2/24專(zhuān)題4-1等差數(shù)列與函數(shù)性質(zhì)題型1等差數(shù)列定義與判定題型9比值錯(cuò)項(xiàng)型題型2構(gòu)造遞推型定義（常考點(diǎn)）題型10前n項(xiàng)和的二次函數(shù)性質(zhì)（重點(diǎn)）題型3等差數(shù)列函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性（重點(diǎn)）題型11等差數(shù)列正負(fù)不等式型（難點(diǎn)）題型4等差中項(xiàng)性質(zhì)題型12等差數(shù)列壓軸題型5等差數(shù)列“高斯”性質(zhì)（?？键c(diǎn)）題型13等差數(shù)列壓軸第19題題型6奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和題型7sn與an關(guān)系（重點(diǎn)）題型8雙等差比值型2/24題型一、定義與判定（共3小題）1．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）“存在，使得”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分別根據(jù)充分性、必要性的概念及等差數(shù)列的性質(zhì)定義判斷即可.【詳解】必要性：若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，故存在，使得，故滿(mǎn)足必要性；充分性：若存在，使得，則，兩式相減可得，所以可知數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，但數(shù)列不一定是等差數(shù)列，如時(shí)，數(shù)列，故不滿(mǎn)足充分性.所以“存在，使得”是“為等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B2．（2024高三下·四川內(nèi)江·專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由題設(shè)等式作差推得，再由和的關(guān)系推出，結(jié)合條件得到為公差是2的等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式計(jì)算即得.【詳解】由題知①，則②，由①－②，可得：，即，，，在已知等式中令，得，則，顯然滿(mǎn)足上式，故有③，則④．由③－④，可得：，即，即，∵，∴，故為公差是2的等差數(shù)列，又由可解得，∴．故選：A.3．（24-25高三上·黑龍江·月考）已知是無(wú)窮數(shù)列，，則“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷，直接論證即可.【詳解】對(duì)任意的，都有，令，可以得到，因此是公差為的等差數(shù)列；若，則，，，可得，故“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A題型二、構(gòu)造遞推型定義（共3小題）4．（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為C．使得取得最小值的n為7 D．有最小值，無(wú)最大值【答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，求得，得到，可得判定A正確；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，結(jié)合且，可判定B錯(cuò)誤；由通項(xiàng)公式，得到數(shù)列取值的正負(fù)，可判定C正確；求得的表達(dá)式，得到或時(shí)，且，當(dāng)或時(shí)，，進(jìn)而可判定D正確.【詳解】由數(shù)列滿(mǎn)足，可得，則，可得，即，因?yàn)椋傻?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以A正確；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，所以，因?yàn)?，而，所以不是?shù)列的最大項(xiàng)，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得在時(shí)取得最小值，所以C正確；由，當(dāng)或時(shí)，且，此時(shí)取得最小值；當(dāng)或時(shí)，，且無(wú)最大值，所以D正確.故選：B.5．（24-25高二下·廣東茂名·月考）已知數(shù)列和數(shù)列滿(mǎn)足，，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】依題意，對(duì)消去，得，等價(jià)于，所以，所以是等差數(shù)列，故D正確，C錯(cuò)誤；若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，與是公差為1的等差數(shù)列矛盾，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故A錯(cuò)誤．故選：D．6．（24-25高二下·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可得的值．【詳解】由，得，即，解得，當(dāng)時(shí)，，顯然，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，，則，所以.故選：C題型三、等差函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性（共3小題）7．（24-25高二下·北京海淀·期末）設(shè)是所有項(xiàng)都不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】作差法得到，若遞減，可得為遞增數(shù)列，充分性成立，可以舉出實(shí)例說(shuō)明必要性不成立，從而可得答案.【詳解】若遞減，則因此需要滿(mǎn)足：且恒成立；若，，則對(duì)所有成立，若，，則存在使得，與矛盾遞減的充要條件是且，即若遞減，則為遞增數(shù)列，充分性成立；若為遞增數(shù)列，則，，由于不知道的正負(fù)，故無(wú)法判斷的正負(fù)，故不能得到為遞減數(shù)列，必要性不成立，例如為以下數(shù)列：，則為，不是遞減數(shù)列，所以“為遞減數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的充分也不必要條件.故選：A.8．（23-24高二下·重慶·月考）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用特殊值說(shuō)明充分性不成立，根據(jù)單調(diào)性得到，即可說(shuō)明必要性成立，從而得解.【詳解】當(dāng)，滿(mǎn)足，但是，顯然是遞減數(shù)列，故充分性不成立，當(dāng)是遞增數(shù)列，則，若，則單調(diào)遞減，顯然不恒成立，所以，所以必要性成立，所以“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B9．（2020·廣東廣州·二模）首項(xiàng)為﹣21的等差數(shù)列從第8項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d【答案】D【分析】根據(jù)從第8項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，可得a7≤0，a8＞0，利用“”法求解.【詳解】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵從第8項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的單調(diào)性及通項(xiàng)公式，還考查了分析求解問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.題型四、等差中項(xiàng)性質(zhì)（共3小題）10．（24-25高二下·山東德州·月考），若存在使得成等差數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列方程，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由，解得，依題意，存在使得成等差數(shù)列，即存在使得，即存在使得，則，，設(shè)，則，函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，而且，所以.故選：B11．（24-25高一下·上海·月考）若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且滿(mǎn)足則稱(chēng)成“β等差數(shù)列”．已知集合，則由M中的三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中“β等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為（

