期末重難點(diǎn)檢測卷（培優(yōu)卷）（滿分100分，考試時(shí)間120分鐘，共27題）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：1~4章（九年級上冊全部內(nèi)容）；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）選擇題（8小題，每小題2分，共16分）1．（25-26九年級上·江蘇蘇州·期中）數(shù)據(jù)38，42，42，43，45，45，45的眾數(shù)是（

）A．38 B．42 C．43 D．45【答案】D【分析】本題考查了眾數(shù)．根據(jù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值．通過統(tǒng)計(jì)每個(gè)數(shù)據(jù)的出現(xiàn)次數(shù)，比較后即可得出眾數(shù)．【詳解】解：∵數(shù)據(jù)序列為：38，42，42，43，45，45，45；∴38出現(xiàn)1次，42出現(xiàn)2次，43出現(xiàn)1次，45出現(xiàn)3次；∴45的出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為45．故選：D．2．（25-26九年級上·江蘇鹽城·月考）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是1，則m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查方程的解的問題，把方程的根代入方程即可求解．【詳解】解：把代入方程：，解得，故選：C．3．（25-26九年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，是的直徑，點(diǎn)在圓周上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理．根據(jù)圓周角定理可知，進(jìn)而根據(jù)平角的定義計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：A．4．（25-26九年級上·江蘇揚(yáng)州·月考）在一個(gè)不透明的袋子里有紅球、白球若干個(gè)，其中白球12個(gè)，這些球除顏色外都相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球．不斷重復(fù)這一過程，小明通過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子里紅球的個(gè)數(shù)估計(jì)是（

）A．8 B．12 C．14 D．16【答案】A【分析】本題主要考查了頻率估計(jì)概率．根據(jù)頻率估計(jì)概率，摸到紅球的概率約為，利用概率公式可得袋子里紅球、白球的總數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，∴摸到紅球的概率為，∴袋子里紅球、白球的總數(shù)為，∴袋子里紅球的個(gè)數(shù)估計(jì)是．故選：A．5．（25-26九年級上·江蘇泰州·期中）如圖，為弦，直徑，垂足為點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，根據(jù)垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系逐一判斷即可，熟知垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、與不一定相等，符合題意；

B、∵直徑，∴，故不符合題意；C、∵直徑，∴，故不符合題意；∴，故D不符合題意，故選：A．6．（2025·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）閱讀材料：方程（b，c為常數(shù)）的兩實(shí)根為，，所以方程可表示為．將等號(hào)左邊展開得，與原方程對比，得到，．根據(jù)材料解決問題：一元三次方程（b，c，d為常數(shù)）的三個(gè)實(shí)根分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握題干中給出的方程的表示方法，是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意，將一元三次方程，表示為，然后將左邊展開，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵一元三次方程（b，c，d為常數(shù)）的三個(gè)實(shí)根分別為，，，∴方程可表示為：，∴，∴，∴，，；故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)B，D錯(cuò)誤；∵，∴；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；故選C．7．（24-25九年級上·江蘇無錫·期末）已知是外一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)作的切線．以下是甲、乙兩人的作法：下列判斷正確的是（

