2026屆安徽省滁州市來(lái)安縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，．若時(shí)，，則使得不等式成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.2．在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.63．若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于54．設(shè)雙曲線：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.85．某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是.A.90 B.75C.60 D.456．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.7．將一枚骰子連續(xù)拋兩次，得到正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為、，記事件A為“為偶數(shù)”，事件B為“”，則的值為（）A. B.C. D.8．直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則有（）A.， B.，C.， D.，9．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)．若，則的面積為（）A. B.C. D.10．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.11．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或612．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．沈陽(yáng)市某高中有高一學(xué)生600人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生550人，現(xiàn)對(duì)學(xué)生關(guān)于消防安全知識(shí)了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，則n的值等于________.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是—個(gè)圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為___________.15．已知函數(shù)，則的值為______16．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則a=______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，動(dòng)直線過線段的中點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)．已知當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由18．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答下列題目設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的值19．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱20．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：21．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，即可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且該函數(shù)在上也為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，由得，可得，解得故選：C.2、C【解析】設(shè)，，，利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C3、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個(gè)點(diǎn)的情況成立；再考慮空間里，只有四個(gè)點(diǎn)的情況成立，注意運(yùn)用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷解：考慮平面上，3個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成一個(gè)正四面體，成立；若n＞4，由于任三點(diǎn)不共線，當(dāng)n=5時(shí)，考慮四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第五個(gè)點(diǎn)，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點(diǎn)的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯(cuò)題4、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，即的最小值為，故選：C.5、A【解析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為120×0.75＝90.考點(diǎn)：頻率分布直方圖.6、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D7、B【解析】利用條件概率的公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知，若事件為“為偶數(shù)”發(fā)生，則、兩個(gè)數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)，其中基本事件數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共個(gè)基本事件，∴,而A、同時(shí)發(fā)生，基本事件有當(dāng)一共有9個(gè)基本事件，∴，則在事件A發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率為,故選:8、B【解析】將直線方程的一般形式化為截距式，由此可得其在x軸和y軸上的截距.【詳解】直線方程化成截距式為，所以，故選：B.9、D【解析】先由拋物線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，再由可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，從而可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積【詳解】由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的面積為，故選：D10、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為.故選：A11、D【解析】由拋物線準(zhǔn)線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準(zhǔn)線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時(shí)，有或，所以或，得或6故選：D12、A【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再計(jì)算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、33【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槌槿×艘粋€(gè)容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，所以有，故答案為：3314、①.②.【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可得對(duì)應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點(diǎn)到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡(jiǎn)得對(duì)應(yīng)的軌跡方程為.所以點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個(gè)邊即是邊長(zhǎng)為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，可取平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)點(diǎn)的軌跡，可設(shè)，，所以點(diǎn)到平面的距離，所以故答案為：；15、【解析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，然后將代入可得答案.【詳解】，所以故答案為：16、3##【解析】由頻率之和等于1，即矩形面積之和為1可得.【詳解】由題知，解得.故答案為：0.3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：易知點(diǎn)，若直線與軸重合，則、為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.18、（1）（2）【解析】（1）若選①可得，從而得到，即可得到是常數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若選②，根據(jù)，作差即可得到，再利用累乘法計(jì)算可得；若選③：可得，即可得到數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得；【小問1詳解】解：選①：∵即∴即∴數(shù)列是常數(shù)列∴∴選②：∵∴時(shí)，則即∴∴當(dāng)時(shí)，也滿足，∴選③：因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1則∴【小問2詳解】解：由（1）可得，∴19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，證明出，即可證明關(guān)于軸對(duì)稱.【小問1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以【小問2詳解】設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，直線的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱20、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)，求解可得導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問題得證.【小問1詳解】當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問2詳解】（i）由已知可得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根記，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當(dāng)x1時(shí)，，故．由（1）可知，當(dāng)0x1時(shí)，，所以2lnxx?由，得，所以因?yàn)?，所?1、（I）（II）【解析】（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，可得和的坐標(biāo)，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進(jìn)而可得答案解：（I）以，，x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），