專題04排列組合（9個考點(diǎn)清單+11類題型解讀）知識點(diǎn)01：兩個計(jì)數(shù)原理1、分類加法：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.2、分步乘法：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.知識點(diǎn)02：排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算1、排列數(shù)的計(jì)算及性質(zhì)的應(yīng)用①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，2、組合數(shù)的計(jì)算及性質(zhì)的應(yīng)用或：（，）.（1）性質(zhì)1：（2）性質(zhì)2：知識點(diǎn)03：特殊元素（位置）法【一般策略】對有限制條件的元素（或位置）要優(yōu)先考慮，位置優(yōu)先法和元素優(yōu)先法是解決排列組合問題最常用的方法。若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。知識點(diǎn)04：捆綁法【一般策略】捆綁法指將聯(lián)系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個整體，再與其他元素進(jìn)行排列，同時要注意合并后內(nèi)部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對待，能大大降低分析問題的難度.采用捆綁法分析排列組合問題,剩余元素的處理應(yīng)考慮其是排列問題還是組合問題,對于組合問題需將“順序”帶來的影響消除掉.知識點(diǎn)05：插空法【一般策略】插空法在分析元素不相鄰問題時較為常用，即先將無特殊要求的元素排列好，而后看其產(chǎn)生多個滿足題意的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿足題目的相關(guān)要求.知識點(diǎn)06：倍縮法【一般策略】部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問題，稱之為定序（排列）問題．定序問題可以用倍縮法.知識點(diǎn)07：排數(shù)問題【一般策略】對于有限制條件的數(shù)字排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時注意隱含條件：0不能在首位.知識點(diǎn)08：分組、分配問題【一般策略】①整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．②局部均分問題，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．③不等分問題，只需先分組，后排列，分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．知識點(diǎn)09：涂色問題【一般策略】解決涂色問題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析．(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析．(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題題型一：兩個計(jì)數(shù)原理 3題型二：排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算與證明 4題型三：排列問題 5題型四：組合問題 6題型五：特殊元素（位置）法 6題型六：捆綁法 7題型七：插空法 8題型八：倍縮法 9題型九：排數(shù)問題 9題型十：分組、分配問題 11題型十一：涂色問題 11【題型一：兩個計(jì)數(shù)原理】一、單選題1．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）從地到地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為（

）A．3 B．9 C．24 D．以上都不對2．（23-24高二下·河北·階段練習(xí)）從7本不同的書中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法種數(shù)是（

）A． B． C．21 D．2103．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（

）A．24種 B．10種 C．9種 D．15種4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某農(nóng)學(xué)院計(jì)劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實(shí)驗(yàn)田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田中，其他三塊實(shí)驗(yàn)田選種水稻品種，則不同種法有（

）12345A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種5．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）如圖，無人機(jī)光影秀中，有架無人機(jī)排列成如圖所示，每架無人機(jī)均可以發(fā)出種不同顏色的光，至號的無人機(jī)顏色必須相同，、號無人機(jī)顏色必須相同，號無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這架無人機(jī)同時發(fā)光時，一共可以有（

）種燈光組合.A． B． C． D．【題型二：排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算與證明】一、解答題1．（23-24高二下·寧夏吳忠·期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)已知，求2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）證明下列等式．(1)；(2)．3．（24-25高二上·甘肅武威·期中）（1）計(jì)算：；（2）若，則x的值為_____；（3）若，求正整數(shù)n．4．（23-24高二上·上海·課后作業(yè)）已知m是自然數(shù)，n是正整數(shù)，且．求證：(1)；(2)．5．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）（1）解關(guān)于的不等式；（2）解不等式：.6．（23-24高二下·山西臨汾·期中）（1）解方程:（2）計(jì)算（3）解不等式.【題型三：排列問題】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．48 B．24 C．20 D．162．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某校擬開展課外實(shí)踐活動，有6種實(shí)踐活動可供選擇．若甲、乙、丙三名學(xué)生每人從中選擇1種，且3人選擇的實(shí)踐活動不同，則不同的選法共有（

）A．60種 B．80種 C．120種 D．150種3．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)．其中將五人排成一行形成甲隊(duì)，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（

）A．432 B．864 C．1728 D．25924．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，則不同的安排方法的種數(shù)為（

）A．24 B．26 C．32 D．405．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機(jī)站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數(shù)為（

）A． B．C． D．6．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求數(shù)字1和4相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．192 B．240 C．360 D．720【題型四：組合問題】一、單選題1．（2024·河北承德·二模）對于一個自然數(shù)，如果從左往右，每一位上的數(shù)字依次增大，則稱自然數(shù)是“漸升數(shù)”，那么三位數(shù)的“浙升數(shù)”共有（

）A．97個 B．91個C．84個 D．75個2．（23-24高二下·新疆克拉瑪依·期中）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

）個A．44 B．45 C．54 D．553．（23-24高二下·廣東廣州·期末）以平行六面體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個數(shù)為（

）A．70 B．64 C．58 D．244．（23-24高二下·全國·單元測試）從，，，，這五個數(shù)字中任取3個，從2，4，6，8這四個數(shù)中任取2個，組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)的個數(shù)是（

