高中2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研測試高一年級數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，19小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、考生號和座位號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．用2B鉛筆將考生號、座位號填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.2.命題的否定是（）A. B.C. D.3.把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.4.某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為，深為．如果池底每平方米造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，那么貯水池的最低總造價是（）A.160000元 B.179200元C.198400元 D.297600元5.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則不等式的解集為（）A B.C. D.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（）A. B. C. D.7已知則（）A. B. C. D.8.設(shè)，，，則（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于函數(shù)和，下列結(jié)論中正確的有（）A.與有相同的零點(diǎn) B.與有相同的最大值C.與有相同的最小正周期 D.與的圖象有相同的對稱軸10.使不等式對一切實數(shù)都成立的一個充分條件是（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論中一定正確的有（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則______．13.已知（其中為常數(shù)）．①；②當(dāng)時，．寫出滿足條件①②的一個函數(shù)______．14.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關(guān)系為P＝P0e－kt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費(fèi)的時間為________小時．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，．（1）求的值；（2）求的值．16.已知函數(shù)．（1）是否存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明．17.已知函數(shù)（且）的最大值為2．（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（2），用表示中的較小者，記為.當(dāng)時，求的解析式；（3）設(shè)，記的最小值為，求的最小值.19.函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)的凹凸性可以很好地解決一些數(shù)學(xué)問題．在不同的條件下，可以給出函數(shù)凹凸性的不同定義．定義1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，稱為上的下凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，有定義2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，稱為上的下凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)有將定義1，2中的“”改為“”，則相應(yīng)地稱函數(shù)為上的上凸函數(shù)．可以證明定義1與定義2等價．試運(yùn)用以上信息解答下面的問題：（1）若，試根據(jù)定義1證明為上的下凸函數(shù)；（2）已知為上上凸函數(shù)，若為的內(nèi)角，求的最大值；（3）設(shè)為大于或等于1的實數(shù)，證明：．

2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研測試高一年級數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，19小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、考生號和座位號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．用2B鉛筆將考生號、座位號填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的混合運(yùn)算即可得解.【詳解】因為，，所以，又，所以.故選：C.2.命題的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題分析判斷.【詳解】命題的否定是.故選：B.3.把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)變換即可求解.【詳解】.故選：D.4.某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為，深為．如果池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，那么貯水池的最低總造價是（）A.160000元 B.179200元C.198400元 D.297600元【答案】C【解析】【分析】設(shè)池底的長為x，寬為y，因水池?zé)o蓋，則建造池體需要建造池壁有4個面，池底一個面，計算出建造這個水池的總造價是，結(jié)合基本不等關(guān)系求得最小值.【詳解】設(shè)池底的長為x，寬為y，則，即因水池?zé)o蓋，則建造池體需要建造池壁有4個面，池底一個面，建造這個水池的總造價是當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：C.5.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)解析式結(jié)合題意可得，代入解一元二次不等式即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因為冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則，解得，即，因為，即，整理可得，解得或，所以不等式的解集為.故選：D.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用初等基本函數(shù)的單調(diào)性得到的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，則，即，所以，，所以的零點(diǎn)有且只有一個，且所在的一個區(qū)間是.故選：D.7.已知則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先要根據(jù)已知角的范圍求出相關(guān)角的余弦值，然后利用兩角差公式將所求的轉(zhuǎn)化為已知角的三角函數(shù)組合來求解.【詳解】已知，那么.因為，根據(jù)，可得：.把變形為.由兩角差公式可得：.把，，，代入上式得：.故選：B.