13/120專題03直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定（基礎(chǔ)必考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能熟練聯(lián)立方程，準(zhǔn)確用判別式判定橢圓、拋物線與直線的位置關(guān)系，準(zhǔn)確率達(dá)100%.能力目標(biāo)：主動考慮“直線斜率不存在”“雙曲線漸近線”等特殊場景，避免漏判、誤判.題型分布：選擇題/填空題（1題，5分）+解答題第一問（鋪墊作用，3-4分），總分值8-9分.考查頻率：期末必考點，無試卷例外命題陷阱：常設(shè)“直線垂直x軸”“雙曲線與漸近線平行”的干擾項，考查細(xì)節(jié)處理能力載體偏好：橢圓（基礎(chǔ)判定）、雙曲線（特殊情況）、拋物線（斜率范圍求解）.弦長問題（高頻解答考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能根據(jù)曲線類型選擇弦長公式，代入數(shù)據(jù)準(zhǔn)確計算（計算失誤率≤5%）能力目標(biāo)：結(jié)合三角形面積公式，解決綜合計算問題.題型分布：解答題第二問（核心得分點，4-5分），少數(shù)情況出現(xiàn)在填空題考查頻率：高頻考點，90%以上試卷會涉及載體偏好：橢圓（最主要，計算量適中）、拋物線（焦點弦特例?？迹┑梅蛛y點：計算過程中忽略“先驗證”（弦長存在的前提），導(dǎo)致步驟不完整扣分.中點弦問題（中頻考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能獨立用兩種方法求解“已知中點求直線”“已知直線求中點”的基礎(chǔ)問題能力目標(biāo)：主動驗證中點弦的存在性（如判斷中點是否在橢圓內(nèi)部），避免“不存在的弦”的錯誤結(jié)論.題型分布：選擇題/填空題（1題，5分）或解答題第一問（3-4分）考查頻率：中頻，60%-70%試卷會考查.命題特點：常給出“中點坐標(biāo)”“弦過定點”等條件，直接套用方法即可求解，難度中等.易錯陷阱：雙曲線中點弦中，忽略“中點與原點連線平行于漸近線時無弦”的情況.定點/定值問題（壓軸高頻考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握“參數(shù)分離”“特殊值驗證”的核心思路，能在提示下完成證明.能力目標(biāo)：獨立分析含參數(shù)的表達(dá)式，規(guī)范書寫“設(shè)參→化簡→求解”的步驟，突破壓軸問.題型分布：解答題壓軸問（最后1問，5-6分）考查頻率：高頻，80%以上試卷以壓軸形式考查載體偏好：橢圓（最主要，性質(zhì)穩(wěn)定易化簡）、拋物線（焦點相關(guān)定值常考）難度梯度：前半步驟（設(shè)參、聯(lián)立）較基礎(chǔ)，后半步驟（化簡消參）需技巧，區(qū)分度高.最值/范圍問題（選考壓軸考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能針對單一類型問題（如長度最值），選擇一種方法求解能力目標(biāo)：根據(jù)題目條件靈活選擇最優(yōu)方法（如“面積范圍”優(yōu)先用函數(shù)法，“距離最值”優(yōu)先用幾何法），規(guī)范書寫范圍推導(dǎo)過程.題型分布：僅部分試卷（約40%-50%）的解答題壓軸問考查考查頻率：選考，非必考點載體偏好：橢圓（最主要，幾何性質(zhì)易結(jié)合）、拋物線（參數(shù)范圍問題常考）得分關(guān)鍵：明確變量的取值范圍（如橢圓上點的橫坐標(biāo)），避免函數(shù)求最值時忽略定義域.綜合應(yīng)用（輔助考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能將向量、斜率條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式（如轉(zhuǎn)化為）能力目標(biāo)：結(jié)合弦長、中點弦等考點，解決“向量條件+長度/面積”的綜合問題.題型分布：不單獨出題，作為其他考點的“附加條件”考查（如“弦長問題+向量垂直”“定點問題+斜率乘積”）考查頻率：輔助高頻，幾乎所有綜合題都會涉及命題特點：通過向量、斜率條件增加題目綜合性，但轉(zhuǎn)化難度低，核心仍在基礎(chǔ)考點載體偏好：橢圓（向量結(jié)合最頻繁）、拋物線（斜率相關(guān)較簡單）.一、考點1：位置關(guān)系的判定（基礎(chǔ)必考點）1.基礎(chǔ)知識點判定核心邏輯：通過“直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立→消去一個變量（如）→得到整式方程（一元一次/一元二次）→分析方程解的個數(shù)”判斷位置關(guān)系.三類整式方程處理：一元一次方程（如聯(lián)立后得，）：1個解→直線與曲線相交（特殊：雙曲線中可能是與漸近線平行）.一元二次方程（，）：通過判別式判斷解的個數(shù).無實數(shù)解的整式方程：直線與曲線相離.特殊場景：直線斜率不存在（垂直軸，方程為）：直接代入曲線方程，看的解是否存在及個數(shù).雙曲線（如）：直線與漸近線（）平行時，聯(lián)立得一元一次方程，僅有1個交點（仍屬相交，非相切）.2.核心概念與公式判別式公式（僅一元二次方程）：：2個不同實數(shù)解→直線與曲線相交.：1個實數(shù)解（重根）→直線與曲線相切.：無實數(shù)解→直線與曲線相離.雙曲線漸近線方程（標(biāo)準(zhǔn)式）：的漸近線為；的漸近線為.3.易錯點聯(lián)立方程后未先判斷整式方程類型（一元一次/二次），直接用判別式（如直線與雙曲線漸近線平行時，得一元一次方程，無判別式，易誤判為“無交點”或“相切”）.忽略直線斜率不存在的情況（如判斷“與橢圓的位置關(guān)系”，易漏代入直接用斜率分析，導(dǎo)致錯判）.計算判別式時符號錯誤（如展開時，誤算為，正確應(yīng)為）.4.?？冀Y(jié)論橢圓（，）與直線相交的條件：（聯(lián)立后化簡結(jié)果，可直接用）.拋物線（，）與直線相切的條件：（聯(lián)立后化簡結(jié)果）.雙曲線（）與直線有兩個交點的條件：且（排除與漸近線平行的情況）.二、考點2：弦長問題（高頻解答考點）1.基礎(chǔ)知識點弦長定義：直線與曲線相交，兩個交點間的線段長度.核心計算思路：方法1：先求兩交點坐標(biāo)、，再用距離公式（計算量大，少用）.方法2：聯(lián)立方程得一元二次方程，用韋達(dá)定理和判別式簡化計算（通用方法，必掌握）.焦點弦特殊情況：過圓錐曲線焦點的弦（如拋物線的焦點，橢圓的右焦點），有專屬簡化公式.2.核心概念與公式通用弦長公式（直線斜率為，聯(lián)立后一元二次方程，）：推導(dǎo)依據(jù)：，.公式：.若直線斜率不存在（）：弦長（代入曲線方程得的兩個解，作差取絕對值）.拋物線焦點弦公式（，）：若焦點弦端點為、，則.若焦點弦斜率為，則（垂直軸時不存在，弦長，即通徑）.韋達(dá)定理公式：，（用于計算，避免求交點）.3.易錯點計算弦長前未驗證（弦長存在的前提是直線與曲線相交，無交點則無弦長，步驟不寫會扣分）.混淆“直線斜率存在/不存在”的公式（如直線與拋物線的弦長，誤代入公式，正確應(yīng)為直接求）.拋物線焦點弦公式記錯開口方向（如（）的焦點弦長，誤用，正確應(yīng)為）.根號內(nèi)計算錯誤（如，誤算為，漏乘5到）.4.?？冀Y(jié)論橢圓（）的通徑（垂直長軸的焦點弦）長度：（?？甲疃探裹c弦）.拋物線的焦點弦性質(zhì)：，（可快速計算焦點弦長或斜率）.直線過定點與橢圓相交，弦長最大值為橢圓長軸長（當(dāng)直線過橢圓中心時）.三、考點3：中點弦問題（中頻考點）1.基礎(chǔ)知識點中點弦定義：過某點且以該點為中點的圓錐曲線的弦（如“以為中點的橢圓弦”）.兩種核心求解方法：方法1：聯(lián)立方程+韋達(dá)定理（普適性強，適用于所有曲線）步驟：設(shè)直線方程（如）→聯(lián)立曲線方程→得一元二次方程→用韋達(dá)定理→解出→得直線方程.方法2：點差法（計算量小，適用于橢圓、雙曲線、拋物線，需驗證）步驟：設(shè)弦端點、，中點→代入曲線方程→兩式相減→用，和→推導(dǎo)與的關(guān)系→得直線方程.關(guān)鍵驗證：點差法求出直線后，需聯(lián)立曲線方程驗證（避免“不存在的弦”，如中點在橢圓外時無弦）.2.核心概念與公式點差法推導(dǎo)的斜率公式（核心）：橢圓：中點弦斜率（為中點，）.雙曲線：中點弦斜率（）.拋物線：中點弦斜率（，為中點）.韋達(dá)定理與中點關(guān)系：，（為聯(lián)立后一元二次方程二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)）.3.易錯點點差法求出直線后，未驗證（如“求以為中點的橢圓的弦”，用點差法得直線，但代入橢圓無解，實際無此弦，漏驗證會錯答）.忽略中點在曲線內(nèi)部的隱含條件：橢圓中點弦：中點需滿足（在橢圓內(nèi)部），否則無弦.拋物線中點弦：中點需滿足（在拋物線內(nèi)部）.點差法中分母為0的情況（如中點，橢圓點差法斜率公式分母，此時直線垂直軸，需單獨設(shè)求解）.4.?？冀Y(jié)論橢圓中，若中點弦過原點，則弦為橢圓直徑，此時弦的斜率與端點坐標(biāo)滿足（為弦的一個端點坐標(biāo)），且弦長最大值為（長軸）.拋物線（）的中點弦：若弦過定點，則中點滿足（推導(dǎo)自點差法，可直接用于求中點軌跡方程）.雙曲線中點弦不存在的特殊情況：當(dāng)中點與原點連線的斜率（即平行于漸近線）時，無滿足條件的中點弦.四、考點4：定點/定值問題（壓軸高頻考點）1.基礎(chǔ)知識點定點定義：直線或曲線在參數(shù)（如斜率、截距）變化時，始終經(jīng)過的固定點（坐標(biāo)與參數(shù)無關(guān)）.定值定義：含變量（如交點坐標(biāo)、直線斜率）的表達(dá)式，其值始終為常數(shù)（與變量無關(guān)）.核心處理思路：定點問題：設(shè)含參數(shù)的方程（如直線，其中與存在關(guān)聯(lián)）→整理為“參數(shù)×+=0”的形式→令且，解方程組得定點坐標(biāo).定值問題：設(shè)變量（如直線斜率、交點橫坐標(biāo)）→用韋達(dá)定理或曲線方程化簡目標(biāo)表達(dá)式→消去變量，證明結(jié)果為常數(shù).常用輔助技巧：特殊值法（先取2個特殊參數(shù)值，求對應(yīng)直線/曲線的交點，即為疑似定點；定值可先算特殊情況的值，再證明一般情況）.2.核心概念與公式參數(shù)分離通用形式（以直線含參數(shù)為例）：若直線方程整理為，則定點滿足.示例：直線可整理為，定點為.定值化簡常用公式：韋達(dá)定理：，（聯(lián)立后一元二次方程）.橢圓/拋物線方程代入：如橢圓上點滿足，可用于替換化簡.向量相關(guān)定值轉(zhuǎn)化：若涉及（為原點），則，可結(jié)合韋達(dá)定理化簡為定值.3.易錯點參數(shù)分離不徹底（如直線，誤整理為，未消去分母，正確應(yīng)為，再按和分離參數(shù)）.特殊值法僅取1個特殊情況（如僅取求直線，無法確定定點，需取和，求兩直線交點）.定值化簡時忽略曲線方程代入（如橢圓中未用替換，導(dǎo)致無法消去變量）.忘記驗證“一般情況”（特殊值法求出定點/定值后，需證明對任意參數(shù)/變量均成立，否則步驟不完整）.4.?？冀Y(jié)論橢圓中，過定點的直線與橢圓交于兩點，若（定點在橢圓上），則直線恒過定點（即定點本身）.拋物線（）的焦點弦：（定值，與焦點弦斜率無關(guān)）.橢圓中，若在橢圓上且（為原點），則原點到直線的距離（定值）.五、考點5：最值/范圍問題（選考壓軸考點）1.基礎(chǔ)知識點常見類型：長度最值：橢圓/雙曲線上一點到定直線的距離最值、過定點的直線與曲線相交的弦長最值.面積范圍：以曲線弦為底、定點為頂點的三角形面積范圍（如，為原點）、曲線內(nèi)接四邊形面積范圍.參數(shù)范圍：直線斜率/截距的取值范圍（如直線與曲線有交點時）、曲線交點橫/縱坐標(biāo)的范圍.核心求解方法：函數(shù)法：設(shè)變量（如點的橫坐標(biāo)、直線斜率）→將目標(biāo)量（如距離、面積）表示為變量的函數(shù)→求函數(shù)在定義域內(nèi)的最值/范圍.不等式法：用基本不等式（，）或二次不等式（判別式）求范圍.幾何法：數(shù)形結(jié)合，利用曲線幾何性質(zhì)（如橢圓的范圍、）或圓的半徑/距離性質(zhì).2.核心概念與公式長度最值相關(guān)公式：點到直線的距離：（橢圓上點到定直線的距離最值，可設(shè)點坐標(biāo)為橢圓參數(shù)形式，，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值）.弦長公式：（弦長最值可結(jié)合判別式或函數(shù)單調(diào)性求解）.面積范圍相關(guān)公式：三角形面積：（底為弦長，高為定點到直線的距離）.（，）面積：（避免求距離，直接用坐標(biāo)計算）.函數(shù)最值公式：二次函數(shù)（）在上的最值：若對稱軸，則最值在頂點或端點；若對稱軸不在區(qū)間內(nèi)，最值在端點.3.易錯點函數(shù)法中忽略變量定義域（如橢圓上點的橫坐標(biāo)，求二次函數(shù)的最值時，誤按全體實數(shù)求頂點最值，未結(jié)合的范圍）.基本不等式應(yīng)用不滿足“三相等”條件（如求的最大值，誤直接用，但未驗證即是否在定義域內(nèi)）.幾何法中誤解最值的幾何意義（如橢圓上點到定點的距離最值，誤認(rèn)為是定點到橢圓中心的距離加減半徑，正確應(yīng)為結(jié)合橢圓參數(shù)方程或函數(shù)法求解）.面積范圍計算時漏乘系數(shù)（如面積公式誤寫為，遺漏）.4.常考結(jié)論橢圓上一點到定直線的最短距離：（當(dāng)直線與橢圓相離時，若相交則最短距離為0）.過橢圓中心的弦（直徑）為底時，橢圓內(nèi)接三角形面積最大值：（高最大為短半軸或長半軸，取決于底的方向）.拋物線（）上一點到定點的距離最小值：當(dāng)時，最小值為；當(dāng)時，最小值為.六、考點6：綜合應(yīng)用（輔助考點）1.基礎(chǔ)知識點向量與圓錐曲線結(jié)合：通過向量條件（垂直、共線、數(shù)量積定值）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，結(jié)合弦長、中點弦等考點求解.斜率與圓錐曲線結(jié)合：利用斜率乘積/和為定值的條件，推導(dǎo)直線過定點或弦的性質(zhì).核心轉(zhuǎn)化邏輯：將幾何條件（向量、斜率）轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式→聯(lián)立曲線方程→用韋達(dá)定理或基礎(chǔ)考點方法（如弦長、中點弦）求解.2.核心概念與公式向量條件轉(zhuǎn)化公式：向量垂直：.向量共線：（為實數(shù)）且.向量數(shù)量積定值：（為常數(shù)）.斜率相關(guān)轉(zhuǎn)化公式：斜率乘積定值：（為常數(shù)）.斜率和定值：（為常數(shù)）.3.易錯點向量垂直轉(zhuǎn)化錯誤（如誤寫為，正確應(yīng)為）.斜率計算忽略“分母為0”的情況（如時，不存在，需單獨討論在軸上的情況）.綜合題中思路混亂（未拆解考點，如“向量垂直+弦長”問題，應(yīng)先轉(zhuǎn)化向量條件得，再結(jié)合韋達(dá)定理求弦長，分步求解）.代入曲線方程時符號錯誤（如雙曲線方程，代入點坐標(biāo)時誤寫為，導(dǎo)致后續(xù)計算全錯）.4.常考結(jié)論橢圓中，若（為原點），則弦長的最小值為，最大值為（長軸）.拋物線（）中，若直線過定點且，則（定點為拋物線的準(zhǔn)線與軸交點的對稱點）.雙曲線中，若（漸近線斜率平方），則直線恒過原點.題型一直接判定直線與曲線的位置關(guān)系（選擇/填空/解答第一問，基礎(chǔ)必考）解｜題｜技｜巧1.聯(lián)立方程：設(shè)直線方程（如，若斜率可能不存在，需單獨討論）與圓錐曲線方程，消去（或）得整式方程（或）.2.判斷方程類型：若為一元一次方程（二次項系數(shù)為0）：→有1個解→相交（雙曲線中需注明“與漸近線平行”）.若為一元二次方程（二次項系數(shù)）：→計算判別式（為方程的系數(shù)）.3.下結(jié)論：→相交；→相切；→相離.4.特殊情況補充：若直線斜率不存在（如），直接代入曲線方程得的解，解的個數(shù)對應(yīng)位置關(guān)系.【典例1】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點為圓上任意一點，線段的垂直平分線交半徑于點，當(dāng)點在圓上運動時，記點的軌跡為.(1)求的方程；(2)若點，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；【詳解】（1）圓心，半徑，線段的垂直平分線交半徑于點點的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為（2）直線過，斜率為，直線，聯(lián)立，可得，即，只有一個解，直線與橢圓相切.【典例2】（24-25高二下·上海浦東新·期中）已知雙曲線.(1)若雙曲線的離心率為，求的值；(2)若直線與圓相切，證明：直線與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.【詳解】（1）由題意可得，因為，解得.（2）因為直線與圓相切，所以，可得，聯(lián)立得，即，則，所以方程有兩個不等的實根，設(shè)這兩個實根分別為、，則，因此，直線與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.【變式1】（24-25高二上·內(nèi)蒙古興安盟·月考）已知拋物線的焦點為F，過F的直線與C交于兩點，．(1)求的值；(2)求直線與C的公共點個數(shù).【詳解】（1）易知直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，，所以．（2）直線的斜率為，所以直線的方程為，即，與聯(lián)立得，解得，所以直線與C只有1個公共點A．【變式2】（2024·上海閔行·一模）已知圓，雙曲線，直線，其中．(1)當(dāng)時，求雙曲線的離心率；(2)若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個公共點；【詳解】（1）由題意，，所以，，因此，雙曲線的離心率.（2）由直線與圓相切，得，即，聯(lián)立得，即，該一元二次方程的判別式，因此有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根之積為，因此兩根一正一負(fù)，即與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.【變式3】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為.(1)求的方程；(2)已知點，證明：線段的垂直平分線與橢圓恰有一個公共點；【詳解】（1）因為橢圓左、右焦點分別為，所以，又因為橢圓的離心率為，得，∴，所以橢圓方程為.（2）如圖：