）A． B．

C． D．5．（23-24高二下·山西長治·階段練習(xí)）將9個志愿者的名額分配給4個班，每班至少一個名額，則不同的分配方法的種數(shù)為（

）A．504 B．126 C．112 D．566．（24-25高二上·福建龍巖·期中）從含有3件次品的8件新產(chǎn)品中，任意抽取4件進(jìn)行檢驗(yàn)，抽出的4件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【題型五：特殊元素（位置）法】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）將字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必須在b的左邊，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．260 B．300 C．360 D．3802．（2024高三·全國·專題練習(xí)）2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（

）A．1440種 B．1360種C．1282種 D．1128種3．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求數(shù)字1和4相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．192 B．240 C．360 D．7204．（24-25高二上·甘肅武威·期中）年月我校組織年校慶活動，有甲、乙、丙名志愿者負(fù)責(zé)、、、等個任務(wù)．每人至少負(fù)責(zé)一個任務(wù)，每個任務(wù)都有人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)任務(wù)的分配方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種5．（24-25高三上·重慶涪陵·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．54【題型六：捆綁法】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉(xiāng)村”活動，晚會有《走，去永州》《揚(yáng)鞭催馬運(yùn)糧忙》《數(shù)幸福》《鄉(xiāng)村振興唱起來》四個節(jié)目，若要對這四個節(jié)目進(jìn)行排序，要求《數(shù)幸?！放c《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．202．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）有本不同的書，其中語文書本，數(shù)學(xué)書本，物理書本．若將其隨機(jī)擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．（24-25高三上·山東德州·開學(xué)考試）為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校開設(shè)了舞蹈?攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為（

）A．48 B．36 C．24 D．124．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）四名男生和兩名女生排一行進(jìn)行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數(shù)有（

）A．288種 B．144種 C．96種 D．72種5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)學(xué)競賽中，某校有共6位同學(xué)獲獎，在競賽結(jié)束后站成一排合影留念時，假設(shè)兩人必須相鄰且站在正中間，兩人不能相鄰，則不同的站法共有（

）A．48種 B．40種 C．32種 D．24種【題型七：插空法】一、單選題1．（23-24高二下·廣東湛江·階段練習(xí)）7名同學(xué)（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙兩人相鄰但不排在兩端，不同的排法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．960 D．14402．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠(yuǎn)的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（

）A．120種 B．24種 C．36種 D．12種3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某校舉辦校運(yùn)動會，某班級選出跑步較好的4人參加米接力賽，其中甲、乙兩人不跑相鄰棒的排法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種4．（23-24高二下·山東濱州·期末）已知，小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時，打算將的前6位數(shù)字1，4，1，4，2，1進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時要求三個1不相鄰，兩個4也不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．10 D．125．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）某大橋的一側(cè)依次安裝有13盞路燈，因環(huán)保節(jié)能的需求，計(jì)劃關(guān)掉其中的5盞．如果兩端的路燈不能關(guān)，且相鄰的路燈不能同時關(guān)，則不同關(guān)燈方式的種數(shù)是（

）A．21 B．35 C．70 D．126【題型八：倍縮法】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．36種2．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）某單位開展聯(lián)歡活動，抽獎項(xiàng)目設(shè)置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項(xiàng).甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發(fā)現(xiàn)這5人的獎項(xiàng)都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項(xiàng)介于丁和戊之間”.根據(jù)以上信息，這5人的獎項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是（

）A．15 B．18 C．22 D．263．（23-24高二上·遼寧撫順·階段練習(xí)）若把英語單詞“receive”的字母順序?qū)戝e了，則出現(xiàn)的錯誤寫法共有（

）A．840種 B．839種 C．2520種 D．2519種4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（

）A．240種 B．188種 C．144種 D．120種5．（23-24高二下·湖北武漢·期中）三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（

）A．350 B．140 C．560 D．280【題型九：排數(shù)問題】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字，從中取三個不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有（

）A．20個 B．30個 C．40個 D．55個2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃氡砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．42 B．38 C．54 D．483．（23-24高二下·浙江寧波·期中）如圖，某種雨傘架前后兩排共8個孔，編號分別為號．若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)要放傘，每個孔最多放一把傘，則甲放在奇數(shù)孔，乙放在偶數(shù)孔，且丙、丁沒有放在同一排的放法有（

）A．68種 B．136種 C．272種 D．544種4．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，自然常數(shù)．小布打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行排列得到密碼．如果排列時要求8不排最后一個，兩個2相鄰，那么小布可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（

）．A．30 B．32 C．36 D．485．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）從，，，，，，這個數(shù)中任選個組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的“五位凹數(shù)”（滿足），則這樣的“五位凹數(shù)”的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個6．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“八合數(shù)”(如2024是“八合數(shù)”)，則“八合數(shù)”共有（

）個.A．35 B．56 C．120 D．165【題型十：分組、分配問題】一、單選題1．（24-25高三上·河南新鄉(xiāng)·期中）將本不同的雜志分成組，每組至少本，則不同的分組方法數(shù)為（

）A． B． C．105 D．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）每年的5月25日是全國大中學(xué)生心理健康日．某高校計(jì)劃在這一天開展有關(guān)心理健康的宣傳活動，現(xiàn)計(jì)劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進(jìn)行宣講，則不同的排法總數(shù)為（

）A．540 B．120 C．90 D．603．（24-25高三上·廣西·期中）為促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在內(nèi)的5名城區(qū)教師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校支教，若每所學(xué)校至少安排1名教師，每名教師只能去一所學(xué)校，則甲、乙不安排在同一所學(xué)校的方法數(shù)有（

