1/3專題4.2等差等比數(shù)列的基本公式及性質(zhì)（期末復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律等差數(shù)列基本公式掌握等差數(shù)列定義、等差中項、通項公式、求和公式基礎必考點，常考小題中，或作為大題的基礎知識部分。等差數(shù)列的常用性質(zhì)掌握等差數(shù)列的一些常用的基本性質(zhì)。高頻必考點，?？夹☆}中，或數(shù)列大題中第一問。等比數(shù)列基本公式掌握等比數(shù)列定義、等比中項、通項公式、求和公式基礎必考點，?？夹☆}中，或作為大題的基礎知識部分。等比數(shù)列的常用性質(zhì)掌握等比數(shù)列的一些常用的基本性質(zhì)高頻必考點，?？夹☆}中，或數(shù)列大題中第一問。知識點01等差數(shù)列的概念及公式等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an?a等差中項若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A=a+b通項公式a前n項和公式S知識點02等差數(shù)列的常用性質(zhì)通項公式的推廣a當m+n=p+q時，am特別地，若m+n=2t，則am+an=2數(shù)列中序號為等差數(shù)列的項ak，若{an}，{數(shù)列kan+bSn為等差數(shù)列前n項和，則Sn,若{an}是公差為d等差數(shù)列，則{Snn若{an}與{bn}為等差數(shù)列，且前n項和為若項數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n=n(a1+若項數(shù)為奇數(shù)2n?1，則S2n－1=(2n?1)an；知識點03等差數(shù)列的判定定義法由an+1?an=d等差中項法由2an+1=an通項公式法由an=kn+b得{a4、前n項和公式由Sn=kn2+bn知識點04等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)由通項公式an=a1、公差d>0?{a2、公差d<0?{a3、公差d=0?知識點05等比數(shù)列的概念及公式等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為an+1等比中項若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項，且有A注意：a，A，b這三項均不能為0，若給出a，通項公式a前n項和公式S知識點06等比數(shù)列{an通項公式的推廣a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)，則am數(shù)列中序號為等差數(shù)列的項ak，ak+m，{an}為等比數(shù)列，則{λan}（λ為非零常數(shù)），{a若{an}，{bn公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前項和為Sn，則Sn，S2n{an}為等比數(shù)列，若前n項積為a若{an}知識點07等比數(shù)列的判定定義法由an+1an=q等比中項法由an+12=an通項公式法由an=kqn?1(q≠0知識點08等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1、當&a1>0&q>1或2、當&a1>0&0<q<1或題型一利用等差數(shù)列概念的求項解｜題｜技｜巧直接利用等差數(shù)列的概念求首項跟公差，在用通項公式求得數(shù)列中的項?！镜淅?】（24-25高二上·云南大理·期末）已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江蘇南京·期末）在無窮等差數(shù)列中，若，且，則．【變式1】（25-26高二上·湖南長沙·期中）已知等差數(shù)列，現(xiàn)在其每相鄰兩項之間插入一個數(shù)，使之成為一個新的等差數(shù)列，則數(shù)列的第23項為．【變式2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列滿足，，若，則.題型二判定是否為等差數(shù)列解｜題｜技｜巧等差數(shù)列的判定可以通過1、定義法2、等差中項3、通項公式4、求和公式注意一些細節(jié)問題，如規(guī)則是否覆蓋到每一項，首項是否也滿足條件?！镜淅?】（24-25高三上·福建福州·期末）設是無窮數(shù)列，，則“是等差數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（多選）（25-26高二上·湖南長沙·期中）若數(shù)列是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中一定為等差數(shù)列的有（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（24-25高二下·廣西北海·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，則下列一定是等差數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二下·廣西桂林·月考）在數(shù)列中，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要題型三等差中項的性質(zhì)解｜題｜技｜巧通項公式的推廣：當m+n=p+q時，am+an=ap+a【典例1】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列滿足，則等于（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（24-25高二上·河南安陽·期末）設等差數(shù)列的公差為，若，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式2】（24-25高二上·湖北武漢·期末）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．30 B．40 C．50 D．60題型四構造等差數(shù)列解｜題｜技｜巧常見的有構造{1an【典例1】（2025高二·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式．【典例2】（25-26高二上·重慶·期中）在數(shù)列中，，，且．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求的通項公式．【變式1】（25-26高二上·吉林長春·期中）已知數(shù)列滿足，若.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【變式2】（25-26高三上·河南商丘·開學考試）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．題型五等差數(shù)列的絕對值的前n項和解｜題｜技｜巧1、若{an2、求{|【典例1】（多選）（24-25高二上·陜西榆林·期末）已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．B．取得最大值時，C．D．【典例2】（24-25高二上·湖北武漢·期末）設是公差不為零的等差數(shù)列，，.(1)求和；(2)求的前項和.【變式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列、的各項均不為零，若是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，，.(1)求及數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和.【變式2】（2025高三上·河南洛陽·專題練習）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的前項和為（

）A．108 B．28 C．62 D．80題型六兩個等差數(shù)列前n項和之比解｜題｜技｜巧若{an}與{bn}為等差數(shù)列，且前n【典例1】（24-25高二上·湖北武漢·期末）設等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二下·重慶·月考）已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（25-26高二上·陜西咸陽·期中）已知，分別為等差數(shù)列，的前n項和，且，則（

