1/3專(zhuān)題04排列組合二項(xiàng)式定理（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律1：兩大計(jì)數(shù)原理（排列組合基礎(chǔ)核心）1.能通過(guò)關(guān)鍵詞（“或”“且”）快速判斷計(jì)數(shù)場(chǎng)景適用的原理；2.熟練應(yīng)用兩大原理解決無(wú)復(fù)雜限制的基礎(chǔ)計(jì)數(shù)問(wèn)題（如“選課程、分任務(wù)”）；3.建立“先判斷原理，再列式計(jì)算”的解題習(xí)慣，杜絕重復(fù)或遺漏計(jì)數(shù).1.題型：以選擇題、填空題為主（占該考點(diǎn)考查頻次的90%以上）；2.難度：基礎(chǔ)題（占比80%），極少涉及難題；3.命題特點(diǎn)：常結(jié)合生活場(chǎng)景（如選課、購(gòu)票、分配任務(wù)），直接考查原理應(yīng)用，不與其他模型復(fù)雜結(jié)合.2：排列與組合的定義及計(jì)算（排列組合核心工具）1.牢記排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)性質(zhì)，無(wú)需推導(dǎo)直接快速計(jì)算；2.能根據(jù)“是否有序”準(zhǔn)確判斷用排列或組合列式；3.熟練運(yùn)用組合數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算（如），提升解題效率.1.題型：選擇題、填空題為主（占比70%），部分解答題第一問(wèn)涉及（占比30%）；2.難度：基礎(chǔ)題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點(diǎn)：直接考查公式計(jì)算（如“計(jì)算的值”）或性質(zhì)化簡(jiǎn)（如“化簡(jiǎn)求k”），極少設(shè)置復(fù)雜背景.3：常見(jiàn)計(jì)數(shù)模型（排列組合高頻應(yīng)用題）1.能通過(guò)題干關(guān)鍵詞（“相鄰”“不相鄰”“平均分配”“甲不站XX位”）快速識(shí)別對(duì)應(yīng)模型；2.掌握各模型解題步驟（如捆綁法“先捆后排”、插空法“先排無(wú)限制再插空”），能獨(dú)立列式求解；3.突破均勻分組重復(fù)計(jì)算的易錯(cuò)點(diǎn)（記住“均勻分組需除以組數(shù)階乘”）.1.題型：選擇題、填空題（占比50%），解答題（占比50%）；2.難度：中檔題（占比80%），少量基礎(chǔ)題（20%）；3.命題特點(diǎn)：常結(jié)合排隊(duì)、分配任務(wù)、選代表等場(chǎng)景，單個(gè)模型考查（如純捆綁問(wèn)題）或兩個(gè)模型簡(jiǎn)單綜合（如“部分人相鄰+部分人不相鄰”），不涉及三個(gè)及以上模型疊加.4：排列組合綜合應(yīng)用（排列組合能力提升）1.能解決“先選后排”的混合計(jì)算問(wèn)題（如“從6人中選4人排成一列，有多少種排法”）；2.掌握“排列組合求基本事件數(shù)，再算概率”的解題邏輯；3.能處理含1-2個(gè)簡(jiǎn)單限制條件的綜合題（如“選3人排成一排，甲不站末位，求排法數(shù)”）.1.題型：解答題為主（占比70%），少量填空題（30%）；2.難度：中檔題（占比90%），極少難題（10%）；3.命題特點(diǎn)：部分地區(qū)期末考查，常以“概率背景”呈現(xiàn)（如“從5件正品2件次品中選2件，求恰好1件次品的概率”），核心是排列組合計(jì)算基本事件數(shù).5：二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式（二項(xiàng)式基礎(chǔ)核心）1.熟練默寫(xiě)二項(xiàng)式展開(kāi)式核心公式及通項(xiàng)公式；2.明確通項(xiàng)公式中“k的含義”（從0開(kāi)始），避免“第m項(xiàng)”與“k值”的對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤（如第3項(xiàng)對(duì)應(yīng)k=2）；3.能根據(jù)通項(xiàng)公式快速寫(xiě)出任意指定項(xiàng)的表達(dá)式.1.題型：選擇題、填空題為主（占比80%）；2.難度：基礎(chǔ)題（占比70%）、中檔題（30%）；3.命題特點(diǎn)：直接考查通項(xiàng)公式書(shū)寫(xiě)（如“寫(xiě)出的第2項(xiàng)”）或展開(kāi)式前3項(xiàng)展開(kāi)（如“展開(kāi)的前3項(xiàng)”），下標(biāo)對(duì)應(yīng)是高頻易錯(cuò)點(diǎn)考查.6：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（二項(xiàng)式高頻區(qū)分點(diǎn)）1.能通過(guò)定義快速區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”（如中，第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，項(xiàng)的系數(shù)是）；2.牢記二項(xiàng)式系數(shù)之和的結(jié)論，能直接應(yīng)用計(jì)算；3.避免“二項(xiàng)式系數(shù)之和”與“項(xiàng)的系數(shù)之和”的混淆.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：基礎(chǔ)題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點(diǎn)：高頻考查“區(qū)分與計(jì)算”（如“求中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)”），二項(xiàng)式系數(shù)之和常結(jié)合賦值法間接考查.7：特定項(xiàng)求解（二項(xiàng)式期末必考題）1.掌握“通項(xiàng)公式+指數(shù)方程”的解題邏輯（如求常數(shù)項(xiàng)：令通項(xiàng)中x的指數(shù)=0，解k值，再計(jì)算系數(shù)）；2.能快速求解常數(shù)項(xiàng)、指定次數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，準(zhǔn)確判斷有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；3.熟練處理含分式、根式的二項(xiàng)式特定項(xiàng)問(wèn)題（如求有理項(xiàng)）.1.題型：選擇題、填空題（占比60%），解答題（占比40%）；2.難度：中檔題（占比90%）；3.命題特點(diǎn)：期末必考題，背景簡(jiǎn)潔（多為、形式），核心是通項(xiàng)公式的應(yīng)用，計(jì)算量不大但需細(xì)心.8：賦值法的應(yīng)用（二項(xiàng)式系數(shù)和核心方法）1.掌握賦值法的核心邏輯（通過(guò)代入特殊值簡(jiǎn)化展開(kāi)式，快速求系數(shù)和）；2.能根據(jù)所求“系數(shù)和類(lèi)型”選擇對(duì)應(yīng)賦值（如求全項(xiàng)系數(shù)和用）；3.能解決含負(fù)號(hào)、系數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)和問(wèn)題（如的所有項(xiàng)系數(shù)和）.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：中檔題（占比80%）；3.命題特點(diǎn)：高頻考點(diǎn)，常直接設(shè)問(wèn)（如“求的所有項(xiàng)系數(shù)和”），偶爾結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和綜合考查（如“求的奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和”）.知識(shí)點(diǎn)1：兩大計(jì)數(shù)原理（排列組合基礎(chǔ)核心）基礎(chǔ)知識(shí)：解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的根本方法，區(qū)分“獨(dú)立選擇”與“連續(xù)操作”場(chǎng)景.核心概念：1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有類(lèi)互斥方案，每類(lèi)有種方法，總方法數(shù)為各類(lèi)方法數(shù)之和（“或”關(guān)系，互斥無(wú)重疊）；2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需個(gè)關(guān)聯(lián)步驟，每步有種方法，總方法數(shù)為各步方法數(shù)之積（“且”關(guān)系，步驟連貫）.核心公式：分類(lèi)加法：分步乘法：易錯(cuò)點(diǎn)：1.混淆“分類(lèi)”與“分步”（關(guān)鍵詞“或”→分類(lèi)，“且”→分步）；2.分類(lèi)時(shí)出現(xiàn)重疊（如“選男生或班干部”，男生與班干部有交集）；3.分步時(shí)遺漏關(guān)鍵步驟（如“從到再到”，忽略某段路線(xiàn)的選擇）.?？冀Y(jié)論：1.若問(wèn)題既有分類(lèi)又有分步，先分類(lèi)再對(duì)每類(lèi)分步計(jì)算；2.互斥場(chǎng)景必用分類(lèi)加法，連續(xù)操作必用分步乘法.知識(shí)點(diǎn)2：排列與組合的定義及計(jì)算（排列組合核心工具）基礎(chǔ)知識(shí)：從個(gè)不同元素中選取個(gè)元素的兩種基本形式，核心區(qū)別“有序與否”.核心概念：1.排列：從個(gè)不同元素中選個(gè)（），按一定順序排成一列（有序，如“排隊(duì)”“排序”）；2.組合：從個(gè)不同元素中選個(gè)（），不考慮順序組成一組（無(wú)序，如“選代表”“選物品”）.核心公式：排列數(shù)：（規(guī)定）組合數(shù)：組合數(shù)性質(zhì)：①對(duì)稱(chēng)性：；②遞推性：；③特殊值：，，。易錯(cuò)點(diǎn)：1.未判斷“有序/無(wú)序”直接套用公式（如“選3人排成一排”是排列，“選3人參加活動(dòng)”是組合）；2.組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤（如誤將算成）；3.階乘計(jì)算失誤（如，而非）.?？冀Y(jié)論：1.（排列=組合×排序）；2.當(dāng)時(shí)，用簡(jiǎn)化計(jì)算（如）；3.（組合數(shù)之和，后續(xù)二項(xiàng)式定理會(huì)深化）.知識(shí)點(diǎn)3：常見(jiàn)計(jì)數(shù)模型（排列組合高頻應(yīng)用題）基礎(chǔ)知識(shí)：針對(duì)特定場(chǎng)景（相鄰、不相鄰、分組等）的標(biāo)準(zhǔn)化解題模板.核心概念：1.捆綁法：解決“相鄰問(wèn)題”，將相鄰元素視為一個(gè)整體參與排列；2.插空法：解決“不相鄰問(wèn)題”，先排無(wú)限制元素，再在間隙中插入受限元素；3.分組分配：將個(gè)元素分成若干組（均勻/非均勻），再分配到對(duì)應(yīng)位置；4.特殊元素/位置優(yōu)先：優(yōu)先安排有約束條件的元素（如“甲不站首位”）或位置.核心公式/步驟：捆綁法：①捆（相鄰元素內(nèi)部排列：）；②排（整體與其他元素排列：）；總方法數(shù)：；插空法：①排無(wú)限制元素（）；②插空（個(gè)元素形成個(gè)間隙，選個(gè)插入：）；總方法數(shù)：；分組分配：①非均勻分組（各組元素?cái)?shù)不同）：直接分（）；②均勻分組（部分組元素?cái)?shù)相同）：分后除重（，為均勻組數(shù)）；③分配到位置：分組后×全排列（，為位置數(shù)）.易錯(cuò)點(diǎn)：1.捆綁法忘記計(jì)算相鄰元素內(nèi)部的排列（如“3人相鄰排隊(duì)”，僅算整體排列，忽略3人內(nèi)部順序）；2.插空法先排相鄰元素（導(dǎo)致間隙數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤）；3.均勻分組未除重（如“6人平均分成3組”，誤算為，正確應(yīng)為）；4.特殊元素優(yōu)先時(shí)，遺漏其他約束條件（如“甲不站首位，乙不站末位”，僅排除甲站首位，未考慮甲站末位時(shí)乙的限制）.?？冀Y(jié)論：1.相鄰問(wèn)題必用捆綁法，不相鄰問(wèn)題必用插空法（兩者不可混淆）；2.分組問(wèn)題先判斷“均勻與否”，再?zèng)Q定是否除重；3.多約束條件（如“甲不站首、乙不站末”）優(yōu)先用“直接法”或“間接法”（總排法?不符合條件排法）.知識(shí)點(diǎn)4：排列組合綜合應(yīng)用（排列組合能力提升）基礎(chǔ)知識(shí)：融合排列、組合及概率的復(fù)合型問(wèn)題，核心是“計(jì)數(shù)為基礎(chǔ)，應(yīng)用為目標(biāo)”.核心概念：1.先選后排：先通過(guò)組合選取元素，再通過(guò)排列安排順序（如“選3人排成一排”）；2.計(jì)數(shù)求概率：用排列組合計(jì)算基本事件總數(shù)及目標(biāo)事件數(shù)，再套用概率公式.核心公式：先選后排：；概率計(jì)算：（超幾何分布模型，如“從件產(chǎn)品中選件，含件次品”）.易錯(cuò)點(diǎn)：1.先排后選導(dǎo)致重復(fù)計(jì)數(shù)（如“選2人排前后位”，誤算為，實(shí)際直接用即可）；2.概率計(jì)算時(shí)混淆“有序”與“無(wú)序”（基本事件總數(shù)與目標(biāo)事件數(shù)需保持一致，均有序或均無(wú)序）；3.忽略“不放回”與“放回”的區(qū)別（如“摸球問(wèn)題”，不放回用排列/組合，放回用分步乘法）.?？冀Y(jié)論：1.“先選后排”是排列組合混合問(wèn)題的核心思路；2.與概率結(jié)合時(shí)，優(yōu)先明確“基本事件是否有序”，再計(jì)算總數(shù)與目標(biāo)數(shù)；3.常見(jiàn)場(chǎng)景（選產(chǎn)品、選代表、摸球）多為“不放回”模型，需用組合數(shù)計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)5：二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式（二項(xiàng)式基礎(chǔ)核心）基礎(chǔ)知識(shí)：的代數(shù)展開(kāi)規(guī)律，是二項(xiàng)式相關(guān)問(wèn)題的核心依據(jù).