專題05概率【清單01】隨機事件的條件概率（一）定義一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當于發(fā)生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．【清單02】相互獨立與條件概率的關系（一）相互獨立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．（4）兩個事件的相互獨立性的推廣兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．（二）事件的獨立性（1）事件與相互獨立的充要條件是．（2）當時，與獨立的充要條件是．（3）如果，與獨立，則成立．【清單03】基全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．【清單04】離散型隨機變量及其分布列1、隨機變量在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應關系下，數(shù)字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．2、離散型隨機變量對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．【清單05】離散型隨機變量均值和方差1、均值若離散型隨機變量的分布列為稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（3）．（4）如果相互獨立，則．3、方差若離散型隨機變量的分布列為則稱為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．（2）方差公式的變形：．【清單06】二項分布1、定義一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項式展開式各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式．2、二項分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗中的事件是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機變量是這次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項分布的期望、方差若，則，．【清單07】超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．【清單08】正態(tài)分布1、定義隨機變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點和點的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對于任何實數(shù)，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計．2、原則若，則對于任意的實數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總取值于區(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．【考點題型一】隨機變量的條件概率和相互獨立【例1】.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨，概率為：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：.故選：D.【變式1-1】.“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為約定連勝兩場者贏得比賽，所以比賽6場后甲贏得比賽的情況為：第一場甲勝，第二場乙勝，第三場甲勝，第四場乙勝，第五場甲勝，第六場甲勝，所以所求概率為.故選：C.【變式1-2】.已知事件和相互獨立，且則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由事件A與事件B相互獨立，得.故選：C【變式1-3】.高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球．理論上，小球落入2號容器的概率是多少（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設事件表示“小球落入2號容器”，若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，所以．故選：B．【變式1-4】.（多選）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次朝上的點數(shù)，設事件A為“第一次的點數(shù)是5”，事件B為“第二次的點數(shù)大于4”，事件C為“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則（

）A． B．事件A與事件C互斥C．事件A與C相互獨立 D．【答案】ACD【詳解】由題意可得，對A，，故A正確；對B，事件A與事件C可以同時發(fā)生，故B錯誤；對C，，，所以事件A與C相互獨立，故C正確；對D，，故D正確；故選：ACD.【變式1-5】.（多選）已知隨機事件，則下列說法正確的是（

）A．若，則事件與事件相互獨立B．若，則事件與事件互為對立C．若事件兩兩獨立，則D．若事件兩兩互斥，則【答案】AD【詳解】對于A，根據(jù)事件獨立性的定義可得獨立，故A正確；對于B，記事件A：投擲一個骰子，骰子的點數(shù)為奇數(shù)，事件：投擲一枚硬幣，正面朝上，則，滿足，但不是對立事件，故B錯誤；.對于C：考慮從1，2，3，4中隨機選出一個數(shù)字，記事件“取出的數(shù)字為1或2”，“取出的數(shù)字為1或3”，“取出的數(shù)字為1或4”，則“取出的數(shù)字為1”，顯然，，滿足，，，所以事件A，B，C兩兩獨立，但是，故C錯誤.對于D，若兩兩互斥，根據(jù)互斥事件的概率性質(zhì)可得，故選：AD【考點題型二】全概率公式【例2】.已知某家族有A、B兩種遺傳性狀，該家族某位成員出現(xiàn)A性狀的概率為，出現(xiàn)B性狀的概率為，A、B兩種遺傳性狀都不出現(xiàn)的概率為．則該成員在出現(xiàn)A性狀的條件下，出現(xiàn)B性狀的概率為．【答案】【詳解】記事件A為該家族某位成員出現(xiàn)A性狀；事件B為該家族某位成員出現(xiàn)B性狀，由題意得：，，又，則,且，則，因此，則．故答案為：．【變式2-1】.已知一批產(chǎn)品中有是合格品，檢驗產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為次品的概率為，一個次品被誤判為合格品的概率為．任意抽查一個產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記事件抽取的一個產(chǎn)品為合格品，事件抽查一個產(chǎn)品被判為合格品，則，，，由全概率公式可得.所以，任意抽查一個產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為.故選：B.【變式2-2】.（多選）現(xiàn)有編號分別為的三個盒子，其中盒中共20個小球，其中紅球6個，盒中共20個小球，其中紅球5個，盒中共30個小球，其中紅球6個.現(xiàn)從所有球中隨機抽取一個，記事件：“該球為紅球”，事件：“該球出自編號為的盒中”，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．若從所有紅球中隨機抽取一個，則該球來自盒的概率最小【答案】ACD【詳解】A：由題，，故A正確；B：由選項A可得，故B錯誤；C：因為，所以，所以，故C正確；D：由題該球來自的概率為，該球來自的概率為，該球來自的概率為，所以該球來自的概率最小，故D正確.故選：ACD.【變式2-3】.（多選）假設甲袋中有3個紅球和2個白球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.下列選項正確的是（