由得直線的斜率為，中點坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，聯(lián)立垂直平分線方程和橢圓方程，得，∵，∴所以直線與橢圓相切，且，即線段的垂直平分線與恰有一個公共點.題型二求直線與曲線有交點時參數(shù)（斜率/截距）的范圍（解答第一問，基礎(chǔ)必考）答｜題｜模｜板1.設(shè)參數(shù)：設(shè)直線參數(shù)（如斜率、截距），寫出直線方程（斜率不存在時單獨討論）.2.聯(lián)立消元：聯(lián)立直線與曲線方程，得一元二次方程（，否則無兩個交點）.3.列不等式：由“有交點”得（相交2個點用，相切1個點用），代入整理不等式.4.求解范圍：解不等式得參數(shù)范圍，若有特殊情況（如雙曲線需排除與漸近線平行的斜率），補充排除條件.5.綜上：寫出參數(shù)的最終取值范圍.【典例1】（25-26高二上·北京順義·期中）已知橢圓（）長軸長為4，且橢圓C的離心率，其左右焦點分別為，.直線.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)直線l與橢圓C有兩個公共點時，求m的取值范圍；【詳解】（1）由題設(shè)，則，故橢圓；（2）聯(lián)立，則，即，由直線l與橢圓C有兩個公共點，則，得.【典例2】（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線，的斜率分別為，且．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點（異于A，B）．（i）求m的取值范圍；【詳解】（1）