）甲：①如圖1，連接，以為直徑作圓，交于，兩點(diǎn)．②連接，，，就是的切線．乙：①如圖2，連接，交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)．②連接，就是的切線．A．甲、乙的作法都正確 B．甲、乙的作法都錯(cuò)誤C．甲的作法錯(cuò)誤，乙的作法正確 D．甲的作法正確，乙的作法錯(cuò)誤【答案】D【分析】本題考查了切線的作法，切線的判定．甲：連接、，利用圓周角定理求得，即可證明是的切線；乙：連接，不能證明是的切線．【詳解】解：甲：連接、，由作圖知，是直徑，∴，又∵、是的半徑，∴是的切線；∴甲的作法正確；乙：連接，由作圖知，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，若是的切線，∴，∴，∴，∴，∵不一定等于，∴不一定是的切線，∴乙的作法不正確；故選：D．8．（24-25九年級上·江蘇鹽城·期末）賓館有間房供游客居住，當(dāng)每間房每天定價(jià)為元時(shí)，賓館會(huì)住滿；當(dāng)每間房每天的定價(jià)每增加元時(shí)，就會(huì)空閑一間房．如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出元的費(fèi)用．當(dāng)房價(jià)定為多少元時(shí)，賓館當(dāng)天的利潤為元？設(shè)房價(jià)比定價(jià)元增加元，則有（）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)設(shè)房價(jià)比定價(jià)元增加元，根據(jù)利潤房價(jià)的凈利潤入住的房間數(shù)可得．【詳解】設(shè)房價(jià)比定價(jià)元增加元，根據(jù)題意得，，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題抽象列出于一元二次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系．第II卷（非選擇題）二、填空題（8小題，每小題2分，共16分）9．（25-26九年級上·江蘇淮安·期中）定義新運(yùn)算：若，則x的值為【答案】或【分析】本題考查的是一元二次方程的解法的應(yīng)用，根據(jù)新運(yùn)算的定義，將代入公式得到方程，然后解一元二次方程即可．【詳解】解：由新運(yùn)算定義，，根據(jù)題意，，整理得：，因式分解得：，解得：或，故答案為：或．10．（25-26九年級上·江蘇宿遷·期中）若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是【答案】8【分析】本題考查了求平均數(shù)．根據(jù)平均數(shù)的定義，原數(shù)據(jù)之和為50，新數(shù)據(jù)每個(gè)加3，和增加30，再求平均數(shù)．【詳解】解：由題意，原數(shù)據(jù)平均數(shù)為5，故數(shù)據(jù)之和為．新數(shù)據(jù)之和為．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．故答案為：．11．（25-26九年級上·江蘇泰州·期中）如圖是某學(xué)校人行過道中的一個(gè)以為圓心的圓形拱門，路面的寬為，圓形拱門所在圓的半徑長為，拱門高為．【答案】9【分析】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，熟記垂徑定理是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)垂徑定理及勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由垂徑定理得，，在中，由勾股定理得，，即，得．故答案為：9．12．（25-26九年級上·江蘇連云港·期中）為了解錦繡育才集團(tuán)學(xué)校九年級男生的身高情況，隨機(jī)抽取了集團(tuán)學(xué)校100名九年級男生，他們的身高x（）統(tǒng)計(jì)如下：組別（）人數(shù)5374315根據(jù)以上結(jié)果，任意抽查集團(tuán)學(xué)校一名九年級男生，他的身高不小于的概率是．【答案】【分析】本題主要考查了求概率．根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：因?yàn)樯砀卟恍∮诘娜藬?shù)為，總?cè)藬?shù)為100，所以概率為．故答案為．13．（2025·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們從卡紙上剪下一個(gè)扇形，它可以折成一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐體，那么這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是．【答案】/度【分析】本題考查了圓錐與扇形之間的關(guān)系，扇形的弧長，勾股定理；設(shè)圓錐的母線為，由勾股定理得，由弧長公式得，即可求解；理解圓錐與扇形之間的關(guān)系，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線為，這個(gè)扇形的圓心角，，，，解得：，故答案為：．14．（24-25九年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）云南省某中學(xué)為弘揚(yáng)民族文化，組織“非遺剪紙”社團(tuán)活動(dòng)．如圖是甲，乙兩個(gè)班級次剪紙作品獲一等獎(jiǎng)數(shù)量的條形統(tǒng)計(jì)圖（單位：件），則兩個(gè)班級作品獲一等獎(jiǎng)數(shù)量的穩(wěn)定性更強(qiáng)的是班．

