第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2

一元線性回歸模型及其應(yīng)用圖解課標(biāo)要點(diǎn)教材幫

新知課丨必備知識解讀知識點(diǎn)1

一元線性回歸模型

學(xué)思用·典例詳解

C

DA.9億元

B.10億元

C.9.5億元

D.10.5億元

知識點(diǎn)2

經(jīng)驗(yàn)回歸方程和最小二乘法1

經(jīng)驗(yàn)回歸方程

2

最小二乘法

.

..

.3

經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)

.

.學(xué)思用·典例詳解

681012632ACD

知識點(diǎn)3

殘差分析1

殘差的概念

2

殘差圖

3

殘差平方和

.

..

..

..

..

.

.

..

..

..

.

學(xué)思用·典例詳解

99.51010.5111110865

例3-5

在用經(jīng)驗(yàn)回歸方程研究四組數(shù)據(jù)的擬合效果時，分別作出下列四個關(guān)于四組數(shù)據(jù)的殘差圖，則用線性回歸模型擬合效果最佳的是(

)DA.

B.

C.

D.

【解析】用殘差圖判斷模型的擬合效果時，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適,且?guī)顓^(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合效果越好.知識點(diǎn)4

非線性回歸分析

當(dāng)兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時,依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來擬合數(shù)據(jù),可通過變量代換,利用線性回歸模型建立兩個變量間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

曲線方程曲線（曲線的一部分）變換公式變換后的線性函數(shù)曲線方程曲線（曲線的一部分）變換公式變換后的線性函數(shù)續(xù)表學(xué)思用·典例詳解圖8.2-1

D

方法幫

解題課丨關(guān)鍵能力構(gòu)建題型1

經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解及其應(yīng)用

2471015228.19.41214.418.524

√√例8

某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日1011131286222529261612該興趣小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

.

.（2）若由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是理想的，試問該小組所得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否理想？

例9

(2025·山東省東營市期末)某人工智能公司從某年起連續(xù)7年的利潤情況如下表所示.12345672.93.33.64.44.85.25.9

【學(xué)會了嗎丨變式題】1.現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素．某企業(yè)去年前八個月的物流成本和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)（單位：萬元）如表所示：月份123456788383.58086.58984.57986.5114116106122132114132

（1）請預(yù)測9月份的利潤；

題型2

非線性回歸分析

B

圖8.2-2

46.65636.8289.81.61

469108.8

非線性回歸問題的處理方法圖8.2-3

圖8.2-4

解非線性回歸分析問題的一般步驟有些非線性回歸分析問題并不給出函數(shù)，這時我們可以根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，與學(xué)過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的圖象進(jìn)行比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，用適當(dāng)?shù)淖兞窟M(jìn)行變換，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題，使之得到解決．一般步驟為：說明：由于涉及的數(shù)據(jù)比較多，考慮到可操作性，考試時往往會給出散點(diǎn)圖，或?qū)嬌Ⅻc(diǎn)圖這一步驟省略，只需要選一些數(shù)據(jù)，畫一下草圖，作出判斷即可，并且相關(guān)數(shù)據(jù)都會直接給出.【學(xué)會了嗎丨變式題】

12345568.1914.5

BC

題型3

殘差分析

34562.534

BA.3.3

B.4.5

C.5

D.5.5

超市12345491418

圖8.2-5

.

..

.【學(xué)會了嗎丨變式題】

252.89646168422

68848.4870

308

續(xù)表圖8.2-6（1）根據(jù)殘差圖判斷哪個模型擬合較好并說明理由.【答案】應(yīng)該選擇模型①.理由為：模型①殘差比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報精度相應(yīng)就會越高.故選模型①比較合適.

題型4

利用決定系數(shù)比較函數(shù)模型擬合效果圖8.2-7

回歸模型模型①模型②回歸方程102.2836.19

故當(dāng)投資金額為20萬元時，年利潤增量為42.89萬元.高考幫

考試課丨核心素養(yǎng)聚焦考情揭秘高考主要考查經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與應(yīng)用，利用公式求解相關(guān)的數(shù)據(jù)，代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程公式即可求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程可以進(jìn)行后續(xù)的預(yù)測，求解時注意運(yùn)算的正確性.題型以解答題為主，偶爾出現(xiàn)在選擇題中.以解答題的形式呈現(xiàn)時，難度中等，以選擇題的形式呈現(xiàn)時，難度中等偏下.核心素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析（從已知條件中提煉數(shù)據(jù)等），數(shù)學(xué)運(yùn)算（經(jīng)驗(yàn)回歸方程、樣本相關(guān)系數(shù)的計算等），數(shù)學(xué)建模（建立回歸模型）.考向

經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解及應(yīng)用

（1）求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；

（2）從這10個數(shù)據(jù)中任選3個，求恰有2個數(shù)據(jù)在211以上的概率；

.

.圖8.2-8

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值.

（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

高考新題型專練

123450.50.81.01.21.5

ACD

BC

練習(xí)幫

習(xí)題課丨學(xué)業(yè)質(zhì)量測評A

基礎(chǔ)練丨知識測評建議時間：35分鐘

甲乙丙丁0.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？(

)AA.甲

B.乙

C.丙

D.丁

2525.52626.52727.5碼數(shù)404142434445

CA.42

B.43

C.44

D.45

B

圖8.2-1

√

2568978101218

B

6.［多選題］(2025·山東省青島第一中學(xué)期中)新能源汽車的核心部件是動力電池，碳酸鋰是動力電池的主要成分．下表是去年我國某企業(yè)前5個月購買碳酸鋰價格與月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．(

)123450.50.811.21.5

BCD

7.(2025·重慶市長壽區(qū)期末)為促進(jìn)銷量增長，某電商平臺為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場．為了對該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示.88.28.48.68.89908483807568

（2）若該產(chǎn)品成本是4元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預(yù)測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤？

345670.620.580.490.40.31

（2）（i）將上表補(bǔ)充完整；

345670.620.580.490.40.310.020.010

B

綜合練丨高考模擬建議時間：40分鐘

3467