）A．50 B．51 C．100 D．101【答案】A【分析】利用等差數(shù)列結(jié)合已知等式建立方程組可解得，，從而可得這樣的三個(gè)數(shù)滿(mǎn)足的條件中的有多少個(gè)，即可得到判斷.【詳解】由三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列可得：，又因?yàn)橄茫海驗(yàn)槭侨齻€(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)，所以解得：，即，此時(shí)的三個(gè)數(shù)分別為，所以在集合中的三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中“β等差數(shù)列”，必滿(mǎn)足為偶數(shù)，且屬于，又因?yàn)?，所以可取，這樣的數(shù)共有個(gè)，即由M中的三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中“β等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為，故選:A.12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A． B．5 C．5或－5 D．或【答案】C【分析】根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征可進(jìn)行組合與提取公因式，再利用等差數(shù)列性質(zhì)和等差中項(xiàng)公式不斷簡(jiǎn)化式子即可得解.【詳解】由題，解得，故選：C.題型五、等差數(shù)列“高斯”性質(zhì)（共3小題）13．（24-25高二下·陜西西安·月考）若等差數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A．2025 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，利用倒序相加法，可得答案.【詳解】由等差數(shù)列滿(mǎn)足，則對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，兩式相加可得，解得.故選：B.14．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）在1和11之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．若這個(gè)數(shù)中第1個(gè)為，第個(gè)為，則的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合不等式的“乘1法”即可求解.【詳解】由題可知，，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)滿(mǎn)足，，所以的最小值是3.故選：C.15．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，，若存在正整數(shù)m，n，p，q滿(mǎn)足時(shí)有成立，則等于（

）A．4 B．1C． D．由等差數(shù)列的首項(xiàng)的值決定【答案】B【分析】設(shè)的公差為d，則由，可得，由，可得，則，可得．【詳解】設(shè)的公差為d，則，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)榇嬖谡麛?shù)m，n，p，q滿(mǎn)足，所以，則，又，所以，所以．故選：B.題型六、奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和（共3小題）16．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）若成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)的和為75，偶數(shù)項(xiàng)的和為60，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．9 D．11【答案】C【分析】利用奇偶數(shù)項(xiàng)的和及等差數(shù)列的性質(zhì)有，即可求項(xiàng)數(shù).【詳解】由題設(shè)，則，顯然，所以，可得，則共有項(xiàng).故選：C17．（2023·重慶·二模）已知等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，所以，因?yàn)?，即，則，等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有15項(xiàng)，所以，得，所以.故選：B18．（25-26高二上·江蘇蘇州·期中）已知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為261.則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．10 B．19 C．21 D．29【答案】B【分析】設(shè)項(xiàng)數(shù)為，則，再利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)，然后計(jì)算可得.【詳解】設(shè)項(xiàng)數(shù)為，則，.此數(shù)列共有19項(xiàng).故選：B19．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，首項(xiàng)且，則以下說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；③.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】由得，當(dāng)時(shí)解得，當(dāng)時(shí)由遞推關(guān)系得到，分奇偶討論求出，做出判斷.【詳解】因?yàn)椋?，即，?dāng)時(shí)，，解得，故①正確；當(dāng)時(shí)，，，即，又，所以，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以5為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故②正確；，故③正確.故選：D題型七、sn與an關(guān)系（共3小題）20．（23-24高二下·遼寧·期中）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且存在，，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用可得,繼而可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)可得或，對(duì)的取值討論即可求解．【詳解】由可得存在，使得，且因?yàn)?，所以，假設(shè)，解得或（舍去），此時(shí)，由存在，，所以有或，由可得，，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，有，即，根據(jù)可知：數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是等差數(shù)列，且公差均為2，所以，解得，當(dāng)時(shí)，有，即，，解得，由已知得，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用可得,得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2的等差數(shù)列.21．（2024·浙江溫州·三模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】易通過(guò)，可得，也可求得，但此數(shù)列存在不確定的首項(xiàng)，所以在求和后發(fā)現(xiàn)結(jié)果為，與選項(xiàng)中的四個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)一定不能為負(fù)整數(shù)，所以只能選C.【詳解】由可得：且，由上式又有：，還有，兩式相減得：，兩邊同時(shí)除以得：，由上式可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為1，所以，由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)公式為，又由，所以可以判斷一定不能為負(fù)整數(shù)，即只能有，故選：C.22．