1/3專題3.4圓錐曲線二級結(jié)論小題歸納（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標考情規(guī)律焦半徑、焦點弦掌握焦半徑的坐標式、角度式公式，焦點弦長、定比模型重難必考點，常出現(xiàn)在小題壓軸。焦點三角形面積、周長掌握橢圓雙曲線焦點三角形的面積公式、周長公式。高頻必考點，常出現(xiàn)在小題，熟練公式，會推導(dǎo)會用。垂徑定理與第三定義掌握點差法推導(dǎo)垂徑定理與第三定義。高頻必考點，常出現(xiàn)在小題。橢圓與雙曲線公焦點掌握橢圓雙曲線共焦的性質(zhì)。重難必考點，常出現(xiàn)在小題。焦點三角形的內(nèi)切圓與外接圓掌握橢圓雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓與外接圓的性質(zhì)重難必考點，常出現(xiàn)在壓軸小題。雙曲線的漸近線掌握雙曲線的漸近線一些常考的結(jié)論性質(zhì)。高頻必考點，考雙曲線就離不開漸近線的性質(zhì)。阿基米德三角形掌握阿基米德三角形的結(jié)論、性質(zhì)。重難必考點，考拋物線的多選題蒙日圓掌握蒙日圓相關(guān)的結(jié)論。重難點，常出現(xiàn)在小題知識點01焦半徑、焦點弦1、橢圓焦半徑設(shè)為橢圓上的一點，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，∠PFO=θ焦半徑坐標式①焦點在軸：焦半徑(左加右減)；②

焦點在軸：焦半徑(上加下減)．焦半徑角度公式：PF2、雙曲線焦半徑設(shè)為雙曲線上的一點，F(xiàn)為雙曲線的一個焦點，∠PFO=θ①焦點在軸：在左支，在右支；②焦點在軸：在下支，在上支．焦半徑角度公式：PF=3、拋物線焦半徑設(shè)為拋物線上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，∠PFO=θ①焦點在軸：焦半徑PF=x②

焦點在軸：焦半徑PF=y焦半徑角度公式PF4、定比模型橢圓、雙曲線的過焦點的弦AB傾斜角為α，斜率為k，若焦點分得AF|BF|=λ，則e知識點02焦點三角形的周長與面積1、橢圓面積橢圓焦點為，，P為橢圓上的點，，則，PF1?PF2、雙曲線的面積雙曲線的焦點為F1、F2，P為雙曲線上的點，∠F1S3、若P(x知識點03垂徑定理與第三定義橢圓的垂徑定理與第三定義已知直線l與橢圓E:x2a2+y2b已知A，B為橢圓E:x2雙曲線的垂徑定理與第三定義已知直線l與雙曲線E:x2a2?y2b2=1如圖，已知A，B為雙曲線E:x另外，若A，B為雙曲線漸近線上兩點，M為AB中點，若斜率都存在同樣也有k知識點04橢圓與雙曲線共焦點橢圓與雙曲線有相同的焦點F1,F2，P是它們的一個公共點，設(shè)∠1、由△F1PF2、根據(jù)e12=c2知識點05焦點三角形的內(nèi)切圓與外接圓橢圓的焦點三角形內(nèi)切圓點P(x0,y0)為橢圓C:x2結(jié)論一、e=IM結(jié)論二、有xI=e雙曲線的焦點三角形內(nèi)切圓結(jié)論一、雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標恒為a知識點06雙曲線的漸近線雙曲線漸近線的一些性質(zhì)：雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.以兩焦點F1F2過雙曲線上點P作兩漸近線的平行線PA，PB，它們和漸近線圍成的平行四邊形的面積為定值ab過雙曲線上點P作兩漸近線的垂線PA，PB，則有PAPB=過雙曲線上點P作雙曲線的切線交兩漸近線于A、B兩點，則△AOB為雙曲線的漸近三角形，則P是AB的中點，OA?知識點07阿基米德三角形阿基米德三角形指圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形。1、阿基米德焦點三角形性質(zhì)（弦AB過焦點F時）性質(zhì)1：MF性質(zhì)2：MN//x軸；性質(zhì)3：S2、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點F時）性質(zhì)1、阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對稱軸．性質(zhì)2、若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點拋物線內(nèi)部的定點Cx0,y0，則點P的軌跡為直線y0y=p半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則xp=性質(zhì)3、若P點軌跡為直線ax+by+c=0，且該直線與拋物線沒有公共點，則定點Cc設(shè)P點坐標，半代入得出切點弦AB的直線方程，進而得出定點C的坐標性質(zhì)4、阿基米德三角形的面積的最大值為a3性質(zhì)5、∠PFA=∠PFB，PF2=AF×BF知識點08蒙日圓蒙日圓是圓錐曲線的幾何性質(zhì)之一，其核心特征是：?圓錐曲線外一點作兩條互相垂直的切線，切線交點的軌跡構(gòu)成一個圓?。以下是具體性質(zhì)和結(jié)論：1、橢圓的蒙日圓：x2+y2=a2+b22、雙曲線的蒙日圓：x2+y2=a2?b2題型一焦半徑、焦點弦解｜題｜技｜巧焦半徑、焦點弦的角度式公式均由圓錐曲線的第二定義推導(dǎo)而來，即圓錐曲線上的點到焦點跟到準線的距離比等于離心率e。熟悉角度式公式，要會推導(dǎo)，能應(yīng)用。【典例1】（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓的上，下焦點分別為，，拋物線的焦點與橢圓的上焦點重合，過的傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，點是拋物線上在第一象限的點，且在該點處的切線與x軸的交點為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（24-25高二上·吉林·期末）過拋物線C：的焦點F作弦AB交拋物線于，兩點，O為坐標原點，則（