）A．從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為B．從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為C．從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為D．已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為【答案】ACD【詳解】從甲袋中取出個球有個紅球的事件為，從乙袋中取出個球紅球的事件為，，，，，，，對于A，從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為，A正確；對于B，從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為，B錯誤；對于C，從乙袋中取出的2個球是紅球的概率，C正確；對于D，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率，D正確.故選：ACD【變式2-4】.甲袋裝有一個黑球和一個白球，乙袋也裝有一個黑球和一個白球，四個球除顏色外，其他均相同．現(xiàn)從甲乙兩袋中各自任取一個球，且交換放入另一袋中，重復進行n次這樣的操作后，記甲袋中的白球數(shù)為，甲袋中恰有一個白球的概率為(1)求；(2)求的解析式；(3)求．【答案】(1)，(2)(3)1【詳解】（1）記第次交換后甲袋中恰有兩個白球的概率為，則第次交換后甲袋中恰有零個白球的概率為，由題意得．；（2）由（1）知，所以，且，從而數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即；（3）顯然的所有可能取值為0，1，2，且，，即，從而，所以的分布列為012所以.【考點題型3】隨機變量的分布列【例3】.現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得分，沒有命中得分；向乙靶射擊一次，命中的概率為，命中得分，沒有命中得分。假設該射手完成以上三次射擊，且每次射擊的結果相互獨立.(1)求該選手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分的分布列及其數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為2【詳解】（1）記：“該射手恰好命中一次”為事件，“該射手第一次射擊甲靶命中”為事件，“該射手第二次射擊甲靶命中”為事件，“該射手射擊乙靶命中”為事件．由題意知，，所以．（2）根據(jù)題意，的所有可能取值為0，1，2，3，4．，，，，，故的分布列是01234．【變式3-1】.下表是離散型隨機變量的概率分布，則常數(shù)a的值是（

）3456A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，解得，故選：C.【變式3-2】.（多選）某校在運動會期間進行了一場“不服來戰(zhàn)”對抗賽，由籃球專業(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進行對抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學連續(xù)投球3次，乙組的同學每人各投球1次.若甲組同學和乙組3名同學的命中率依次分別為，則（

）A．乙組同學恰好命中2次的概率為B．甲組同學恰好命中2次的概率小于乙組同學恰好命中2次的概率C．甲組同學命中次數(shù)的方差為D．乙組同學命中次數(shù)的數(shù)學期望為【答案】BCD【詳解】對于A中，設“乙組同學恰好命中2次”為事件，則，所以A錯誤；對于B中，設“甲組同學恰好命中2次”為事件，則，因為，所以B正確；對于C中，因為甲組同學每次命中的概率都為，設甲組同學命中次數(shù)為，則，可得，所以C正確；對于D中，設乙組同學命中次數(shù)為隨機變量，則的所有可能取值為，所以，，，故，所以D正確.故選：BCD.【變式3-3】.某工廠打算購買2臺設備，該設備有一種易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個200元.在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個320元.在使用期間，每臺設備需要更換的零件個數(shù)T的分布列為45670.30.20.40.1表示2臺設備使用期間需更換的零件個數(shù)，代表購買2臺設備的同時購買易損零件的個數(shù).(1)求的分布列；(2)以購買易損零件所需費用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應選擇哪一個?【答案】(1)答案見解析(2)應選【詳解】（1）由題意，的可能取值為8，9，10，11，12，13，14，則，，，，，，，則的分布列為：8910111213140.090.120.280.220.20.080.01（2）記為當時購買零件所需費用，的可能取值為2000，2320，2640，2960，3280，則，，，，，則.記為當時購買零件所需費用，的可能取值為2200，2520，2840，3160，則，，，，，顯然，所以應選擇.【變式3-4】.門衛(wèi)室有5把鑰匙，其中只有一把能打開辦公室的門，由于借鑰匙開門的員工不知哪把是開門的鑰匙，他只好逐一嘗試．若不能開門，則標記后換一把鑰匙繼續(xù)嘗試開門，記打開門時，試開門的次數(shù)為X．(1)試求X的分布；(2)該員工至多試開3次的概率．【答案】(1)分布列見解析(2)【詳解】（1）X的可能取值為1，2，3，4，5．，，，，．因此X的分布為：X12345P（2）【考點題型四】二項分布、超幾何分布【例4】.（多選）已知離散型隨機變量，其中，則（