）A． B． C． D．題型七等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解｜題｜技｜巧若{an}是公差為d等差數(shù)列，則{SnSn為等差數(shù)列前n項和，則Sn,【典例1】（多選）（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）若為數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．常數(shù)列是等差數(shù)列B．若，則是等差數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列D．若是等差數(shù)列，，則【典例2】（25-26高三上·河北·月考）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．18【變式1】（25-26高二上·重慶·期中）已知數(shù)列的前項和為，是以1為公差，4為首項的等差數(shù)列，則通項公式【變式2】（多選）（2025高二上·山西臨汾·專題練習）記為等差數(shù)列的前n項和，則（

）A．，，成等差數(shù)列 B．C． D．，，成等差數(shù)列題型八等差數(shù)列前n項和的單調(diào)性與最值解｜題｜技｜巧1、公差d>0?{an}為遞增等差數(shù)列，S2、公差d<0?{an}為遞減等差數(shù)列，S3、公差d=0?【典例1】（24-25高二上·海南·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則取得最小值時的值為．【典例2】（多選）（24-25高二上·海南·期末）設等差數(shù)列的公差為，前項和為．已知，，，，則（

）A． B．的取值范圍是C．的最大值為 D．的最小值為【變式1】（多選）（2025高二·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A．數(shù)列是遞減數(shù)列 B．C．當取得最大值時， D．【變式2】（多選）（25-26高三上·河北·期中）設是公差d不為0的等差數(shù)列，其前n項和存在最小值，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．題型九等比數(shù)列的求項解｜題｜技｜巧利用通項公式求項a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)，則am利用等比中項求等比數(shù)列中的項?！镜淅?】（25-26高二上·湖南長沙·期中）在等比數(shù)列中，，，則．【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）在正項等比數(shù)列中，若，，則.【變式1】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知數(shù)列滿足且，則的值為（

）A．32 B．16 C． D．【變式2】（25-26高二上·貴州·期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．18題型十判斷是否為等比數(shù)列解｜題｜技｜巧等比數(shù)列的判定可以通過1、定義法2、等比中項3、通項公式注意一些細節(jié)問題，如規(guī)則是否覆蓋到每一項，首項是否也滿足條件。【典例1】（多選）（25-26高二上·甘肅蘭州·期中）設是等比數(shù)列，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等差數(shù)列【典例2】（25-26高二上·江蘇蘇州·期中）設，是兩個公比不相等的等比數(shù)列，則下列數(shù)列中一定是等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【變式1】（25-26高三上·全國·期中）已知為非常數(shù)數(shù)列，則“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【變式2】（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）設是等比數(shù)列，有下列四個命題：①是等比數(shù)列；

②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；

④是等比數(shù)列.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型十一求等比數(shù)列的前n項和解｜題｜技｜巧根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求n項和。S【典例1】（24-25高二上·陜西西安·期末）設數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【典例2】（25-26高三上·黑龍江·月考）已知等比數(shù)列，，，則數(shù)列的前項和等于．【變式1】（2025高三上·廣東廣州·專題練習）已知等比數(shù)列滿足，且與的等差中項為5，為其前項和，則等于.【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列滿足：，其前項和為．(1)證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．題型十二等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)解｜題｜技｜巧公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前項和為Sn，則Sn，S2n等比數(shù)列有2n項，則所有的奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和的比值為公比【典例1】（24-25高二下?安徽合肥?期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，且，則（

）A． B．40C．30或 D．或40【典例2】（24-25高二上·全國·隨堂練習）若等比數(shù)列共有項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列的所有項之和為．【變式1】（25-26高三上?江蘇鹽城?期中）設等比數(shù)列的前項和為，若公比，則.【變式2】（24-25高二上·全國·課堂例題）若等比數(shù)列共有奇數(shù)項，其首項為1，其偶數(shù)項和為170，奇數(shù)項和為341，則這個數(shù)列的公比為，項數(shù)為．題型十三等比數(shù)列有關的單調(diào)性與最值解｜題｜技｜巧討論單調(diào)性跟最值時，根據(jù)表達式來判斷。主要根據(jù)首項跟公比的正負來決定?！镜淅?】（多選）（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）設等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件，.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大項為【典例2】（多選）（25-26高二上·福建寧德·期中）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，其前和項和為，前項積為，且滿足條件，，則下列選項正確的是（

）A．B．C．數(shù)列中的最大項為D．【變式1】（多選）（25-26高二上·全國·單元測試）設等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為【變式2】（24-25高二上·上?！て谀┰诘缺葦?shù)列中，公比為q，其前n項積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然數(shù)n等于4046題型十四等差與等比數(shù)列綜合解｜題｜技｜巧綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與性質(zhì)【典例1】（多選）（25-26高二上?江蘇蘇州?月考）關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為【典例2】（多選）（24-25高二下·湖北·期末）已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的有（