）A．1440種 B．240種 C．216種 D．120種4．（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測）三所大學(xué)發(fā)布了面向高二學(xué)生的夏令營招生計(jì)劃，某中學(xué)有四名學(xué)生報名參加．若每名學(xué)生只能報一所大學(xué)，每所大學(xué)都有該中學(xué)的學(xué)生報名，且大學(xué)只有其中一名學(xué)生報名，則不同的報名方法共有（

）A．18種 B．21種 C．24種 D．36種5．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）為貫徹落實(shí)國家關(guān)于開展中小學(xué)研學(xué)旅行的文件精神，搭建中學(xué)與高校交流的平臺，拓展學(xué)生視野，今年某中學(xué)計(jì)劃開展暑期“雙高互動”之旅夏令營活動，學(xué)生可自愿報名.其中有4名教師和6名學(xué)生報名，將報名的教師和學(xué)生分成2個組，分別安排到兩所高校，要求每個組由2名老師和3名同學(xué)組成，則學(xué)生甲和學(xué)生乙不去同一所高校的概率為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某地區(qū)計(jì)劃安排5名工作人員到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行農(nóng)村人居環(huán)境調(diào)查，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少1名工作人員，其中甲、乙兩人去同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的安排方案有（

）A．30種 B．36種 C．40種 D．46種【題型十一：涂色問題】一、單選題1．（23-24高二下·山東淄博·期中）如圖，用四種不同顏色給矩形A、B、C、D涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）

A．12種 B．24種 C．48種 D．72種2．（23-24高二下·江蘇無錫·期中）在一個具有五個行政區(qū)域的地圖上（如圖），用5種顏色給這五個行政區(qū)著色，若相鄰的區(qū)域不能用同一顏色，則不同的著色方法共有（

）A．420種 B．360種 C．540種 D．300種3．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）如圖，對，，，，五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，給六個點(diǎn)涂色，現(xiàn)有五種不同的顏色可供選用，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（

）種．A．1440 B．1920 C．2160 D．33605．（23-24高二下·安徽池州·期中）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）

A．120 B．26C．340 D．420

專題04排列組合（9個考點(diǎn)清單+11類題型解讀）知識點(diǎn)01：兩個計(jì)數(shù)原理1、分類加法：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.2、分步乘法：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.知識點(diǎn)02：排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算1、排列數(shù)的計(jì)算及性質(zhì)的應(yīng)用①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，2、組合數(shù)的計(jì)算及性質(zhì)的應(yīng)用或：（，）.（1）性質(zhì)1：（2）性質(zhì)2：知識點(diǎn)03：特殊元素（位置）法【一般策略】對有限制條件的元素（或位置）要優(yōu)先考慮，位置優(yōu)先法和元素優(yōu)先法是解決排列組合問題最常用的方法。若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。知識點(diǎn)04：捆綁法【一般策略】捆綁法指將聯(lián)系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個整體，再與其他元素進(jìn)行排列，同時要注意合并后內(nèi)部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對待，能大大降低分析問題的難度.采用捆綁法分析排列組合問題,剩余元素的處理應(yīng)考慮其是排列問題還是組合問題,對于組合問題需將“順序”帶來的影響消除掉.知識點(diǎn)05：插空法【一般策略】插空法在分析元素不相鄰問題時較為常用，即先將無特殊要求的元素排列好，而后看其產(chǎn)生多個滿足題意的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿足題目的相關(guān)要求.知識點(diǎn)06：倍縮法【一般策略】部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問題，稱之為定序（排列）問題．定序問題可以用倍縮法.知識點(diǎn)07：排數(shù)問題【一般策略】對于有限制條件的數(shù)字排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時注意隱含條件：0不能在首位.知識點(diǎn)08：分組、分配問題【一般策略】①整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．②局部均分問題，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．③不等分問題，只需先分組，后排列，分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．知識點(diǎn)09：涂色問題【一般策略】解決涂色問題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析．(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析．(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題題型一：兩個計(jì)數(shù)原理 3題型二：排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算與證明 5題型三：排列問題 8題型四：組合問題 11題型五：特殊元素（位置）法 13題型六：捆綁法 16題型七：插空法 18題型八：倍縮法 19題型九：排數(shù)問題 22題型十：分組、分配問題 25題型十一：涂色問題 28【題型一：兩個計(jì)數(shù)原理】一、單選題1．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）從地到地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為（

）A．3 B．9 C．24 D．以上都不對【答案】B【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理可求結(jié)果.【詳解】由題意可知，可以乘汽車、火車、輪船三種交通工具，汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，則由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有種不同走法.故選：B.2．（23-24高二下·河北·階段練習(xí)）從7本不同的書中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法種數(shù)是（

）A． B． C．21 D．210【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有種.故選：D3．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（

）A．24種 B．10種 C．9種 D．15種【答案】D【分析】利用分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，有兩類衣服可選，第一類：選擇襯衣和裙子，共有種選擇；第二類：選擇連衣裙，共有中選擇；所以共有種選擇.故選：D4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某農(nóng)學(xué)院計(jì)劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實(shí)驗(yàn)田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田中，其他三塊實(shí)驗(yàn)田選種水稻品種，則不同種法有（

