第2章對稱圖形——圓1.點和圓的位置關系點在圓外，；點在圓上，；點在圓內，；（圓的半徑為r,點到圓心的距離為d）2.垂徑定理及推論垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.3.外心與內心外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等.銳角三角形的外心在三角形內，直角三角形的外心是斜邊重點，鈍角三角形的外心在三角形外部。三角形的一個內角等于它另外兩個角頂點與外心連線夾角的一半.內心：內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做內心，它的性質是到三角形三邊的距離相等。三角形的一個內角等于它另外兩個角頂點與內心連線夾角減去再乘以2..三角形周長為，面積為，內切圓半徑為,則.直角三角形兩直角邊分別是，斜邊為，內切圓半徑為，則.4.圓周角定理及推論圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上的圓心角的一半.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：直徑所對的圓周角是直角；圓周角所對的弦是直徑.推論3：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角.5.直線和圓的位置關系：（圓心到直線距離為d，圓的半徑為r）相交：直線與圓有兩個公共點，；相切：直線與圓有一個公共點，；相離：直線與圓無公共點，.6.切線性質定理和判定定理切線定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法：（1）直線與交點個數(shù)；（2）直線到圓心的距離與半徑關系；（3）切線的判定定理.7.弧長公式與扇形面積公式正變形的圓心角為度.弧長計算公式：在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長計算公式為.如果扇形的半徑為，圓心角為，那么扇形面積的計算公式為.如果扇形的半徑為，弧長為，那么扇形面積的計算公式為.易錯點190度的圓周角所對的弦是直徑1.易錯點總結:忽略前提條件：需明確該圓周角必須在同一個圓中，若在等圓或同心圓中，需保證弦對應的圓半徑一致，否則結論不成立。混淆“所對”關系：誤將“90度圓周角所對的弦”等同于“弦所對的圓周角為90度”，忽略一條弦可對兩個圓周角（互補），僅直徑所對圓周角必為90度。2.注意事項:

應用定理時先確認圖形是否滿足“同圓或等圓”條件，避免跨圓錯誤。推理時緊扣“圓周角與弦的對應唯一性”，明確直徑是90度圓周角的唯一對應弦。例題1．在直角中，，，，點是內一點，滿足，則的最小值為．

易錯點2直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系1.易錯點總結:公式記憶混淆：誤將面積S=?(a+b+c)r記為S=(a+b+c)r，忽略系數(shù)?，導致計算錯誤。直角邊斜邊混淆：用兩條直角邊之和代替周長，忽略斜邊，尤其在僅知直角邊時易漏算。2.注意事項:牢記公式推導：由面積等于三個內三角形面積和，推導得r=2S/C（C為周長），避免死記硬背。明確邊長構成：直角三角形周長含兩條直角邊和斜邊，計算時需先確認斜邊長度，再代入公式。例題2．如圖，在中，，，，是的內切圓，分別切邊于點D，E，F(xiàn)．(1)求的半徑．(2)若Q是的外心，連接，求的長度．易錯點3求某點的弧形運動路徑長度1.易錯點總結:半徑判斷錯誤：誤將運動點到旋轉中心的距離算錯，如混淆線段長度與半徑，或忽略旋轉過程中半徑的變化。圓心角單位混淆：計算時未將角度單位統(tǒng)一，直接用角度代入弧度公式，或弧度與角度換算錯誤，導致弧長偏差。2.注意事項:確定旋轉中心和半徑：明確運動點繞哪一點旋轉，準確測量該點到中心的距離作為半徑。統(tǒng)一圓心角單位：弧長公式中圓心角需用弧度，若已知角度，先按π/180換算，再代入公式l=θr計算。例題3．如圖，在中，，，．將繞點逆時針旋轉，得到，若點的對應點恰好落在線段上，則點的運動路徑長是cm（結果用含的式子表示）．

易錯點4求其他不規(guī)則圖形的面積1.易錯點總結:

扇形與三角形混淆：計算弓形面積時，誤將扇形面積直接當作弓形面積，忽略減去三角形面積；或混淆圓心角與圓周角對應的圖形。重疊區(qū)域漏算/多算：多個圓相交時，求陰影面積易漏減重疊部分，或對“不規(guī)則”邊界判斷不清，重復計算公共區(qū)域。2.注意事項:

分解為規(guī)則圖形：將不規(guī)則圖形拆分為扇形、三角形、圓等，明確各部分關系（和或差），標注圓心、半徑和角度。驗證邊界與角度：確認圖形是否由同圓或等圓構成，核對圓心角大小，必要時通過幾何性質（如切線、直徑）輔助計算。例題4．如圖，正五邊形的邊長為1，分別以點C，D為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點F，圖中陰影部分的面積為．（結果保留）

一、單選題1．如圖，擺鐘是一種技術與藝術相結合的機械時鐘，圖是其鐘擺擺動示意圖，，當鐘擺從擺動到時，若擺動角度，則端點A移動的路徑長為（）A． B． C． D．2．如圖，P是外一點，射線交于A，B兩點，與相切于點C，，若，則陰影部分的面積是（

）A． B． C．1 D．3．如圖，在四邊形中，，對角線和交于點E，若，則長的最小值為（

）A．6 B． C．4 D．4．如圖，中，，，．點P為內一點，且滿足．則的長度最小值為（

）A．3 B． C． D．二、填空題5．如圖，在中，，，，，．將沿著直線作順時針方向的滾動．到的位置叫做“滾動了一周”，那么這個三角形在滾動了3周之后，點經過的路程長為（結果保留π）．6．如圖，在中，，，將繞點B逆時針旋轉得到，則，，，圍成的面積（圖中陰影部分面積）為．7．如圖，E為正方形內一點，，垂足為E，連接，F(xiàn)，G分別是的中點，若，則的最小值是．8．如圖，在等腰三角形中，，，D為平面內一點，連接，，且，連接，則的最小值為，最大值為．三、解答題9．如圖，三角尺中，，，，將三角尺繞點B順時針旋轉，使點C的對應點落在和點A、B同一直線上的點處，同時點A落在點處．(1)_______°；(2)旋轉過程中點A和點C所經過的路程分別為多少？10．如圖，以的邊上一點O為圓心的圓經過兩點，且與邊交于點E，，連接交于點F，若．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑是4，，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號）．11．如圖，在中，是直