）A．若，則數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列B．若，則數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列C．若，則數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列D．若，則數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列【變式1】（多選）（24-25高二上·湖北·月考）關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是（）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則，，，…成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為12【變式2】（多選）（24-25高二上·云南昭通·期末）數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則數(shù)列的前項和最大B．若等比數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則公比滿足C．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則D．已知為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列期末基礎通關練（測試時間：10分鐘）1．（25-26高二上·江蘇常州·期中）已知等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列中有多少項在到之間.2.（24-25高二上·天津·月考）若數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明是等差數(shù)列.3．（24-25高二上·天津·期末）等差數(shù)列{an}中，若a34．（24-25高二上·山東泰安·期末）已知在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上?福建寧德?期中）記為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A．85 B．15 C． D．期末重難突破練（測試時間：10分鐘）1．（2025高二·全國·專題練習）已知在數(shù)列中，，，對于且，有，若（，且，互質(zhì)，則．2．（25-26高二上·河北滄州·期中）已知等差數(shù)列，的前項和分別為和，若，則滿足的正整數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．5個 D．6個3．（2025高二上·山西臨汾·專題練習）已知公差為的等差數(shù)列的前項和為，且，，則的取值范圍是4．（多選）（25-26高三上·河南·月考）設等差數(shù)列的前項和為，公差為，首項為，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當時，取最大值C．D．數(shù)列為等差數(shù)列并且與數(shù)列具有相同的單調(diào)性5．（24-25高三上·黑龍江牡丹江·期中）已知數(shù)列的前項和為，且，，則．期末綜合拓展練（測試時間：15分鐘）1．（多選）（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，前項和為，下列判斷正確的有（

）A．為等比數(shù)列 B．為等比數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．若，則2．（多選）（24-25高二上·安徽六安·期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列命題中正確的是（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．若，，則C．若數(shù)列的前項和，則D．若，公比，則數(shù)列是遞增數(shù)列3．（25-26高三上·廣東·月考）記為數(shù)列的前項和，設甲：是等比數(shù)列，乙：是等比數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件4．（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知一個各項非零的數(shù)列滿足且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（多選）（24-25高二下·湖北武漢·期末）已知數(shù)列，下列命題正確的有（

）A．若為正項等比數(shù)列，為其前項和，則，，，成等比數(shù)列B．若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列C．滿足：，則D．已知為的前項積，若，則