（16-17高三上·四川資陽(yáng)·月考）設(shè)，分別是等差數(shù)列，的前項(xiàng)和，若，則A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【詳解】試題分析：由，得，所以，故選A.考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.題型八、雙等差比值型（共3小題）23．（24-25高二下·云南昆明·月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得答案.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：A.24．（20-21高二上·甘肅白銀·月考）設(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別是、.若，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】令，，求出，，進(jìn)而求出，，則可得．【詳解】令，，可得當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，符合，故，，故.【點(diǎn)睛】由求時(shí)，，注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要單獨(dú)列出，一般已知條件含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮上述公式求解．題型九、比值錯(cuò)項(xiàng)型（共3小題）25．（2022·四川·二模）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B．C． D．3【答案】B【分析】先由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)出，，再按照直接計(jì)算即可.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式滿(mǎn)足形式，設(shè)，則，故.故選：B.26．（24-25高二下·遼寧沈陽(yáng)·期中）設(shè)，分別是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】由題可得，然后由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得答案.【詳解】令，可得.則．故選：A27．（15-16高一下·江蘇宿遷·期中）設(shè),分別是等差數(shù)列,的前項(xiàng)和,已知,,則．【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，則，設(shè)，，則.考點(diǎn)：奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和及其中間項(xiàng)的問(wèn)題.題型十、前n項(xiàng)和的二次函數(shù)特征（共3小題）28．（2023·河北·三模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，那么等于（

）A．10 B．80 C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)特征假設(shè)，從而利用題設(shè)條件列式求得，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，所以設(shè)，則，即，兩式相減，得，所以，所以.故選：D.29．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，且，，則正整數(shù)k為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，列式計(jì)算即得.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及，，得，解得，所以正整數(shù)k為2023．故選：D30．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則的值是（

）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)的表達(dá)式為關(guān)于的二次函數(shù)，且則易得的對(duì)稱(chēng)軸方程，再利用對(duì)稱(chēng)軸方程，結(jié)合易得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．等差數(shù)列的前項(xiàng)和可看作是關(guān)于的二次函數(shù)，又故對(duì)稱(chēng)軸方程為．又，解得．故選：B.題型十一、前n項(xiàng)和的最值（共3小題）31．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則使得的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】法一：根據(jù)條件得到，，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的函數(shù)性質(zhì)，即可求出結(jié)果；法二：根據(jù)條件得到，建立不等不關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】方法一：因?yàn)?，所以，得到，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得到，又，所以，所以，，又，令，其圖象如圖所示結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)的函數(shù)特征，

由圖知，n的取值范圍是．方法二：由條件得，即．因?yàn)椋?，并且有，所以．由，得，整理得．因?yàn)?，所以，即，解得，所以n的取值范圍是，故選：C.32．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，最大 B．當(dāng)時(shí)，最小C．?dāng)?shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列中存在最小項(xiàng)【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可得，.對(duì)A：根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)分析判斷；對(duì)B：分類(lèi)討論判斷與的大小關(guān)系；對(duì)C、D：根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及的正負(fù)性分析判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，則，即，又∵，解得，對(duì)A：∵為等差數(shù)列，則可設(shè)，由二次函數(shù)可知不存在最大值，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，則有：當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，；故B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：∵，則數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以對(duì)，均有；對(duì)，均有0，所以中，最大，無(wú)最小項(xiàng)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.33．（24-25高三上·廣東東莞·月考）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若>0，，則時(shí)，n的最大值為（

