第八章數(shù)小波圖像處理《數(shù)字圖像處理》李俊山編著.《數(shù)字圖像處理（第5版）》

小波變換(wavelettransform）是20世紀(jì)80年代中后期逐漸發(fā)展起來(lái)的一種新的數(shù)學(xué)工具，在圖像壓縮、圖像去噪、圖像邊緣提取和紋理分析，以及語(yǔ)音識(shí)別與合成、地震信號(hào)處理等領(lǐng)域得到了非常廣泛的應(yīng)用。

1、傅立葉等變換的局限性（1）僅適用于那些變化規(guī)律呈周期性變化的信號(hào)。（2）不能描述隨時(shí)間變化的頻率特性。8.0引言

如何分析那些變化規(guī)律呈非周期性變化，且頻率隨時(shí)間變化的頻率信號(hào)呢？8.0引言8.0引言

（1）短時(shí)傅立葉變化的思想是：選擇一個(gè)時(shí)頻局部化的窗函數(shù)，假設(shè)分析窗函數(shù)g(t)在一個(gè)短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)的，移動(dòng)窗函數(shù)g(t)

使f(t)g(t)在不同的有限時(shí)間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)，從而可計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。

2、短時(shí)傅立葉變換(STFT)

：一種時(shí)變信號(hào)及其局部段落弦波成份的頻率與相位分析方法

（2）通過(guò)短時(shí)傅立葉變換得出的時(shí)頻圖存在的問(wèn)題是：當(dāng)分析頻率較高部分的信號(hào)時(shí)，應(yīng)該用更窄的窗；反之擇用寬窗。但一旦選定窗過(guò)后，分辨率就固定了；若要其他分辨率，則需要更換窗。8.0引言

2、短時(shí)傅立葉變換(STFT)

：一種時(shí)變信號(hào)及其局部段落弦波成份的頻率與相位分析方法

（3）針對(duì)短時(shí)傅立葉變換的這個(gè)不足，人們就想：能不能用一個(gè)窗函數(shù)的伸縮和平移來(lái)分析信號(hào)，且要求這個(gè)變換是可以完全重構(gòu)的和保持能量守恒的；如果存在這樣的窗函數(shù)，該窗函數(shù)應(yīng)滿足什么條件呢？答案是，這個(gè)窗函數(shù)就是連續(xù)小波，只要它滿足容許條件，即可達(dá)到完全重構(gòu)。8.0引言

2、短時(shí)傅立葉變換(STFT)

：一種時(shí)變信號(hào)及其局部段落弦波成份的頻率與相位分析方法

8.1小波變換與圖像小波變換

1、小波的概念和特性

小波是指小區(qū)域的波，又稱為子波，是一個(gè)長(zhǎng)度有限，均值為0的振蕩波形。8.1.1小波的概念和特性

（a）小波示例

（b）小波的特性示例

圖8.1小波及其特性

1、小波的概念和特性

小波的“小”：

一是相對(duì)于傅里葉波而言，傅里葉波指的是在時(shí)域空間無(wú)窮震蕩的正弦波或余弦波。

二是指它是一種能量在時(shí)域非常集中的波，其能量都集中在某一點(diǎn)附近，而且積分的值為零。

三是指它具有衰減性，即局部非0性，其非0系數(shù)的個(gè)數(shù)多少，反映了高頻成分的豐富程度。8.1.1小波與小波變換

1、小波的概念和特性

也就是說(shuō)，小波必須具備兩個(gè)特性：

（1）小波必須是振蕩的；（2）小波的振幅只能在一個(gè)很短的區(qū)間上非零，也即是局部化的。

8.1.1小波與小波變換

小波例1小波例2時(shí)間時(shí)間振幅振幅1、小波的概念和特性8.1.1小波與小波變換

1、小波的概念和特性按照小波的定義及特性，圖8.2所示的波不是小波。（a）周期波示例

（b）不具震蕩性示例

圖8.2不是小波的示例

8.1.1小波與小波變換

8.1.1小波與小波變換

1、小波的概念和特性—小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的變化。

顧名思義，小波是在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。時(shí)間A時(shí)間B8.1.1小波與小波變換