）12345A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種【答案】C【分析】相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田分成1和2；2和3；3和4；4和5四類，再分別計(jì)算每一類的方法數(shù)，可求得結(jié)論.【詳解】由題得相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田分成1和2；2和3；3和4；4和5四類；第一類在1和2上種植小麥，“1”有7種選擇，“2”有6種選擇，剩下3塊實(shí)驗(yàn)田種植水稻，分別有種選擇，所以共計(jì)種；第二、三、四類和第一類種數(shù)相同．綜上總計(jì)有種方法．故選：C.5．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且是偶數(shù),按個位是和不是進(jìn)行分類;個位不是時要注意選中的數(shù)有和不是情況求解.【詳解】由題意可知，這三位數(shù)是偶數(shù)，則說明其個位數(shù)為偶數(shù)，即0，2，4，有3種選擇，而由于這是一個三位數(shù)，所以百位數(shù)不能是0，有5種選擇，因?yàn)榇嬖谥貜?fù)數(shù)字，由此分類討論:①當(dāng)個位數(shù)為0時，則百位數(shù)有5種選擇，十位數(shù)有兩種情況，與百位數(shù)一樣，只有一種選擇，與個位數(shù)一樣，也只有一種選擇;②當(dāng)個位數(shù)為2時，如果百位數(shù)為2，則十位數(shù)有6種選擇，如果百位數(shù)不為2，則百位數(shù)有4種選擇，此時十位數(shù)可以與百位數(shù)或個位數(shù)相同，有2種選擇:當(dāng)個位數(shù)為4時，如果百位數(shù)為4，則十位數(shù)有6種選擇，如果百位數(shù)不為4，則百位數(shù)有4種選擇，十位數(shù)可以與百位數(shù)或個位數(shù)相同，有2種選擇綜上所述，.故選：B.6．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）如圖，無人機(jī)光影秀中，有架無人機(jī)排列成如圖所示，每架無人機(jī)均可以發(fā)出種不同顏色的光，至號的無人機(jī)顏色必須相同，、號無人機(jī)顏色必須相同，號無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這架無人機(jī)同時發(fā)光時，一共可以有（

）種燈光組合.A． B． C． D．【答案】D【分析】對、號無人機(jī)顏色與至號的無人機(jī)顏色是否相同進(jìn)行分類討論，再由分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，至號的無人機(jī)顏色有4種選擇；當(dāng)、號無人機(jī)顏色與至號的無人機(jī)顏色相同時，號無人機(jī)顏色有3種選擇；當(dāng)、號無人機(jī)顏色與至號的無人機(jī)顏色不同時，、號無人機(jī)顏色有3種選擇，號無人機(jī)顏色有2種選擇；再由分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得共有種.故選：D【題型二：排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算與證明】一、解答題1．（23-24高二下·寧夏吳忠·期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)已知，求【答案】(1)64；(2)348；(3)7.【分析】（1）（2）利用排列數(shù)公式計(jì)算即可.（3）利用排列數(shù)公式化簡方程，再求解方程即得.【詳解】（1）.（2）.（3）由，得，即，則，整理得，所以.2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）證明下列等式．(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)公式，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）證明：由排列數(shù)的公式，可得：．（2）證明：由排列數(shù)公式，可得．3．（24-25高二上·甘肅武威·期中）（1）計(jì)算：；（2）若，則x的值為_____；（3）若，求正整數(shù)n．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用排列數(shù)、組合數(shù)公式計(jì)算即得.（2）利用組合數(shù)的性質(zhì)，排列數(shù)、組合數(shù)公式化簡方程求解.（3）利用組合數(shù)的性質(zhì)化簡求解.【詳解】（1）.（2）依題意，，則，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.4．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知m是自然數(shù)，n是正整數(shù)，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】代入階乘公式，化簡證明.【詳解】（1）根據(jù)組合數(shù)公式，可以得到．（2）根據(jù)組合數(shù)公式，可以得到．5．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）（1）解關(guān)于的不等式；（2）解不等式：.【答案】（1）；（2）【分析】（1）（2）將排列數(shù)表示為階乘的形式，然后化簡計(jì)算即可得解，【詳解】（1）依題意，有，，由，得，即，整理得，解得，所以，又得，所以的解集為.（2）因?yàn)?，所以，即，整理得，解得，故，所以不等式解集?6．（23-24高二下·山西臨汾·期中）（1）解方程:（2）計(jì)算（3）解不等式.【答案】（1）10；（2）252；（3）或.【分析】（1）（2）（3）根據(jù)排列數(shù)及組合數(shù)解方程及不等式，應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算求值.【詳解】（1）因?yàn)樗?又因?yàn)椋?，解?（2）由.（3）因?yàn)樗?/p>

因?yàn)?，所以，即，解得，所以，又，所以?【題型三：排列問題】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．48 B．24 C．20 D．16【答案】A【分析】根據(jù)捆綁法即可求解.【詳解】由相鄰問題捆綁法可得,故選：A2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某校擬開展課外實(shí)踐活動，有6種實(shí)踐活動可供選擇．若甲、乙、丙三名學(xué)生每人從中選擇1種，且3人選擇的實(shí)踐活動不同，則不同的選法共有（

）A．60種 B．80種 C．120種 D．150種【答案】C【分析】由排列的概念求解即可.【詳解】甲、乙、丙三名學(xué)生每人從6種實(shí)踐活動中選擇1種，3人選擇的實(shí)踐活動不同，則選法共有種．故選：C3．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)．其中將五人排成一行形成甲隊(duì)，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（