專題4.2等差等比數(shù)列的基本公式及性質(zhì)（期末復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律等差數(shù)列基本公式掌握等差數(shù)列定義、等差中項、通項公式、求和公式基礎必考點，?？夹☆}中，或作為大題的基礎知識部分。等差數(shù)列的常用性質(zhì)掌握等差數(shù)列的一些常用的基本性質(zhì)。高頻必考點，?？夹☆}中，或數(shù)列大題中第一問。等比數(shù)列基本公式掌握等比數(shù)列定義、等比中項、通項公式、求和公式基礎必考點，?？夹☆}中，或作為大題的基礎知識部分。等比數(shù)列的常用性質(zhì)掌握等比數(shù)列的一些常用的基本性質(zhì)高頻必考點，?？夹☆}中，或數(shù)列大題中第一問。知識點01等差數(shù)列的概念及公式等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an?a等差中項若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A=a+b通項公式a前n項和公式S知識點02等差數(shù)列的常用性質(zhì)通項公式的推廣a當m+n=p+q時，am特別地，若m+n=2t，則am+an=2數(shù)列中序號為等差數(shù)列的項ak，若{an}，{數(shù)列kan+bSn為等差數(shù)列前n項和，則Sn,若{an}是公差為d等差數(shù)列，則{Snn若{an}與{bn}為等差數(shù)列，且前n項和為若項數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n=n(a1+若項數(shù)為奇數(shù)2n?1，則S2n－1=(2n?1)an；知識點03等差數(shù)列的判定定義法由an+1?an=d等差中項法由2an+1=an通項公式法由an=kn+b得{a4、前n項和公式由Sn=kn2+bn知識點04等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)由通項公式an=a1、公差d>0?{a2、公差d<0?{a3、公差d=0?知識點05等比數(shù)列的概念及公式等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為an+1等比中項若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項，且有A注意：a，A，b這三項均不能為0，若給出a，通項公式a前n項和公式S知識點06等比數(shù)列{an通項公式的推廣a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)，則am數(shù)列中序號為等差數(shù)列的項ak，ak+m，{an}為等比數(shù)列，則{λan}（λ為非零常數(shù)），{a若{an}，{bn公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前項和為Sn，則Sn，S2n{an}為等比數(shù)列，若前n項積為a若{an}知識點07等比數(shù)列的判定定義法由an+1an=q等比中項法由an+12=an通項公式法由an=kqn?1(q≠0知識點08等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1、當&a1>0&q>1或2、當&a1>0&0<q<1或題型一利用等差數(shù)列概念的求項解｜題｜技｜巧直接利用等差數(shù)列的概念求首項跟公差，在用通項公式求得數(shù)列中的項?！镜淅?】（24-25高二上·云南大理·期末）已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出通項公式，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】由題得，即，則，故選：A.【典例2】（24-25高二上·江蘇南京·期末）在無窮等差數(shù)列中，若，且，則．【答案】0【分析】設等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項公式求出，進而求出答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，所以，故.故答案為：0.【變式1】（25-26高二上·湖南長沙·期中）已知等差數(shù)列，現(xiàn)在其每相鄰兩項之間插入一個數(shù)，使之成為一個新的等差數(shù)列，則數(shù)列的第23項為．【答案】【分析】先計算出原等差數(shù)列的公差，進而得到新的等差數(shù)列的公差，從而求出的通項公式，得到新數(shù)列的第項.【詳解】在相鄰兩項之間插入一個數(shù)，使之成為一個新的等差數(shù)列，則等差數(shù)列的公差為原等差數(shù)列公差的．設等差數(shù)列為，公差為，易知，則，則的公差為，則．所以．故答案為:.【變式2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列滿足，，若，則.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，可得數(shù)列是等差數(shù)列，再求出公差及首項即可.【詳解】由數(shù)列滿足，得數(shù)列是等差數(shù)列，由，得公差，由，得，解得，所以.故答案為：題型二判定是否為等差數(shù)列解｜題｜技｜巧等差數(shù)列的判定可以通過1、定義法2、等差中項3、通項公式4、求和公式注意一些細節(jié)問題，如規(guī)則是否覆蓋到每一項，首項是否也滿足條件。【典例1】（24-25高三上·福建福州·期末）設是無窮數(shù)列，，則“是等差數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的定義，判斷出是等差數(shù)列則也是等差數(shù)列，而也是等差數(shù)列不一定是等差數(shù)列，可得答案.【詳解】若是等差數(shù)列，設公差為,則，則，所以是等差數(shù)列；若是等差數(shù)列，設公差為,則，即的奇數(shù)項是等差數(shù)列，偶數(shù)項是等差數(shù)列，則不一定是等差數(shù)列，所以“是等差數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.【典例2】（多選）（25-26高二上·湖南長沙·期中）若數(shù)列是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中一定為等差數(shù)列的有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，通過作差法，逐一判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，得出正確結(jié)果即可.【詳解】設，對于選項A，，可知，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以A正確；對于選項B，，相鄰兩項之差不是常數(shù)，所以B錯誤；對于選項C，，數(shù)列是以為首項，以為公差的常數(shù)列，所以C正確；對于選項D，，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以D正確；故選：ACD.【變式1】（多選）（24-25高二下·廣西北?！て谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，則下列一定是等差數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用等差數(shù)列的定義可判斷AC選項，取，可判斷BD選項.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，所以是等差數(shù)列，故A正確；，所以是等差數(shù)列，故C正確；若，則，，，，所以，，，所以，故不是等差數(shù)列，故B錯誤；若，，，，所以，故不是等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.【變式2】（24-25高二下·廣西桂林·月考）在數(shù)列中，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義進行判斷即可.【詳解】當數(shù)列為等差數(shù)列時，不一定有成立；“”成立也不一定推出“數(shù)列為等差數(shù)列”；“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的既不充分也不必要條件；故選：D題型三等差中項的性質(zhì)解｜題｜技｜巧通項公式的推廣：當m+n=p+q時，am+an=ap+a【典例1】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列滿足，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得答案.【詳解】因為，解得.故選：B.【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解；【詳解】根據(jù)題意，因為，又因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，可得，所以．故選：B【變式1】（24-25高二上·河南安陽·期末）設等差數(shù)列的公差為，若，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)求得，進而求得，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式求公差即可.【詳解】因為，所以，又，所以，故公差.故選：D【變式2】（24-25高二上·湖北武漢·期末）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】D【分析】利用等差數(shù)列下標和的性質(zhì)得，進而可求.【詳解】由，得，即，所以故選：D題型四構造等差數(shù)列解｜題｜技｜巧常見的有構造{1an【典例1】（2025高二·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式．【答案】【分析】根據(jù)遞推式得，結(jié)合等差數(shù)列的定義寫出通項公式即可.【詳解】因為，所以，可得，從而，所以是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以，即．故答案為：【典例2】（25-26高二上·重慶·期中）在數(shù)列中，，，且．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義進行證明.（2）利用累加法求數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）因為，且，所以數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得：.所以，，，…，.以上各式相加得：，又，所以【變式1】（25-26高二上·吉林長春·期中）已知數(shù)列滿足，若.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題設易得，即可得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可求證；（2）結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】（1）由，則，則，即，又，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，，則.【變式2】（25-26高三上·河南商丘·開學考試）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：分析可知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列運算求解；方法二：根據(jù)遞推公式求，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，結(jié)合選項可得結(jié)果.【詳解】方法一：由題意可得：，則，可得，即，可知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，則，即，所以；方法二：因為，，可得，，，據(jù)此可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以．故選：C．題型五等差數(shù)列的絕對值的前n項和解｜題｜技｜巧1、若{an2、求{|【典例1】（多選）（24-25高二上·陜西榆林·期末）已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．B．取得最大值時，C．D．【答案】AC【分析】利用和與項的關系，分和分別求得數(shù)列的通項公式，檢驗合并即可判定A；根據(jù)數(shù)列的項的正負情況可以否定B；根據(jù)前16項都是非負值可計算判定C；由可計算后否定D.【詳解】因為數(shù)列的前項和，則，，當時也成立，所以，故A正確；由，得，當時，當時，，所以取得最大值時，或，故B錯誤；因為當時，，當時，所以，故C正確；因為，故D錯誤.故選：AC.【典例2】（24-25高二上·湖北武漢·期末）設是公差不為零的等差數(shù)列，，.(1)求和；(2)求的前項和.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根據(jù)可得，結(jié)合列方程組可求得，由此可得和.（2）討論和可得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，∵，∴，即，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，由得，，即，