1、小波的概念和特性—小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率運(yùn)用小波基，也可以提取信號(hào)中的“指定頻率”的變化。

提取信號(hào)中時(shí)間A的比較慢速的變化，稱較低頻率成分

提取信號(hào)中時(shí)間B的比較快速地變化，稱較高頻率成分。時(shí)間A時(shí)間B2、小波變換

小波變換是指基于小波的變換，其基本思想是通過(guò)一個(gè)母函數(shù)在時(shí)間上的平移和在尺度上的伸縮得到一個(gè)函數(shù)簇，然后利用這簇函數(shù)去表示或逼近信號(hào)或函數(shù)，獲得一種能自動(dòng)適應(yīng)各種頻變成分的有效的信號(hào)分析手段。8.1.1小波與小波變換

小波變換的優(yōu)勢(shì)：（1）小波變換彌補(bǔ)了傅里葉變換不能描述隨時(shí)間變化的頻率特性的不足，特別適合于那些在不同時(shí)間窗內(nèi)具有不同頻率特性，而且其應(yīng)用目的是為了得到信號(hào)或圖像的局部頻譜信息而非整體信息的信號(hào)或圖像處理問(wèn)題。8.1.1小波與小波變換

小波變換的優(yōu)勢(shì)：（2）由于小波變換在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化特征，利用小波的多分辨率分析特性既可高效地描述圖像的平坦區(qū)域，又可有效地表示圖像信號(hào)的局部突變(即圖像的邊緣輪廓部分）。再加上小波變換在計(jì)算上的低復(fù)雜性，因此在圖像處理領(lǐng)域具有十分廣闊的應(yīng)用前景。8.1.1小波與小波變換

1、能量有限函數(shù)空間

設(shè)為實(shí)數(shù)集合(實(shí)直線)，也即=（-∞，+∞），則可將定義在實(shí)數(shù)集合上的可測(cè)函數(shù)f的空間定義為：8.1.2連續(xù)小波變換

（8.1）

（1）可測(cè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)函數(shù)f的空間

稱為能量有限函數(shù)空間。（2）<f，g>代表內(nèi)積，其含義是：是的復(fù)共軛。當(dāng)和都是實(shí)函數(shù)時(shí):

8.1.2連續(xù)小波變換

定義8.1：設(shè)函數(shù),且，則稱為基本小波函數(shù)或母小波函數(shù)。對(duì)基本小波函數(shù)做伸縮和平移變換，就可得到一個(gè)函數(shù)簇，則稱其為連續(xù)小波（也稱分析小波），且

：

(8.4)

2、連續(xù)小波8.1.2連續(xù)小波變換

定義8.1：設(shè)函數(shù),且，則稱為基本小波函數(shù)或母小波函數(shù)。對(duì)基本小波函數(shù)做伸縮和平移變換，就可得到一個(gè)函數(shù)簇，則稱其為連續(xù)小波（也稱分析小波），且

：

(8.4)

其中1，

意味著小波函數(shù)的能量是有限的，意味著基本小波函數(shù)是一個(gè)積分為零的

函數(shù)，其能量集中在以t=0為中心的鄰域內(nèi)。

2、連續(xù)小波定義8.1中，

其中，a稱為尺度因子（也稱為伸縮因子），b稱為平移因子（也稱為位置因子）。使用系數(shù)是為了在不同尺度間規(guī)范化能量。歸一化因子時(shí)間平移參數(shù)尺度伸縮參數(shù)(8.4)8.1.2連續(xù)小波變換

8.1.2連續(xù)小波變換

3、連續(xù)小波變換

定義8.2：設(shè)，為基本小波函數(shù)，則連續(xù)小波變換(ContinueWaveletTransform，簡(jiǎn)寫(xiě)為CWT)定義為：(8.5)