）A．若，則B．C．若，則D．若，則為奇數(shù)的概率為【答案】ABD【詳解】對于A選項，若，則，，所以，故A正確；對于B選項，由，得，所以，故B正確；對于C選項，若則，所以，因為，所以，所以，即，所以，即，故C錯誤；對于D選項，若則，所以，所以為奇數(shù)的概率為，故D正確.故選：ABD.【變式4-1】.數(shù)軸上一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點出發(fā)，每隔秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為，向左移動的概率為，共移動次，則質(zhì)點位于的位置的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意此實驗滿足重伯努利實驗，設向左移動次數(shù)為，則，從原點出發(fā)，共移動次，最后質(zhì)點位于，則需向右移動次，向左移動次，所以質(zhì)點位于的位置的概率為.故選：D【變式4-2】.（多選）一紙盒中共有6張形狀和質(zhì)地一樣的卡片，其中4張是紅色卡片，2張是黃色卡片.現(xiàn)從紙盒中有放回地隨機取4次，每次取1張卡片，取到紅色卡片記1分，取到黃色卡片記0分，記4次取卡片所得的總分數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】由題意可知每次取到紅色卡片的概率為，則，故A項錯誤；，故B項正確；，故C項正確；，故D項錯誤.故選：BC【變式4-3】.某導彈試驗基地對新研制的兩種導彈進行試驗，導彈每次擊中空中目標?地面目標的概率分別為，導彈每次擊中空中目標?地面目標的概率分別為.(1)若一枚導彈擊中一個空中目標，且一枚導彈擊中一個地面目標的概率為，一枚導彈擊中一個地面目標，且一枚導彈擊中一個空中目標的概率為，比較的大??；(2)現(xiàn)有兩枚A導彈，一枚導彈，用來射擊兩個空中目標，一個地面目標（每枚導彈各射擊一個目標），請你設計一個射擊方案，使得擊中目標的個數(shù)的期望最大，并求此時擊中目標的個數(shù)的分布列和期望.【答案】(1)(2)安排兩枚A導彈射擊兩個空中目標，一枚B導彈射擊一個地面目標，分布列見解析，【詳解】（1）由題意得，，所以.（2）因為，所以安排兩枚A導彈射擊兩個空中目標，一枚B導彈射擊一個地面目標.設導彈擊中目標的個數(shù)為，則，，，，，的分布列為0123所以.【變式4-4】.某校為了了解學情，對各學科的學習興趣作了問卷調(diào)查，經(jīng)過數(shù)據(jù)整理得到下表：語文興趣數(shù)學興趣英語興趣物理興趣化學興趣生物興趣答卷份數(shù)350470380400300500興趣良好頻率0.70.90.80.50.80.8假設每份調(diào)查問卷只調(diào)查一科，各類調(diào)查是否達到良好的標準相互獨立．(1)從收集的答卷中隨機選取一份，求這份試卷的調(diào)查結果是英語興趣良好的概率；(2)從該校任選一位同學，試估計他在語文興趣良好、數(shù)學興趣良好、生物興趣良好方面，至少具有兩科興趣良好的概率；(3)按分層抽樣的方法從參與物理興趣和化學興趣調(diào)查的同學中抽取7人，再從這7人中抽取3人，記3人中來自化學興趣的人數(shù)為，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析；期望為【詳解】（1）設“這份試卷的調(diào)查結果是英語興趣良好”為事件A，答卷總份數(shù)為，其中英語興趣良好有，故．（2）設“語文興趣良好”“數(shù)學興趣良好”“生物興趣良好”分別為事件，，，，，，則所求的概率為：．（3）從參與物理興趣和化學興趣調(diào)查的700人中按分層抽樣的方法抽取7人，其中參與物理興趣調(diào)查的抽取4人，參與化學興趣調(diào)查的抽取3人，再從中選取3人，則的所有取值為0，1，2，3．，，，，則的分布列為0123故．【變式4-5】.北京冬奧會某個項目招募志愿者需進行有關專業(yè)、禮儀及服務等方面知識的測試，測試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為合格，若甲能答對其中的5道題，求：(1)甲測試合格的概率；(2)甲答對的試題數(shù)X的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析【詳解】（1）設甲測試合格為事件A，則.（2）甲答對的試題數(shù)X可以為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P【考點題型五】正態(tài)分布【例5】.某市為全面提高青少年健康素養(yǎng)水平，舉辦了一次“健康素養(yǎng)知識競賽”，分預賽和復賽兩個環(huán)節(jié)，預賽成績采用百分制，排名前三百名的學生參加復賽．已知共有名學生參加了預賽，現(xiàn)從參加預賽的全體學生中隨機地抽取人的預賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：(1)規(guī)定預賽成績不低于分為優(yōu)良，若從上述樣本中預賽成績不低于分的學生中隨機地抽取人，求至少有人預賽成績優(yōu)良的概率；(2)由頻率分布直方圖，可認為該市全體參加預賽學生的預賽成績近似服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的名學生預賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且，已知小明的預賽成績?yōu)榉郑迷撜龖B(tài)分布，估計小明是否有資格參加復賽？(3)復賽規(guī)則如下：①復賽題目由、兩類問題組成，答對類問題得分，不答或答錯得分；答對類問題得分，不答或答錯得分；②、兩類問題的答題順序可由參賽學生選擇，但只有在答對第一類問題的情況下，才有資格答第二類問題．已知參加復賽的學生甲答對類問題的概率為，答對類問題的概率為，答對每類問題相互獨立，且與答題順序無關．為使累計得分的期望最大，學生甲應選擇先回答哪類問題？并說明理由．附：若，則，，；．【答案】(1)(2)有，理由見解析(3)先答類問題，理由見解析【詳解】（1）由題意可知，抽取的人中，預賽成績不低于分的人數(shù)為，預賽成績不低于分的學生人數(shù)為，因此，從上述樣本中預賽成績不低于分的學生中隨機地抽取人，至少有人預賽成績優(yōu)良的概率為.（2）由頻率分布直方圖可知，，，，，所以，小明有資格參加復賽.（3）若學生甲先答類問題，設他的得分為隨機變量，則的可能取值有、、，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：則，若學生甲先答類問題，設該同學的得分為隨機變量，則的可能取值有、、，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：則，所以，，因此，學生甲應先回答類問題.【變式5-1】.（多選）某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，單個籃球的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，則（