由得，，聯(lián)立方程可得，，

∴，.（2）由得，時，，時，.當時，，

當時，，∴.【變式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列、的各項均不為零，若是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，，.(1)求及數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）變形得到，故為等差數(shù)列，利用求出，根據(jù)，其中，，得到，求出公差，得到通項公式；（2），設的前項和為，分和，兩種情況，得到的前項和.【詳解】（1），，故，即，的各項均不為零，故，所以為等差數(shù)列，且公差大于0，中，令得，又，故，中，令得，其中，，故，即，解得或0（舍去），故；（2），故當時，，當時，，設的前項和為，當時，，當時，，綜上，.【變式2】（2025高三上·河南洛陽·專題練習）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的前項和為（

）A．108 B．28 C．62 D．80【答案】D【分析】利用等差數(shù)列前n項和及其性質(zhì)求基本量，進而得到，再確定的前4項為正數(shù)項，從第5項開始均為負數(shù)項，最后由的前12項和求結(jié)果.【詳解】由，可得，所以，故數(shù)列的公差，且，所以，令，，所以的前4項為正數(shù)項，從第5項開始均為負數(shù)項，且，所以的前12項和.故選：D題型六兩個等差數(shù)列前n項和之比解｜題｜技｜巧若{an}與{bn}為等差數(shù)列，且前n【典例1】（24-25高二上·湖北武漢·期末）設等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可設，，結(jié)合與的關系可得.【詳解】因數(shù)列，均為等差數(shù)列，故由，可設，，則，，則故選：B【典例2】（24-25高二下·重慶·月考）已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知及等差數(shù)列前n項和的特征，設，，再由求值即可.【詳解】根據(jù)已知及等差數(shù)列前n項和，設，，則.故選：C【變式1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可得，要使為整數(shù)，只需要為的因數(shù)即可.【詳解】，又，，當時，，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是4個.故選：D.【變式2】（25-26高二上·陜西咸陽·期中）已知，分別為等差數(shù)列，的前n項和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】因為，分別為等差數(shù)列，的前n項和，所以，，所以.故選：A.題型七等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解｜題｜技｜巧若{an}是公差為d等差數(shù)列，則{SnSn為等差數(shù)列前n項和，則Sn,【典例1】（多選）（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）若為數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．常數(shù)列是等差數(shù)列B．若，則是等差數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列D．若是等差數(shù)列，，則【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，通項公式，以及性質(zhì)，即可判斷選項.【詳解】A.常數(shù)列是等差數(shù)列，公差為0，故A正確；B.，，，，所以不是等差數(shù)列，故B錯誤；C.若是等差數(shù)列，則，，則（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列，故C正確；D.若是等差數(shù)列，，則，故D正確.故選：ACD【典例2】（25-26高三上·河北·月考）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為是等差數(shù)列，且，，所以，，所以.故選：A.【變式1】（25-26高二上·重慶·期中）已知數(shù)列的前項和為，是以1為公差，4為首項的等差數(shù)列，則通項公式【答案】【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出的通項公式，然后再根據(jù)和的關系即可求解.【詳解】由題意可得，所以，當時，，當時，，符合上式，因此.故答案為：【變式2】（多選）（2025高二上·山西臨汾·專題練習）記為等差數(shù)列的前n項和，則（

）A．，，成等差數(shù)列 B．C． D．，，成等差數(shù)列【答案】AD【分析】由等差數(shù)列前n項和公式對4個選項依次判斷即可．【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，，.對于A，由，，則，所以，，成等差數(shù)列，故A正確；對于B，，而，且的值不確定，則與不一定相等，故B錯誤；對于C，，而，且的值不確定，則與不一定相等，故C錯誤；對于D，由，，，所以，即，則，，成等差數(shù)列，故D正確.故選：AD．題型八等差數(shù)列前n項和的單調(diào)性與最值解｜題｜技｜巧1、公差d>0?{an}為遞增等差數(shù)列，S2、公差d<0?{an}為遞減等差數(shù)列，S3、公差d=0?【典例1】（24-25高二上·海南·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則取得最小值時的值為．【答案】8【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，公差，為遞增數(shù)列，從而得到當時，取得最小值【詳解】由已知數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，所以，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，則當時，，當時，，所以當時，取得最小值.故答案為：.【典例2】（多選）（24-25高二上·海南·期末）設等差數(shù)列的公差為，前項和為．已知，，，，則（