）A．432 B．864 C．1728 D．2592【答案】C【分析】先計(jì)算甲隊(duì)的排列總數(shù)，分別要用上捆綁法和除序法；然后再利用插空法計(jì)算乙隊(duì)的排列總數(shù)，最后利用計(jì)數(shù)原理計(jì)算總的排列方法數(shù)即可.【詳解】甲隊(duì)，先用捆綁法，將與捆綁有種，將與看作一個整體，再用除序法得種，利用計(jì)數(shù)原理可知，一共為種；乙隊(duì)，利用插空法得種；按照計(jì)數(shù)原理可知，一共種.故選：C4．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，則不同的安排方法的種數(shù)為（

）A．24 B．26 C．32 D．40【答案】D【分析】按照甲排第一，第二，第三位分類求解．【詳解】按甲的安排進(jìn)行分類討論.①甲排第一，則乙，丙等四人有（種）；②甲排第二，則乙、丙排后3位中的兩位，有（種）；③甲第三，則乙，丙排最后2位；有（種）.故共有（種）.故選：D.5．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機(jī)站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用捆綁法結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，對其全排列，共有種不同的站法，然后我們把他們捆綁為一個整體，再對這個整體和其他個人全排列，共有種不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法種數(shù)為，故D正確.故選：D6．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求數(shù)字1和4相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．192 B．240 C．360 D．720【答案】A【分析】根據(jù)題意和首位非零的要求，將六位數(shù)分成三類，在每一類中，再運(yùn)用相鄰元素捆綁法求出方法數(shù)，最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得.【詳解】依題意，可將這樣的六位數(shù)分成三類：第一類，首位是1，則第二位必須是4，其余四個數(shù)位可將另外四個數(shù)字全排即可，有種方法；第二類，首位是4，則第二位必須是1，其余四個數(shù)位可將另外四個數(shù)字全排即可，有種方法；第三類，首位從中人去一個，有種，再將看成一個元素，與另外三個數(shù)字在四個位置上全排有種，再考慮的順序，有種，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，這樣的六位數(shù)共有個.故選：A.【題型四：組合問題】一、單選題1．（2024·河北承德·二模）對于一個自然數(shù)，如果從左往右，每一位上的數(shù)字依次增大，則稱自然數(shù)是“漸升數(shù)”，那么三位數(shù)的“浙升數(shù)”共有（

）A．97個 B．91個C．84個 D．75個【答案】C【分析】在中任取3個數(shù)，其大小關(guān)系確定，故只需任取3個即可，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】在中任取3個數(shù)，其大小關(guān)系確定，所以“漸升數(shù)”共有個.故選：C.2．（23-24高二下·新疆克拉瑪依·期中）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

）個A．44 B．45 C．54 D．55【答案】B【分析】分別討論個位上的數(shù)字是0和個位上的數(shù)字不是0兩種情況，即可求出結(jié)果.【詳解】對于一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字能取的值分別為：0~9之間的任意一個數(shù)字，十位上的數(shù)字能取的值為：1~9之間的任意一個數(shù)字，為使個位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，當(dāng)個位上的數(shù)字是0時，十位上的數(shù)字可以取1~9之間的任意一個數(shù)字，共9種情況；當(dāng)個位上的數(shù)字不是0時，只需從1~9之間任取兩個數(shù)字，較大的數(shù)字當(dāng)做十位上的數(shù)字即可，此時共有.故滿足題意的兩位數(shù)共有個.故選：B3．（23-24高二下·廣東廣州·期末）以平行六面體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個數(shù)為（

）A．70 B．64 C．58 D．24【答案】C【分析】利用平行六面體的性質(zhì)，結(jié)合構(gòu)成四面體的4個頂點(diǎn)不共面，先求8個頂點(diǎn)任選4個頂點(diǎn)的總數(shù)，再去掉4個頂點(diǎn)共面的情況，即為所求平行六面體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個數(shù).【詳解】由題意知：要使平行六面體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成四面體，則4個頂點(diǎn)不共面，1、8個頂點(diǎn)任選4個，有種，2、8個頂點(diǎn)任選4個，共面的有12種，∴以平行六面體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有個.故選：C4．（23-24高二下·全國·單元測試）從，，，，這五個數(shù)字中任取3個，從2，4，6，8這四個數(shù)中任取2個，組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)的個數(shù)是（

）A． B．

C． D．【答案】C【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】從1，3，5，7，9中任取三個數(shù)有種方法，從2，4，6，8中任取兩個數(shù)有種方法，再把取出的5個數(shù)全排列共有種，故一共可以組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)的個數(shù)是.故選：C.5．（23-24高二下·山西長治·階段練習(xí)）將9個志愿者的名額分配給4個班，每班至少一個名額，則不同的分配方法的種數(shù)為（

