失了。我們所要做的是要超越數(shù)學(xué)命題或數(shù)學(xué)問題的表面意義，探討出盡可能多的其他意義，使學(xué)生對(duì)問題、命題的理解更加豐滿。（3）分析數(shù)學(xué)命題的轉(zhuǎn)換命題原命題：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。否命題：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形不相似。逆命題1：如果直角三角形被斜邊上的點(diǎn)與直角頂點(diǎn)的連線分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似，則該連線為斜邊上的高線。逆命題2：如果三角形被一邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似，則這個(gè)三角形為直接三角形。逆否命題1：如果直角三角形被斜邊上的點(diǎn)與直角頂點(diǎn)的連線分成的兩個(gè)三角形和原三角形不相似，則該連線不為斜邊上的高線。逆否命題2：如果三角形被一邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形不相似，則這個(gè)三角形不為直接三角形。通過對(duì)轉(zhuǎn)換命題的分析和轉(zhuǎn)換，能使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)命題的理解，更加明確各要素之間的關(guān)系。（4）探討數(shù)學(xué)命題的引申結(jié)論，培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)隱性意義發(fā)現(xiàn)能力首先，從問題或命題中還能得到什么結(jié)論，這些結(jié)論可以作為這個(gè)特殊幾何圖形的性質(zhì)。雖然不能直接應(yīng)用證明其他命題，但是可以作為己知條件，幫助探索解題思路。探討的過程不是瞎猜，亂碰，而是要遵循一定的思想方法。這個(gè)問題屬于兒何問題，根據(jù)幾何知識(shí)的特點(diǎn)，我們可以從以下幾個(gè)視角進(jìn)行探討：1）三角形之間的關(guān)系：根據(jù)三角形相似的傳遞性得△ACD～△ABC～△CBD。2）角之間的關(guān)系：存在兩對(duì)相等的銳角：∠A=∠BCD,∠B二∠ACD。3）邊之間的關(guān)系：對(duì)應(yīng)邊之比相等：。從三組比例關(guān)系中又可以發(fā)現(xiàn)三邊之間的關(guān)系式：CA2=DA·AB;CB2=DB·BA;CD2=AD·DB。由直角三角形想到勾股定理，可以得到三邊的平方關(guān)系：AB2=AC2+CB2;AC2=AD2+DC2:BC2=BD2+DC2：如果把上面的結(jié)論進(jìn)’’行聯(lián)結(jié)又會(huì)得到新的結(jié)論：’’AB2=AD2+DC2+BD2+DC2=AD2+BD2+2CD2對(duì)上面的結(jié)論進(jìn)行比較，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)公式中點(diǎn)的依次循環(huán)或替代時(shí)，你不感到奇妙嗎？當(dāng)你把CA"=AB·AD與對(duì)照時(shí)，你不感吃驚嗎？當(dāng)我們把眼光移到圖形上，可以發(fā)現(xiàn)：把一個(gè)圖形分為兩個(gè)部分，則這個(gè)母圖與其兩個(gè)子圖彼此相似。我們可以給這樣的圖形起一個(gè)好聽的名字，叫“母子圖”。當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，兩個(gè)子圖完全相同，說(shuō)明它的兩個(gè)“孩子”還是“雙胞胎”呢！多么，有沒有“多胞胎”呢？例如，這個(gè)圖形中就是一個(gè)“四胞胎”，“三胞胎”、“五胞胎”、“六胞胎”嗎？通常知識(shí)的學(xué)習(xí)是局部的、分散的，在學(xué)生頭腦中呈零亂無(wú)序的狀態(tài)，難以形成有規(guī)律的清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，每學(xué)完一部分知識(shí)后，學(xué)生應(yīng)將這些知識(shí)以一個(gè)新的角度串聯(lián)起來(lái)，以便形成一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，總結(jié)的層次應(yīng)不斷提高，既要注意知識(shí)縱向、橫向各個(gè)層面的聯(lián)系，義要重視其程序化的科學(xué)組織，使大腦中形成系統(tǒng)性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。這樣解題不再是目的，而成為掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的引信。教育的重心從掌握知識(shí)轉(zhuǎn)移到發(fā)展學(xué)生的能力。