其中，函數(shù)稱為小波；當(dāng)尺度因子a＞1時(shí)，函數(shù)具有伸展作用；當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)具有收縮作用；函數(shù)族為積分核。也即：能量有限函數(shù)空間中的函數(shù)f與連續(xù)小波函數(shù)的內(nèi)積。8.1.2連續(xù)小波變換

定義8.2說(shuō)明：

（1）小波變換是指基于基本小波函數(shù)的變換。（2）小波變換的實(shí)質(zhì)是把一個(gè)稱為基本小波的函數(shù)在時(shí)間上平移b，然后在不同的尺度a下與待分析的信號(hào)做內(nèi)積。（3）尺度因子a是一個(gè)頻率參數(shù)，低頻對(duì)應(yīng)于信號(hào)的全局信息（一般貫穿于整個(gè)信號(hào)之中），伸縮信息高，尺度因子a的值大；高頻對(duì)應(yīng)于信號(hào)的細(xì)節(jié)信息(通常僅持續(xù)較短的時(shí)間)，伸縮信息低，尺度因子a的值小。8.1.2連續(xù)小波變換

尺度因子（頻率參數(shù)）a的特性及其對(duì)小波函數(shù)的影響如圖8.3所示。

圖8.3尺度因子(頻率參數(shù))a的特性及其對(duì)小波函數(shù)的影響示例

小a大a8.1.2連續(xù)小波變換

（4）平移因子b是一個(gè)時(shí)間參數(shù)。參數(shù)b和a在時(shí)-頻平面給出了一個(gè)可變的時(shí)間-頻率窗。由于信號(hào)的頻率與其周期成反比，所以對(duì)于高頻譜信息，時(shí)間間隔變小，可以給出較好的精度；對(duì)于低頻信息，時(shí)間間隔變大，可以給出完全的信息。所以在式（8.5）關(guān)于某個(gè)“基小波”的小波變換中，由參數(shù)b和a給出的時(shí)間-頻率窗就可使在高中心頻率隨其時(shí)間窗自動(dòng)變窄，在低中心頻率時(shí)其時(shí)間窗自動(dòng)變寬，具有類似調(diào)焦距的伸縮能力。

比如，設(shè)有小波函數(shù)。當(dāng)a=2,b=15時(shí)，ψ2,15(t)的波形從原點(diǎn)向右移至t=15，且波形展寬。當(dāng)a=0.5，b=-10時(shí)，ψ1/2,-10(t)的波形從原點(diǎn)向左移至t=-10,且波形收縮。如下圖.

8.1.2連續(xù)小波變換

8.1.3離散小波變換

1、能量有限序列空間

設(shè)為整數(shù)集合，且={…,-2,-1,0,+1,+2,…}，則能量有限平方和序列空間定義為：其中，內(nèi)積<c，c>定義為：

（8.6）

（8.7）

2、離散小波

把式(8.4)的連續(xù)小波中的參數(shù)a、b離散化，并令尺度因子，；平移因子，則可得到離散小波：

(8.8)

8.1.3離散小波變換

(8.4)8.1.3離散小波變換

3、離散小波變換

定義8.3

設(shè)，且為基本小波函數(shù)，其離散小波變換（DiscretWaveletTransform,簡(jiǎn)寫(xiě)為DWT）定義為：(8.9)

8.1.4二進(jìn)小波

1、二進(jìn)小波

在實(shí)際應(yīng)用中，通常是對(duì)小波變換進(jìn)行二進(jìn)制離散化，所以當(dāng)，

時(shí)，對(duì)應(yīng)于式（8.8）的二進(jìn)（離散）小波表示為：

（8.10）

對(duì)于一維小波函數(shù)來(lái)說(shuō)，式(8.10)中的n決定了

在t軸上的位置，j決定了的寬度，即沿t軸的寬或窄的程度，而用于控制其高度或幅度。

8.1.4二進(jìn)小波

2、二進(jìn)小波變換

與式(8.9)離散小波變換對(duì)應(yīng)的二進(jìn)小波變換表示為：

（8.11）

8.1.5塔式分解與Mallat算法

研究表明，能夠分解為子空間的直接和：(8.12)其中，符號(hào)“”表示“直接和”。在上述意義下，每個(gè)都有唯一的分解：

(8.13)其中，對(duì)于所有成立。8.1.5塔式分解與Mallat算法

1、的分解8.1.5塔式分解與Mallat算法

1、的分解(續(xù))