【答案】甲【分析】本題考查方差的定義和意義，條形統(tǒng)計(jì)圖，利用方差的定義求出甲和乙的方差，再比較即可，方差越小越穩(wěn)定，熟練掌握求方差的方法和方差的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，甲次的數(shù)量為，，，，，∴平均數(shù)為，∴方差為，乙次的數(shù)量為，，，，，∴平均數(shù)為，∴方差為，∵，∴甲穩(wěn)定，故答案為：甲．15．（25-26九年級上·江蘇泰州·期中）如圖，、分別切于、，，是劣弧上的點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)的切線分別交、于點(diǎn)、．則的周長為．【答案】【分析】本題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)，圓的切線長定理，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理得到，即可求出的周長，即可完成求解．【詳解】解：∵、分別切于、，∴，∵過點(diǎn)的切線分別交、于點(diǎn)、，∴，∴的周長．故答案為：16．16．（25-26九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，則后的面積為？【答案】2秒或4秒【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)運(yùn)動(dòng)秒鐘后的面積為，則，，，，利用分割圖形求面積法結(jié)合的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)秒鐘后的面積為，則，，，，，，，，∴，解得：，．答：運(yùn)動(dòng)2秒或4秒后的面積為．故答案為：2秒或4秒三、解答題（11小題，共68分）17．（25-26九年級上·江蘇徐州·期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直接開平方法進(jìn)行求解方程即可；（2）根據(jù)配方法求解方程即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，．18．（25-26九年級上·江蘇揚(yáng)州·期中）某班學(xué)生到吉林省博物館參加研學(xué)活動(dòng)．博物館為同學(xué)們準(zhǔn)備了以契丹文八角銅鏡為背景的三款文創(chuàng)產(chǎn)品：“A．書簽”、“B．鑰匙扣”、“C．冰箱貼”，每位同學(xué)可從中隨機(jī)抽取一個(gè)作為紀(jì)念品，如果抽到每一款的可能性相同，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求甲、乙兩位同學(xué)都抽不到“C．冰箱貼”的概率．【答案】【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，解題關(guān)鍵是正確列表或畫出樹狀圖．先畫出樹狀圖，再得出所有可能結(jié)果與符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解．【詳解】解：畫出樹狀圖，共有9種情況，其中甲、乙兩位同學(xué)都抽不到“C．冰箱貼”有4種，所以甲、乙兩位同學(xué)都抽不到“C．冰箱貼”的概率為．19．（25-26九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)G在邊的延長線上．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形，同弧或等弧所對圓周角相等，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，則，由同弧所對圓周角相等即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴．20．（24-25九年級上·江蘇南京·期末）甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)測試，各項(xiàng)成績?nèi)缦卤恚海▎挝唬悍郑?shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計(jì)與概率綜合與實(shí)踐學(xué)生甲93938990學(xué)生乙94929486(1)甲成績的眾數(shù)是分，乙成績的中位數(shù)是分；(2)如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的成績按計(jì)算，那么甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績分別為多少分？【答案】(1)93，93(2)甲的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績?yōu)?2分，乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績?yōu)?1.8分【分析】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)以及加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)以及加權(quán)平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）由眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可求解；（2）由加權(quán)平均數(shù)的定義列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：甲成績的眾數(shù)是93分，乙成績排序?yàn)?6，92，94，94，∴乙成績的中位數(shù)是（分），故答案為：93，93；（2）解：甲的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績?yōu)椋ǚ郑?，乙的?shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績?yōu)椋ǚ郑?1．（24-25九年級上·江蘇連云港·期末）如圖，已知和上的一點(diǎn)A．【實(shí)踐與操作】（1）作的內(nèi)接正六邊形（不寫作法，保留作圖痕跡）．【應(yīng)用與證明】（2）連結(jié)，，判斷四邊形的形狀，并加以證明．【答案】（1）見解析；（2）矩形，見解析【分析】本題考查了作圖——畫正多邊形，矩形的判定以及圓的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）作直徑，然后分別以A，D為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E，連接，則正六邊形即為所求．（2）由題意可知，因此，故，進(jìn)而求得四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，因此可得，再由，得，因此，故可證得四邊形是矩形．【詳解】解：（1）如圖，首先作直徑，然后分別以A，D為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E，連接，則正六邊形即為所求．（2）四邊形是矩形．理由如下：如圖，連接，∵六邊形是正六邊形，∴，，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形．22．（25-26九年級上·江蘇蘇州·期中）甲、乙玩轉(zhuǎn)盤游戲時(shí)，把質(zhì)地相同的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤平均分成2份和3份，并在每一份內(nèi)標(biāo)有數(shù)字如圖．游戲規(guī)則：甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，乙轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)甲獲勝；數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)乙獲勝．若指針落在分界線上，則無效．要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤．(1)用列表或畫樹狀圖的方法，求甲獲勝的概率．(2)這個(gè)游戲?qū)?、乙雙方公平嗎？請說明理由；若不公平，請改動(dòng)轉(zhuǎn)盤上的一個(gè)數(shù)字使得游戲公平（不需要寫出理由）．【答案】(1)(2)不公平；甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率；把A盤中的數(shù)字1或3換成2，另一個(gè)不變，即可保證游戲的公平【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖求概率，游戲的公平性等知識(shí)，正確列表或畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵；（1）列表或畫樹狀圖，可以求出所有可能事件的總數(shù)及事件發(fā)生的總數(shù)，由概率公式即可求解；（2）根據(jù)（1）中列表或樹狀圖可求得乙獲勝的概率，若兩概率不相等，則改動(dòng)轉(zhuǎn)盤上的一個(gè)數(shù)字使得游戲公平即可．【詳解】（1）解：列表如下：A