）A．14 B．13 C．11 D．7【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，利用對(duì)稱(chēng)性求解.【詳解】∵等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是二次函數(shù)，且得，∴，即,所以n的最大值為13，故選：B題型十二、等差數(shù)列正負(fù)不等式型（共3小題）34．（21-22高三上·江蘇南京·月考）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和，即可把等差數(shù)列的前項(xiàng)和看成關(guān)于的二次函數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以由可知，，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，其對(duì)稱(chēng)軸在之間，所以?huà)佄锞€(xiàn)與軸正半軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍是，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知；；；.故選：A35．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，并滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，則下列命題不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，對(duì)分、、三種情況討論，在時(shí)驗(yàn)證即可；在時(shí)，取，可設(shè)，根據(jù)恒成立求得實(shí)數(shù)的取值范圍，逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可；同理可判斷出時(shí)各選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.①當(dāng)時(shí)，則，，則對(duì)任意的恒成立，A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)都成立；②當(dāng)時(shí)，不妨取，記，則，由可得，即，則，令，可得；令，可得.，則，解關(guān)于的不等式，可得或，所以或.由于數(shù)列單調(diào)遞減，該數(shù)列沒(méi)有最小項(xiàng)；由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，數(shù)列單調(diào)遞減，該數(shù)列的最大項(xiàng)為，.對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，，，則，所以，，A選項(xiàng)成立；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，，，則，所以，，B選項(xiàng)成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.滿(mǎn)足，.對(duì)于C選項(xiàng)，，，，，當(dāng)時(shí)，，所以，C選項(xiàng)不一定成立；對(duì)于D選項(xiàng)，，，所以，，D選項(xiàng)成立；③當(dāng)時(shí)，由②同理可知，C選項(xiàng)不一定成立.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列不等式的驗(yàn)證，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題36．（21-22高二下·湖南·期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)最小時(shí)，n的值為（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．2021【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的圖象特征，由已知條件先確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和零點(diǎn)范圍，根據(jù)零點(diǎn)范圍確定對(duì)稱(chēng)軸范圍，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性得到答案.【詳解】由于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的形式，圖象是由經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)上的橫坐標(biāo)為正整數(shù)的所有點(diǎn)構(gòu)成，由，可知拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，且大于零的零點(diǎn)在區(qū)間(2021,2022)之間，因此對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間之間，離對(duì)稱(chēng)軸最近的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,∴取得最小值時(shí)n的值為1011．故選：題型十三、等差數(shù)列函數(shù)型求參（共3小題）37．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“好數(shù)”，已知某數(shù)列的“好數(shù)”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則的不可能取值為（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，利用作差法求出的通項(xiàng)公式，即可得到為等差數(shù)列，依題意可得，，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，，則，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，所以，，當(dāng)時(shí)，上式對(duì)也成立，故，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故對(duì)任意的恒成立可化為，；即，解得，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，BCD符合的取值，故選：A．38．（22-23高二下·廣西河池·期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若的最大值僅為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列遞推式求出的表達(dá)式，設(shè)，可求得其表達(dá)式，根據(jù)的最大值僅為，可判斷數(shù)列單調(diào)性，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】由題意，令，即數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和最大值僅為，則，解得，故選：C．.39．（24-25高二下·北京·期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)列通項(xiàng)可證明數(shù)列為等差數(shù)列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意令，顯然為常數(shù)；所以為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，由對(duì)任意的恒成立,可知數(shù)列為遞減數(shù)列，且從第11項(xiàng)起開(kāi)始小于等于0，所以，即，解得，故選：A題型十三、等差數(shù)列壓軸小題（共3小題）40．（21-22高一下·四川成都·期末）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，人們把函數(shù)，稱(chēng)為高斯函數(shù)（其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：，）．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和記為．若k為函數(shù)，值域內(nèi)的任意元素，且當(dāng)整數(shù)時(shí)，都有成立，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】先由倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合求出的值域，進(jìn)而得到的值；再由得到，利用和得到時(shí)，，判斷出是等差數(shù)列即可求解.【詳解】，又時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則；，，則，則，所以或7；又當(dāng)整數(shù)時(shí)，有，則，兩式相減得，即；當(dāng)時(shí)，時(shí)，有，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為；當(dāng)時(shí)，時(shí)，有，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為；則時(shí)，，，兩式相減得，令，則時(shí)，，即時(shí)，，故數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列，又可得，當(dāng)時(shí)，，即，即；當(dāng)時(shí)，，即，即，解得，則，即數(shù)列是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一是通過(guò)倍角公式及輔助角公式，結(jié)合求得的值域，得到的取值；二是利用結(jié)合前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系得到，再代入的值，證得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求解.41．