）A．504 B．126 C．112 D．56【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用隔板法列式計(jì)算得解.【詳解】取9個小球排成一排形成8個空檔，在8個空檔中放入3個擋板，把9個小球分成4部分，每一部分的小球個數(shù)即為分配到4個班的名額數(shù)，所以不同的分配方法的種數(shù)為.故選：D6．（24-25高二上·福建龍巖·期中）從含有3件次品的8件新產(chǎn)品中，任意抽取4件進(jìn)行檢驗(yàn)，抽出的4件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理，先抽次品，再抽正品，即可求解.【詳解】由題意，8件新產(chǎn)品中有3件次品，件正品，先從3件次品中取出2件次品，有種抽法，再從件正品中取出2件正品，有種抽法，所以抽出的4件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法種數(shù)為.故選：.【題型五：特殊元素（位置）法】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）將字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必須在b的左邊，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．260 B．300 C．360 D．380【答案】C【分析】先安排a，b，然后排其它字母，由此計(jì)算出不同的安排方法.【詳解】先安排a，b，方法數(shù)有種方法，再安排其他字母，方法數(shù)有種，故不同的安排方法有種．故選：C.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（

）A．1440種 B．1360種C．1282種 D．1128種【答案】D【分析】運(yùn)用捆綁法，結(jié)合分類討論和排列組合知識計(jì)算即可.【詳解】采取對丙和甲進(jìn)行捆綁的方法：如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：種，如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：種，若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：種．則不同的安排方案共有(種)．故選：D．3．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求數(shù)字1和4相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．192 B．240 C．360 D．720【答案】A【分析】根據(jù)題意和首位非零的要求，將六位數(shù)分成三類，在每一類中，再運(yùn)用相鄰元素捆綁法求出方法數(shù)，最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得.【詳解】依題意，可將這樣的六位數(shù)分成三類：第一類，首位是1，則第二位必須是4，其余四個數(shù)位可將另外四個數(shù)字全排即可，有種方法；第二類，首位是4，則第二位必須是1，其余四個數(shù)位可將另外四個數(shù)字全排即可，有種方法；第三類，首位從中人去一個，有種，再將看成一個元素，與另外三個數(shù)字在四個位置上全排有種，再考慮的順序，有種，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，這樣的六位數(shù)共有個.故選：A.4．（24-25高二上·甘肅武威·期中）年月我校組織年校慶活動，有甲、乙、丙名志愿者負(fù)責(zé)、、、等個任務(wù)．每人至少負(fù)責(zé)一個任務(wù)，每個任務(wù)都有人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)任務(wù)的分配方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】分別考慮甲負(fù)責(zé)個任務(wù)和甲負(fù)責(zé)個任務(wù)的情況，結(jié)合甲不負(fù)責(zé)，可得答案.【詳解】因任務(wù)有個，人只有三個，結(jié)合題意可知有人負(fù)責(zé)兩個任務(wù).若甲負(fù)責(zé)兩個任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時的分配方法共有種；若甲負(fù)責(zé)個任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時的分配方法共有種；綜上，滿足題意的分配方法共有種.故選：C.5．（24-25高三上·重慶涪陵·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．54【答案】B【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3種情況，分類討論結(jié)合組合數(shù)分析求解；解法二：利用間接法，根據(jù)題意先排甲不排首尾，再排除不符合題意的情況，結(jié)合組合數(shù)分析求解.【詳解】解法一：多重限制的排列問題：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲為優(yōu)先元素分類計(jì)數(shù)，甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；綜上，該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.解法二：間接法：甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；從而該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.故選：B.【題型六：捆綁法】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉(xiāng)村”活動，晚會有《走，去永州》《揚(yáng)鞭催馬運(yùn)糧忙》《數(shù)幸?！贰多l(xiāng)村振興唱起來》四個節(jié)目，若要對這四個節(jié)目進(jìn)行排序，要求《數(shù)幸?！放c《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】利用相鄰問題“捆綁法”列式計(jì)算得解.【詳解】由于《數(shù)幸福》與《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，則兩者“捆綁”，所以不同的排列種數(shù)為.故選：B2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）有本不同的書，其中語文書本，數(shù)學(xué)書本，物理書本．若將其隨機(jī)擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】利用捆綁法可求得結(jié)果.【詳解】將本語文書捆綁、本數(shù)學(xué)書捆綁，則相同科目的書相鄰的排法種數(shù)為種.故選：C.3．（24-25高三上·山東德州·開學(xué)考試）為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校開設(shè)了舞蹈?攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為（

）A．48 B．36 C．24 D．12【答案】A【分析】利用捆綁法進(jìn)行求解.【詳解】舞蹈和攝影課進(jìn)行捆綁，有種情況，將舞蹈和攝影課看為一個整體，和剩余的3個活動，進(jìn)行全排列，有種情況故共有種方案.故選：A4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）四名男生和兩名女生排一行進(jìn)行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數(shù)有（

）A．288種 B．144種 C．96種 D．72種【答案】B【分析】利用插空法和捆綁法求解即可.【詳解】第一步：先對2名女生進(jìn)行排隊(duì)，有種排法；第二步：將除甲和乙之外的人進(jìn)行排隊(duì)，有種排法；第三步：甲、乙采用插空的方式，有種排法．所以共有種．故選：B.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)學(xué)競賽中，某校有共6位同學(xué)獲獎，在競賽結(jié)束后站成一排合影留念時，假設(shè)兩人必須相鄰且站在正中間，兩人不能相鄰，則不同的站法共有（