）A． B．的取值范圍是C．的最大值為 D．的最小值為【答案】AD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式推導出、，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項；根據(jù)A選項可得出關于的不等式組，解出的范圍，可判斷B選項；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項；分析數(shù)列的單調(diào)性，可判斷D選項.【詳解】等差數(shù)列的公差為，前項和為，，，，對于A選項，，可得，，可得，則，A對；對于B選項，，解得，，解得，因此，的取值范圍是，B錯；對于C選項，因為，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且，當且時，，當且時，，所以，的最大值為，C錯；對于D選項，因為數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且當且時，，此時，，則，當且時，，此時，數(shù)列單調(diào)遞減，當且時，，此時，，當且時，，此時，，所以，要考慮的最小值，只需考慮即可，當時，，即，此時數(shù)列單調(diào)遞增，所以，的最小值為，D對.故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：本題D選項要考查的最小值，最好是確定的符號，鎖定取負值時的取值，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性分析即可.【變式1】（多選）（2025高二·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A．數(shù)列是遞減數(shù)列 B．C．當取得最大值時， D．【答案】ACD【分析】設出公差，利用等差數(shù)列求和公式得到，，，，從而對選項一一判斷，得到答案.【詳解】對于ABD選項，設的公差為，，故，，故，所以，由于，故，，即是遞減數(shù)列，A正確，B錯誤，D正確；C選項，由于是遞減數(shù)列，，，故當取得最大值時，，C正確.故選：ACD.【變式2】（多選）（25-26高三上·河北·期中）設是公差d不為0的等差數(shù)列，其前n項和存在最小值，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)和等差中項的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，分析出數(shù)列的首項、公差以及特定項的值，逐一分析各選項即可.【詳解】對于AB：因為存在最小值，且，所以，，故AB正確；對于C：因為，所以，所以，故C錯誤；對于D：因為，故D正確.故選：ABD.題型九等比數(shù)列的求項解｜題｜技｜巧利用通項公式求項a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)，則am利用等比中項求等比數(shù)列中的項?！镜淅?】（25-26高二上·湖南長沙·期中）在等比數(shù)列中，，，則．【答案】【分析】根據(jù)題目信息及等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比，再計算的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，又，所以，則.故答案為：.【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）在正項等比數(shù)列中，若，，則.【答案】1024/【分析】利用等比數(shù)列通項公式即可求出公比，再求首項，最后可得通項，從而可求解.【詳解】由題意知，，因為正項等比數(shù)列，所以，由，可得，所以，即.故答案為：【變式1】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知數(shù)列滿足且，則的值為（

）A．32 B．16 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可得數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，，則，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，又由，則，則.故選：D.【變式2】（25-26高二上·貴州·期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】C【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可得，再結(jié)合等比數(shù)列下標和性質(zhì)即可求解.【詳解】解：等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，．故選：．題型十判斷是否為等比數(shù)列解｜題｜技｜巧等比數(shù)列的判定可以通過1、定義法2、等比中項3、通項公式注意一些細節(jié)問題，如規(guī)則是否覆蓋到每一項，首項是否也滿足條件?！镜淅?】（多選）（25-26高二上·甘肅蘭州·期中）設是等比數(shù)列，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等差數(shù)列【答案】AC【分析】利用等比數(shù)列定義可判斷A、C，令，可判斷B，取等比數(shù)列為，可判斷D.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以設其公比為，即．因為，所以是等比數(shù)列，所以A選項正確；因為，所以是等比數(shù)列，所以C選項正確；當時，，所以此時不是等比數(shù)列，所以B選項錯誤；不妨設等比數(shù)列為，當時，不存在，所以不是等差數(shù)列，所以D選項錯誤.故選：AC【典例2】（25-26高二上·江蘇蘇州·期中）設，是兩個公比不相等的等比數(shù)列，則下列數(shù)列中一定是等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義與等比中項逐一判斷即可.【詳解】設等比數(shù)列，是兩個公比分別為，且對于A，因為，，因,則，故不是等比數(shù)列，即A錯誤；對于B，因為，，與A同理，，故不是等比數(shù)列，即B錯誤；對于C，因為，，是一個常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故C正確.對于D，因為，，是一個常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故D正確.故選：CD.【變式1】（25-26高三上·全國·期中）已知為非常數(shù)數(shù)列，則“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義驗證充分性與必要性即可得結(jié)論.【詳解】已知為非常數(shù)數(shù)列，若為等比數(shù)列，設公比為，則，且，即，，因為常數(shù)，故為等差數(shù)列；又若為等差數(shù)列，設公差為，則，且，，即，為常數(shù)，所以為等比數(shù)列；故“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.【變式2】（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）設是等比數(shù)列，有下列四個命題：①是等比數(shù)列；

②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；

④是等比數(shù)列.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的定義判斷即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，∵，∴是等比數(shù)列，①正確；∵，∴是等比數(shù)列，②正確；∵，∴是等比數(shù)列，③正確；