）A．拋物線C的準線方程為 B．C． D．【變式1】（多選）（24-25高二上·湖北武漢·期末）拋物線的焦點為F，過焦點的傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則 D．【變式2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點為，過點作直線交橢圓于，兩點，若直線的傾斜角為45°，且，則橢圓的離心率是．題型二焦點三角形的周長與面積解｜題｜技｜巧熟記焦點三角形的周長公式、面積公式【典例1】（多選）（24-25高二上·四川達州·期末）已知焦點在軸上的橢圓，左焦點，右焦點，為橢圓上且不在軸上的一點，則下列說法正確的是（

）A．的取值范圍是B．當焦距為4時，離心率為C．當離心率為時，的周長為D．當長軸長為時，的面積最大值為4【典例2】（多選）（24-25高二上·陜西西安·期末）設(shè)雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線C的右支上，且不與雙曲線C的頂點重合，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則雙曲線C的兩條漸近線的方程是B．若點P的坐標為，則雙曲線C的離心率大于3C．若，則的面積等于D．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則【變式1】（多選）（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）已知，是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．存在點使得C．若，則 D．面積的最大值為12【變式2】（多選）（25-26高二上·四川達州·月考）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上不同于左、右頂點的任意一點，則下列說法正確的是（

）A．的周長為16 B．面積的最大值為12C．存在點P，使得∠ D．的取值范圍為題型三垂徑定理與第三定義解｜題｜技｜巧遇到弦的中點或者兩個關(guān)于原點對稱的點時，又跟斜率一起出現(xiàn)，可以考慮使用垂徑定理與第三定義的結(jié)論?！镜淅?】（多選）（24-25高二上·四川內(nèi)江·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，直線交橢圓C于A、B兩點，P為橢圓C上的一動點，則（

）A．當時，四邊形的周長為定值8B．當為直角三角形時，C．當直線PA，PB的斜率都存在時，其斜率之積為D．當直線與的斜率之差為2時，【典例2】（多選）（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的右頂點為，過點A作的一條切線與雙曲線交于點B，若AB中點為P，且，過點A作的另一條切線與雙曲線交于點D，設(shè)直線AB，AD的斜率分別為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線方程為 B．雙曲線的離心率C． D．過定點【變式1】（24-25高二上·河南·月考）如圖，已知，是雙曲線的右支上的兩點（點在第一象限），點關(guān)于坐標原點對稱的點為，且，若直線的斜率為，則該雙曲線的離心率為．【變式2】（多選）（25-26高二上·福建漳州·期中）已知點，若斜率為1的直線l與橢圓C：（）交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為，點P在橢圓C上，則的值可能為（