）A． B．越小，越大C． D．【答案】ABC【詳解】由條件可知，由正太密度曲線的對稱性可知：，，，越小，說明數(shù)據(jù)越集中，故越大，故選：ABC【變式5-2】.已知隨機變量X服從二項分布，且隨機變量Y服從正態(tài)分布．若，則．【答案】0.8【詳解】因為隨機變量X服從二項分布，所以，故，又隨機變量Y服從正態(tài)分布，所以，所以.故答案為：.【變式5-3】.某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標準質(zhì)量之差的絕對值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：質(zhì)量差（單位：）5458606364件數(shù)（單位：件）52545205(1)求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；(2)已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線和第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件件數(shù)比是3:1．若第1、2條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相獨立的．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機抽取一件．（?。┣蟪槿〉牧慵閺U品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，，【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【詳解】（1）由題意可知:，則，所以（2）（i）設事件表示“隨機抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，事件表示“隨機抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，事件表示“隨機抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則，，，，所以；（ii）因為，所以，所以．【變式5-4】.某校高三年級在一次數(shù)學測驗中，各位同學的成績，現(xiàn)規(guī)定：成績在的同學為“成績頂尖”，在的同學為“成績優(yōu)秀”，低于90分的同學為“不及格”.(1)已知高三年級共有2000名同學，分別求“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學人數(shù)（小數(shù)按四舍五入取整處理）；(2)現(xiàn)在要從“成績頂尖”的甲乙同學和“成績優(yōu)秀”的丙丁戊己共6位同學中隨機選4人作為代表交流學習心得，在已知至少有一名“成績頂尖”同學入選的條件下，求同學丙入選的概率：(3)為了了解班級情況，現(xiàn)從某班隨機抽取一名同學詢問成績，得知該同學為142分.請問：能否判斷該班成績明顯優(yōu)于或者差于年級整體情況，并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：若，則，）【答案】(1)“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學人數(shù)分別為人、人(2)(3)班級成績由于年級成績【詳解】（1）由已知，“成績優(yōu)秀”的概率為：.“不及格”的概率為：，所以“成績優(yōu)秀”的人數(shù)為人，“不及格”的人數(shù)為人.（2）設事件：至少一名“成績頂尖”同學入選，事件：丙入選，則，（3）由條件知年級中，而在該班隨機抽查中，同學成績在一次隨機事件中就發(fā)生了，這說明班級成績由于年級成績.1．設離散型隨機變量X的分布列為X0123P0.20.10.10.3若隨機變量，則等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【詳解】因為，所以.故選：A.2．設隨機變量，若，則的最大值為（