核心概念：1.二項(xiàng)式定理：（），右側(cè)為展開(kāi)式，共項(xiàng)；2.通項(xiàng)公式：第項(xiàng)（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)），是求解特定項(xiàng)的關(guān)鍵工具.核心公式：展開(kāi)式：；通項(xiàng)公式：（）。易錯(cuò)點(diǎn)：1.通項(xiàng)公式下標(biāo)錯(cuò)誤（誤將第項(xiàng)當(dāng)作，正確應(yīng)為）；2.忽略的取值范圍（必須滿(mǎn)足，否則二項(xiàng)式系數(shù)為0）；3.展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)錯(cuò)誤（誤將的展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)記為項(xiàng)，實(shí)際為項(xiàng)）.?？冀Y(jié)論：1.通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)式特定項(xiàng)問(wèn)題的唯一核心工具，必須牢記；2.展開(kāi)式中各項(xiàng)的的次數(shù)從遞減到0，的次數(shù)從0遞增到，各項(xiàng)次數(shù)和均為；3.當(dāng)或?yàn)樨?fù)數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)（如的展開(kāi)式第項(xiàng)符號(hào)為）.知識(shí)點(diǎn)6：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（二項(xiàng)式高頻區(qū)分點(diǎn)）基礎(chǔ)知識(shí)：二項(xiàng)式展開(kāi)式中兩類(lèi)系數(shù)的明確區(qū)分，是期末高頻考查的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).核心概念：1.二項(xiàng)式系數(shù)：僅指展開(kāi)式中各項(xiàng)的（與a、b的系數(shù)無(wú)關(guān)，僅由n、k決定）；2.項(xiàng)的系數(shù)：該項(xiàng)中未知數(shù)前的數(shù)字因數(shù)（二項(xiàng)式系數(shù)與a、b本身系數(shù)的乘積，如中第項(xiàng)的系數(shù)為）.核心公式/結(jié)論：二項(xiàng)式系數(shù)之和：（令）；奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和=偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和：（令）；項(xiàng)的系數(shù)之和：令（若a、b含系數(shù)，需代入對(duì)應(yīng)值，如的項(xiàng)的系數(shù)之和為）.易錯(cuò)點(diǎn)：1.混淆二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（如中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，項(xiàng)的系數(shù)是）；2.求項(xiàng)的系數(shù)之和時(shí)，未代入a、b的實(shí)際系數(shù)（如誤算為，正確應(yīng)為）；3.認(rèn)為“二項(xiàng)式系數(shù)之和=項(xiàng)的系數(shù)之和”（僅當(dāng)時(shí)成立，若a、b含系數(shù)則不成立）.?？冀Y(jié)論：1.二項(xiàng)式系數(shù)僅與“項(xiàng)的位置”有關(guān)，項(xiàng)的系數(shù)與“a、b的系數(shù)+項(xiàng)的位置”都有關(guān)；2.求各類(lèi)系數(shù)和必用賦值法，關(guān)鍵是根據(jù)所求目標(biāo)選擇合適的賦值（1或-1）；3.二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第項(xiàng)和第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.知識(shí)點(diǎn)7：特定項(xiàng)求解（二項(xiàng)式期末必考題）基礎(chǔ)知識(shí)：利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式，根據(jù)目標(biāo)項(xiàng)的特征（常數(shù)、指定次數(shù)等）求解，是二項(xiàng)式定理的核心應(yīng)用.核心概念：1.常數(shù)項(xiàng)：展開(kāi)式中不含未知數(shù)的項(xiàng)（未知數(shù)的指數(shù)為0）；2.指定次數(shù)項(xiàng)：未知數(shù)的指數(shù)為特定值的項(xiàng)（如項(xiàng)、項(xiàng)）；3.有理項(xiàng)：未知數(shù)的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)（含常數(shù)項(xiàng)）；無(wú)理項(xiàng)：未知數(shù)的指數(shù)為非整數(shù)的項(xiàng).核心公式/步驟：1.寫(xiě)出通項(xiàng)公式：；2.化簡(jiǎn)通項(xiàng)中未知數(shù)的指數(shù)：設(shè)、（含系數(shù)需保留），則未知數(shù)指數(shù)為；3.根據(jù)目標(biāo)項(xiàng)特征列方程.常數(shù)項(xiàng)：，解出整數(shù)（）；指定次數(shù)項(xiàng)：（為目標(biāo)次數(shù)），解出整數(shù)；有理項(xiàng)：，找出所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)；4.代入值計(jì)算目標(biāo)項(xiàng)的系數(shù)或具體項(xiàng).易錯(cuò)點(diǎn)：1.化簡(jiǎn)未知數(shù)指數(shù)時(shí)出錯(cuò)（如中，，誤寫(xiě)為）；2.解方程后未驗(yàn)證是否為整數(shù)或是否在范圍內(nèi)（如時(shí)，解出需舍去）；3.計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)時(shí)遺漏a、b的系數(shù)（如中，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)誤算為，忽略）.?？冀Y(jié)論：1.特定項(xiàng)求解的核心是“通項(xiàng)公式+指數(shù)方程”，步驟固定，需熟練掌握；2.含分式、根式的二項(xiàng)式（如、），先統(tǒng)一未知數(shù)的指數(shù)形式（化為負(fù)指數(shù)或分?jǐn)?shù)指數(shù)）再列方程；3.常數(shù)項(xiàng)存在的條件：指數(shù)方程有整數(shù)解，且（如，指數(shù)方程，即，需是3的倍數(shù)）.知識(shí)點(diǎn)8：賦值法的應(yīng)用（二項(xiàng)式系數(shù)和核心方法）基礎(chǔ)知識(shí)：通過(guò)代入特殊值（如1、-1、0）簡(jiǎn)化二項(xiàng)式展開(kāi)式，快速求解各類(lèi)系數(shù)和，是期末高頻技巧.核心概念：1.全項(xiàng)系數(shù)和：展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和（含常數(shù)項(xiàng)）；2.奇數(shù)項(xiàng)/偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：展開(kāi)式中奇數(shù)位置項(xiàng)（第1、3、5…項(xiàng)）或偶數(shù)位置項(xiàng)（第2、4、6…項(xiàng)）的系數(shù)之和；3.特定字母系數(shù)和：僅含某一字母的項(xiàng)的系數(shù)之和（如中含的項(xiàng)的系數(shù)之和）.核心公式/賦值方式： 所求目標(biāo)賦值方式計(jì)算結(jié)果全項(xiàng)系數(shù)和令（a、b含系數(shù)需代入）如：奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和-偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和令如：奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和（全項(xiàng)系數(shù)和+上述結(jié)果）÷2如：偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和（全項(xiàng)系數(shù)和-上述結(jié)果）÷2如：常數(shù)項(xiàng)令未知數(shù)=0（如）如：易錯(cuò)點(diǎn)：1.賦值時(shí)忽略a、b本身的系數(shù)（如求全項(xiàng)系數(shù)和，誤令得，正確）；2.混淆“奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和”與“奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和”（前者需考慮a、b系數(shù)，后者僅為）；3.求含負(fù)號(hào)的二項(xiàng)式系數(shù)和時(shí)，符號(hào)錯(cuò)誤（如令，誤算為，正確為）.常考結(jié)論：1.賦值法的本質(zhì)是“特殊值代入法”，核心是利用、交替變號(hào)的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算；2.若二項(xiàng)式含多個(gè)字母（如），可固定一個(gè)字母，對(duì)其他字母賦值（如求含的項(xiàng)的系數(shù)之和，令，轉(zhuǎn)化為中的系數(shù)）；3.常數(shù)項(xiàng)可通過(guò)“賦值法”或“特定項(xiàng)求解”兩種方式驗(yàn)證，期末?？純煞N方法的交叉應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)9：楊輝三角（二項(xiàng)式系數(shù)的直觀表示）基礎(chǔ)知識(shí)：二項(xiàng)式系數(shù)的幾何排列形式，直觀反映組合數(shù)的遞推關(guān)系，是銜接組合數(shù)與二項(xiàng)式定理的橋梁.核心概念：1.行數(shù)定義：第行（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)）對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)（如第0行對(duì)應(yīng)，系數(shù)為；第1行對(duì)應(yīng)，系數(shù)為）；2.遞推特征：從第2行起，每個(gè)數(shù)字等于上方兩個(gè)相鄰數(shù)字之和（對(duì)應(yīng)組合數(shù)性質(zhì)）；3.對(duì)稱(chēng)特征：每行數(shù)字左右對(duì)稱(chēng)（對(duì)應(yīng)組合數(shù)對(duì)稱(chēng)性）.核心特征：1.第行共有個(gè)數(shù)字；2.第行所有數(shù)字之和為（對(duì)應(yīng)二項(xiàng)式系數(shù)之和）；3.第行數(shù)字的最大值：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間1個(gè)數(shù)字最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間2個(gè)數(shù)字相等且最大.易錯(cuò)點(diǎn)：1.行數(shù)與二項(xiàng)式次數(shù)對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤（誤將第3行當(dāng)作的系數(shù)，實(shí)際第行對(duì)應(yīng)）；2.遞推關(guān)系應(yīng)用錯(cuò)誤（如第行第個(gè)數(shù)字，誤寫(xiě)為，順序顛倒）；3.忽略“行數(shù)從0開(kāi)始”的規(guī)則（如求的系數(shù)，需查第5行，而非第6行）.常考結(jié)論：1.楊輝三角可快速查找低次二項(xiàng)式的系數(shù)（如的系數(shù)直接查第4行：）；2.利用遞推性可快速計(jì)算組合數(shù)（如，對(duì)應(yīng)楊輝三角第6行第4個(gè)數(shù)字）；3.期末僅考查基礎(chǔ)應(yīng)用（查找系數(shù)、驗(yàn)證組合數(shù)性質(zhì)），不涉及復(fù)雜的楊輝三角規(guī)律（如質(zhì)數(shù)行、斐波那契數(shù)列關(guān)聯(lián)等）.題型一分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題（“或”關(guān)系，互斥場(chǎng)景）解｜題｜技｜巧典型例題：從3名男生和2名女生中選1人參加活動(dòng)，有多少種選法？答題模板：1.識(shí)別特征：?jiǎn)栴}含“或”“要么…要么…”，類(lèi)別互斥無(wú)重疊；2.劃分類(lèi)別：按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)（如“男生”“女生”兩類(lèi)）；3.計(jì)算每類(lèi)方法數(shù)：第1類(lèi)，第2類(lèi)，…，第類(lèi)；4.求和得總方法數(shù)：.套用示例：男生3種+女生2種=5種.【典例1】（25-26高二上·上?！て谥校⒏魑粩?shù)字之和為的三位數(shù)叫“幸運(yùn)數(shù)”，比如，，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為．【典例2】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片?2部文藝片?3部喜劇片，小華從中任選1部電影觀看，則不同的選法種數(shù)有（