）A． B． C．1 D．3故選：BCD題型四橢圓與雙曲線共焦點解｜題｜技｜巧橢圓與雙曲線共焦點，則焦距一致，且焦點三角形一致。【典例1】（24-25高二上·吉林長春·期末）已知點，是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，若雙曲線的離心率的取值范圍是，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·重慶·期末）已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．1 C． D．2【變式1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P、Q是它們關(guān)于原點對稱的兩個交點，的平分線交于點M，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為【變式2】（多選）（24-25高二上·江蘇無錫·期末）已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點，，與在第一象限的交點為P，且，記與的離心率分別為與.下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．的最小值為1D．記的內(nèi)心為M，若垂直于x軸，則垂足H為的右頂點題型五焦點三角形的內(nèi)切圓與外接圓解｜題｜技｜巧圓與三角形切點分得三角形邊長關(guān)系，找內(nèi)切圓圓心的位置。內(nèi)切圓的圓心是三角形角分線的交點，再者可以考察角分線定理。還可以通過面積公式，算內(nèi)切圓的半徑?！镜淅?】（24-25高二上·山東煙臺·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，過左焦點且斜率為1的直線與交于兩點，，則橢圓離心率的值為；當時，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，外接圓圓心為，則的值為．【典例2】（24-25高二上·遼寧大連·期末）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過作傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，若，的內(nèi)切圓半徑分別為，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1】（多選）（24-25高二上·河北保定·期末）已知，分別為橢圓的左，右焦點，M為橢圓C上一動點，I為內(nèi)切圓的圓心，連接MI并延長交x軸于Q，若，則（

）A．橢圓C的離心率B．的取值范圍為C．若l是C在M點處的切線，過，分別作l的垂線，垂足為A，B，則D．點I的軌跡方程為【變式2】（多選）（24-25高三上·山東泰安·月考）已知雙曲線的左、右焦點分別為，．過的直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限．的內(nèi)心為，與軸的交點為，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的有（

）A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為B．若，且，則雙曲線的離心率為C．若，，則的取值范圍是D．若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為題型六雙曲線的漸近線解｜題｜技｜巧對雙曲線而言，考察的最多的就是漸近線的性質(zhì)。所以要熟練掌握雙曲線的常考的一些性質(zhì)。【典例1】（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線，橢圓上一點（不在的漸近線上），過點分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，分別交漸近線于，兩點，且，則（

）A． B．2 C．4 D．8【典例2】（24-25高二下·四川眉山·期末）已知O為坐標原點，雙曲線C：（，）的左、右焦點分別是，，離心率為，點P是C的右支上異于頂點的一點，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點P到C的兩條漸近線距離之積為．【變式1】（25-26高二上·安徽·月考）過雙曲線上一點向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，.若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式2】（25-26高二上·河北滄州·期中）已知雙曲線：與橢圓有公共的左、右焦點，，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于點，，且線段的中點在另一條漸近線上，則（為坐標原點）的面積為.題型七阿基米德三角形解｜題｜技｜巧阿基米德三角形是拋物線小題中重難考點，指圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形。配合切線方程及三角形的一些性質(zhì)?！镜淅?】（多選）（24-25高二上·安徽宣城·期末）拋物線的焦點為F，頂點為O，過點F作傾斜角為的直線l，交拋物線于A，B兩點，點A在x軸上方，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別為，，準線與x軸交于點C，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．當時，C．三角形ABC面積的最小值為4 D．的最小值為【典例2】（多選）（25-26高二上·江西九江·月考）已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，則下列說法正確的是（