∵，∴是等比數(shù)列，④正確.故選：D.題型十一求等比數(shù)列的前n項和解｜題｜技｜巧根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求n項和。S【典例1】（24-25高二上·陜西西安·期末）設數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知有，應用等比數(shù)列的定義寫出通項公式；（2）由（1）得的通項公式，應用裂項相消法求.【詳解】（1）因為，所以，又，所以是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，.（2）因為，所以，所以.【典例2】（25-26高三上·黑龍江·月考）已知等比數(shù)列，，，則數(shù)列的前項和等于．【答案】【分析】先根據(jù)等比數(shù)列計算得出，，再求和計算.【詳解】由等比數(shù)列，，，得，，所以，，所以的前項和等于．故答案為：63.【變式1】（2025高三上·廣東廣州·專題練習）已知等比數(shù)列滿足，且與的等差中項為5，為其前項和，則等于.【答案】【分析】通過等比數(shù)列項的運算關系與等差中項的性質(zhì)，建立首項與公比的方程，求解得首項和公比后，代入等比數(shù)列前項和公式計算.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，首項為.由，得，化簡得.由與的等差中項為5，得，即.將代入上式，得，故.聯(lián)立，兩式相除得，解得.代入，得.前5項和.故答案為：31【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列滿足：，其前項和為．(1)證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件化簡，再應用等比數(shù)列定義計算證明，最后應用等比數(shù)列的通項公式計算求解；（2）應用不等式關系及等比數(shù)列求和公式計算證明.【詳解】（1）由題意每一項都不為零．由得，又，因此是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，故；（2）對于任意的正整數(shù)，因為，所以，求和得到．題型十二等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)解｜題｜技｜巧公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前項和為Sn，則Sn，S2n等比數(shù)列有2n項，則所有的奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和的比值為公比【典例1】（24-25高二下?安徽合肥?期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，且，則（

）A． B．40C．30或 D．或40【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及片段和，求出等比數(shù)列公比由前項和公式即可得解.【詳解】等比數(shù)列的公比為，因為，且，，，故，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，故選：B.【典例2】（24-25高二上·全國·隨堂練習）若等比數(shù)列共有項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列的所有項之和為．【答案】300【分析】設等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為則，，則可求出,值，從而得出答案.【詳解】設等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，，由題意可得：，即，解得，故數(shù)列的所有項之和是.故答案為：300.【變式1】（25-26高三上?江蘇鹽城?期中）設等比數(shù)列的前項和為，若公比，則.【答案】64【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)得.故答案為：64.【變式2】（24-25高二上·全國·課堂例題）若等比數(shù)列共有奇數(shù)項，其首項為1，其偶數(shù)項和為170，奇數(shù)項和為341，則這個數(shù)列的公比為，項數(shù)為．【答案】29【分析】利用等比數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關系，及前n項和公式列式計算即可得解.【詳解】在等比數(shù)列中，由，得，解得，設這個數(shù)列共有項，則，解得，所以這個等比數(shù)列的項數(shù)為9.故答案為：2；9題型十三等比數(shù)列有關的單調(diào)性與最值解｜題｜技｜巧討論單調(diào)性跟最值時，根據(jù)表達式來判斷。主要根據(jù)首項跟公比的正負來決定。【典例1】（多選）（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）設等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件，.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大項為【答案】ACD【分析】對于A，分，討論可得；對于B、C，借助，得為遞減數(shù)列，即，結(jié)合，得；對于D，由BC知當時，，當時，，即可得的最大項.【詳解】對于A，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，若，因為，所以，不滿足，若，因為，所以，不滿足，所以，故A正確；對于B、C，因為，為遞減數(shù)列，所以，又，所以，故B錯誤、C正確；對于D，由B，C可得當時，，當時，，所以的最大值為，故D正確．故選：ACD.【典例2】（多選）（25-26高二上·福建寧德·期中）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，其前和項和為，前項積為，且滿足條件，，則下列選項正確的是（

）A．B．C．數(shù)列中的最大項為D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意得，，，進而再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)依次判斷各選項即可.【詳解】因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，所以，因為，所以，即或，當時，由于，故，即；當時，由于，故，又因為，此時等比數(shù)列恒成立，與矛盾，所以，，，故A選項正確；對于B，由得，即得，故B選項錯誤；對于C，由于，，，所以，，所以數(shù)列中的最大項為，故C選項正確；對于D，，故D選項錯誤.故選：AC【變式1】（多選）（25-26高二上·全國·單元測試）設等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ABD【分析】對于A，分別，討論不合題意，得到；對于BC，借助，得為遞減數(shù)列，即，結(jié)合，得，判斷BC；對于D，由BC知當時，，當時，，進而判斷D.【詳解】對于A，若，因為，所以，不滿足．若，因為，所以，不滿足．顯然，所以，故A正確；對于B，因為，為遞減數(shù)列，所以，又，所以，故B正確C錯誤；對于D，由B，C可得當時，，當時，，所以的最大值為，故D正確．故選：ABD.【變式2】（24-25高二上·上?！て谀┰诘缺葦?shù)列中，公比為q，其前n項積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然數(shù)n等于4046【答案】C【分析】分析條件可得數(shù)列為遞減數(shù)列，選項A正確；根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得選項B正確；根據(jù)可得選項C錯誤；根據(jù)，可得選項D正確.【詳解】∵，∴，∴．∵，∴，即一個大于1，一個小于1，∵，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，故，即，選項A正確.，選項B正確.，選項C錯誤.，，選項D正確.故選：C．題型十四等差與等比數(shù)列綜合解｜題｜技｜巧綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與性質(zhì)【典例1】（多選）（25-26高二上?江蘇蘇州?月考）關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為【答案】AB【分析】對A，利用，求出，再利用等比數(shù)列的定義求出的值，即可判斷A；對B，根據(jù)條件，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解；對C，通過舉例即可說明；對D，結(jié)合條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得，進而可得，，即可求解.【詳解】對于A，因為，則，，，由，得到，解得，故A正確，對于B，由，得到，所以，故B正確，對于C，取，顯然有數(shù)列為等比數(shù)列，當為偶數(shù)時，，此時不成等比數(shù)列，故C錯誤，對于D，因為等差數(shù)列的前項和有最大值，故可得，因為，故可得，即，所以，可得，又，故可得，所以前項和在時取得最大值，且，又因為，，故取得最小正值時，所以D錯誤.故選：AB.【典例2】（多選）（24-25高二下·湖北·期末）已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的有（