由題意可知，因為，所以.設(shè)，則，所以，又，所以.所以雙曲線C的方程為.（2）（i）由題意知直線l的方程為.聯(lián)立，化簡得，因為直線l與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：，解得或；

【變式1】（25-26高二上·江蘇揚州·期中）已知雙曲線左、右頂點分別為、，過點的直線交雙曲線于、兩點.(1)若離心率時，求的值；(2)若，過點且斜率為的直線與雙曲線只有一個交點，求的值；【詳解】（1）由題意可得，故.（2）當(dāng)時，雙曲線的方程為，由題意可知，直線的方程為，聯(lián)立可得（*），當(dāng)時，即當(dāng)時，方程（*）即為，該方程只有一個解，合乎題意；當(dāng)時，即當(dāng)時，則，解得.綜上所述，或.【變式2】（25-26高二上·江蘇揚州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的兩個焦點分別是，，并且經(jīng)過點.(1)求橢圓的離心率；(2)直線：與橢圓交于不同的兩點.（ⅰ）求的取值范圍；【詳解】（1）因為橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.依題意可得，又，所以，則.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的離心率（2）（?。┰O(shè)，.聯(lián)立，整理得.由，解得或.即的取值范圍為.【變式3】（25-26高二上·江蘇無錫·期中）已知圓C1：，圓C2：，動圓M與圓C2外切，同時與圓C1內(nèi)切，(1)求動圓圓心M的軌跡方程C；(2)若直線l：與C有且只有一個公共點，求m的值.【詳解】（1）如圖：

設(shè)圓的半徑為，因為圓與圓內(nèi)切，與圓外切，由已知，圓心，半徑為5，圓心，半徑為1，所以，兩式相加得：.所以點軌跡是以、為焦點的橢圓，且，，所以.所以圓心的軌跡方程為.（2）將代入，得：，整理得：.因為直線與C有且只有一個公共點，所以，即，即，解得或.題型三求通用弦長（直線與橢圓/雙曲線/拋物線相交的弦長，解答第二問，高頻）答｜題｜模｜板1.前置判定：先聯(lián)立直線與曲線方程，驗證（確保弦存在，步驟必寫，避免扣分）.2.用韋達(dá)定理：設(shè)弦端點、，由一元二次方程得：，，計算.3.代弦長公式：若直線斜率存在：.若直線斜率不存在（）：（代入曲線方程得，作差取絕對值）.4.計算結(jié)果：代入數(shù)據(jù)化簡，得弦長具體數(shù)值或含參數(shù)的表達(dá)式.【典例1】（25-26高二上·江蘇南通·期中）已知點，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是，記點的軌跡方程為曲線．(1)求曲線的方程；(2)直線與曲線交于，兩點，求線段的長．【詳解】（1）設(shè)點，則直線的斜率為，直線的斜率為，根據(jù)題意有：，化簡得，由于時斜率不存在，故曲線的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，消去并整理得，，所以，，直線斜率為1，弦長公式為，因此【典例2】（25-26高二上·江蘇連云港·期中）已知雙曲線C：.(1)若直線l：與雙曲線C有且僅有一個公共點，求k的值；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A，B兩點，求.【詳解】（1）聯(lián)立方程組，消去，得到，整理得到，當(dāng)時，即時，，滿足直線l：與雙曲線C有且僅有一個公共點；當(dāng)時，即時，則，即，解得，綜上可知，直線l：與雙曲線C有且僅有一個公共點，或；（2）聯(lián)立方程組，消去，得到，整理得到，直線l：與雙曲線C相交于A，B兩點，設(shè)，則，.【變式1】（25-26高二上·湖南·期中）已知為坐標(biāo)原點，拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)若經(jīng)過點的直線與拋物線交于點，，且，求．【詳解】（1）由點在拋物線上，得，由，可得，得，所以拋物線的方程；（2）當(dāng)斜率不存在時，方程為：，此時，則，，不符合題意，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程消去可得：，設(shè)，又，則，代入，可得：代入得：化簡可得：，即或，當(dāng)時，直線方程為，過坐標(biāo)原點，不符合題意舍去，當(dāng)，直線方程為，所以由弦長公式得：【變式2】（25-26高二上·上海松江·期中）已知雙曲線的離心率為為上一點．(1)求的方程；(2)過的右焦點且傾斜角為的直線交于兩點，為坐標(biāo)原點，求的長度.【詳解】（1）由題得:，解得，所以雙曲線的方程為：.（2）設(shè)，如圖所示：由題得直線的方程為，聯(lián)立得：，整理得：，所以，所以所以.【變式3】（25-26高二上·天津·期中）已知橢圓：的焦距為2，離心率為.(1)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出橢圓的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍、頂點坐標(biāo)、長軸與短軸的長度.(2)經(jīng)過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于，兩點，求線段的長；【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，，解得：，，，則橢圓的方程為：，橢圓的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍分別為，頂點坐標(biāo)分別為、長軸與短軸的長度分別為；（2）過橢圓的左焦點，傾斜角為的直線的方程為，由可得，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，可得，，則，所以線段的長為.題型四求拋物線焦點弦長（解答第二問，高頻，結(jié)合焦點性質(zhì)）答｜題｜模｜板1.確定拋物線與焦點：明確拋物線方程（如，焦點），判斷直線是否過焦點.2.選公式：已知端點坐標(biāo)：用（或，若拋物線開口向上/向下）.已知直線斜率：用（垂直軸時不存在，弦長）.3.補全計算：若未知或，聯(lián)立焦點弦方程與拋物線方程，用韋達(dá)定理求，再代入公式.4.得結(jié)果：化簡計算，寫出焦點弦長.【典例1】（25-26高二上·河北邯鄲·期中）已知焦點為的拋物線上的動點到直線距離的最小值為.(1)求的值；(2)過焦點的直線與交于兩點，若，試說明直線與的位置關(guān)系.【詳解】（1）解法一：設(shè)，∴點到的距離，即，當(dāng)時，的最小值為0，不符合題意；當(dāng)，即時，顯然時取得最小值，為，由，得.解法二：當(dāng)點到的距離最小時，點為與平行的的切線的切點，設(shè)該切線方程為，，解得或，當(dāng)時，在上方，不合題意，，將中，整理得，由解得或（舍）.（2）由（1）得，拋物線.設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，不滿足題意，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，代入中整理得，，則，解得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，.【典例2】（25-26高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點．(1)求拋物線C的方程；(2)求的最小值．【詳解】（1），，．（2）由于直線與拋物線交于A，B兩點，則直線不與x軸平行，設(shè)直線：，設(shè)，，則，，所以，聯(lián)立得，，則，，代入可得，所以最小值為，此時．【變式1】（24-25高二下·四川達(dá)州·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過的直線與交于，兩點.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的傾斜角為45°，求.【詳解】（1）由拋物線的性質(zhì)，，故拋物線.（2）由直線的傾斜角為45°，則斜率為1，直線方程為，設(shè)，聯(lián)立，,故.【變式2】（24-25高二上·貴州貴陽·期末）已知拋物線的焦點為，點是上的一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)過拋物線的焦點作直線，與拋物線交于兩點，若，求直線的傾斜角.【詳解】（1）由題意得，由拋物線的定義得，解得，將代入拋物線，得到，且，所以(負(fù)根舍去)，故拋物線的方程為.（2）由（1）知，當(dāng)直線斜率不存在時（不合題意），如圖，故設(shè)，聯(lián)立，化簡得，則又，得，則，所以直線的傾斜角為或.題型五已知直線求弦的中點坐標(biāo)（選擇/填空，中頻）答｜題｜模｜板1.設(shè)直線方程：已知直線斜率或截距，寫出直線方程（如）.2.聯(lián)立消元：聯(lián)立直線與曲線方程，得一元二次方程，驗證.3.用韋達(dá)定理求中點橫坐標(biāo)：.4.求中點縱坐標(biāo)：將代入直線方程，得.5.寫中點：最終中點坐標(biāo)為.【典例1】（24-25高二下·河南·期末）設(shè)橢圓過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，求線段中點的坐標(biāo)．【詳解】（1）因橢圓過點，則有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）依題意，直線的方程為：，由消去y并整理得：，顯然，設(shè)，則，因此線段中點的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)，所以線段中點的坐標(biāo)為.