（20-21高三下·全國(guó)·月考）已知首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且數(shù)列，，…，成各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列，則的最大值為．【答案】【分析】由已知結(jié)合得，設(shè)前項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，分析得，分析得，兩式結(jié)合可得，求出，驗(yàn)證符合題意，驗(yàn)證不符合題意，利用反證法證得不符合題意，即可得解.【詳解】且，（*）；因?yàn)榍绊?xiàng)成各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，，若，則，，在（*）式中，令得，，即，化簡(jiǎn)得①；若，則，在（*）式中，令得，，即，化簡(jiǎn)得②；②①得，，，，將代入①得，，所以，則，所以符合題意．若，則，，，，，，，，在（*）式中，令得，，，所以，所以不符合題意．假設(shè)時(shí)符合題意，則，整理得，即即，又時(shí)，所以與等差數(shù)列矛盾，所以不符合題意．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用將已知條件轉(zhuǎn)換為，再分別分析，，時(shí)是否符合題意，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.42．（20-21高二上·上海寶山·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，()，(，).且?均為等差數(shù)列，則.【答案】【解析】根據(jù)已知條件知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，可求出，再根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化求出等差數(shù)列?的通項(xiàng)公式，再利用分組求和即可得解.【詳解】又，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，①，又分別構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)①式可得②，③，④，由②+③，得，又是等差數(shù)列，所以必為常數(shù)，所以，或，由①得，即，，，又，，即或(舍去)，，是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，，同理，由③+④得，，所以或，，，，即或(舍去)，，是首項(xiàng)為a，公差為的等差數(shù)列，，從而，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查遞推關(guān)系求等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，分組求數(shù)列和，求數(shù)列的和常用的方法有：（1）分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.題型十四、等差數(shù)列壓軸第19題（共3小題）43．（24-25高二下·北京房山·月考）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記（，2，3，…），其中表示，，…這s個(gè)數(shù)中最小的數(shù).(1)若，，求證：不是等差數(shù)列；(2)若，，證明：是等差數(shù)列；(3)證明：或者對(duì)任意實(shí)數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)m，使得，，，…是等差數(shù)列.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）把代入即可求得，即可證明不是等差數(shù)列；（2）在（1）的啟發(fā)下，證明當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于單調(diào)遞增.所以，從而得證；（3）首先求的通項(xiàng)公式，分三種情況討論證明.【詳解】（1），，，所以不是等差數(shù)列.（2），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)任意，因此，所以是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則.所以①當(dāng)時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，因此.此時(shí)，是等差數(shù)列.②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，此時(shí)，是等差數(shù)列.③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有.所以對(duì)任意正數(shù)，取正整數(shù)，故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題，屬于難題.解決該問(wèn)題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：(1)數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，它的圖像是一群孤立的點(diǎn)；(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問(wèn)題；(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.44．（2025·北京豐臺(tái)·一模）已知無(wú)窮遞增數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，記數(shù)列為數(shù)列的自身子數(shù)列.(1)若，寫(xiě)出數(shù)列的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)；(2)證明：；(3)若數(shù)列與是公差分別為，的等差數(shù)列.（i）證明：；（ii）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)1，5，9，13；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)【分析】（1）由自身子數(shù)列定義即可求；（2）由題意可得，設(shè)，即可證明，進(jìn)而命題得證；（3）（i）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及題意可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而命題得證；（ii）分別假設(shè)存在，使和成立，分別推出矛盾，進(jìn)而說(shuō)明，設(shè)，由定義求出，從而得出通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)樗詳?shù)列的自身子數(shù)列為，所以前4項(xiàng)為：，即數(shù)列的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)為1，5，9，13.（2）因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均為正整數(shù)，于是，所以，設(shè)，則，所以.（3）（i）由題得，，又及是遞增數(shù)列，得，即，即，由于對(duì)任意正整數(shù)均成立，則，否則矛盾.所以.（ii）由，若存在，使得，設(shè)，不妨設(shè)，有，則，又，因此與矛盾，所以對(duì)任意，都有.若存在，使得，設(shè)，不妨設(shè)，有，則，又，因此與矛盾，所以對(duì)任意，都有，綜上，對(duì)任意，都有.設(shè)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，又，因此，又，所以.45．（2