）A．若，則數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列B．若，則數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列C．若，則數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列D．若，則數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列【答案】BC【分析】本題可根據(jù)數(shù)列的前項和與的關系、等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，對選項逐一分析即可.【詳解】對于選項A，已知，當時，；當時，.當時，，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯誤.對于選項B，由，兩邊取倒數(shù)可得，即.又，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，B正確.對于選項C，由，兩邊同時除以可得：，即.又，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，C正確.對于選項D，由，移項可得，兩邊同時除以得.又，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，D錯誤.故選：BC.【變式1】（多選）（24-25高二上·湖北·月考）關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是（）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則，，，…成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為12【答案】CD【分析】求出的值判斷A；利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算判斷B；舉例說明判斷C；求出與公差的關系判斷D.【詳解】對于A，由，得，又數(shù)列為等比數(shù)列，則，解得，經(jīng)驗證符合題意，A正確；對于B，等比數(shù)列中，由，得，則，B正確；對于C，等比數(shù)列的公比，為偶數(shù)時，，，，，…不成等比數(shù)列，C錯誤；對于D，因為等差數(shù)列的前項和有最大值，故可得，因為，故可得，即，所以，可得，又，故可得，所以數(shù)列的前6項和有最大值，且，又因為，，故取得最小正值時n等于，D錯誤.故選：CD【變式2】（多選）（24-25高二上·云南昭通·期末）數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則數(shù)列的前項和最大B．若等比數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則公比滿足C．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則D．已知為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列【答案】ACD【分析】解不等式，可判斷A選項；利用等比數(shù)列的單調(diào)性可判斷B選項；利用等差數(shù)列的求和公式可判斷C選項；利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由，可得，又因為，故數(shù)列前項的和最大，A對；對于B選項，當，時，則對任意的，，則，所以，，此時等比數(shù)列也是遞減數(shù)列，B錯；對于C選項，，則，C對；對于D選項，若為等差數(shù)列，則，，則（為常數(shù)），所以，數(shù)列也是等差數(shù)列，D對，故選：ACD.期末基礎通關練（測試時間：10分鐘）1．（25-26高二上·江蘇常州·期中）已知等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列中有多少項在到之間.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列出首項和公差的方程組，求解出結(jié)果即可求的通項公式；（2）根據(jù)求解出的范圍，則結(jié)果可求.【詳解】（1）設的首項為，公差為，因為，所以，解得，所以.（2）令，所以，所以，所以項數(shù)有項，所以中有項在到之間.2.（24-25高二上·天津·月考）若數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明是等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)與的關系求解即可；（2）由（1），結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明.【詳解】（1），當時，；當時，，又符合上式，所以.（2）由（1）知，則，所以，又，所以數(shù)列是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列.3．（24-25高二上·天津·期末）等差數(shù)列{an}中，若a3【答案】20【分析】應用等差數(shù)列項的性質(zhì)計算求解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，又因為即則.故答案為：20.4．（24-25高二上·山東泰安·期末）已知在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比數(shù)列的通項公式求解即可得答案.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以，所以,所以，解得，故選：A.5．（25-26高二上?福建寧德?期中）記為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A．85 B．15 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)成等比數(shù)列得到方程，求出或，分兩種情況進行求解，舍去不符合要求的根，得到答案.【詳解】由題意得成等比數(shù)列，設，則成等比數(shù)列，即，解得或，若，則，，設的公比為，則，舍去；若，則，，，則，滿足要求，由于成等比數(shù)列，故成等比數(shù)列，故，解得，故選：D期末重難突破練（測試時間：10分鐘）1．（2025高二·全國·專題練習）已知在數(shù)列中，，，對于且，有，若（，且，互質(zhì)，則．【答案】8086【分析】根據(jù)遞推關系的結(jié)構進行分析，兩邊取倒數(shù)得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得，進而求出，，即可得解．【詳解】對的兩邊取倒數(shù)，得，即，故數(shù)列為等差數(shù)列，其首項為，公差為，故，所以．于是，所以．故答案為：80862．（25-26高二上·河北滄州·期中）已知等差數(shù)列，的前項和分別為和，若，則滿足的正整數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，由，從而可設（），，由通項與前項和的關系利用相減法可得通項，從而可得，結(jié)合分式與整式的性質(zhì)即可得結(jié)論