如果是一個(gè)正交小波，那么的子空間相互是正交的，即：

（8.14）

這時(shí)，公式（8.12）的“直接和”就變成正交和了，即：并可表示為：

（8.15）

（8.16）

8.1.5塔式分解與Mallat算法

1、的分解(續(xù))

公式（8.16）所表示的意義是：任一分解為函數(shù)的（無(wú)限）和不僅是唯一的，而且如同公式（8.13）所描述的那樣，f的分量還是相互正交的。公式（8.16）的分解通常稱為的一種正交分解。（8.16）

（8.13）

8.1.5塔式分解與Mallat算法

2、塔式分解

在公式（8.12）的有關(guān)空間的分解基礎(chǔ)上，把（8.17）

定義為中的閉子空間（尺度空間）的一個(gè)嵌套序列。且由式（8.12）和式（8.17）可知有：（8.18）

和

（8.19）

8.1.5塔式分解與Mallat算法

2、塔式分解(續(xù))

由式（8.19）可知，捕捉了逼近時(shí)丟失的信息；子空間是嵌套的，也即尺度子空間具有遞歸嵌套關(guān)系：8.1.5塔式分解與Mallat算法

2、塔式分解(續(xù))

各之間的嵌套關(guān)系如圖8.5所示。

……圖8.5

各之間的嵌套關(guān)系示例

8.1.5塔式分解與Mallat算法

2、塔式分解(續(xù))

由可知，對(duì)于任意整數(shù)N與I>0，有如下的塔式分解：

（8.20）

8.1.5塔式分解與Mallat算法

3、Mallat算法

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于信號(hào)，總可以找到適當(dāng)?shù)某叨群瘮?shù)，并生成，從而，有唯一的分解：(8.21)

其中:

(8.22)

3、Mallat算法(續(xù))

對(duì)于，只有唯一的級(jí)數(shù)表示，即：(8.23)

(8.24)

這樣，公式（8.21）中的分解就可唯一地用公式（8.23）和公式（8.24）中的序列和來(lái)確定。

8.1.5塔式分解與Mallat算法

3、Mallat算法(續(xù))

由可得：（8.25）

根據(jù)的直接和分解公式（即，）成立的充要條件定理和小波理論的有關(guān)定理，就可以得到Mallat分解算法為：（8.26）

8.1.5塔式分解與Mallat算法

其中，是一個(gè)低通濾波系數(shù)，是一個(gè)高通濾波系數(shù)。比較圖8.6可知，的初值應(yīng)取。

……圖8.6Mallat分解過(guò)程

3、Mallat算法(續(xù))8.1.5塔式分解與Mallat算法

圖8.6是一維信號(hào)的Mallat多分辨率分解過(guò)程示意圖。根據(jù)Mallat分解算法，設(shè)為一維輸入序列，分解過(guò)程由低通濾波器和高通濾波器對(duì)信號(hào)濾波，然后對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行下二采樣來(lái)實(shí)現(xiàn)正交小波分解，多級(jí)分解通過(guò)級(jí)聯(lián)的方式進(jìn)行，每一級(jí)的分解都是在前一級(jí)分解產(chǎn)生的低頻分量上繼續(xù)進(jìn)行，分解的結(jié)果使信號(hào)的時(shí)域分辨率減半，即產(chǎn)生了長(zhǎng)度減半的兩個(gè)部分，一個(gè)是由低通濾波器產(chǎn)生的原始信號(hào)的平滑部分，另一個(gè)則是由高通濾波器產(chǎn)生的原始信號(hào)的細(xì)節(jié)部分。但由于分解時(shí)濾波器使得半數(shù)的采樣信號(hào)占用了全部的信號(hào)頻帶，所以分解操作使信號(hào)的頻率分辨率加倍，上述操作便是通常所說(shuō)的子帶編碼。經(jīng)過(guò)