）A．18 B．9 C．8 D．7【變式1】（24-25高二下·青海西寧·期末）在全球高鐵技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)中，中國(guó)站到了前沿.全國(guó)政協(xié)委員、中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車(chē)CR450正在加緊試驗(yàn)，預(yù)計(jì)將在一年后投入商業(yè)運(yùn)營(yíng).小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車(chē)車(chē)票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，則小張的購(gòu)票方案種數(shù)為（

）A．14 B．19 C．90 D．200【變式2】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，則取出的這三個(gè)數(shù)字之和能被3整除的種數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．32【變式3】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法是數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌由一根根同樣長(zhǎng)短的小木棍構(gòu)成，如圖所示是利用算籌表示的一種方法.例如：可表示為“”，可表示為“”.按照這種表示方法，根算籌可以表示多少個(gè)三位數(shù)？（算籌不能剩余且三位數(shù)中不含）題型二分步計(jì)數(shù)問(wèn)題（“且”關(guān)系，連續(xù)操作）答｜題｜模｜板典型例題：從地到地有2條路，從地到地有3條路，從到有多少種走法？答題模板：1.識(shí)別特征：?jiǎn)栴}含“且”“先…再…”，步驟連貫缺一不可；2.拆解步驟：按操作順序分步（如“”“”兩步）；3.計(jì)算每步方法數(shù)：第1步，第2步，…，第步；4.求積得總方法數(shù)：.套用示例：種.【典例1】（25-26高三上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）書(shū)架上有6本不同的書(shū)，再往書(shū)架放另外3本不同的書(shū)，要求不改變?cè)瓉?lái)書(shū)架上6本書(shū)的左右順序，則不同的放法有（

）種.A．504 B．84 C．1008 D．168【典例2】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)有3名醫(yī)生，5名護(hù)士，2名麻醉師.從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護(hù)士和1名麻醉師組成1個(gè)醫(yī)療小組，有多少種不同的選法？【變式1】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四人各寫(xiě)一張賀卡，先將賀卡集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人寫(xiě)的賀卡，則不同的分配方式有（

）種.A． B． C． D．【變式2】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）把3名學(xué)生分配到某工廠的5個(gè)車(chē)間去參加社會(huì)實(shí)踐，3人均可分到相同或不同車(chē)間，共有多少種不同的分配方案？【變式3】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）8名學(xué)生爭(zhēng)奪4項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能情況有（

）種．A． B． C． D．題型三分類(lèi)與分步結(jié)合問(wèn)題答｜題｜模｜板典型例題：從3名男生和2名女生中選1名男生和1名女生參加活動(dòng)，有多少種選法？答題模板：1.先分類(lèi)：按其中一類(lèi)元素劃分（如“選男生”“選女生”兩類(lèi)）；2.再分步：每類(lèi)內(nèi)部按連續(xù)操作拆解（如“選1名男生”為第1步，“選1名女生”為第2步）；3.分步求積：每類(lèi)的方法數(shù)=各步方法數(shù)之積；4.分類(lèi)求和：總方法數(shù)=各類(lèi)方法數(shù)之和.套用示例：（3選1）×（2選1）種.【典例1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．144【典例2】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為，，，的個(gè)小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為，，的小正方形涂相同的顏色，則共有（

）種涂法，A． B． C． D．【變式1】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用數(shù)字，，，，，，，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且至多有一位數(shù)字是偶數(shù)的四位個(gè)數(shù)，那么這樣的四位數(shù)一共有個(gè).【變式2】（24-25高二下·山西·期末）某公園設(shè)計(jì)了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有四種不同的鮮花可供擺放，要求有公共邊的區(qū)域擺放不同種類(lèi)的鮮花，則擺放鮮花的不同方法種數(shù)為.

【變式3】（24-25高二下·黑龍江雞西·期中）從0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求：(1)組成的三位數(shù)偶數(shù)的個(gè)數(shù)；(2)組成的三位數(shù)中大于200的個(gè)數(shù).題型四排列數(shù)/組合數(shù)直接計(jì)算答｜題｜模｜板典型例題：計(jì)算、.答題模板：1.區(qū)分類(lèi)型：有序→排列（用），無(wú)序→組合（用）；2.確定參數(shù)：明確（總元素?cái)?shù)）、（選取元素?cái)?shù)）；3.代入公式：排列數(shù)：；組合數(shù)：；4.簡(jiǎn)化計(jì)算：用組合數(shù)性質(zhì)（時(shí)）.套用示例：；.【典例1】（24-25高二下·吉林·期末）若，則.【典例2】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）解關(guān)于x的方程：(1)；(2)．【變式1】（24-25高二下·廣東中山·月考）求值、解方程或解不等式(1)求值：(2)求值：；(3)解方程：(4)解方程：已知（），求(5)解關(guān)于的不等式【變式2】（24-25高二下·山西·月考）已知，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【變式3】（24-25高二下·寧夏銀川·期中）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：.（3）已知：，求n.題型五組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用（化簡(jiǎn)/求值）答｜題｜模｜板典型例題：化簡(jiǎn)；已知，求.答題模板：1.識(shí)別性質(zhì)：遞推性：；對(duì)稱(chēng)性：；2.代入化簡(jiǎn)：按性質(zhì)合并或轉(zhuǎn)化表達(dá)式；3.求解結(jié)論：等式兩邊對(duì)應(yīng)相等，得出結(jié)果.套用示例：；→.【典例1】【多選題】（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知m，且，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】【多選題】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選題）下列關(guān)于排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算中，正確的是（

）．A． B．C． D．是一個(gè)常數(shù)【變式1】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）求滿(mǎn)足的正整數(shù)的值．（2）計(jì)算：．【變式2】（24-25高二下·山東濟(jì)南·期末）（1）證明：，其中，；（2）化簡(jiǎn)：，其中．【變式3】（24-25高二下·廣東深圳·期中）若，則（

）A．28 B．56 C．112 D．120題型六捆綁法（相鄰問(wèn)題）答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊(duì)，甲、乙、丙3人相鄰，有多少種排法？答題模板：1.處理相鄰元素（捆）：將相鄰元素視為1個(gè)整體，內(nèi)部排列：（為相鄰元素個(gè)數(shù)）；2.處理整體與其他元素（排）：總元素?cái)?shù)變?yōu)椋榭傇財(cái)?shù)），全排列：；3.總方法數(shù)：兩步結(jié)果相乘→.套用示例：捆（3人內(nèi)部）；排（整體+2人）；總排法種.【典例1】（2026高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）甲?乙等6人圍成一圈，且甲?乙兩人相鄰，則不同的排法共有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【典例2】（24-25高二下·四川瀘州·月考）三個(gè)人坐在一排5個(gè)座位上，空位相鄰的坐法有種．（用數(shù)字作答）【變式1】（25-26高三上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚(yú)，甲、乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法種數(shù)為．【變式2】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）為了抒寫(xiě)鄉(xiāng)村發(fā)展故事，展望鄉(xiāng)村振興圖景，演出民眾身邊日常，唱出百姓幸福心聲，某地組織了“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目表演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂(lè)、非遺展演六個(gè)節(jié)目，若要求歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂(lè)節(jié)目前面演出，則節(jié)目的排列順序種數(shù)為（

）A．120 B．360 C．180 D．90【變式3】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若有7個(gè)人排成一排，其中甲、乙必須相鄰，而丙不能站在兩端，則不同的排法共有種.題型七插空法（不相鄰問(wèn)題）答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊(duì)，甲、乙不相鄰，有多少種排法？答題模板：1.排無(wú)限制元素：先排其他無(wú)約束元素，全排列：（為無(wú)限制元素個(gè)數(shù)）；2.算間隙數(shù)：個(gè)元素形成個(gè)間隙（含兩端）；3.插受限元素：從間隙中選個(gè)插入受限元素，排列：（為受限元素個(gè)數(shù)）；4.總方法數(shù)：兩步結(jié)果相乘→.套用示例：排3人（無(wú)限制）；間隙4個(gè)，插2人；總排法種.【典例1】（25-26高二上·上?！て谥校┤瞬⑴耪境梢恍校绻?、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是．【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）某學(xué)校在讀書(shū)節(jié)活動(dòng)中，甲，乙，丙3個(gè)班各有2名同學(xué)獲獎(jiǎng)，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學(xué)相鄰，且乙班的2名同學(xué)不相鄰的站法種數(shù)共有（