通過意義獲得能力的訓(xùn)練，能知道自己已有的知識(shí)水平，認(rèn)清自己的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)，認(rèn)清自己的學(xué)習(xí)類型，認(rèn)清自己的學(xué)習(xí)任務(wù)目標(biāo)，認(rèn)識(shí)制約學(xué)習(xí)任務(wù)完成的因素，并能根據(jù)自己的實(shí)際情況制訂學(xué)習(xí)計(jì)劃，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，選擇適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，能夠激活與保持適度的學(xué)習(xí)心理狀態(tài)，能夠合理安排學(xué)習(xí)時(shí)間等。如果經(jīng)常進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)的思維會(huì)非常靈活、深刻，再遇到開放性問題時(shí)，會(huì)自動(dòng)地進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中的特點(diǎn)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)靈活地應(yīng)對(duì)。2、以應(yīng)用數(shù)學(xué)命題為目的的數(shù)學(xué)命題教學(xué)討論案例數(shù)學(xué)命題的應(yīng)用主要包括兩個(gè)方面：一是判斷數(shù)學(xué)命題什么時(shí)候用，即明確數(shù)學(xué)命題的應(yīng)用情境：二是保證數(shù)學(xué)命題的正確應(yīng)用，即防止數(shù)學(xué)命題的錯(cuò)誤應(yīng)用。（1）應(yīng)用情境的轉(zhuǎn)換命題：平面上任意兩點(diǎn)之間的連線中直線段最短這個(gè)簡(jiǎn)單的命題可以應(yīng)用到不同的問題情境中。因此，通過命題的應(yīng)用情境可以有效提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)命題的能力。問題：己知村莊A位于條小河邊，到河的垂直距離是2公里，在下游8公理處的河對(duì)岸另有一個(gè)村莊B，到河的垂直距離是4公里，假設(shè)兩具村莊之間的河道是直的，現(xiàn)在要在兩村莊之間架設(shè)一條電話線，需要在河邊埋一根電線桿，問電線桿應(yīng)埋在何處？共需要電線至少多少米？這是一個(gè)常規(guī)性問題，大部分學(xué)生會(huì)應(yīng)用所學(xué)的命題給出正確的解答。但我們不應(yīng)就此放棄，而應(yīng)以問題為起點(diǎn)，變換問題的情境，使學(xué)生在變與不變中加深對(duì)知識(shí)的理解，提高知識(shí)應(yīng)用的靈活性，體驗(yàn)化歸思想的妙處，并建立一般性的問題模型和解決方法。變式1如果要在兩村莊間修一條公路，需要在河上架一座橋，橋架在何處時(shí)，公路最短？若河寬是50米，這條公路最短是多少米？（其他條件不變）變式2：如果兩個(gè)村莊的人家都分布在半徑為1公理的圓形區(qū)域內(nèi)，則兩個(gè)村莊的兩戶人家之間的最短距離是多少？（其他條件同變式1）變式3：如果兩個(gè)村莊是位于河的同側(cè)，其他條件不變。變式4：如果A,B是位于一個(gè)平面的同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在平面上找到一點(diǎn)P使它到A,B兩點(diǎn)的距離之和最??？又如何使距離之差最大？變式5：如果兩點(diǎn)A,B分別位于一個(gè)二面角的兩個(gè)不同半平面上，如何在交線上找到一點(diǎn)P，使它到A,B兩點(diǎn)的距離之和最小？又如何使距離之差最大？變式6：如果兩點(diǎn)A,B分別位于一個(gè)水杯的內(nèi)側(cè)與外側(cè)，如何在杯口沿上找到一點(diǎn)P,使它到A,B兩點(diǎn)的距離之和最??？又如何使距離之差最大？在進(jìn)行以上變式后，還可以讓學(xué)生給出自己的變式，以便激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。（2）誤用數(shù)學(xué)命題的原因分析在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生存在大量的數(shù)學(xué)命題誤用問題，其中根本的原因在于對(duì)數(shù)學(xué)命題缺乏全面的認(rèn)識(shí)和完整的把握，特別是數(shù)學(xué)命題題設(shè)的檢驗(yàn)。問題：己知3x2+2y2=9x，求x2＋y2的最值錯(cuò)解1將己知方程變形為，用消元法得所以，當(dāng)x=時(shí)，x2+y2取得最大值。錯(cuò)解2:設(shè)x2+y2=k，則y2=k-x2，代入條件關(guān)系式得x2-9x+2k=O，用判別一式方法得△=81-8k≥0，解得k≤，x2+y2取得最大值。一分析錯(cuò)誤的根源，都是誤用了數(shù)學(xué)命題。在錯(cuò)解1中，學(xué)生依據(jù)的數(shù)學(xué)命題是：若x∈R,則x2≥0，但學(xué)生沒有檢驗(yàn)數(shù)學(xué)命題運(yùn)用的條件，事實(shí)上，3x2+2y2=9x含有隱含條件：即X[0,3]