【典例2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過點，離心率為．(1)求的方程．(2)已知的左、右焦點分別為、，直線與相交于、兩點，若的斜率為，求線段的中點的軌跡方程．【詳解】（1）由題意可得，解得，故雙曲線的方程為．（2）設(shè)點、，設(shè)點，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，可得，則，即點的軌跡方程為．【變式1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）求直線被拋物線截得線段的中點坐標(biāo)．【詳解】解法一：設(shè)直線與拋物線交于，中點為，由題意得消去得，即，所以，即中點坐標(biāo)為．解法二：設(shè)直線與拋物線交于，中點為，由題意得兩式相減得，所以，所以，即，即中點坐標(biāo)為．解法三：設(shè)中點坐標(biāo)為，由結(jié)論易得：．由題目已知，，所以有，代入直線中，求得，即中點坐標(biāo)為．【變式2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點且離心率為，設(shè)直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的斜率為1，求線段中點的軌跡方程；【詳解】（1）由題可得：，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）因為直線的斜率為1，所以可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，化簡得，則，解得：，所以，設(shè)弦中點，則，消去，得，而，所以點的軌跡方程為.【變式3】（24-25高三下·福建福州·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線經(jīng)過點，左、右焦點分別為.(1)求的離心率；(2)一組平行于的直線與相交，證明這些直線被截得的線段的中點在同一條直線上.【詳解】（1）解法一：依題意，得解得，所以的離心率.解法二：因為兩焦點分別為，所以，，即，所以的離心率.（2）解法一：由（1）知的方程為.直線的斜率，設(shè)平行于的一組直線方程為，與交于點，線段的中點為.由得，即，，所以，因為，所以，即這些直線被截得的線段的中點在同一條直線上.解法二：由（1）知的方程為.直線的斜率，設(shè)平行于的一組直線與交于點，線段的中點為.由兩式相減得：，顯然，所以，所以，即，即這些直線被截得的線段的中點在同一條直線上.

題型六已知中點求弦所在直線方程（解答第一問，中頻）答｜題｜模｜板1.設(shè)點：設(shè)弦端點、，中點（已知條件給出）.2.代入曲線：將代入圓錐曲線方程，得兩個等式：橢圓：，；拋物線：，.3.作差推導(dǎo)斜率：兩式相減，整理得：橢圓：，代入，，，得（橢圓）；拋物線：（拋物線）.4.寫直線方程：用點斜式，整理為一般式.5.驗證：聯(lián)立直線與曲線方程，計算，確認(rèn)弦存在（若，說明無此弦）.【典例1】（25-26高二上·陜西西安·期中）已知是曲線上的動點，且動點與定點的距離和到直線的距離的比是常數(shù)．(1)求曲線的軌跡方程；(2)若過點的直線和曲線相交于，兩點，且為線段的中點，求直線的方程．【詳解】（1）因為動點與定點的距離和到直線的距離的比是常數(shù)，則，整理可得，所以曲線的軌跡方程為.（2）由題意點在橢圓內(nèi)，且直線l的斜率存在且不為0，設(shè)點、，因為為線段的中點，所以，所以直線的方程為即.【典例2】（25-26高三上·陜西漢中·開學(xué)考試）已知雙曲線的實軸長為，離心率為.直線與雙曲線相交于兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)若的中點為，求直線的方程．【詳解】（1）根據(jù)題意，雙曲線的實軸長為，離心率為，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，雙曲線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，化簡得，則，且，，由為的中點，得，解得，，且滿足，所以直線的方程為.【變式1】（25-26高二上·江蘇泰州·期中）已知圓的圓心是拋物線的焦點.(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于，兩點，且點是弦的中點，求直線的方程.【詳解】（1）圓的方程可化為，故圓心的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線的方程為，所以，所以，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，則，兩式相減，得，即，所以直線的斜率.因為點是弦的中點，所以，所以，所以直線的方程為，即.