次低通濾波得到的輸出是，經(jīng)過(guò)次高通濾波得到的輸出是。8.1.5塔式分解與Mallat算法

由圖8.6可知，正整數(shù)N實(shí)質(zhì)上是對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行Mallat多分辨率分解的最大層數(shù)；且在式(8.20)至式(8.22)中，應(yīng)有I=N。根據(jù)式(8.26)，圖8.6中的每一步分解過(guò)程的實(shí)現(xiàn)原理如圖8.7所示。

圖8.7Mallat分解算法

用類似于信號(hào)分解的思路同樣可以推出小波系數(shù)重構(gòu)公式為：

(8.27)8.1.5塔式分解與Mallat算法

圖8.8是一維信號(hào)的Mallat多分辨率重構(gòu)過(guò)程示意圖。重構(gòu)時(shí)使用一對(duì)合成濾波器和對(duì)小波分解的結(jié)果進(jìn)行濾波，再進(jìn)行上二采樣，即通過(guò)在的的樣本之間插入零、濾波，可逐步重構(gòu)出每個(gè)信號(hào)。多級(jí)合成通過(guò)級(jí)聯(lián)的方式進(jìn)行，合成是分解的逆運(yùn)算?！?.1.5塔式分解與Mallat算法

圖8.8Mallat重構(gòu)過(guò)程根據(jù)式(8.27)，圖8.8中的每一步重構(gòu)過(guò)程的實(shí)現(xiàn)原理如圖8.9所示。8.1.5塔式分解與Mallat算法

圖8.9Mallat重構(gòu)算法

4、

Mallat算法在二維圖像處理中的應(yīng)用可以用矢量積的方式把一維小波變換推廣到二維空間，也就是把不同空間方向的對(duì)象聯(lián)合起來(lái)。8.1.5塔式分解與Mallat算法

4、

Mallat算法在二維圖像處理中的應(yīng)用8.1.6圖像的小波變換

圖像信源的最大特點(diǎn)是非平穩(wěn)特性，也就是不能用一種確定的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，而小波的多分辨率分析特性使之既可高效地描述圖像的平坦區(qū)域，又可有效地表示圖像信號(hào)的局部突變（即圖像的邊緣輪廓部分），它在空域和頻域良好的局部性，使之能夠聚焦到圖像的任意細(xì)節(jié)，相當(dāng)于一個(gè)具有放大和平移功能的“數(shù)學(xué)顯微鏡”。因此小波非常適合于進(jìn)行圖像處理。

8.1.6圖像的小波變換

1、二維離散小波變換及其算法基礎(chǔ)設(shè)是一維尺度函數(shù)，是相應(yīng)的小波函數(shù)，則可得到二維小波變換的基礎(chǔ)函數(shù)為：（8.29）

1、二維離散小波變換及其算法基礎(chǔ)設(shè)是一維尺度函數(shù)，是相應(yīng)的小波函數(shù)，則可得到二維小波變換的基礎(chǔ)函數(shù)為：（8.29）

8.1.6圖像的小波變換

1、二維離散小波變換及其算法基礎(chǔ)(續(xù))設(shè)圖像的大小為M×N，且M=2m，N=2n。對(duì)圖像每進(jìn)行一次二維離散小波變換，就可分解產(chǎn)生一個(gè)低頻子圖(子帶）LL和3個(gè)高頻子圖，即水平子帶HL、垂直子帶LH和對(duì)角子帶HH（當(dāng)i=1，即對(duì)圖像進(jìn)行一次小波變換后，各子帶的分布如圖8.10所示，每個(gè)子帶分別包含了各自相應(yīng)頻帶的小波系數(shù)）。LL1HL1HH1LH1圖8.10對(duì)圖像進(jìn)行一次小波變換后的小波系數(shù)分布示意圖