）A．36種 B．72種 C．144種 D．288種【變式1】（25-26高三上·廣東佛山·月考）現(xiàn)將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)、3本不同的物理書(shū)、1本化學(xué)書(shū)放在一個(gè)單層的書(shū)架上，且同類(lèi)的書(shū)各不相鄰，則不同的放法有（

）A．120種 B．144種 C．96種 D．160種【變式2】（25-26高三上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）3名學(xué)生和2名老師隨機(jī)排成一行，2名老師不相鄰，則不同排法的種數(shù)為．【變式3】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在我市的一項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)中，某縣的三所學(xué)校分別有1名、2名、3名學(xué)生獲獎(jiǎng)，這6名學(xué)生排成一排合影，要求同校的任意2名學(xué)生不能相鄰，那么不同的排法有種．（用數(shù)字作答）題型八分組分配問(wèn)題答｜題｜模｜板子題型3.1：非均勻分組（各組元素?cái)?shù)不同）典型例題：6人分成1、2、3人三組，有多少種分法？答題模板：1.按組次分步選取：第1組，第2組，第3組（）；2.總方法數(shù)：各步組合數(shù)相乘→（無(wú)需除重）.套用示例：種.子題型3.2：均勻分組（部分/全部組元素?cái)?shù)相同）典型例題：6人平均分成3組（每組2人），有多少種分法？答題模板：1.按非均勻分組計(jì)算：；2.除以均勻組數(shù)的階乘（除重）：若有組元素?cái)?shù)相同，除以；3.總方法數(shù)：.套用示例：種.子題型3.3：分組后分配到位置典型例題：6人分成1、2、3人三組，分配到甲、乙、丙3個(gè)崗位，有多少種分法？答題模板：1.先分組：按非均勻/均勻分組規(guī)則計(jì)算分組數(shù)；2.再分配：將組分配到個(gè)位置，全排列；3.總方法數(shù)：分組數(shù)×.套用示例：分組數(shù)60（子題型3.1）×→種.【典例1】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）將6個(gè)不同的球分別按如下方式來(lái)分，寫(xiě)出不同分法的種數(shù)．(1)平均分成3堆，每堆2個(gè)；(2)分給甲、乙、丙3人，每人2個(gè)；(3)分成3堆，每堆個(gè)數(shù)分別為1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)：(4)分給甲1個(gè)、乙2個(gè)、丙3個(gè)；(5)分給3人，3人分別得到1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)．【典例2】（25-26高二上·全國(guó)·月考）從5名學(xué)生中選擇4人對(duì)A，B兩種不同算法的加密文件進(jìn)行破譯，每人選擇一種文件，每個(gè)文件2人破譯，則不同的人員安排共有（）A．40種 B．48種 C．30種 D．72種【變式1】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）將甲、乙等6名志愿者分配到3個(gè)社區(qū)協(xié)助開(kāi)展活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少1人，每個(gè)人只去1個(gè)社區(qū)，且甲、乙兩人不在同1個(gè)社區(qū)，則不同的分配方法數(shù)是（

）A．540 B．504 C．408 D．390【變式2】（25-26高三上·重慶·月考）某班5名學(xué)生負(fù)責(zé)校內(nèi)3個(gè)不同地段的衛(wèi)生工作.每名學(xué)生都要參與且只負(fù)責(zé)某個(gè)地段的衛(wèi)生工作，每個(gè)地段至少有1名學(xué)生的分配方案共有（

）A．300種 B．90種 C．240種 D．150種【變式3】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)有10本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、兩人得2本、三人得1本，則不同分法的種數(shù)是．（用排列數(shù)、組合數(shù)表示）題型九特殊元素/位置優(yōu)先問(wèn)題答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊(duì)，甲不站首位，乙不站末位，有多少種排法？答題模板（直接法）：1.優(yōu)先安排特殊元素：情況1：甲站末位→剩余4人全排列：；情況2：甲不站首、末位→甲有3種選擇，乙有3種選擇（排除末位+甲的位置），剩余3人全排列：；2.總方法數(shù)：兩類(lèi)情況相加→.套用示例：種.【典例1】（24-25高二下·上?！て谥校┮阎?位同學(xué)站成一排，若甲同學(xué)不站在兩端，則有種不同的排法.【典例2】（25-26高二上·上海奉賢·期中）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的寒假生活，寒假期間給同學(xué)們安排了6場(chǎng)線(xiàn)上講座，其中講座只能安排在第一或最后一場(chǎng)，講座和必須相鄰，問(wèn)不同的安排方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【變式1】（2025·廣西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之間恰好有2人，且甲不在兩端，則不同排法共有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種【變式2】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）3個(gè)男同學(xué)和3個(gè)女同學(xué)排成一列，進(jìn)行遠(yuǎn)足拉練．要求排頭和排尾必須是男同學(xué)，則不同的排法有（

）種．A．36 B．108 C．120 D．144【變式3】（25-26高三上·福建三明·月考）甲、乙、丙三人各自計(jì)劃暑假去重慶旅游，他們都從武隆天生三橋、長(zhǎng)江索道、重慶動(dòng)物園、白帝城這4個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)，若甲不去重慶動(dòng)物園，且甲、乙、丙三人去的景區(qū)互不相同，則這三人的不同選擇方法共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種題型十先選后排問(wèn)題答｜題｜模｜板典型例題：從6人中選4人排成一排，有多少種排法？答題模板：1.選元素：從個(gè)元素中選個(gè)，組合數(shù)；2.排順序：將選出的個(gè)元素全排列，排列數(shù)；3.總方法數(shù)：.套用示例：（或直接）.【典例1】（2025高三·上海·專(zhuān)題練習(xí)）第41屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽于10月24日至10月30日由華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)承辦.根據(jù)賽事安排，組委會(huì)欲安排589名選手和各省領(lǐng)隊(duì)參觀5個(gè)不同場(chǎng)館，分別為李政道研究所、中國(guó)商飛、上海交通大學(xué)張江高等研究院、上?？萍即髮W(xué)和上海博物館東館.現(xiàn)欲將6位志愿者老師分配到5個(gè)不同場(chǎng)館做帶隊(duì)服務(wù).若每個(gè)場(chǎng)館至少1人，則不同的分配方案的種數(shù)為.【典例2】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知4位學(xué)生被分配到A、B、C三地學(xué)習(xí)，每地至少分配一位學(xué)生且每位學(xué)生只能去一個(gè)地方學(xué)習(xí)，則不同的分配方式有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【變式1】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2025年1月7日9時(shí)5分，西藏自治區(qū)日喀則市定日縣發(fā)生6.8級(jí)地震．現(xiàn)從各省共抽派7支搶險(xiǎn)工作隊(duì)前往5個(gè)災(zāi)區(qū)縣救援，要求每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì)的方法種數(shù)共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．25200【變式2】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）哈爾濱市開(kāi)展支教活動(dòng)，我校有甲，乙，丙等六名教師被隨機(jī)地分到四個(gè)不同的中學(xué)，且每個(gè)中學(xué)至少分到一名教師，共有多少種不同分法（