【變式2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于點，且點是線段的中點?若存在這樣的直線，求出它的方程;若不存在，說明理由.【詳解】設(shè)存在被點平分的弦，且，則，兩式相減，得.又點為弦的中點，∴，，.∴直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，得，此時，所以直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線.【變式3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）為橢圓內(nèi)一定點，過點作一弦，使此弦被點平分，求此弦所在直線的方程．【詳解】解法1如圖，設(shè)所求直線方程為．由方程組消去，得．由題可得判別式大于0.設(shè)弦的兩端點為，由韋達(dá)定理．又是弦的中點，所以，所以，解得．所以弦所在的直線方程是，即．解法2設(shè)弦的兩端點為，弦所在直線的斜率為，則，兩式相減整理得：.由題，則，又直線過點，則弦所在的直線方程為，即．題型七求直線斜率的取值范圍答｜題｜模｜板1.設(shè)直線方程：設(shè)直線為（已知或與有關(guān)）.2.聯(lián)立消元：聯(lián)立直線與曲線方程，得一元二次方程（）.3.列不等式：由“直線與曲線有交點”（或題目條件，如“弦長≥2”）得（或?qū)?yīng)不等式），代入，整理為關(guān)于的不等式.4.解不等式：求解一元二次不等式（或分式不等式），得的取值范圍.5.補充特殊情況：若直線斜率不存在時符合條件，需加入范圍【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓E的焦點在x軸上，離心率為，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的方程．(2)直線與橢圓E相交于A，B兩點，O為原點，在OA，OB上分別存在異于點的點M，N，使得點O在以MN為直徑的圓外，求直線斜率k的取值范圍．【詳解】（1）依題意，可設(shè)概圓E的方程為．由，，∵橢圓經(jīng)過點，∴，解得，則，．∴橢圓E的方程為．（2）聯(lián)立方程組消去y整理，得，∵直線與橢圓E有兩個交點，∴，解得．①∵原點O在以MN為直徑的圓外，∴為銳角，即．而點M，N分別在OA，OB上且異于O點，即．設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為，，則，∴，化簡得，解得，②綜合①②可知.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)原點O在以MN為直徑的圓外，得為銳角，轉(zhuǎn)化為，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計算能力，屬于較難題.【典例2】（24-25高二上·江西·期中）已知雙曲線的離心率為，點的坐標(biāo)是，為坐標(biāo)原點．(1)若雙曲線的離心率，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)過點的直線與雙曲線的左支交于，兩個不同的點，求該直線斜率的取值范圍．【詳解】（1）由雙曲線方程可知，，，，，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是；（2）由（1）可知，，解得，所以雙曲線方程為，設(shè)，，過點的直線方程為，由，消去整理得，，，由，，，解得，所以該直線斜率的取值范圍是．【變式1】（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知雙曲線的焦點在軸上，其漸近線方程為，實軸長為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與雙曲線的左、右支各交于一點，求該直線斜率的取值范圍.【詳解】（1）由題意雙曲線的焦點在軸上，其漸近線方程為，實軸長為2，可設(shè)雙曲線方程為，且，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知過點的直線與雙曲線的左、右支各交于一點，故該直線斜率一定存在，且不和雙曲線漸近線平行，故設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得，需滿足，解得，即該直線斜率的取值范圍為.【變式2】（2025·福建廈門·三模）焦點在軸上的等軸雙曲線，其頂點到漸近線的距離為，直線過點與雙曲線的左、右支分別交于點、.(1)求雙曲線的方程；(2)若線段的中垂線與軸交于點，求直線的斜率；(3)若點關(guān)于原點的對稱點在第三象限，且，求直線斜率的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)等軸雙曲線的方程為，其漸近線方程為，故，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意，過點的直線斜率存在且不為，可設(shè)其方程為，設(shè)、，聯(lián)立，整理得，由題意可得，解得，由韋達(dá)定理得：，，所以或，設(shè)線段的中點為，則，，即點，，，因為，所以，解得，經(jīng)驗證均滿足題意，所以直線的斜率為.（3）點在第三象限，如圖所示，故直線的斜率是正數(shù)，由，得，所以，則，則，由，得，所以，則，又因為直線交兩支兩點，故直線的斜率，所以.【變式3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，為雙曲線：的左、右焦點，在拋物線的準(zhǔn)線上，且點在的一條漸近線上．(1)求的方程；(2)過點的直線與的右支交于，兩點，若，求直線斜率的取值范圍．【詳解】（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程為，得，又在的漸近線上，則，即，又，解得，所以的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去得，令，解得，又與的右支交于兩點，則，，聯(lián)立解得，故，又，所以，又，，則，整理得，將，代入，得，解得，綜上可知，的取值范圍是．題型八求橢圓/雙曲線/拋物線上一點到定直線的距離最值（解答壓軸問，選考）答｜題｜模｜板1.設(shè)參數(shù)坐標(biāo)：用橢圓參數(shù)方程設(shè)點，如橢圓上一點為（為參數(shù)）.2.寫距離公式：代入點到直線距離公式，得： .3.化簡三角函數(shù)：將分子整理為（其中，為輔助角）.4.求最值：利用，得：最大值：；最小值：（若直線與橢圓相離，最小值為）.【典例1】（25-26高二上·重慶·月考）已知橢圓，直線，則橢圓C上的點P到直線l的距離的最小值為．【詳解】方法一：設(shè)，即，與橢圓C的方程聯(lián)立，得．，∴，當(dāng)時，點P到直線l的距離為，即橢圓C上的點P到直線l的距離的最小值為．方法二：設(shè)，由點到直線距離公式∵，∴∴，∴．故答案為：.【典例2】（25-26高三上·貴州貴陽·期中）若點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，則的最小值為.【詳解】不妨設(shè)點，則點到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.【變式1】（24-25高二下·浙江·月考）若動點P在直線上，動點Q在曲線上，則的最小值為．【詳解】設(shè)為曲線上一點，則，則到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)令，取等號，所以的最小值為.故答案為：.【變式2】（24-25高二上·貴州黔西·期末）已知拋物線與直線，點為拋物線上一動點，則當(dāng)點到直線的距離最小時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【詳解】不妨設(shè)點，其中，則點到直線的距離為，故當(dāng)時，取最小值，此時點的坐標(biāo)為.故選：C.【變式3】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓，為上的一動點，則點到直線距離的最大值為（

）A． B． C．2 D．【詳解】橢圓，即，又為上的一動點，設(shè)，則點到直線距離，又，所以當(dāng)時有最大值，即點到直線距離的最大值為．故選：D．題型九求的面積范圍（解答壓軸問）答｜題｜模｜板1.設(shè)直線方程：設(shè)直線為（斜率不存在時單獨討論），聯(lián)立與曲線方程，驗證.2.求弦長與高：弦長；原點到直線的距離.3.寫面積表達(dá)式：.4.轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)：利用聯(lián)立方程中與的關(guān)系（如橢圓中），消去一個變量（如），得關(guān)于的函數(shù).5.求范圍：根據(jù)變量定義域（如），結(jié)合二次函數(shù)或基本不等式求的取值范圍.【典例1】（25-26高二上·陜西渭南·期中）已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過橢圓頂點的動直線與橢圓交于A、B兩點，求（為原點）面積的最大值.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，得，解得，由橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為4，得，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，，由消去得，，，，原點到直線的距離，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，符合題意；當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)其方程為，由，得，，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為1.

【典例2】（2025·山東濟(jì)南·一模）已知雙曲線的離心率為，點為坐標(biāo)原點，過的右焦點的直線交的右支于兩點，當(dāng)軸時，.(1)求的方程；(2)過點作直線的垂線，垂足為.①證明：直線過定點；②求面積的最小值.【詳解】（1）由題可知，則，由軸時，，可令，代入雙曲線得，解得，則所求方程為；（2）①證明：設(shè)，則，由斜率不為0，可設(shè)，聯(lián)立雙曲線并整理得，則，，所以，由，直線，根據(jù)雙曲線的對稱性，直線所過定點必在軸上，令，則，解得，因為，所以，而，所以，則，所以過定點；②，由①得，解得，令，則，因為，所以，則，當(dāng)時取等號，所以的最小值為.【變式1】（24-25高二下·廣東深圳·期末）已知雙曲線經(jīng)過，，三個點中的兩個，若為原點，點在上，點在直線上，且.(1)求的漸近線方程：(2)求面積S的最小值：(3)證明：直線與定圓相切，并求出該定圓的方程.【詳解】（1）由題意，雙曲線的焦點在軸上，不可能經(jīng)過點，將，代入得：，解得，，的漸近線方程為；（2）設(shè)，，則，由于，則，顯然，可得，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，的最小值為16；（3）顯然，直線，即，其中，，即，，故點到直線的距離為，存在定圓與直線相切.【變式2】（2024·甘肅張掖·一模）已知曲線上任意一點滿足．(1)化簡曲線的方程；(2)已知圓（為坐標(biāo)原點），直線經(jīng)過點且與圓相切，過點作直線的垂線，交于、兩點，求面積的最小值．【詳解】（1）記點、，則，所以，點的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線的方程為，則，，可得，，所以，，因此，曲線的方程為.（2）由圖可知，直線的斜率存在且不為.設(shè)、，直線的方程為，