）A．4 B．3 C．43 D．【答案】C【詳解】隨機變量，由，得，解得，，則當時，取得最大值，所以的最大值為.故選：C3．（多選）下列命題正確的是（

）A．數(shù)據(jù)4，5，6，7，8，8的第50百分位數(shù)為6B．設隨機變量，若，則的最大值為43C．對于隨機事件A，B，若，，，則與相互獨立D．已知采用分層隨機抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為172，方差為120，女生樣本平均數(shù)為165，方差為120，則總體樣本方差為120【答案】BC【詳解】對于A，由于，則數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，隨機變量，由，解得，所以方差，即方差在單調(diào)遞增，故，故B正確；對于C，若,根據(jù)條件概率公式則有,則,故與相互獨立，故C正確；對于D，分層抽樣的平均數(shù)，，按分層抽樣樣本方差的計算公式，,故D錯誤.故選：BC.4．（多選）如果服從二項分布，當且時，可以近似的認為服從正態(tài)分布，據(jù)統(tǒng)計高中學生的近視率，某校有600名高中學生.設為該校高中學生近視人數(shù)，且服從正態(tài)分布，下列說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．變量服從正態(tài)分布B．C．D．【答案】ABD【詳解】依題意，，，對于A，變量服從正態(tài)分布，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD5．（多選）下列命題中，真命題有（

）A．若隨機變量，則B．數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是C．若事件滿足且，則與獨立D．若隨機變量，則【答案】BCD【詳解】A：因為，所以，故錯誤；B：將從小到大重新排列可得，，所以第百分位數(shù)是，故正確；C：因為，且，所以，所以，所以相互獨立，故正確；D：因為，所以，所以，故正確；故選：BCD.6．（多選）已知隨機變量服從正態(tài)分布，則下列說法正確的是（