）A．48種 B．40種 C．32種 D．24種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，捆綁法，插空法求解即可.【詳解】第1步：先將相鄰的進(jìn)行“捆綁”排列，首先排，由題意可將兩人看作一個整體，先站到正中間，共有種站法；第2步：將不能相鄰的插入合適的位置進(jìn)行排列，其次再排，因?yàn)閮扇瞬荒芟噜?，所以只能排到的兩?cè)，若在左側(cè)，則有種站法，此時只能在右側(cè)，有種站法，共種站法，同理在的右側(cè)，在左側(cè)，有種站法，故共有8種站法；第3步：將剩下的進(jìn)行排列并計(jì)算所求，剩下的有種站法，所以不同的站法共有種．故選：C.【題型七：插空法】一、單選題1．（23-24高二下·廣東湛江·階段練習(xí)）7名同學(xué)（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙兩人相鄰但不排在兩端，不同的排法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．960 D．1440【答案】C【分析】可以采用捆綁法以及插空法進(jìn)行求解.【詳解】乙兩人相鄰，可以采用捆綁法有種排法，然后它們不排在兩端可以采用插空法有種排法，所以不同的排法種數(shù)是.故選：C.2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠(yuǎn)的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（

）A．120種 B．24種 C．36種 D．12種【答案】D【分析】先排紅色棋子，再將黑色棋子插空，求出答案.【詳解】先將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子進(jìn)行全排列，有種選擇，3個紅色棋子中間有2個空，將2個黑色的“將”“車”棋子進(jìn)行插空，有種選擇，則同色棋子不相鄰的排列方式有種.故選：D3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某校舉辦校運(yùn)動會，某班級選出跑步較好的4人參加米接力賽，其中甲、乙兩人不跑相鄰棒的排法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種【答案】B【分析】利用不相鄰問題插空法即可求解.【詳解】先對剩下兩個人進(jìn)行全排列，有種，此時有3個空位置，再對甲、乙兩人進(jìn)行排列，有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法．故選：B4．（23-24高二下·山東濱州·期末）已知，小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時，打算將的前6位數(shù)字1，4，1，4，2，1進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時要求三個1不相鄰，兩個4也不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】C【分析】討論2與兩個4的位置，結(jié)合組合公式得出答案.【詳解】當(dāng)2在兩個4的左邊時，兩個4中間必有一個1，另外兩個1可以插空，共有種；由對稱性可得，當(dāng)2在兩個4的右邊時，共有3種；當(dāng)2在兩個4的中間時，形成4個空，將3個1插入其中，共有種；綜上，共有10種；故選：C5．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）某大橋的一側(cè)依次安裝有13盞路燈，因環(huán)保節(jié)能的需求，計(jì)劃關(guān)掉其中的5盞．如果兩端的路燈不能關(guān)，且相鄰的路燈不能同時關(guān)，則不同關(guān)燈方式的種數(shù)是（

）A．21 B．35 C．70 D．126【答案】A【分析】先將保留的盞燈排成一排，進(jìn)而在盞燈形成的個空位中的個空中插入盞燈（即為關(guān)掉的燈），不需考慮燈的差異，故利用組合數(shù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閮啥说穆窡舨荒荜P(guān)，且相鄰的路燈不能同時關(guān)，即先將保留的盞燈排成一排，進(jìn)而在盞燈形成的個空位中的個空中插入盞燈（即為關(guān)掉的燈），所以共有（種）不同的關(guān)燈方式．故選：A．【題型八：倍縮法】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．36種【答案】B【分析】將香菌、新筍、豆腐干看作一個元素，利用捆綁法結(jié)合倍縮法求解.【詳解】因?yàn)橄憔?、新筍、豆腐干一起下鍋，把它們捆綁在一起，看作一個元素，此時共有5個元素，其中雞湯最后下鍋，放在最后一個位置，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，定序問題用倍縮法，共有種不同的排列方式.故選：B.2．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）某單位開展聯(lián)歡活動，抽獎項(xiàng)目設(shè)置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項(xiàng).甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發(fā)現(xiàn)這5人的獎項(xiàng)都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項(xiàng)介于丁和戊之間”.根據(jù)以上信息，這5人的獎項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是（

）A．15 B．18 C．22 D．26【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，按甲是否是特等獎分類，再結(jié)合丙的情況利用倍分法列式計(jì)算即得.【詳解】甲是特等獎，不考慮丙的位置有種；甲不是特等獎，不考慮丙的位置有種；而丙在丁和戊之間占，所以5人的獎項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是.故選：D3．（23-24高二上·遼寧撫順·階段練習(xí)）若把英語單詞“receive”的字母順序?qū)戝e了，則出現(xiàn)的錯誤寫法共有（

）A．840種 B．839種 C．2520種 D．2519種【答案】B【分析】7個字母中有3個字母是重復(fù)的，所以共有種排法，可解問題.【詳解】7個字母的全排列有種，因?yàn)橛?個字母是重復(fù)的，所以共有種排法，除去1種正確的寫法，所以出現(xiàn)的錯誤寫法共有839種.故選：B.4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（

）A．240種 B．188種 C．144種 D．120種【答案】D【分析】先將“相聲”與“小品”排在一起再與其它4個節(jié)目排序，最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣,即可得出答案.【詳解】先將“相聲”與“小品”排在一起，有種排法，再與其它4個節(jié)目排序，有種排法，最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣，所以有種．故選：D.5．（23-24高二下·湖北武漢·期中）三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（

）A．350 B．140 C．560 D．280【答案】C【分析】由排列數(shù)的計(jì)算，結(jié)合定序問題倍縮法，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】將8只氣球編號，依次從下往上，從右往左編號為，問題等價于8只氣球排列，其中號，號，號必須是從下到上的順序打破氣球，則有種.故選：C【題型九：排數(shù)問題】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字，從中取三個不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有（