則直線的方程為，即．因為直線與圓相切，所以，則．由消去，化簡得．由題意，且（因為），，所以或，又原點到直線的距離為，所以．由或得，設(shè)，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，且，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，．所以當(dāng)，即時，.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【變式3】（25-26高二上·廣西柳州·期中）已知橢圓離心率為，過點．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓右焦點作直線交橢圓于、兩個不同的點，記的面積為S，求S的最大值及取得最大值時直線的方程．【詳解】（1）由題意離心率，所以，又在橢圓C上，所以，與上式聯(lián)立，解得，則橢圓的方程為.（2）由（1）得，則，所以.如圖：當(dāng)直線l垂直x軸時，方程，代入橢圓C的方程可得，所以，所以；當(dāng)直線l不垂直x軸時，設(shè)斜率為（時，），則方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，則，令，則，所以則，因為，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，綜上，的最大面積，此時直線l的方程為.題型十證明表達(dá)式為定值（解答壓軸問，高頻）答｜題｜模｜板1.設(shè)變量：設(shè)目標(biāo)表達(dá)式中的變量（如直線斜率、交點坐標(biāo)），寫出目標(biāo)表達(dá)式（如）.2.聯(lián)立消元：聯(lián)立直線與曲線方程，得一元二次方程，用韋達(dá)定理得，.3.化簡目標(biāo)表達(dá)式：將、（或曲線方程）代入目標(biāo)表達(dá)式，如：.4.消去變量：展開并代入韋達(dá)定理結(jié)果，化簡后消去、等變量，得到常數(shù)（如）.5.下結(jié)論：說明表達(dá)式的值與變量無關(guān)，即為定值.【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓過，直線交橢圓于，兩點，且為線段中點，設(shè)直線和直線（為坐標(biāo)原點）的斜率分別為和．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線和直線的斜率分別為和都存在時，證明：為定值；(3)若關(guān)于的對稱點在橢圓上，證明：的面積為定值．【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：過；（2）設(shè)，則，，則，兩式作差可得，所以；（3）①當(dāng)直線斜率不存在時，則直線的方程為，根據(jù)對稱性，取直線的方程為，則，解得，即，此時；②當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，同理可得；③當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，因為所以，在橢圓上，所以，即，設(shè)到直線的距離為，則，，所以.【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知橢圓的離心率為，上?下頂點分別為，且.（1）求的方程.（2）是橢圓的左頂點，是上除頂點外的任意一點，直線與交于點，直線與軸交于點，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.（i）求點的坐標(biāo)（用表示）；（ii）證明：為定值.【詳解】（1）由題意得，，，，得，則的方程為；（2）（i），直線，聯(lián)立，得，得或，則，代入中得，，故；（ii）因，則由（i）可得，，則直線的方程為，則，因，則直線，聯(lián)立，得，即，則，則.【變式1】（25-26高二上·江蘇揚州·期中）已知雙曲線過點，且右焦點為，直線與雙曲線的右支交于兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程；(3)若直線過，交軸于點，且，求證：為定值.【詳解】（1）由題意可得：.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，，則，兩式相減得：，又線段的中點為，所以，所以，即直線的斜率為1.所以直線的方程為：即.直線過點，故直線與雙曲線相交，滿足條件；（3）如圖：因為直線過點，且與軸相交，所以直線必存在斜率.設(shè)直線方程為：，代入雙曲線方程得.整理得：（）.設(shè)，，則，.又，，所以，為定值.【變式2】（25-26高二上·江蘇宿遷·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，且點在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)點為雙曲線的左右頂點，為雙曲線上異于的點，求的值；(3)點在雙曲線上，且為垂足，證明：存在定點，使得為定值.【詳解】（1）由，因為在雙曲線上，所以有；（2）由題意可知，設(shè)，則有，所以；（3）因為，所以直線的斜率存在，因此設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，且，，或，當(dāng)時，，直線過點，不符合題意；當(dāng)時，，因為，所以是直角三角形，且，當(dāng)定點為斜邊中點時，，即存在定點，使得為定值.【變式3】（25-26高二上·河北邯鄲·期中）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點，為雙曲線的左、右頂點，直線與雙曲線交于，兩點，直線，分別與直線交于，兩點.（i）當(dāng)時，求；（ii）求點與點的縱坐標(biāo)的比值.【詳解】（1）由雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，有，可得，

又由點在雙曲線上，有,代入,有,可得,,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為,

聯(lián)立方程,消去后整理為,則，即，可得,.（i）當(dāng)時，有,,

可得,故.（ii）由,,可得直線的方程為,代入,可得點的縱坐標(biāo).同理可得直線的方程為,點的縱坐標(biāo)為,又由,有,則.故點與點的縱坐標(biāo)的比值為.題型十一證明直線/曲線過定點（解答壓軸問，高頻）答｜題｜模｜板1.設(shè)含參方程：設(shè)直線方程（如，其中與有關(guān)聯(lián)，或設(shè)參數(shù)的直線方程）.2.聯(lián)立化簡：聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達(dá)定理或曲線性質(zhì)，推導(dǎo)與的關(guān)系（如）.3.參數(shù)分離：將直線方程整理為“參數(shù)×表達(dá)式1+表達(dá)式2=0”，如整理為.4.求定點：令兩個表達(dá)式均為0，解方程組：，得定點.5.驗證：取2個特殊參數(shù)值（如、），求對應(yīng)直線的交點（如時直線為，時直線為，交點為），與步驟4求得的定點一致，證明直線恒過該定點.【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，不過點的直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若弦的中點的縱坐標(biāo)為，求面積的最大值；(3)若，求證：直線過定點.【詳解】（1）由題意得：，解得，橢圓方程為：（2）因為弦的中點的縱坐標(biāo)為，所以直線斜率存在.設(shè)直線，代入，可得，設(shè)，，則，，因為弦的中點的縱坐標(biāo)為，所以，即，，O到直線MN的距離，，由，，可得，當(dāng)即時，取得最大值.（3），，即，，，代入（*）式，得，即，化簡得，即

，或，當(dāng)時，則直線，此時直線過點，不合題意舍去，當(dāng)時，則直線，此時直線過定點，當(dāng)直線斜率不存在時，直線交橢圓于，，此時，顯然成立.直線過定點.【典例2】（25-26高二上·河南·期中）已知雙曲線經(jīng)過兩點，其左?右焦點分別為，過點的直線與的右支交于兩點.(1)求的方程；(2)若的周長為，求直線的方程；(3)記點，直線與的左支分別交于點，證明：直線過定點.【詳解】（1）由雙曲線經(jīng)過點兩點，得，解得，故的方程為．（2）因為,均在的右支上，且的周長為，所以．由雙曲線的定義，知，所以．由（1）知，顯然直線的斜率不為0，則設(shè)直線，代入整理得．由題知，設(shè)，則．因為,均在的右支上，所以，所以，所以，解得，所以直線的方程為或．（3）由題意得直線的方程為．代入，得．設(shè)，則，所以，則，所以．同理得．當(dāng)時，，所以，所以直線的方程為，即．所以直線過定點．當(dāng)時，的方程為，易求．所以過定點．綜上，直線過定點．

【變式1】（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知拋物線，斜率為的直線交于兩點，且線段中點縱坐標(biāo)為4．(1)求拋物線的方程；(2)若直線不過點，且直線交于另一點，記直線的斜率為，（i）求證：；（ii）求證：直線過定點．【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，代入得，設(shè)點，則，而線段中點縱坐標(biāo)為4，則，解得，故的方程為.（2）（i）法一：由（1），且，則所以.法二：設(shè)直線方程為，拋物線的方程可表示為，由，得，，，直線的斜率為，，.（ii）法一：如圖，作出符合題意的圖形，

由已知得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，，，整理得，即，當(dāng)時，直線與直線重合，舍去，直線的方程，直線過定點.法二：由已知得，，，（舍）或，直線的方程是，直線過定點.【變式2】（25-26高二上·江蘇常州·期中）橢圓的離心率為，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓截得線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點，過點作關(guān)于軸對稱的直線，，與橢圓交于，兩點，且直線不平行軸，那么直線是否過定點？若是，求出定點；若不是，說明理由.【詳解】（1）由題意可得，則，當(dāng)直線平行于軸時，，聯(lián)立，則，故，解得，則，即橢圓的方程為；（2）設(shè)，若直線與橢圓僅有交點，則直線與橢圓僅有交點，且平行軸，不符，故可設(shè)直線與橢圓另一交點為，由直線，關(guān)于軸對稱且直線不平行軸，則，且兩直線斜率存在，設(shè)，聯(lián)立，消去得，，即，有、，則，由對稱性可得，若直線過定點，則定點必在軸上，令，則，故直線過定點.【變式3】（25-26高二上·重慶·期中）已知圓和圓，動圓與圓、圓都外切或都內(nèi)切，記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線的兩個交點分別在軸兩側(cè)．①求直線斜率的取值范圍；②若是點關(guān)于軸的對稱點，證明：直線過定點，并求出該定點．【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為，當(dāng)動圓與圓、圓都外切時，，所以.當(dāng)動圓與圓、圓都內(nèi)切時，，所以，所以，所以點的軌跡是以，為焦點，實軸長為的雙曲線，所以，，所以，所以曲線的方程為.（2）①由題意直線斜率存在，設(shè)為，設(shè)點，，由消去得，，則，則由題意，解得，所以直線斜率的取值范圍為.②由題意，則，所以直線方程為，即，因為，因為，所以，所以直線方程為，恒過點.題型十二向量垂直（）結(jié)合弦長/面積（解答綜合問，高頻）答｜題｜模｜板1.轉(zhuǎn)化向量條件：由得核心等式（必寫推導(dǎo)依據(jù)：向量垂直則數(shù)量積為0）.2.聯(lián)立與韋達(dá)：設(shè)直線方程為（斜率不存在時單獨討論），聯(lián)立與圓錐曲線方程（如橢圓），得一元二次方程，驗證（確保交點存在），由韋達(dá)定理得：，.3.代入向量等式化簡：將、代入，展開整理：→，代入韋達(dá)定理結(jié)果，得到與的關(guān)系式（如，橢圓場景）.4.結(jié)合目標(biāo)考點計算：若求弦長：代入通用弦長公式，將步驟3中與的關(guān)系代入，化簡得弦長（可能為定值或含參數(shù)表達(dá)式）.若求面積：先求原點到直線的距離，再用面積公式，代入和的表達(dá)式，結(jié)合與的關(guān)系化簡（常為定值或可求范圍）.5.補充特殊情況：若直線斜率不存在（），代入曲線方程得，由得，結(jié)合曲線方程求解，驗證是否符合條件，避免漏解.6.總結(jié)結(jié)果：寫出弦長或面積的最終值（或范圍），明確是否需舍去不符合的情況.【典例1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)為坐標(biāo)原點，若橢圓與直線交于兩點，且，圓過點．(1)求的方程及圓的半徑；(2)若點在上，且，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由．【詳解】（1）設(shè)，聯(lián)立，得，，則，即，解得，故的方程為．設(shè)圓的方程為，又圓過點，代入可得，故圓的半徑為2．（2）