8.1.6圖像的小波變換

1、二維離散小波變換及其算法基礎(chǔ)(續(xù))下一級(jí)小波變換在前級(jí)產(chǎn)生的低頻子帶LL的基礎(chǔ)上進(jìn)行，依次重復(fù)，即可完成圖像的（i=1，2，…，-1,）級(jí)小波分解，對(duì)圖像進(jìn)行級(jí)小波變換后，產(chǎn)生的子帶數(shù)目為3i+1。8.1.6圖像的小波變換

1、二維離散小波變換及其算法基礎(chǔ)(續(xù))由于對(duì)圖像每進(jìn)行一次小波變換，就相當(dāng)于在水平方向和豎直方向進(jìn)行隔點(diǎn)采樣，所以變換后的圖像就分解成4個(gè)大小為前一級(jí)圖像（或子圖）尺寸的1/4的頻帶子圖，圖像的時(shí)域分辨率就下降一半（相應(yīng)地使尺度加倍），在對(duì)圖像進(jìn)行i級(jí)小波變換后，所得到的i級(jí)分辨率圖像的分辨率是原圖像分辨率的1/2i。8.1.6圖像的小波變換

1、二維離散小波變換及其算法基礎(chǔ)(續(xù))圖8.11給出了對(duì)圖像進(jìn)行3層小波變換（即對(duì)圖像的3尺度的分解）后的系數(shù)分布示意圖。

LL3HL3HH3LH3LH2HH2HL2HL1HH1LH1圖8.118.1.6圖像的小波變換

1、二維離散小波變換及其算法基礎(chǔ)(續(xù))圖8.12給出了與圖8.11對(duì)應(yīng)的一個(gè)對(duì)圖像進(jìn)行3層小波變換的結(jié)果示例。

圖像多尺度分解示例3（i=3）（a）原圖像

（b）1層小波變換結(jié)果

（c）2層小波變換結(jié)果

（d）3層小波變換結(jié)果

圖8.12

(a)一層分解(b)二層分解

圖像多尺度分解示例1（i=2）低頻系數(shù)水平系數(shù)垂直系數(shù)對(duì)角系數(shù)8.1.6圖像的小波變換

二層小波分解后的小波系數(shù)示意（i=2）。8.1.6圖像的小波變換

二層小波分解后的小波系數(shù)示意（i=2）。8.1.6圖像的小波變換

2、二維離散小波變換原理對(duì)于二維圖像信號(hào)，二維Mallat算法是利用一維濾波器分別對(duì)圖像數(shù)據(jù)的行和列進(jìn)行一維小波變換。

二維離散小波變換的Mallat實(shí)現(xiàn)原理如圖8.13所示。圖8.13二維離散小波變換的Mallat實(shí)現(xiàn)——

二維離散小波分解

二維離散小波分解：8.1.6圖像的小波變換

2、二維離散小波變換原理其中：LL(x,y)—原始圖像的（粗）逼近子圖HL(x,y)—原始圖像的水平方向細(xì)節(jié)子圖LH(x,y)—原始圖像的垂直方向細(xì)節(jié)子圖HH(x,y)—原始圖像的對(duì)角線方向細(xì)節(jié)子圖LLHLHHLH二維離散小波分解：

在圖8.13(a）中，圖中標(biāo)注的說(shuō)明是以對(duì)圖像進(jìn)行第一次Mallta分解為例。在第一層首先用h和g與圖像的每行作變換(對(duì)應(yīng)于圖8.13(a)的行濾波)，并丟棄奇數(shù)行（設(shè)最左一列為第0列）；接著，對(duì)行變換后的M/2×N陣列的每列再與h和g相卷積，并丟棄奇數(shù)列(設(shè)最上一行為第0行)；其結(jié)果就是該層變換所有求的4個(gè)M/2×N/2陣列。此時(shí)，LL子帶為，HL子帶為，LH子帶為，HH子帶為。接著進(jìn)行的分解過(guò)程原理相同。圖8.13(a）二維離散小波分解-圖像的濾波采樣HHHLLL8.1.6圖像的小波變換