）A．隨機變量的均值為8 B．隨機變量的方差為16C． D．【答案】ACD【詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，所以隨機變量的均值為8，故A正確；隨機變量的方差為256，標準差為16，故B錯誤；由正態(tài)分布的對稱性知，，故C正確；由正態(tài)分布的對稱性知，，所以，故D正確.故選：ACD.7．甲?乙兩氣象站同時作天氣預報，如果甲站?乙站各自預報的準確率分別為0.8和0.7，且假定甲?乙兩氣象站預報是否準確相互之間沒有影響，那么在一次預報中，甲站?乙站預報都錯誤的概率為.【答案】【詳解】解：記“甲預報準確”，“乙預報準確”，則所以甲?乙都預報錯誤的概率為故答案為：0.068．通過對某校高三年級兩個班的排球比賽成績分析可知，班的成績，班的成績，的分布密度曲線如圖所示，則在排球決賽中班獲勝的可能性更大．【答案】B【詳解】從分布密度曲線可以得到如下結論：（1）B班的平均成績大于A班的平均成績；（2）B的方差小于A的方差，故B發(fā)揮較為穩(wěn)定，故B班獲勝的可能更大.故答案為：B.9．已知隨機變量服從二項分布，若，則.【答案】【詳解】因為，由二項分布的期望公式可得，由期望的性質(zhì)可得，解得.故答案為：.10．單項選擇與多項選擇題是數(shù)學標準化考試中常見題型，單項選擇一般從A，B，C，D四個選項中選出一個正確答案，其評分標準為全部選對的得5分，選錯的得0分；多項選擇題一般從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中有兩個或三個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得6分，部分選對的得部分分（兩個答案的每個答案3分，三個答案的每個答案2分），有選錯的得0分.(1)考生甲有一道單項選擇題不會做，他隨機選擇一個選項，求他猜對本題得5分的概率；(2)考生乙有一道答案為ABD多項選擇題不會做，他隨機選擇兩個或三個選項，求他猜對本題得4分的概率；(3)現(xiàn)有2道兩個正確答案的多項選擇題，根據(jù)訓練經(jīng)驗，每道題考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）甲同學所有可能的選擇答案有A，B，C，D共4種可能結果，樣本空間，其中正確選項只有一個，設M=“猜對本題得5分”，故.（2）乙同學所有可能的選擇答案有10種：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，樣本空間，共有10個樣本點，設N=“猜對本題得4分”，，有3個樣本點，故.（3）由題意得丙得0分的概率為，丁得0分的概率為，丙丁總分剛好得18分的情況包含：事件A：丙得12分有6+6一種情況，丁得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，則；事件B：丙得9分有6+3，3+6兩種情況，丁得9分有6+3，3+6兩種情況，則；事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，丁得12分有6+6一種情況，則；所以丙丁總分剛好得18分的概率.11．某中學舉辦科學競技活動，報名參加科學競技活動的同學需要通過兩輪選拔.第一輪為筆試，設有三門考試科目且每門是否通過相互獨立，至少有兩門通過，則認為是筆試合格.若筆試不合格，則不能進入下一輪選拔；若筆試合格，則進入第二輪現(xiàn)場面試.面試合格者代表年級組參加全校的決賽.現(xiàn)有某年級甲、乙兩名學生報名參加本次競技活動，假設筆試中甲每門合格的概率均為，乙每門合格的概率分別是，，，甲、乙面試合格的概率分別是，.(1)求甲能夠代表年級組參加全校的決賽的概率；(2)求甲、乙兩人中有且只有一人代表年級組參加全校的決賽的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意甲能夠代表年級組參加全校的決賽的概率為：；（2）由題意乙能夠代表年級組參加全校的決賽的概率為：，所以甲、乙兩人中有且只有一人代表年級組參加全校的決賽的概率為：.12．第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，而北京也成為全球唯一主辦過夏季奧運會和冬季奧運會的雙奧之城.某學校為了慶祝北京冬奧會的召開，特舉行奧運知識競賽.參加的學生從夏奧知識題中抽取2題，冬奧知識題中抽取1題回答，已知學生（含甲）答對每道夏奧知識題的概率為，答對每道冬奧知識題的概率為，每題答對與否不影響后續(xù)答題.(1)學生甲恰好答對兩題的概率是多少？(2)求學生甲答對的題數(shù)X的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析【詳解】（1）學生甲恰好答對兩題的概率.（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3.且，，，，所以X的分布列為012313．從某學校的名男生中隨機抽取名測量身高，被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為人.

(1)求第七組的頻率；(2)估計該校名男生的身高的中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為，，事件，求.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知身高在的頻率為，頻數(shù)為，所以第七組的人數(shù)為人，頻率為；（2）設中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可知，，所以中位數(shù)，即，解得；（3）由已知，則事件表示抽取的兩人出自同一組，又第六組共人，第八組共人，所以.14．轉盤游戲的規(guī)則如下：將轉盤進行十等分，從1到10依次進行標注，參與者轉動轉盤，轉盤停止時，指針指到的數(shù)字記為分數(shù)，轉盤游戲可進行多輪，每輪轉動兩次轉盤，進行兩次分別計分，選手甲參加十輪游戲，分數(shù)如下表：輪次一二三四五六七八九十第一次分數(shù)85971077689第二次分數(shù)89877987910若選手在某輪中，兩次分數(shù)的平均值不低于8分，且二者之差的絕對值不超過1分，則稱其在該輪“穩(wěn)定發(fā)揮”．(1)若從以上選手甲的十輪游戲中任選兩輪，求這兩輪均“穩(wěn)定發(fā)揮”的概率；(2)假設選手甲再參加三輪游戲，每輪得分情況相互獨立，并對是否“穩(wěn)定發(fā)揮”以頻率估計概率．記X為甲在三輪游戲中“穩(wěn)定發(fā)揮”的輪數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，．【詳解】（1）解：由題意，結合表格數(shù)的數(shù)據(jù)，可得選手甲在第一、三、九、十輪“穩(wěn)定發(fā)揮”．設從以上選手甲十輪游戲中任選兩輪，這兩輪均"穩(wěn)定發(fā)揮"為事件，則．（2）解：甲在每輪游戲中"穩(wěn)定發(fā)揮"的概率為，且，其中隨機變量可能的取值為，則，所以變量的分布列為X0123則變量X的數(shù)學期望為．15．北京地鐵四號線被譽為“學霸地鐵”，因為它貫穿了幾所國內(nèi)特別有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游學，他們在動物園站開始乘坐4號線，以下幾個站：國家圖書館，魏公村，人民大學，中關村，北京大學為他