B23413事件所有可能情況為6種，其中指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之和為偶數(shù)的有2種，則甲獲勝的概率為．答：甲獲勝的概率為．（2）解：不公平；理由如下：由（1）知，指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之和為奇數(shù)的有4種，則乙獲勝的概率為．而甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，所以游戲不公平．把A盤中的數(shù)字1或3換成2，另一個(gè)不變，即可保證游戲的公平．答：游戲不公平；甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率；把A盤中的數(shù)字1或3換成2，另一個(gè)不變，即可保證游戲的公平．23．（25-26九年級上·江蘇南京·期中）閱讀理解材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，，且．根據(jù)材料．求的值．解：由題意，可得：m，n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，∴．解決以下問題：(1)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，則．(2)已知實(shí)數(shù)m，n滿足，，且，求的值．(3)已知實(shí)數(shù)p，q滿足，，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)1【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是看懂材料，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系．（1）根據(jù)根與系數(shù)得，，再將所求式子變形為，即可整體代入求值；（2）利用m、n滿足的等式，可把m、n可看作方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，接著把利多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，然后利用整體代入的方法計(jì)算；（3）把整理后得到，整理后得到，則p、可看作方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后將所求式子變形為，利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，∴，故答案為：；（2）解：，，且，、可看作方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

，，；（3）解：，即，，∴方程兩邊除以得：，，即，且，、可看作方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，，．24．（24-25九年級上·江蘇常州·期末）如圖是一個(gè)圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線的長是6．(1)求這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中弧的長度；(2)求這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中的度數(shù)；(3)如果A是底面圓周上的一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到點(diǎn)A，求這根繩子的最短長度．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查圓錐的幾何性質(zhì)．（1）求出底面周長即為這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中弧的長度（2）側(cè)面展開圖是以6為半徑，為弧長的扇形，由弧長公式求圓心角；（3）在側(cè)面展開圖中，由兩點(diǎn)之間線段最短得繩子的最短長度為AC的距離．【詳解】（1）解：弧的長度=底面圓的周長；（2）解：設(shè)的度數(shù)為n．，解得，所以，的度數(shù)為；（3）解：連接，過B作于D，∴，，∵由（1）得，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，即這根繩子的最短長度是25．（25-26九年級上·江蘇徐州·期中）如圖，已知是的一條弦，請根據(jù)要求完成作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：(1)在圖①中，利用無刻度的直尺作一條弦，使；(2)如圖②，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，利用無刻度的直尺和圓規(guī)作弦，使；(3)如圖③，過圓心作于，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，連接，若利用無刻度的直尺和圓規(guī)作弦，使經(jīng)過點(diǎn)且．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、尺規(guī)作圖等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，即為所求；（2）以為圓心，長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)；（3）以為圓心為半徑畫弧，交于，連接，作，在上截取，過、兩點(diǎn)作弦即可．【詳解】（1）解：如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，弦即為所求；理由：，；（2）解：如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)，弦和即為所求；理由：，；（3）解：如圖，以為圓心為半徑畫弧，交于，連接，作，在上截取，過、兩點(diǎn)作弦，弦即為所求．理由：連接，由作法可得，，∵，∴，∴，，，，同理，，，，．26．（25-26九年級上·江蘇宿遷·期中）學(xué)習(xí)了圓的切線這節(jié)內(nèi)容后，小婉根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”設(shè)計(jì)出了“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程，她的思路如下：已知：如圖，及外一點(diǎn)．求作：的過點(diǎn)的兩條切線．作法：①連接，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；②以為圓心，以為半徑作，與交于兩點(diǎn)和；③作直線，直線，則直線和直線是的兩條切線．(1)請你使用直尺和圓規(guī)按照上述作法進(jìn)行作圖（保留作圖痕跡）(2)求證：，是的切線，且．證明：連接，，如圖．為的直徑，；，，又點(diǎn)，在上，，是的半徑，且，，是的切線．（經(jīng)過半徑的外端并且于這條半徑的直線是圓的切線）在和中，（）（填推理的依據(jù)），．【答案】(1)見解析；(2)，垂直，【分析】本題考查了基本作圖，掌握線段的中垂線的基本作法和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中步驟作圖；（2）根據(jù)切線的判定定理和全等三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：（1）如圖所示：、即為所求．（2）證明：連接，，如圖．為的直徑，；，，又點(diǎn)，在上，，是的半徑，且，，是的切線．（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的