2、二維離散小波變換原理8.1.6圖像的小波變換

2、二維離散小波變換原理利用二維Mallat算法，對(duì)分解后的圖像進(jìn)行二維離散小波重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)原理為：（b）二維離散小波重構(gòu)圖8.13二維離散小波變換的Mallat實(shí)現(xiàn)--二維離散小波重構(gòu)

一個(gè)3級(jí)（i=3）分解重構(gòu)的例子。8.1.6圖像的小波變換

3、二維離散小波變換快速算法把一維Mallat分解與重構(gòu)算法推廣到二維，通過(guò)對(duì)圖像數(shù)據(jù)的行和列分別進(jìn)行變換，就可得到二維Mallat分解與重構(gòu)算法。對(duì)一幅M×N的圖像進(jìn)行分解的算法為：

（8.30）

（8.30）

其中：

①第一次分解時(shí)，中的k=M，=N。②是一個(gè)低頻子帶，對(duì)應(yīng)于圖8.11中的LL1（左上角的1/4子帶）；是水平方向的高頻子帶，對(duì)應(yīng)于圖8.11中的HL1；

是垂直方向的高頻子帶，對(duì)應(yīng)于圖8.11中的LH1；是對(duì)角線方向的高頻子帶,對(duì)應(yīng)于圖8.11中的HH1。同理，可以把低頻子帶進(jìn)一步分解而得到、、和，分別對(duì)應(yīng)于圖8.11中的LL2、HL2、LH2和HH2。進(jìn)一步可把分解得到、和，分別對(duì)應(yīng)于圖8.11中的LL3、HL3、LH3和HH3。8.1.6圖像的小波變換

二維Mallat重構(gòu)算法為：（8.31）

8.1.6圖像的小波變換

4、圖像小波變換的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題

在對(duì)圖像進(jìn)行小波變換中有一個(gè)小波變換層數(shù)的選擇，另一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題就是小波基的選取。8.1.6圖像的小波變換

1）小波變換層數(shù)的選擇離散小波變換是將原始圖像分解成一個(gè)近似信號(hào)和3個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)，即每一層分解成4個(gè)子帶信號(hào)，近似信號(hào)又可以進(jìn)一步分解成4個(gè)子帶信號(hào)，故總的子帶數(shù)為3i＋1，其中i就是分解的層數(shù)。分解層數(shù)的選擇一方面要看圖像的復(fù)雜程度和濾波器的長(zhǎng)度，另一方面要從子帶信息量來(lái)分析：當(dāng)一個(gè)子帶分成4個(gè)子帶時(shí)，若4個(gè)子帶的熵值和很小，就不值得再分解了。例如，給定子帶B要進(jìn)一步分解成LL、HL、LH和HH4個(gè)子帶，其熵分別記為H(LL）,H(HL）,H(LH）,H(HH）,即：（8.32）

式中，為給定的門(mén)限值。

8.1.6圖像的小波變換

1）小波變換層數(shù)的選擇（續(xù)）有學(xué)者已經(jīng)證實(shí)：對(duì)于512×512像素的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Cronkite，前面的4層分解都可以顯著地減少熵值，但4層之后的熵值曲線變得非常平穩(wěn)，所以，作多于4層的分解就沒(méi)有必要了。由于計(jì)算圖像的熵過(guò)于復(fù)雜，為了節(jié)省時(shí)間和提高編碼效率，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中一般只根據(jù)原始圖像的大小和一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定分解層數(shù)。在目前的應(yīng)用中，大多數(shù)情況下取變換層數(shù)為3。8.1.6圖像的小波變換

2）小波基數(shù)的選取有與傅里葉(Fourier）變換相比，小波變換具有很大的靈活性，其中一個(gè)重要的方面就是傅里葉變換具有唯一的正弦型基函數(shù)，其數(shù)學(xué)性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，而小波變換在理論上有很多小波基可供選擇。選用不同的小波基對(duì)于圖像處理的效果有很大的影響，這種靈活性一方面使小波變換的性能比傅里葉變換有了根本提高，另一方面，也給小波變換的應(yīng)用帶來(lái)了難題。