）A．1080 B．1560 C．2640 D．3960【變式3】（25-26高三上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）某校安排高一年級(jí)（1）~（5）班共5個(gè)班去A，B，C，D四個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)班，則高一（1）班被安排到A基地的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．240題型十一展開(kāi)式書(shū)寫(xiě)（前3項(xiàng)/指定項(xiàng)）答｜題｜模｜板典型例題：寫(xiě)出的展開(kāi)式前3項(xiàng)。答題模板：1.牢記展開(kāi)式公式：；2.確定a、b、n：本題，，；3.逐項(xiàng)計(jì)算：從0開(kāi)始，依次代入計(jì)算前3項(xiàng)（）；4.化簡(jiǎn)結(jié)果：合并同類(lèi)項(xiàng)，保留系數(shù)符號(hào)。套用示例：：；：；：；前3項(xiàng)：?！镜淅?】（25-26高二上·全國(guó)·課堂例題）求多項(xiàng)式的展開(kāi)式.【典例2】（24-25高二·全國(guó)·課堂例題）求多項(xiàng)式的展開(kāi)式．【變式1】（24-25高二·全國(guó)·課堂例題）求的展開(kāi)式；【變式2】（24-25高三·上?！ふn堂例題）寫(xiě)出的二項(xiàng)展開(kāi)式.【變式3】（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）的二項(xiàng)展開(kāi)式是．題型十二通項(xiàng)公式應(yīng)用（求某一項(xiàng)）答｜題｜模｜板典型例題：求的第4項(xiàng)；求的含的項(xiàng).答題模板：1.明確目標(biāo)：確定求“第項(xiàng)”或“含的項(xiàng)”；2.寫(xiě)出通項(xiàng)公式：（）；3.確定參數(shù)：明確a、b、n，若求第項(xiàng)，則；若求含的項(xiàng)，需化簡(jiǎn)的指數(shù)；4.計(jì)算求解：第項(xiàng)：代入，計(jì)算系數(shù)與字母部分；含的項(xiàng)：令的指數(shù)等于，解出，再代入計(jì)算項(xiàng)；5.整理結(jié)果：保留系數(shù)符號(hào)，化簡(jiǎn)表達(dá)式.套用示例：求第4項(xiàng)：→，；求含的項(xiàng)：，，，指數(shù)→，項(xiàng)為.【典例1】（2026高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）的常數(shù)項(xiàng)為．【典例2】（25-26高三上·上海嘉定·月考）的二項(xiàng)展開(kāi)式中第4項(xiàng)是.【變式1】（25-26高三上·四川成都·期中）的展開(kāi)式的中間項(xiàng)為．【變式2】（25-26高二上·上海奉賢·月考）的展開(kāi)式中的第四項(xiàng)是.【變式3】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·月考）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．540 C．15 D．題型十三二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)答｜題｜模｜板子題型1：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)區(qū)分計(jì)算典型例題：求的展開(kāi)式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)答題模板：1.明確定義：二項(xiàng)式系數(shù)：僅（與a、b系數(shù)無(wú)關(guān)）；項(xiàng)的系數(shù)：的系數(shù)的系數(shù)；2.確定值：第項(xiàng)→；3.分別計(jì)算：二項(xiàng)式系數(shù)：直接取；項(xiàng)的系數(shù)：計(jì)算；4.對(duì)比結(jié)果：明確兩者區(qū)別，規(guī)范書(shū)寫(xiě).套用示例：第2項(xiàng)→，二項(xiàng)式系數(shù)：；項(xiàng)的系數(shù)：.子題型2：二項(xiàng)式系數(shù)最值問(wèn)題典型例題：求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).答題模板：1.確定的奇偶性：為偶數(shù)：中間1項(xiàng)（第項(xiàng)）二項(xiàng)式系數(shù)最大；為奇數(shù)：中間2項(xiàng)（第項(xiàng)、第項(xiàng)）二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大；2.計(jì)算對(duì)應(yīng)值：偶數(shù)：；奇數(shù)：和；3.代入通項(xiàng)求項(xiàng)：計(jì)算對(duì)應(yīng)項(xiàng)的表達(dá)式（僅二項(xiàng)式系數(shù)，無(wú)需考慮a、b系數(shù)）.套用示例：（偶數(shù)）：第5項(xiàng)，，項(xiàng)為；（奇數(shù)）：第5、6項(xiàng)，和，項(xiàng)為、.子題型3：項(xiàng)的系數(shù)最值問(wèn)題典型例題：求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng).答題模板：1.寫(xiě)出通項(xiàng)公式：化簡(jiǎn)項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)式（含的函數(shù)）；2.設(shè)第項(xiàng)系數(shù)為，列不等式組：；；3.解不等式組：求出整數(shù)（）；4.驗(yàn)證符號(hào)：根據(jù)的奇偶性判斷系數(shù)符號(hào)，確定最大系數(shù)項(xiàng)；5.計(jì)算結(jié)果：代入值求項(xiàng).套用示例：通項(xiàng)系數(shù)：；列不等式：且，解得→；系數(shù)最大項(xiàng)：，項(xiàng)為.【典例1】（24-25高二下·貴州畢節(jié)·期末）的展開(kāi)式的第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是.【典例2】（25-26高三上·天津·月考）在的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的系數(shù)為.【變式1】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，二項(xiàng)式展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，系數(shù)最大值為．【變式2】（24-25高二下·河南開(kāi)封·月考）已知的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為15：2，展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)是.【變式3】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和比各二項(xiàng)式系數(shù)的和大992．求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．題型十四特定項(xiàng)求解答｜題｜模｜板題型1：常數(shù)項(xiàng)求解典型例題：求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).答題模板：1.寫(xiě)出通項(xiàng)公式：；2.化簡(jiǎn)的指數(shù)：將a、b化為的冪次形式（如），合并指數(shù)；3.列方程求：令的指數(shù)為0，解出整數(shù)（需滿(mǎn)足）；4.計(jì)算常數(shù)項(xiàng)：代入值，計(jì)算系數(shù)部分（不含）；5.驗(yàn)證結(jié)果：確保有效，系數(shù)計(jì)算無(wú)誤.套用示例：通項(xiàng)：；令→；常數(shù)項(xiàng)：.題型2：有理項(xiàng)/無(wú)理項(xiàng)求解典型例題：求的展開(kāi)式中的有理項(xiàng).答題模板：1.寫(xiě)出通項(xiàng)公式：化簡(jiǎn)的指數(shù)（化為分?jǐn)?shù)指數(shù)）；2.定義有理項(xiàng)條件：的指數(shù)為整數(shù)；3.列方程求：設(shè)指數(shù)為整數(shù)，解出滿(mǎn)足的整數(shù)；4.列舉所有有效：逐一驗(yàn)證，確保指數(shù)為整數(shù)；5.計(jì)算有理項(xiàng)：代入每個(gè)值，求出對(duì)應(yīng)項(xiàng).套用示例：通項(xiàng)：；有理項(xiàng)條件：→是6的倍數(shù)，；解得：：；：.題型3：指定指數(shù)差/系數(shù)關(guān)系問(wèn)題典型例題：在的展開(kāi)式中，若第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的系數(shù)相等，求.答題模板：1.寫(xiě)出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)：第項(xiàng)系數(shù)為（二項(xiàng)式系數(shù)）；2.根據(jù)題意列等式：如“第項(xiàng)系數(shù)=第項(xiàng)系數(shù)”→；3.利用組合數(shù)性質(zhì)求解：對(duì)稱(chēng)性：→；遞推性：結(jié)合題意化簡(jiǎn)等式；4.驗(yàn)證結(jié)果：確保為正整數(shù)，符合題意.套用示例：第3項(xiàng)系數(shù)，第6項(xiàng)系數(shù)，由→→.【典例1】（25-26高三上·天津·開(kāi)學(xué)考試）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為．【典例2】（25-26高三上·四川成都·月考）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．15 B．45 C．60 D．90【變式1】（25-26高三上·云南·月考）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．14 B．15 C．16 D．18【變式2】（2025高三上·廣東深圳·專(zhuān)題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為0，2，4，5，6，8，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，則二項(xiàng)式展開(kāi)式的有理項(xiàng)共（

）項(xiàng)A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知二項(xiàng)式.(1)求展開(kāi)式的第4項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)；(3)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).題型十五賦值法的應(yīng)用答｜題｜模｜板題型1：全項(xiàng)系數(shù)和求解（完整）典型例題：求的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和.答題模板：1.識(shí)別目標(biāo)：求所有項(xiàng)的系數(shù)和（含常數(shù)項(xiàng)、各字母項(xiàng)）；2.選擇賦值：令所有字母變量=1（若字母含系數(shù)，直接代入1，不改變系數(shù)）；3.計(jì)算結(jié)果：將賦值代入二項(xiàng)式，化簡(jiǎn)得出數(shù)值即為系數(shù)和；4.驗(yàn)證邏輯：確保賦值后所有字母項(xiàng)轉(zhuǎn)化為1，僅保留系數(shù)運(yùn)算.套用示例：令、，系數(shù)和.題型2：奇數(shù)項(xiàng)/偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和求解典型例題：求的展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.答題模板：1.設(shè)參數(shù)：設(shè)全項(xiàng)系數(shù)和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為；2.求全項(xiàng)系數(shù)和：令所有字母=1，計(jì)算；3.求奇數(shù)項(xiàng)-偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：令含字母項(xiàng)的系數(shù)為1，另一項(xiàng)為-1（如令），得；4.列方程求解：；；5.化簡(jiǎn)結(jié)果：確保計(jì)算過(guò)程符號(hào)無(wú)誤.套用示例：全項(xiàng)系數(shù)和；奇數(shù)項(xiàng)-偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.題型3：特定字母系數(shù)和求解典型例題：求的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)之和。答題模板：1.識(shí)別目標(biāo)：僅保留含指定字母（如）的項(xiàng)，求其系數(shù)和；2.固定其他字母：令非指定字母=1（消除其對(duì)系數(shù)的影響）；3.轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問(wèn)題：原多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為僅含指定字母的二項(xiàng)式（或單項(xiàng)式）；4.提取指定項(xiàng)系數(shù)：利用二項(xiàng)式定理求出指定字母對(duì)應(yīng)次數(shù)的系數(shù)；5.驗(yàn)證結(jié)果：確保未遺漏其他字母的系數(shù)貢獻(xiàn)。套用示例：令、，多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為；含的項(xiàng)的系數(shù)為，即所求系數(shù)和為150.【典例1】（25-26高二上·上海奉賢·期中）已知，則．【典例2】（25-26高三上·重慶·期中）若，則.【變式1】【多選題】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知，則（

）A．B．C．D．【變式2】【多選題】（25-26高二上·黑龍江綏化·期中）已知的展開(kāi)式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為C．展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為D．展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)的和為【變式3】【多選題】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．題型十六楊輝三角答｜題｜模｜板題型1：利用楊輝三角查找二項(xiàng)式系數(shù)典型例題：通過(guò)楊輝三角求的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；求的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).答題模板：1.明確行數(shù)規(guī)則：第行（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)）對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)；2.繪制/回憶楊輝三角前行：第0行：[1]第1行：[1,1]第2行：[1,2,1]第3行：[1,3,3,1]第4行：[1,4,6,4,1]第5行：[1,5,10,10,5,1]3.查找目標(biāo)系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)：偶數(shù)取中間列，奇數(shù)取中間兩列；第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)：第行第列（從0開(kāi)始列計(jì)數(shù)）；4.輸出結(jié)果：明確系數(shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)或直接輸出系數(shù).套用示例：求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)：第5行中間兩列（第2、3列），系數(shù)為10；求第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)：第4行第2列，系數(shù)為6.題型2：利用楊輝三角驗(yàn)證組合數(shù)性質(zhì)典型例題：用楊輝三角驗(yàn)證；驗(yàn)證.答題模板：1.明確組合數(shù)與楊輝三角的關(guān)系：第行第列的數(shù)字=；2.驗(yàn)證遞推性：找到第行第列的數(shù)字；找到第行第列和第列的數(shù)字，求和驗(yàn)證是否等于前者；3.驗(yàn)證對(duì)稱(chēng)性：找到第行第列和第列的數(shù)字，驗(yàn)證是否相等；4.總結(jié)結(jié)論：明確組合數(shù)性質(zhì)在楊輝三角中的直觀體現(xiàn).套用示例：驗(yàn)證：第6行第3列數(shù)字=20，第5行第2列=10、第3列=10，10+10=20，成立；驗(yàn)證：第7行第4列=35、第3列=35，相等，成立.題型3：楊輝三角與二項(xiàng)式定理結(jié)合求系數(shù)典型例題：已知楊輝三角第行的數(shù)字為[1,4,6,4,1]，求的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù).答題模板：1.由楊輝三角確定：行數(shù)=數(shù)字個(gè)數(shù)-1，本題數(shù)字個(gè)數(shù)=5→；2.明確二項(xiàng)式系數(shù)：第行第列數(shù)字=，含的項(xiàng)對(duì)應(yīng)，二項(xiàng)式系數(shù)=第4行第2列=6；3.計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)：項(xiàng)的系數(shù)=二項(xiàng)式系數(shù)×的系數(shù)×的系數(shù)；4.化簡(jiǎn)結(jié)果：代入數(shù)值計(jì)算，保留符號(hào).套用示例：，含的項(xiàng)對(duì)應(yīng)；項(xiàng)的系數(shù)=.【典例1】（2026高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開(kāi)式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．在第10行中第5個(gè)數(shù)最大B．第2023行中第1011個(gè)數(shù)和第1012個(gè)數(shù)相等C．D．第6行的第7個(gè)數(shù)?第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于第9行的第8個(gè)數(shù)【典例2】【多選題】（24-25高二下·河南信陽(yáng)·期末）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝首先發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并把系數(shù)寫(xiě)成一張表，后人稱(chēng)為楊輝三角，如圖所示，關(guān)于楊輝三角正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高二下·黑龍江大慶·期末）“楊輝三角”是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛(ài)好者的探究欲望.題圖為“楊輝三角”的一部分（如圖），記第n行的第i個(gè)數(shù)為，則.