直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，不妨令，由，得，解得，此時圓心到直線的距離為，故直線與圓相交．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，由得，即，即，故，解得，設(shè)圓心到直線的距離為，則，故直線與圓相交．綜上，直線與圓相交．【典例2】（24-25高二上·遼寧·月考）“對號函數(shù)”的圖象也可以看成是以與為漸近線的雙曲線.設(shè)函數(shù)，若將其圖象看成雙曲線.(1)求雙曲線的焦點坐標(biāo)；(2)將雙曲線繞著坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)，使焦點落到x軸上，得到雙曲線，設(shè)雙曲線的右焦點為F，過F的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，當(dāng)時，求直線l的方程.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，（傾斜角為）與（傾斜角為）為漸近線，故直線（傾斜角為）為雙曲線的一條對稱軸，設(shè)直線與函數(shù)圖象交于，兩點，聯(lián)立可得，，則，即，又，所以，，設(shè)雙曲線的焦點分別為，，則

.（2）由（1）可得雙曲線的方程為，右焦點，設(shè)直線l的方程為，與的方程聯(lián)立可得，設(shè)，，易知，，則①，②，，化簡可得，解得，此時均滿足此時直線l的方程為或.【變式1】（24-25高二上·河北唐山·期中）已知雙曲線的離心率為，實軸長為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)直線與雙曲線交于兩點，是否存在滿足（其中為坐標(biāo)原點）若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【詳解】（1）由實軸長為2可得，即；再由離心率為可得，即，所以，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，顯然，且，解得且；設(shè)，可得，所以，即，解得，不滿足且，不合題意；因此不存在滿足.【變式2】（25-26高三上·重慶·月考）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心?橢圓的短半軸長為半徑的與直線相切.(1)求橢圓的方程；(2)過定點斜率為的直線與橢圓交于兩點，若求實數(shù)的值及的面積.【詳解】（1）由題可知原點到直線距離.因為橢圓的離心率為，所以，所以.所以橢圓C的方程為：.（2）過定點斜率為的直線方程為：.設(shè).由，得.所以.因為，所以，所以，整理得：，所以.所以.所以，所以的面積.【變式3】（24-25高二下·上海閔行·期末）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的長軸長為，離心率為，直線與軸交于點，與相交于、兩點．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若的斜率為，且，求的值；【詳解】（1）由已知橢圓的長軸長為，即，又橢圓的離心率，則，所以，故橢圓方程為；（2）由已知直線的斜率為，且過點，則直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓，得，則，即，且，，則，則，解得；題型十三斜率乘積/和為定值結(jié)合定點（解答壓軸綜合問，中頻）答｜題｜模｜板1.明確斜率條件：設(shè)題目給出的斜率定值（如，為常數(shù)，橢圓中常為），轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式：→.2.設(shè)直線方程：設(shè)直線的方程為（或斜截式，避免討論斜率不存在），聯(lián)立與曲線方程得一元二次方程（或），驗證，得韋達(dá)定理結(jié)果.3.代入斜率等式化簡：將、（或、）代入，展開后代入韋達(dá)定理，整理得參數(shù)關(guān)系（如，為常數(shù)）.4.分析定點/定值：若證直線過定點：將參數(shù)關(guān)系代入直線方程，整理為“參數(shù)×表達(dá)式1+表達(dá)式2=0”（如），令表達(dá)式1和2為0，解得定點（如）.若證其他定值：結(jié)合步驟3的參數(shù)關(guān)系，代入目標(biāo)表達(dá)式（如、，為定點），化簡得常數(shù).5.驗證特殊情況：當(dāng)直線斜率為0（或垂直x軸）時，代入驗證是否符合結(jié)論，確保通用性.6.下結(jié)論：明確直線過定點或表達(dá)式為定值，完整書寫解題結(jié)果.【典例1】（25-26高二上·廣東東莞·期中）已知橢圓，點P為C的上頂點．(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線l與橢圓C交于異于P的兩點A和B，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為、．當(dāng)時，判斷直線l是否經(jīng)過定點？若是，請求出這一定點；若不是，請說明理由．【詳解】（1）橢圓的長短半軸長分別為，半焦距，所以離心率.（2）如圖：

設(shè)，，由直線l與橢圓C交于異于P的兩點、，得，由，得，則，，即，整理得，而，于是，此時直線，過定點，所以直線過定點.【典例2】（25-26高二上·河南南陽·月考）已知A，B是雙曲線的左、右頂點，，點在C上．(1)求C的方程．(2)M是C左支上一點（異于點A），設(shè)直線交直線于點P，連接，直線與C的另一個交點為N，設(shè)直線，的斜率分別為，．（?。┳C明：為定值．（ii）證明：直線恒過定點．【詳解】（1）因為，所以，則雙曲線，又點在C上，所以，解得，所以C的方程為．（2）（?。┮字?，設(shè)，，則，，即，而，所以，又，所以，故，為定值．（ii）設(shè)直線的方程為，，，，由，得，所以．由（?。┛芍?，，即，即，化簡得，解得，所以直線的方程為，因此直線經(jīng)過定點．【變式1】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，且過點.設(shè)A，B分別是C的左、右頂點，M，N是C的右支上異于點B的兩點.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線AM，BN的斜率分別為，，若，求證：直線MN恒過定點.【詳解】（1）由題意得，解得，所以C的方程為.（2）（方法一）由題意得，MN的斜率不為0，

設(shè)MN的方程為，，.由，消去，可得，由可得，由可得.由韋達(dá)定理，，.因為，，，所以.又，即，則有，因為，，，故有，整理得，所以，化簡得，解得或2.當(dāng)時，MN的方程為，此時MN過點，不合題意，當(dāng)時，MN的方程為，此時MN過點，符合題意，所以MN恒過定點.（方法二）①若MN的斜率不存在，設(shè)MN為（），，.因為，，，所以，由對稱性知，，則，解得，所以MN的方程為，此時MN過點.②若MN的斜率存在，設(shè)MN的方程為，，.由，得，所以，且，.因為，，，所以.又，即，所以，即，整理得，所以，化簡得，解得或.當(dāng)時，MN為，此時MN過點，不合題意，當(dāng)時，MN為，此時MN過點，符合題意.綜上，MN恒過定點（方法三）因為，，AM，BN的斜率分別為，，所以AM，BN的方程分別為，.由，得，所以，又，所以，所以，即.由，得，所以，又，所以，又，即，所以，所以，即.①若MN的斜率不存在，則，即，解得，則，所以MN為，此時MN過點.②若MN的斜率存在，則，所以MN的方程為，即，化簡得，即，此時MN過點.綜上，MN恒過定點.【變式2】（24-25高二上·吉林長春·月考）已知點，是平面上一動點，以為直徑的圓與軸相切，設(shè)動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的軌跡方程；(2)已知點，為不過點的直線與曲線的交點，直線的斜率記為，直線的斜率記為，若，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)，則中點，以為直徑的圓半徑為：，因為以為直徑的圓與軸相切，所以，化簡可得：，即曲線的軌跡方程是；（2）設(shè)點,,直線的方程為：,聯(lián)立,得,所以,所以因為,即,即所以,所以或當(dāng)時,直線的方程：過定點,舍去；當(dāng)時,直線的方程：過定點,所以直線過定點．【變式3】（25-26高三上·湖北·期中）已知、分別是橢圓的左、右頂點，動點滿足，過作于，線段交橢圓于點；過作，交橢圓于點.(1)設(shè)直線、的斜率分別為、，求的值；(2)求證：直線過定點；(3)設(shè)線段的垂直平分線交橢圓于、兩點，若，求直線的斜率.【詳解】（1）因為，則，故點的軌跡方程為，設(shè)點，則，易知點、，因為，，所以，所以.（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，則，則直線的方程為，則，易知，則，由得，可得，即①，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理可得，，代入①式得，即，解得（舍去）或，即直線的方程為，故直線過定點.（3）易知直線、的斜率都存在，設(shè)線段的中點為，設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理可得，，則，同理可得，因為為線段的中垂線，且，記，在中，，所以，所以四點、、、共圓，且，則，化簡得，又因為，故.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：45分鐘）一、解答題1．（25-26高二上·廣東惠州·期中）已知雙曲線C的方程為實軸長和離心率均為2．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且傾斜角為45°的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由離心率，再結(jié)合實軸長求解；（2）設(shè)的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，再利用弦長公式求解.【詳解】（1）由離心率，又，則，又實軸長，所以，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）∵直線的傾斜角為，故其斜率為1，又過點，∴的方程為，設(shè)，由，消去，得，∴，∴．2．（25-26高二上·江蘇揚州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的兩個焦點分別是，，并且經(jīng)過點.(1)求橢圓的離心率；(2)直線：與橢圓交于不同的兩點.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）若，求的值.【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【分析】（1）由條件確定，再由橢圓的定義求得，即可求解；（2）設(shè)，，（?。┞?lián)立直線與橢圓的方程，由判別式大于0即可求解；（ⅱ）由，借助于韋達(dá)定理代入計算即得.【詳解】（1）因為橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.依題意可得，又，所以，則.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的離心率（2）（?。┰O(shè)，.聯(lián)立，整理得.由，解得或.即的取值范圍為.（ⅱ）由（?。┛傻?，，，（*）則.因為，所以，則得，將（*）代入，可得.解得，滿足.所以的值為.3．（25-26高二上·湖南衡陽·期中）已知動點到點的距離比它到直線的距離小2，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)直線與曲線交于兩點，若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用拋物線的定義計算即可；（2）利用點差法結(jié)合點斜式計算即可.【詳解】（1）設(shè)，因為到點的距離比它到直線的距離小2，則有，根據(jù)距離公式得，化簡得，即動點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設(shè)，則兩式相減得，整理可得.因為線段的中點坐標(biāo)為，易知在拋物線內(nèi)部，且，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.4．（25-26高二上·安徽·期中）已知點在拋物線上，直線與拋物線交于A，B兩點.(1)求的方程；(2)設(shè)直線與的斜率分別為，，.①證明：直線的斜率為定值；②若的面積為6，求所在直線方程.【答案】(1)(2)（i）證明見解析（ii），或，或【分析】（1）利用代入法進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)直線斜率公式進(jìn)行運算證明即可；②根據(jù)拋物線弦長公式，結(jié)合點到直線距離公式、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為點在拋物線上，所以，所以拋物線的方程為；（2）①設(shè)，，，，所以，同理可得因為，所以，因為，所以直線的斜率為定值；②因為直線的斜率為定值，故設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立方程消掉得，設(shè)，，所以，，，點的直線的距離，所以，得，故，，所以直線的方程為，或，或.