）A．焦點到拋物線的準線的距離為4B．C．若的中點的縱坐標為4，則D．若，則【變式1】（多選）（24-25高三上·江蘇·期末）已知拋物線C：的焦點為F，A，B為拋物線上的兩點，O為坐標原點，分別過點A，B作拋物線C的切線，交于點M，且與x軸分別交于點D，E，則（

）A．若，則點B．若，則直線恒過定點C．若直線過點，則點M恒在直線上D．若直線過點F，則【變式2】（多選）（25-26高三上·廣東湛江·月考）設(shè)O為坐標原點，拋物線的準線，P為C上不與O重合的動點，以P為圓心，1為半徑作圓，過點作圓P的兩條切線交圓P于M,N兩點，則（

）A．l始終與圓P相離 B．無最值C．存在點P，使得 D．時，P到l的距離為3題型八蒙日圓解｜題｜技｜巧以蒙日圓為背景出題，但是題目本質(zhì)還是考圓錐曲線。記住橢圓雙曲線的蒙日圓方程。【典例1】（24-25高二上·福建寧德·期末）加斯帕爾蒙日是世紀法國著名的幾何學(xué)家.他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（

）A．橢圓M的離心率為 B．橢圓M的蒙日圓方程為C．若G為正方形，則G的邊長為 D．長方形G的面積的最大值為14【典例2】（多選）（24-25高二上·廣東揭陽·期末）畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點，、為橢圓上兩個動點．直線的方程為．則下列結(jié)論正確的有（

）A．的蒙日圓的方程為B．在直線上存在點，橢圓上存在、，使得C．記點到直線的距離為，則的最小值為D．若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為．【變式1】（24-25高二上·湖北咸寧·期末）加斯帕爾·蒙日是18~19世紀法國著名的幾何學(xué)家，他在研究時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓：，若直線：上存在點P，過P可作C的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是.【變式2】（25-26高二上·黑龍江·期中）已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.已知橢圓及其蒙日圓，且橢圓的離心率為，點分別為蒙日圓與坐標軸的交點，分別與相切于點，則四邊形與四邊形的面積的比值為．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．（多選）（25-26高二上·陜西延安·期中）已知，是橢圓：的兩個焦點，過的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．弦長的取值范圍為C．面積的最大值為12 D．存在點使得2．（多選）（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）在平面直角坐標系中，、是圓與軸的交點，點為該平面內(nèi)異于、的動點，且直線與直線的斜率之積為，設(shè)動點的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（）A．若，則曲線的離心率為B．若，則曲線方程為C．若，則曲線有漸近線，其漸近線方程為D．若，，過原點的直線與曲線交于、兩點，則面積最大值為3．（24-25高三下·天津·開學(xué)考試）已知分別是雙曲線的左、右焦點，焦距為4，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的左、右支分別交于兩點，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·江西上饒·期末）橢圓的左、右焦點分別是，斜率為1的直線過左焦點，交于兩點，且的內(nèi)切圓的面積是，若線段的長度的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（多選）（24-25高三上·河南·期末）已知拋物線上的動點到焦點的距離的最小值為4，直線經(jīng)過交于點，分別過作的切線，且兩切線交于點，則（

）A．的方程為B．若，則的中點到軸的距離為10C．是直角三角形D．若的中點為，則直線與軸垂直期末重難突破練（測試時間：10分鐘）1．（多選）（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知橢圓的左，右焦點為，，A，B分別為它的左右頂點，點P為橢圓上的動點（P不在x軸上），下列選項正確的是（

）A．存在點P使得B．的周長為C．直線PA與直線PB的斜率乘積為D．的最小值為2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知雙曲線與橢圓有相同的左、右焦點，分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于，兩點，且線段的中點在另一條漸近線上，則的面積為（

）A． B．3 C．6 D．93.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知點，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們在第一象限的一個公共點，且，若和的離心率分別為，，則的取值范圍是.4．（25-26高二上·重慶·期中）已知雙曲線，其左右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，與雙曲線左支交于點中點為．若內(nèi)切圓半徑為，則直線的斜率為．5．（24-25高二上·河北石家莊·期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的左支交于，