【變式2】【多選題】（24-25高二下·廣東廣州·期末）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關(guān)于楊輝三角的說(shuō)法正確的是（

）A．第6行從左到右第4個(gè)數(shù)是20 B．第2022行的第1011個(gè)數(shù)最大C．210在楊輝三角中共出現(xiàn)了6次 D．記第行的第個(gè)數(shù)為，則【變式3】【多選題】（24-25高二下·重慶·期末）“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)陣中的一種幾何排列規(guī)律，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中就有出現(xiàn)，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的說(shuō)法中正確的是（

）A．B．C．D．第10行中從左往右第5個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)之比為期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·廣東廣州·期末）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．722．（24-25高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）的展開(kāi)式中，的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之差為（

）A．20 B．19 C． D．3．（24-25高二下·河北·期末）設(shè)，若，則（

）A．1 B． C．3 D．4．（24-25高二下·浙江溫州·期末）某校招聘了6名教師，現(xiàn)平均分配給學(xué)校的兩個(gè)校區(qū)，其中2名英語(yǔ)教師不能分配在同一個(gè)校區(qū)，另外3名數(shù)學(xué)教師也不能全分配在同一個(gè)校區(qū)，則不同的分配方案共有（

）A．12種 B．14種 C．24種 D．48種5．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）已知，則（

）A．4 B．3 C．5 D．16．（23-24高二下·河南鄭州·期末）不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二下·廣東江門(mén)·期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱(chēng)為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類(lèi)，現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購(gòu)1種，則不同的選購(gòu)方式有24種B．從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有5條，則從A村經(jīng)過(guò)B村去C村不同的路線(xiàn)的條數(shù)為8C．一個(gè)兩層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文類(lèi)讀物4本，數(shù)學(xué)類(lèi)讀物5本，每本讀物各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有20種D．從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)數(shù)字，可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為608．（24-25高二下·廣東湛江·期末）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二下·黑龍江雞西·期末）有3名學(xué)生和2名教師排成一排，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．共有種不同的排法B．當(dāng)2名教師相鄰時(shí)，共有24種不同的排法C．當(dāng)2名教師不相鄰時(shí)，共有種不同的排法D．當(dāng)2名教師不排在兩端時(shí)，共有48種不同的排法三、解答題10．（24-25高二下·河北滄州·期末）已知二項(xiàng)展開(kāi)式．(1)求的值；(2)求的值．11．（24-25高二下·黑龍江雞西·期末）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為32.(1)求是多少？(2)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為多少？12．（24-25高二下·廣東深圳·期末）在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)合適的條件，補(bǔ)充在問(wèn)題中的橫線(xiàn)上，并解答．條件①：展開(kāi)式中所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于50；條件②：展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是21；條件③：展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．【選擇多個(gè)條件解答，則按第一個(gè)條件計(jì)分】問(wèn)題：已知二項(xiàng)式，若_____________，求：(1)求n和展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)．期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·山東聊城·期末）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．75 B．135 C．180 D．1952．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．B．的最大值為C．D．3．（24-25高二下·湖北武漢·期末）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．1139 B．1140 C．1329 D．13304．（24-25高二下·北京通州·期末）設(shè)集合，集合，那么集合B中滿(mǎn)足的元素的個(gè)數(shù)為（

）A．72 B．54 C．24 D．125．（24-25高二下·廣東深圳·期末）將4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．恰有一個(gè)空盒，有324種放法B．把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有12種放法C．有256種放法D．每盒至多兩球，有204種放法6．（24-25高二下·河南周口·期末）為打造特色校園文化，某學(xué)校計(jì)劃在藝術(shù)節(jié)期間舉辦“創(chuàng)意工坊”活動(dòng)，提供陶藝、木工、剪紙、面塑、扎染5種手工體驗(yàn)項(xiàng)目．現(xiàn)從8名美術(shù)老師中任選5人分別負(fù)責(zé)一個(gè)項(xiàng)目，且要求負(fù)責(zé)陶藝和木工的老師是男老師，已知這8名老師中有5名男老師，3名女老師，則不同的人員安排方案有（

）A．1200種 B．1800種 C．2400種 D．3600種7．（24-25高二下·河北滄州·期末）現(xiàn)安排6名大學(xué)生到4所學(xué)校去實(shí)習(xí)，要求每名大學(xué)生去且只能去一所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校都有大學(xué)生去實(shí)習(xí)，則不同的安排方法共有（

）．A．480種 B．1080種 C．1560種 D．2640種8．（24-25高二下·海南?？凇て谀┤鐖D，現(xiàn)要用4種不同的顏色對(duì)?？谑械?個(gè)區(qū)地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的2個(gè)區(qū)不能用同一種顏色，則不同的著色方法的種數(shù)為（

）A．24 B．48 C．72 D．120二、多選題9．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知的展開(kāi)式中，僅第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為180C．展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 D．10．（24-25高二下·青海西寧·期末）已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．11．（24-25高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）“楊輝三角”是中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中首次記載的，比歐洲早393年．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和．則下列命題中正確的是（

）

A．第6行中，有兩個(gè)相等的最大數(shù) B．C．第行所有數(shù)之和為 D．在第3行以后，還會(huì)出現(xiàn)全為奇數(shù)的行12．（24-25高二上·江蘇南京·期末）若，為正整數(shù)且，則下列等式正確的是（

）A． B．C．若，則 D．13．（24-25高二下·江蘇連云港·期末）用0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字，可以組成（

）A．180個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) B．75個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為奇數(shù)的三位數(shù)C．30個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被25整除的四位數(shù) D．480個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比1300大的四位數(shù)三、填空題14．（24-25高二下·山東棗莊·期末）十進(jìn)制計(jì)數(shù)法與二進(jìn)制計(jì)數(shù)法有如下轉(zhuǎn)換規(guī)律：若十進(jìn)制計(jì)數(shù)法下的滿(mǎn)足：，，，，則其在二進(jìn)制計(jì)數(shù)法下可記為.例如：1在二進(jìn)制中表示為，2表示為，3表示為，4表示為，7表示為.記為，，…，中0的個(gè)數(shù)，如，，，則從1到255這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中，的個(gè)數(shù)為.四、解答題15．（23-24高二上·遼寧沈陽(yáng)·期末）（1）已知，計(jì)算：；（2）解方程：．期末綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：100分鐘）一、單選題1．（2025·湖南長(zhǎng)沙·一模）設(shè)正整數(shù)其中，記，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）.A．(10)=2.B．(16n+5)=ω(4n+3).C．(8n+5)=ω(4n+5).D．若n<256且(n)=3，則符合條件的n有56個(gè).二、填空題2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上首個(gè)提出二進(jìn)制計(jì)數(shù)法的人，任意一個(gè)十進(jìn)制正整數(shù)均可以用二進(jìn)制數(shù)表示.若正整數(shù)，其中或，則可以用位二進(jìn)制數(shù)表示.記的二進(jìn)制各個(gè)位數(shù)和為，則.例如，因此.已知正整數(shù)1024且，則這樣的有個(gè)；.3．（24-25高二上·遼寧·期末）“四進(jìn)制”是一種以4為基數(shù)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，使用數(shù)字，，，來(lái)表示數(shù)值.四進(jìn)制在數(shù)學(xué)和計(jì)算的世界中呈現(xiàn)出多個(gè)維度的特性，對(duì)于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響.四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的方法是通過(guò)將每一位上的數(shù)字乘以4的相應(yīng)次方（從0開(kāi)始），然后將所有乘積相加.例如：四進(jìn)制數(shù)013轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)為；四進(jìn)制數(shù)0033轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)為.現(xiàn)將所有由，，，組成的4位（如：1233，3201）四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，在這些非零十進(jìn)制數(shù)中任取一個(gè)，則這個(gè)數(shù)能被3整除的概率為.4．（24-25高二下·安徽蕪湖·期末）定義：給定一個(gè)正整數(shù)m，如果兩個(gè)整數(shù)a，b滿(mǎn)足能夠被m整除，就稱(chēng)整數(shù)a，b對(duì)模m同余，記作．若，，則的最小值為．5．（24-25高二下·廣東深圳·期末）互質(zhì)是數(shù)論中一個(gè)基礎(chǔ)概念，指的是兩個(gè)整數(shù)公因數(shù)只有，例如和，和分別都只有公因數(shù)，所以和，和分別都是互質(zhì)的.的不同的正因數(shù)有個(gè)，從中選取兩個(gè)不同的正因數(shù)，這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為.三、解答題6．（24-25高三上·福建泉州·期末）將數(shù)組的某一個(gè)全排列記為，若滿(mǎn)足：，能被3整除，則稱(chēng)為的一個(gè)“好排列”.例如：的“好排列”共有兩個(gè)：，.(1)寫(xiě)出的所有“好排列”；(2)若中“好排列”至少有4個(gè)，求的取值范圍；(3)記的“好排列”個(gè)數(shù)為，證明：.7．（24-25高二上·江蘇無(wú)錫·期末）我們稱(chēng)元有序?qū)崝?shù)組為n維向量，為該向量的范數(shù)．已知維向量，其中，記范數(shù)為奇數(shù)的維向量的個(gè)數(shù)為，這個(gè)向量的范數(shù)之和為．(1)求和的值；(2)求的值；(3)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，求（用表示）．8．（23-24高二下·江蘇泰州·月考）組合數(shù)有許多豐富有趣的性質(zhì)，例如，二項(xiàng)式系數(shù)的和有下述性質(zhì)：.小明同學(xué)想進(jìn)一步探究組合數(shù)平方和的性質(zhì)，請(qǐng)幫他完成下面的探究.(1)計(jì)算：，，并與，比較，你有什么發(fā)現(xiàn)?寫(xiě)出一般性結(jié)論并證明；(2)證明：；(3)利用上述（1）（2）兩小問(wèn)的結(jié)論，證明：.