5．（25-26高二上·北京·期中）已知橢圓：（）的右頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，若的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）依題意得到關(guān)于、的方程組，求出、，再求出，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，設(shè)，，利用面積分割法得，解方程求得的值，即可求解.【詳解】（1）依題意，所以，則，所以橢圓的方程為.（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得到，由，解得，設(shè)，，則，，所以的面積，平方化簡得，解得，所以，所以l的方程為或，即直線l的方程為或．6．（25-26高三上·安徽·月考）已知橢圓的離心率為，短軸長為.(1)求C的方程；(2)若直線與C交于兩點，O為坐標(biāo)原點，的面積為，求t的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而解出即可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長公式及點到直線的距離公式表示出的面積，建立方程即可求解.【詳解】（1）由題意，得，解得，則橢圓C的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，得，則，解得，且，所以，點到直線的距離為，

則，解得或，滿足，則或.7．（22-23高二上·廣東肇慶·期中）已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線的方程；(2)若斜率為的直線過雙曲線的左焦點，分別交雙曲線于、兩點，求證：.【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)：，再代點即可得到雙曲線的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立可得，再通過計算即可證明垂直.【詳解】（1）因為雙曲線與雙曲線的漸近線相同，所以可設(shè)：，又雙曲線過，所以，則，即，所以雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)，又，所以左焦點，則，，，，則，所以.8．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知雙曲線的左頂點為，離心率為3，是上的兩點.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程；(3)若（不在直線上），證明：直線過定點.【答案】(1)(2).(3)證明見解析【分析】（1）利用離心率公式和雙曲線的關(guān)系得到雙曲線方程；（2）根據(jù)點差法結(jié)合線段中點坐標(biāo)解得直線的斜率，從而解得答案；（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消元得到通過韋達(dá)定理有，，結(jié)合，化簡得，解得或，當(dāng)和時，分別分析直線的方程，進(jìn)而求得定點；【詳解】（1）因為，，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為·（2）設(shè)，，根據(jù)題意易得.因為是上的兩點，所以兩式相減得，即因為，所以所以直線的方程為經(jīng)檢驗，此時直線與雙曲線C有兩個交點，滿足題意，則直線的方程為.（3）證明：依題意可設(shè)直線的方程為.由，得則，，，由（2）知，因為，所以即即即，得，解得或.當(dāng)時，直線，直線過點，不符合題意，舍去；當(dāng)時，直線，滿足，則直線過定點故直線過定點期末重難突破練（測試時間：120分鐘）一、解答題1．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知拋物線的焦點為F，，O為坐標(biāo)原點，拋物線C上存在點P，使得.(1)求拋物線C的方程；(2)已知過點F的直線交拋物線C于A，B兩點，△AOB的面積為，求以線段AB為直徑的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點，根據(jù)，聯(lián)立方程組，求得的值，代入拋物線的方程，求得，即可求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，得到，利用的面積為，列出方程求得，進(jìn)而確定圓的圓心和半徑，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)點，且，由，可得，解得，代入拋物線，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）解：由拋物線，可得其焦點，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則的面積為，即，解得，設(shè)的中點為，可得，則，所以中點坐標(biāo)，半徑，所以所求圓方程為.

2．（25-26高二上·天津·期末）已知橢圓的長軸長為4，焦距為2.(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設(shè)為橢圓的右頂點，若直線與橢圓有唯一的公共點(在第一象限)，直線與軸的正半軸交于點，直線與直線交于點(為原點)，且，求直線的方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）依題意可得、的值，從而求出，即可得到橢圓方程與離心率；（2）根據(jù)截距式設(shè)得直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)相切判別式得，，再聯(lián)立直線與的方程得坐標(biāo)，即可根據(jù)面積比例關(guān)系求解.【詳解】（1）依題意可得，所以，則，所以橢圓的方程為，離心率；（2）如圖所示：由題可知，直線的斜率存在且為負(fù)數(shù)，設(shè)直線：.則有，，所以直線的方程為，將與橢圓方程聯(lián)立，消去并整理得，，由題意直線與橢圓相切于點，則，即，所以，，即點的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，將其與直線的方程聯(lián)立，解得，，即點的坐標(biāo)為，由題意得，整理得.又，且，解得，，即滿足題意的直線的方程為.3．（25-26高二上·北京·期中）已知橢圓的上頂點為，四個頂點組成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為點，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)【答案】(1)橢圓的方程為；(2)直線恒過定點，該定點為點.【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程組求出即可得解；（2）先由題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程求出韋達(dá)定理，接著利用點D寫出直線AD的方程為，令，求出x為定值即可得解.【詳解】（1）由題得，所以橢圓的方程為；（2）證明：由題可得直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立，則，設(shè)，則，，則直線AD斜率為，所以直線AD的方程為，令，則，所以直線恒過定點，該定點為點.4．（25-26高三上·河北承德·期中）已知橢圓的焦距為2，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若為橢圓上的動點，求的取值范圍;(3)若點在橢圓上，點在直線上，且(O為坐標(biāo)原點)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)(3)直線與圓相切，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求出，再根據(jù)的關(guān)系及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可；（2）將取值范圍問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓有公共點問題，聯(lián)立方程，結(jié)合判別式求的取值范圍即可；（3）設(shè)點到直線的距離為，則，根據(jù)點在橢圓上化簡前者可得，故直線與圓相切.【詳解】（1）由題可得，，所以橢圓的方程為.（2）令，則直線與橢圓有公共點，由，得，則，解得，所以的取值范圍為.（3）設(shè)，若，則，此時即為軸，此時不在直線上，舍；若，則，此時，故，，設(shè)到的距離為，則，故，此時直線與圓相切.若，則直線，故，故直線，故，故，，故，而，故，故故即，故直線與圓相切.

5．（25-26高二上·河南濮陽·期中）已知雙曲線E：（，）的左、右焦點分別為，，離心率為，P為E上一點，且．(1)求E的方程；(2)過點且不與x軸重合的直線l交E于A，B兩點，點B關(guān)于x軸的對稱點為，求證：直線恒過點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)求得，利用離心率求得，進(jìn)而求得，可求解析式；（2）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理得，，求得直線的方程為，令，可求得定點坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)E的半焦距為c（）．由題意知P在E的右支上，，∴，∵，∴，∴，∴E的方程為．（2）依題意，設(shè)直線l的方程為，，．聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得消去x并整理，得，∴，且，解得，且．∴，．由題意知