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算與換底公式比較，利用中間數(shù)，分別作差比較，從而得解.【詳解】因為，，又因為，，所以，又因為，因，，故，所以，即，又，因，，故，所以，即，所以，故.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于函數(shù)和，下列結(jié)論中正確的有（）A.與有相同的零點(diǎn) B.與有相同的最大值C.與有相同的最小正周期 D.與的圖象有相同的對稱軸【答案】BC【解析】【分析】利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項，從而得解.【詳解】A選項，令，得，解得，即為零點(diǎn)，令，得，解得，即為零點(diǎn)，顯然零點(diǎn)不同，A選項錯誤；B選項，易得，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，對于，令，得，對于，令，得，所以的對稱軸為，的對稱軸為，顯然圖象的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC.10.使不等式對一切實數(shù)都成立一個充分條件是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先求出不等式對一切實數(shù)都成立時的取值范圍，然后再看各個選項是否在這個取值范圍內(nèi).【詳解】當(dāng)時，此時不等式變?yōu)?，這個不等式對于一切實數(shù)恒成立.當(dāng)時，不等式是一個二次不等式，要使其對一切實數(shù)都成立，則二次函數(shù)的圖象需開口向下，且與軸無交點(diǎn).開口向下：二次項系數(shù)，即.與軸無交點(diǎn)：判別式.此種情況，解得.綜合兩種情況不等式對一切實數(shù)都成立時的取值范圍是.分析各個選項：A選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.B選項：不滿足，所以不是不等式成立的充分條件.C選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.D選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.故選：ACD.11.已知函數(shù)定義域為，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論中一定正確的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由、，利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因為當(dāng)時，，所以，，故A正確；又因為，則，故B正確；，，，，，，，，，，，，故D正確；但沒有足夠條件判斷C的正誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)值的定義可得，再利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】因為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則，所以.故答案為：.13.已知（其中為常數(shù)）．①；②當(dāng)時，．寫出滿足條件①②的一個函數(shù)______．【答案】（答案不唯一，滿足，即可）【解析】【分析】對于①：可得；對于②：結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解得，即可得結(jié)果.【詳解】對于①：因為，即，可得；對于②：當(dāng)時，，顯然，若，可得，即，當(dāng)時，恒成立，可得，此時顯然不恒成立，不合題意；若，可得，即，則，解得；綜上所述：，例如，此時.故答案：（答案不唯一，滿足，即可）.14.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關(guān)系為P＝P0e－kt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費(fèi)的時間為________小時．【答案】10【解析】【詳解】前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t＝5時，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.當(dāng)污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花費(fèi)10小時．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方關(guān)系計算結(jié)合二倍角正弦公式即可求值；（2）求解，再求解方程組，可得，最后應(yīng)用兩角和的正切公式即可求值.【小問1詳解】因為，得，所以.【小問2詳解】因為且，所以，，因為，所以，得，解得：，，所以，所以．16.已知函數(shù)．（1）是否存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明．【答案】（1）存在，，（2）在定義域為內(nèi)單調(diào)遞減，證明見詳解【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出參數(shù)的值；（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可.【小問1詳解】存在，，理由如下：因為的定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，整理可得，解得，所以.【小問2詳解】在定義域為內(nèi)單調(diào)遞減，證明如下：因為的定義域為，對任意，，設(shè)，則，因為，則，，，可得，即，所以在定義域為內(nèi)單調(diào)遞減.17.已知函數(shù)（且）的最大值為2．（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）或（2）答案見解析【解析】【分析】（1）化簡的解析式，根據(jù)的最大值求得.（2）利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】，的最大值為，所以，若，則；若，則.綜上所述，的值為或.【小問2詳解】若，則，由，，解得，，即單調(diào)遞增區(qū)間為.若，則，由，，解得，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（2），用表示中的較小者，記為.當(dāng)時，求的解析式；（3）設(shè)，記的最小值為，求的最小值.【答案】（1）圖象見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)作出的圖象，從而得解；（2）利用（1）中的圖象，結(jié)合函數(shù)新定義即可得解；（3）先得到的解析式，再分類討論與兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到的最小值情況，再分類討論的取值情況即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，所以的圖象大致如圖，【小問2詳解】因為，，結(jié)合（1）中圖象，可知當(dāng)時，，當(dāng)或時，，所以，即.【小問3詳解】因為，所以，當(dāng)時，，則的圖象開口向上，對稱軸為，若，則在處取得最小值，若，則在處取得最小值；當(dāng)時，，則的圖象開口向上，對稱軸為，若，則在處取得最小值，若，則在處取得最小值；綜上，當(dāng)時，，又，所以，此時