專(zhuān)題04排列組合二項(xiàng)式定理（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律1：兩大計(jì)數(shù)原理（排列組合基礎(chǔ)核心）1.能通過(guò)關(guān)鍵詞（“或”“且”）快速判斷計(jì)數(shù)場(chǎng)景適用的原理；2.熟練應(yīng)用兩大原理解決無(wú)復(fù)雜限制的基礎(chǔ)計(jì)數(shù)問(wèn)題（如“選課程、分任務(wù)”）；3.建立“先判斷原理，再列式計(jì)算”的解題習(xí)慣，杜絕重復(fù)或遺漏計(jì)數(shù).1.題型：以選擇題、填空題為主（占該考點(diǎn)考查頻次的90%以上）；2.難度：基礎(chǔ)題（占比80%），極少涉及難題；3.命題特點(diǎn)：常結(jié)合生活場(chǎng)景（如選課、購(gòu)票、分配任務(wù)），直接考查原理應(yīng)用，不與其他模型復(fù)雜結(jié)合.2：排列與組合的定義及計(jì)算（排列組合核心工具）1.牢記排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)性質(zhì)，無(wú)需推導(dǎo)直接快速計(jì)算；2.能根據(jù)“是否有序”準(zhǔn)確判斷用排列或組合列式；3.熟練運(yùn)用組合數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算（如），提升解題效率.1.題型：選擇題、填空題為主（占比70%），部分解答題第一問(wèn)涉及（占比30%）；2.難度：基礎(chǔ)題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點(diǎn)：直接考查公式計(jì)算（如“計(jì)算的值”）或性質(zhì)化簡(jiǎn)（如“化簡(jiǎn)求k”），極少設(shè)置復(fù)雜背景.3：常見(jiàn)計(jì)數(shù)模型（排列組合高頻應(yīng)用題）1.能通過(guò)題干關(guān)鍵詞（“相鄰”“不相鄰”“平均分配”“甲不站XX位”）快速識(shí)別對(duì)應(yīng)模型；2.掌握各模型解題步驟（如捆綁法“先捆后排”、插空法“先排無(wú)限制再插空”），能獨(dú)立列式求解；3.突破均勻分組重復(fù)計(jì)算的易錯(cuò)點(diǎn)（記住“均勻分組需除以組數(shù)階乘”）.1.題型：選擇題、填空題（占比50%），解答題（占比50%）；2.難度：中檔題（占比80%），少量基礎(chǔ)題（20%）；3.命題特點(diǎn)：常結(jié)合排隊(duì)、分配任務(wù)、選代表等場(chǎng)景，單個(gè)模型考查（如純捆綁問(wèn)題）或兩個(gè)模型簡(jiǎn)單綜合（如“部分人相鄰+部分人不相鄰”），不涉及三個(gè)及以上模型疊加.4：排列組合綜合應(yīng)用（排列組合能力提升）1.能解決“先選后排”的混合計(jì)算問(wèn)題（如“從6人中選4人排成一列，有多少種排法”）；2.掌握“排列組合求基本事件數(shù)，再算概率”的解題邏輯；3.能處理含1-2個(gè)簡(jiǎn)單限制條件的綜合題（如“選3人排成一排，甲不站末位，求排法數(shù)”）.1.題型：解答題為主（占比70%），少量填空題（30%）；2.難度：中檔題（占比90%），極少難題（10%）；3.命題特點(diǎn)：部分地區(qū)期末考查，常以“概率背景”呈現(xiàn)（如“從5件正品2件次品中選2件，求恰好1件次品的概率”），核心是排列組合計(jì)算基本事件數(shù).5：二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式（二項(xiàng)式基礎(chǔ)核心）1.熟練默寫(xiě)二項(xiàng)式展開(kāi)式核心公式及通項(xiàng)公式；2.明確通項(xiàng)公式中“k的含義”（從0開(kāi)始），避免“第m項(xiàng)”與“k值”的對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤（如第3項(xiàng)對(duì)應(yīng)k=2）；3.能根據(jù)通項(xiàng)公式快速寫(xiě)出任意指定項(xiàng)的表達(dá)式.1.題型：選擇題、填空題為主（占比80%）；2.難度：基礎(chǔ)題（占比70%）、中檔題（30%）；3.命題特點(diǎn)：直接考查通項(xiàng)公式書(shū)寫(xiě)（如“寫(xiě)出的第2項(xiàng)”）或展開(kāi)式前3項(xiàng)展開(kāi)（如“展開(kāi)的前3項(xiàng)”），下標(biāo)對(duì)應(yīng)是高頻易錯(cuò)點(diǎn)考查.6：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（二項(xiàng)式高頻區(qū)分點(diǎn)）1.能通過(guò)定義快速區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”（如中，第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，項(xiàng)的系數(shù)是）；2.牢記二項(xiàng)式系數(shù)之和的結(jié)論，能直接應(yīng)用計(jì)算；3.避免“二項(xiàng)式系數(shù)之和”與“項(xiàng)的系數(shù)之和”的混淆.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：基礎(chǔ)題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點(diǎn)：高頻考查“區(qū)分與計(jì)算”（如“求中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)”），二項(xiàng)式系數(shù)之和常結(jié)合賦值法間接考查.7：特定項(xiàng)求解（二項(xiàng)式期末必考題）1.掌握“通項(xiàng)公式+指數(shù)方程”的解題邏輯（如求常數(shù)項(xiàng)：令通項(xiàng)中x的指數(shù)=0，解k值，再計(jì)算系數(shù)）；2.能快速求解常數(shù)項(xiàng)、指定次數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，準(zhǔn)確判斷有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；3.熟練處理含分式、根式的二項(xiàng)式特定項(xiàng)問(wèn)題（如求有理項(xiàng)）.1.題型：選擇題、填空題（占比60%），解答題（占比40%）；2.難度：中檔題（占比90%）；3.命題特點(diǎn)：期末必考題，背景簡(jiǎn)潔（多為、形式），核心是通項(xiàng)公式的應(yīng)用，計(jì)算量不大但需細(xì)心.8：賦值法的應(yīng)用（二項(xiàng)式系數(shù)和核心方法）1.掌握賦值法的核心邏輯（通過(guò)代入特殊值簡(jiǎn)化展開(kāi)式，快速求系數(shù)和）；2.能根據(jù)所求“系數(shù)和類(lèi)型”選擇對(duì)應(yīng)賦值（如求全項(xiàng)系數(shù)和用）；3.能解決含負(fù)號(hào)、系數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)和問(wèn)題（如的所有項(xiàng)系數(shù)和）.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：中檔題（占比80%）；3.命題特點(diǎn)：高頻考點(diǎn)，常直接設(shè)問(wèn)（如“求的所有項(xiàng)系數(shù)和”），偶爾結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和綜合考查（如“求的奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和”）.知識(shí)點(diǎn)1：兩大計(jì)數(shù)原理（排列組合基礎(chǔ)核心）基礎(chǔ)知識(shí)：解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的根本方法，區(qū)分“獨(dú)立選擇”與“連續(xù)操作”場(chǎng)景.核心概念：1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有類(lèi)互斥方案，每類(lèi)有種方法，總方法數(shù)為各類(lèi)方法數(shù)之和（“或”關(guān)系，互斥無(wú)重疊）；2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需個(gè)關(guān)聯(lián)步驟，每步有種方法，總方法數(shù)為各步方法數(shù)之積（“且”關(guān)系，步驟連貫）.核心公式：分類(lèi)加法：分步乘法：易錯(cuò)點(diǎn)：1.混淆“分類(lèi)”與“分步”（關(guān)鍵詞“或”→分類(lèi)，“且”→分步）；2.分類(lèi)時(shí)出現(xiàn)重疊（如“選男生或班干部”，男生與班干部有交集）；3.分步時(shí)遺漏關(guān)鍵步驟（如“從到再到”，忽略某段路線(xiàn)的選擇）.?？冀Y(jié)論：1.若問(wèn)題既有分類(lèi)又有分步，先分類(lèi)再對(duì)每類(lèi)分步計(jì)算；2.互斥場(chǎng)景必用分類(lèi)加法，連續(xù)操作必用分步乘法.知識(shí)點(diǎn)2：排列與組合的定義及計(jì)算（排列組合核心工具）基礎(chǔ)知識(shí)：從個(gè)不同元素中選取個(gè)元素的兩種基本形式，核心區(qū)別“有序與否”.核心概念：1.排列：從個(gè)不同元素中選個(gè)（），按一定順序排成一列（有序，如“排隊(duì)”“排序”）；2.組合：從個(gè)不同元素中選個(gè)（），不考慮順序組成一組（無(wú)序，如“選代表”“選物品”）.核心公式：排列數(shù)：（規(guī)定）組合數(shù)：組合數(shù)性質(zhì)：①對(duì)稱(chēng)性：；②遞推性：；③特殊值：，，。易錯(cuò)點(diǎn)：1.未判斷“有序/無(wú)序”直接套用公式（如“選3人排成一排”是排列，“選3人參加活動(dòng)”是組合）；2.組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤（如誤將算成）；3.階乘計(jì)算失誤（如，而非）.常考結(jié)論：1.（排列=組合×排序）；2.當(dāng)時(shí)，用簡(jiǎn)化計(jì)算（如）；3.（組合數(shù)之和，后續(xù)二項(xiàng)式定理會(huì)深化）.知識(shí)點(diǎn)3：常見(jiàn)計(jì)數(shù)模型（排列組合高頻應(yīng)用題）基礎(chǔ)知識(shí)：針對(duì)特定場(chǎng)景（相鄰、不相鄰、分組等）的標(biāo)準(zhǔn)化解題模板.核心概念：1.捆綁法：解決“相鄰問(wèn)題”，將相鄰元素視為一個(gè)整體參與排列；2.插空法：解決“不相鄰問(wèn)題”，先排無(wú)限制元素，再在間隙中插入受限元素；3.分組分配：將個(gè)元素分成若干組（均勻/非均勻），再分配到對(duì)應(yīng)位置；4.特殊元素/位置優(yōu)先：優(yōu)先安排有約束條件的元素（如“甲不站首位”）或位置.核心公式/步驟：捆綁法：①捆（相鄰元素內(nèi)部排列：）；②排（整體與其他元素排列：）；總方法數(shù)：；插空法：①排無(wú)限制元素（）；②插空（個(gè)元素形成個(gè)間隙，選個(gè)插入：）；總方法數(shù)：；分組分配：①非均勻分組（各組元素?cái)?shù)不同）：直接分（）；②均勻分組（部分組元素?cái)?shù)相同）：分后除重（，為均勻組數(shù)）；③分配到位置：分組后×全排列（，為位置數(shù)）.易錯(cuò)點(diǎn)：1.捆綁法忘記計(jì)算相鄰元素內(nèi)部的排列（如“3人相鄰排隊(duì)”，僅算整體排列，忽略3人內(nèi)部順序）；2.插空法先排相鄰元素（導(dǎo)致間隙數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤）；3.均勻分組未除重（如“6人平均分成3組”，誤算為，正確應(yīng)為）；4.特殊元素優(yōu)先時(shí)，遺漏其他約束條件（如“甲不站首位，乙不站末位”，僅排除甲站首位，未考慮甲站末位時(shí)乙的限制）.?？冀Y(jié)論：1.相鄰問(wèn)題必用捆綁法，不相鄰問(wèn)題必用插空法（兩者不可混淆）；2.分組問(wèn)題先判斷“均勻與否”，再?zèng)Q定是否除重；3.多約束條件（如“甲不站首、乙不站末”）優(yōu)先用“直接法”或“間接法”（總排法?不符合條件排法）.知識(shí)點(diǎn)4：排列組合綜合應(yīng)用（排列組合能力提升）基礎(chǔ)知識(shí)：融合排列、組合及概率的復(fù)合型問(wèn)題，核心是“計(jì)數(shù)為基礎(chǔ)，應(yīng)用為目標(biāo)”.核心概念：1.先選后排：先通過(guò)組合選取元素，再通過(guò)排列安排順序（如“選3人排成一排”）；2.計(jì)數(shù)求概率：用排列組合計(jì)算基本事件總數(shù)及目標(biāo)事件數(shù)，再套用概率公式.核心公式：先選后排：；概率計(jì)算：（超幾何分布模型，如“從件產(chǎn)品中選件，含件次品”）.易錯(cuò)點(diǎn)：1.先排后選導(dǎo)致重復(fù)計(jì)數(shù)（如“選2人排前后位”，誤算為，實(shí)際直接用即可）；2.