）A．20個 B．30個 C．40個 D．55個【答案】B【分析】分有和沒有兩種情況討論，選擇出數(shù)字，再排列.【詳解】若這三個數(shù)字里沒有，則共有個，若這三個數(shù)字里有，則共有個，則共有個.故選：B.2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃氡砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．42 B．38 C．54 D．48【答案】A【分析】根據(jù)表示數(shù)字的火柴棒的根數(shù)分類討論，即可求解.【詳解】因?yàn)?0根火柴可以擺出的數(shù)字為2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以組成個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).故選：A3．（23-24高二下·浙江寧波·期中）如圖，某種雨傘架前后兩排共8個孔，編號分別為號．若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)要放傘，每個孔最多放一把傘，則甲放在奇數(shù)孔，乙放在偶數(shù)孔，且丙、丁沒有放在同一排的放法有（

）A．68種 B．136種 C．272種 D．544種【答案】C【分析】根據(jù)題意，按甲乙是否放在同一排兩種情況討論，由加法原理計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①甲乙放在同一排，有種放法，②甲乙不放在同一排，有種放法，則有種不同的放法．故選：C．4．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，自然常數(shù)．小布打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行排列得到密碼．如果排列時要求8不排最后一個，兩個2相鄰，那么小布可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（

）．A．30 B．32 C．36 D．48【答案】C【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①排在最后一位；②不排在最后一位，由加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況：①2排在最后一位，則倒數(shù)第二位也是2，再從剩下4個位置選出2個，安排兩個8，最后安排7和1，此時有個不同的密碼；②2不排在最后一位，則倒數(shù)第一位安排7或1，將兩個2看成一個整體，與兩個8和7或1中剩下的數(shù)排列，此時有個不同的密碼；則一共有個不同的密碼．故選：C．5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）從，，，，，，這個數(shù)中任選個組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的“五位凹數(shù)”（滿足），則這樣的“五位凹數(shù)”的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】第一步，從，，，，，，這個數(shù)中任選個共有種方法，第二步，選出的個數(shù)中，最小的為，從剩下的4個數(shù)中選出個分給，由題意可知，選出后就確定了，共有種方法，故滿足條件的“五位凹數(shù)”個，故選：A6．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“八合數(shù)”(如2024是“八合數(shù)”)，則“八合數(shù)”共有（

）個.A．35 B．56 C．120 D．165【答案】C【分析】分含有三個0，兩個0，一個0和不含0四種情況分類討論，求出每種情況下的個數(shù)相加得到答案.【詳解】含有三個0時，只能為，即1種選擇；含有兩個0時，另外兩個數(shù)為或或或，當(dāng)另外兩個數(shù)為時，從百位，十位，個位選擇兩個位置放0，和剩余的兩個位置進(jìn)行全排列，故有種選擇，當(dāng)另外兩個數(shù)為或時，同理可得有種選擇，當(dāng)另外兩個數(shù)為時，從百位，十位，個位選擇兩個位置放0，剩余的兩個位置放4，故有種選擇，故含有兩個0時，共有種選擇，含一個0，其他三個數(shù)可以為或或或或，當(dāng)三個數(shù)為時，先從百位，十位，個位選擇一個位置放0，再從剩余的三個位置選擇一個位置放6，剩余的兩個位置放1，故有種選擇，同理當(dāng)三個數(shù)為或時，均有種選擇；當(dāng)三個數(shù)為或時，先從百位，十位，個位選擇一個位置放0，剩余的三個數(shù)進(jìn)行全排列，故有種選擇，所以，當(dāng)四個數(shù)中有一個0時，共有種選擇，當(dāng)不含0時，四個數(shù)可以為或或或或，當(dāng)四個數(shù)分別為，從四個位置選擇1個放5，其他三個位置放1，故有種，當(dāng)四個數(shù)分別為，從四個位置選擇2個放，且有順序，其他兩個位置放1，故有種，當(dāng)四個數(shù)分別為時，同理可得有種，當(dāng)四個數(shù)分別為時，從四個位置選擇2個放，且無順序，其他兩個位置放3，故有種，當(dāng)四個數(shù)為時，只有1種選擇，故不含0時，共有種選擇，綜上，共有個“八合數(shù)”.故選：C【題型十：分組、分配問題】一、單選題1．（24-25高三上·河南新鄉(xiāng)·期中）將本不同的雜志分成組，每組至少本，則不同的分組方法數(shù)為（

）A． B． C．105 D．【答案】C【分析】根據(jù)不平均分組問題，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】依題意可得分組的本數(shù)分配只有種，即，，，則不同的分組方法數(shù)為.故選：C2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）每年的5月25日是全國大中學(xué)生心理健康日．某高校計(jì)劃在這一天開展有關(guān)心理健康的宣傳活動，現(xiàn)計(jì)劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進(jìn)行宣講，則不同的排法總數(shù)為（

）A．540 B．120 C．90 D．60【答案】C【分析】先將6位老師平均分成三組，再將三組分配即可.【詳解】將6位老師平均分成三組，共有種可能，三組老師分別到三個不同的班級進(jìn)行宣講，每個班級都有老師宣講，則有種排法．故選：C.3．（24-25高三上·廣西·期中）為促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在內(nèi)的5名城區(qū)教師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校支教，若每所學(xué)校