概率計(jì)算時(shí)混淆“有序”與“無(wú)序”（基本事件總數(shù)與目標(biāo)事件數(shù)需保持一致，均有序或均無(wú)序）；3.忽略“不放回”與“放回”的區(qū)別（如“摸球問(wèn)題”，不放回用排列/組合，放回用分步乘法）.常考結(jié)論：1.“先選后排”是排列組合混合問(wèn)題的核心思路；2.與概率結(jié)合時(shí)，優(yōu)先明確“基本事件是否有序”，再計(jì)算總數(shù)與目標(biāo)數(shù)；3.常見(jiàn)場(chǎng)景（選產(chǎn)品、選代表、摸球）多為“不放回”模型，需用組合數(shù)計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)5：二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式（二項(xiàng)式基礎(chǔ)核心）基礎(chǔ)知識(shí)：的代數(shù)展開(kāi)規(guī)律，是二項(xiàng)式相關(guān)問(wèn)題的核心依據(jù).核心概念：1.二項(xiàng)式定理：（），右側(cè)為展開(kāi)式，共項(xiàng)；2.通項(xiàng)公式：第項(xiàng)（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)），是求解特定項(xiàng)的關(guān)鍵工具.核心公式：展開(kāi)式：；通項(xiàng)公式：（）。易錯(cuò)點(diǎn)：1.通項(xiàng)公式下標(biāo)錯(cuò)誤（誤將第項(xiàng)當(dāng)作，正確應(yīng)為）；2.忽略的取值范圍（必須滿(mǎn)足，否則二項(xiàng)式系數(shù)為0）；3.展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)錯(cuò)誤（誤將的展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)記為項(xiàng)，實(shí)際為項(xiàng)）.常考結(jié)論：1.通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)式特定項(xiàng)問(wèn)題的唯一核心工具，必須牢記；2.展開(kāi)式中各項(xiàng)的的次數(shù)從遞減到0，的次數(shù)從0遞增到，各項(xiàng)次數(shù)和均為；3.當(dāng)或?yàn)樨?fù)數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)（如的展開(kāi)式第項(xiàng)符號(hào)為）.知識(shí)點(diǎn)6：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（二項(xiàng)式高頻區(qū)分點(diǎn)）基礎(chǔ)知識(shí)：二項(xiàng)式展開(kāi)式中兩類(lèi)系數(shù)的明確區(qū)分，是期末高頻考查的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).核心概念：1.二項(xiàng)式系數(shù)：僅指展開(kāi)式中各項(xiàng)的（與a、b的系數(shù)無(wú)關(guān)，僅由n、k決定）；2.項(xiàng)的系數(shù)：該項(xiàng)中未知數(shù)前的數(shù)字因數(shù)（二項(xiàng)式系數(shù)與a、b本身系數(shù)的乘積，如中第項(xiàng)的系數(shù)為）.核心公式/結(jié)論：二項(xiàng)式系數(shù)之和：（令）；奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和=偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和：（令）；項(xiàng)的系數(shù)之和：令（若a、b含系數(shù)，需代入對(duì)應(yīng)值，如的項(xiàng)的系數(shù)之和為）.易錯(cuò)點(diǎn)：1.混淆二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（如中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，項(xiàng)的系數(shù)是）；2.求項(xiàng)的系數(shù)之和時(shí)，未代入a、b的實(shí)際系數(shù)（如誤算為，正確應(yīng)為）；3.認(rèn)為“二項(xiàng)式系數(shù)之和=項(xiàng)的系數(shù)之和”（僅當(dāng)時(shí)成立，若a、b含系數(shù)則不成立）.常考結(jié)論：1.二項(xiàng)式系數(shù)僅與“項(xiàng)的位置”有關(guān)，項(xiàng)的系數(shù)與“a、b的系數(shù)+項(xiàng)的位置”都有關(guān)；2.求各類(lèi)系數(shù)和必用賦值法，關(guān)鍵是根據(jù)所求目標(biāo)選擇合適的賦值（1或-1）；3.二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第項(xiàng)和第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.知識(shí)點(diǎn)7：特定項(xiàng)求解（二項(xiàng)式期末必考題）基礎(chǔ)知識(shí)：利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式，根據(jù)目標(biāo)項(xiàng)的特征（常數(shù)、指定次數(shù)等）求解，是二項(xiàng)式定理的核心應(yīng)用.核心概念：1.常數(shù)項(xiàng)：展開(kāi)式中不含未知數(shù)的項(xiàng)（未知數(shù)的指數(shù)為0）；2.指定次數(shù)項(xiàng)：未知數(shù)的指數(shù)為特定值的項(xiàng)（如項(xiàng)、項(xiàng)）；3.有理項(xiàng)：未知數(shù)的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)（含常數(shù)項(xiàng)）；無(wú)理項(xiàng)：未知數(shù)的指數(shù)為非整數(shù)的項(xiàng).核心公式/步驟：1.寫(xiě)出通項(xiàng)公式：；2.化簡(jiǎn)通項(xiàng)中未知數(shù)的指數(shù)：設(shè)、（含系數(shù)需保留），則未知數(shù)指數(shù)為；3.根據(jù)目標(biāo)項(xiàng)特征列方程.常數(shù)項(xiàng)：，解出整數(shù)（）；指定次數(shù)項(xiàng)：（為目標(biāo)次數(shù)），解出整數(shù)；有理項(xiàng)：，找出所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)；4.代入值計(jì)算目標(biāo)項(xiàng)的系數(shù)或具體項(xiàng).易錯(cuò)點(diǎn)：1.化簡(jiǎn)未知數(shù)指數(shù)時(shí)出錯(cuò)（如中，，誤寫(xiě)為）；2.解方程后未驗(yàn)證是否為整數(shù)或是否在范圍內(nèi)（如時(shí)，解出需舍去）；3.計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)時(shí)遺漏a、b的系數(shù)（如中，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)誤算為，忽略）.?？冀Y(jié)論：1.特定項(xiàng)求解的核心是“通項(xiàng)公式+指數(shù)方程”，步驟固定，需熟練掌握；2.含分式、根式的二項(xiàng)式（如、），先統(tǒng)一未知數(shù)的指數(shù)形式（化為負(fù)指數(shù)或分?jǐn)?shù)指數(shù)）再列方程；3.常數(shù)項(xiàng)存在的條件：指數(shù)方程有整數(shù)解，且（如，指數(shù)方程，即，需是3的倍數(shù)）.知識(shí)點(diǎn)8：賦值法的應(yīng)用（二項(xiàng)式系數(shù)和核心方法）基礎(chǔ)知識(shí)：通過(guò)代入特殊值（如1、-1、0）簡(jiǎn)化二項(xiàng)式展開(kāi)式，快速求解各類(lèi)系數(shù)和，是期末高頻技巧.核心概念：1.全項(xiàng)系數(shù)和：展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和（含常數(shù)項(xiàng)）；2.奇數(shù)項(xiàng)/偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：展開(kāi)式中奇數(shù)位置項(xiàng)（第1、3、5…項(xiàng)）或偶數(shù)位置項(xiàng)（第2、4、6…項(xiàng)）的系數(shù)之和；3.特定字母系數(shù)和：僅含某一字母的項(xiàng)的系數(shù)之和（如中含的項(xiàng)的系數(shù)之和）.核心公式/賦值方式： 所求目標(biāo)賦值方式計(jì)算結(jié)果全項(xiàng)系數(shù)和令（a、b含系數(shù)需代入）如：奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和-偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和令如：奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和（全項(xiàng)系數(shù)和+上述結(jié)果）÷2如：偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和（全項(xiàng)系數(shù)和-上述結(jié)果）÷2如：常數(shù)項(xiàng)令未知數(shù)=0（如）如：易錯(cuò)點(diǎn)：1.賦值時(shí)忽略a、b本身的系數(shù)（如求全項(xiàng)系數(shù)和，誤令得，正確）；2.混淆“奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和”與“奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和”（前者需考慮a、b系數(shù)，后者僅為）；3.求含負(fù)號(hào)的二項(xiàng)式系數(shù)和時(shí)，符號(hào)錯(cuò)誤（如令，誤算為，正確為）.?？冀Y(jié)論：1.賦值法的本質(zhì)是“特殊值代入法”，核心是利用、交替變號(hào)的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算；2.若二項(xiàng)式含多個(gè)字母（如），可固定一個(gè)字母，對(duì)其他字母賦值（如求含的項(xiàng)的系數(shù)之和，令，轉(zhuǎn)化為中的系數(shù)）；3.常數(shù)項(xiàng)可通過(guò)“賦值法”或“特定項(xiàng)求解”兩種方式驗(yàn)證，期末?？純煞N方法的交叉應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)9：楊輝三角（二項(xiàng)式系數(shù)的直觀表示）基礎(chǔ)知識(shí)：二項(xiàng)式系數(shù)的幾何排列形式，直觀反映組合數(shù)的遞推關(guān)系，是銜接組合數(shù)與二項(xiàng)式定理的橋梁.核心概念：1.行數(shù)定義：第行（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)）對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)（如第0行對(duì)應(yīng)，系數(shù)為；第1行對(duì)應(yīng)，系數(shù)為）；2.遞推特征：從第2行起，每個(gè)數(shù)字等于上方兩個(gè)相鄰數(shù)字之和（對(duì)應(yīng)組合數(shù)性質(zhì)）；3.對(duì)稱(chēng)特征：每行數(shù)字左右對(duì)稱(chēng)（對(duì)應(yīng)組合數(shù)對(duì)稱(chēng)性）.核心特征：1.第行共有個(gè)數(shù)字；2.第行所有數(shù)字之和為（對(duì)應(yīng)二項(xiàng)式系數(shù)之和）；3.第行數(shù)字的最大值：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間1個(gè)數(shù)字最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間2個(gè)數(shù)字相等且最大.易錯(cuò)點(diǎn)：1.行數(shù)與二項(xiàng)式次數(shù)對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤（誤將第3行當(dāng)作的系數(shù)，實(shí)際第行對(duì)應(yīng)）；2.遞推關(guān)系應(yīng)用錯(cuò)誤（如第行第個(gè)數(shù)字，誤寫(xiě)為，順序顛倒）；3.忽略“行數(shù)從0開(kāi)始”的規(guī)則（如求的系數(shù)，需查第5行，而非第6行）.?？冀Y(jié)論：1.楊輝三角可快速查找低次二項(xiàng)式的系數(shù)（如的系數(shù)直接查第