8.1.6圖像的小波變換

2）小波基數(shù)的選?。ɡm(xù)）

小波基的選取一般要考慮以下因素：（1）線性相位。如果小波具有線性相位或至少具有廣義線性相位，則可以避免小波分解和重構(gòu)時(shí)的圖像失真，尤其是圖像在邊緣處的失真。8.1.6圖像的小波變換

2）小波基數(shù)的選取（續(xù)）

小波基的選取一般要考慮以下因素：（2）緊支性和衰減性。若函數(shù)在區(qū)間[a,b]外恒為零，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上緊支，稱[a,b]為的支集，[a,b]越小，支集越小，具有該性質(zhì)的小波稱為緊支撐小波。支集寬度越小的小波，其局部化能力越強(qiáng)，計(jì)算復(fù)雜度也越低，更便于快速實(shí)現(xiàn)。

8.1.6圖像的小波變換

2）小波基數(shù)的選?。ɡm(xù)）

小波基的選取一般要考慮以下因素：（3）正交性。用正交小波基對(duì)圖像做多尺度分解，可得一正交的鏡像濾波器。低通子帶數(shù)據(jù)和高通子帶數(shù)據(jù)分別落在相互正交的子空間中，使各子帶數(shù)據(jù)相關(guān)性減少。8.1.6圖像的小波變換

5、幾種最基本的小波基

1）Haar小波（8.33）

8.1.6圖像的小波變換

5、幾種最基本的小波基

1）Haar小波（續(xù)）Harr小波的尺度函數(shù)為：

Haar小波具有緊（最短的）支集，支集長(zhǎng)度為1，濾波器長(zhǎng)度為2，具有正交性和對(duì)稱性。

（8.34）

8.1.6圖像的小波變換

5、幾種最基本的小波基2）墨西哥草帽（MexicoHat）小波

MexicoHat小波如圖8.15所示，其解析表達(dá)式為：（8.35）

MexicoHat小波為連續(xù)小波，不存在尺度函數(shù)，也不具備正交性，不存在緊支集，有效支集區(qū)間為[-5，5]，時(shí)頻均具有很好的局部性。

8.1.6圖像的小波變換

5、幾種最基本的小波基3）Morlet小波

Morlet小波如圖8.16所示，其解析表達(dá)式為：

（8.36）

Morlet小波為連續(xù)小波，不存在尺度函數(shù)，也不具備正交性，不存在緊支集，有效支集區(qū)間為[-4，4]，時(shí)頻均具有很好的局部性。8.1.6圖像的小波變換

應(yīng)當(dāng)指出的是，雖然已有很多文獻(xiàn)對(duì)如何選取小波基的問(wèn)題進(jìn)行了理論研究和論述，但小波基的選取問(wèn)題并沒(méi)有從根本上得到解決。在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，小波基的選取仍將是小波應(yīng)用研究中的一個(gè)難點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，許多小波基的選取往往都是通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定的。

8.2基于圖像小波變換的嵌入式零樹(shù)編碼

小波變換因其良好的空間——頻率局部特性和與人眼視覺(jué)特性相符的變換機(jī)制，在圖像壓縮編碼方面得到了廣泛的應(yīng)用；而基于小波變換的嵌入式零樹(shù)小波編碼算法（EmbeddedZerotreeWaveletAlgorithm，簡(jiǎn)稱EZW）以其壓縮比高、便于控制壓縮率和失真率、便于實(shí)現(xiàn)圖像的漸進(jìn)傳輸和較好的圖像恢復(fù)質(zhì)量等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)成為一種非常重要的圖像壓縮方法，并以此為基礎(chǔ)衍生出了多種有效的圖像壓縮編碼方法。

小波變換編碼的基本思想是將原始圖像經(jīng)二維小波變換后，轉(zhuǎn)換成小波域上的小波系數(shù)。由于小波變換后能使原始圖像的能量集中在少數(shù)的小波系數(shù)上，因此最簡(jiǎn)單的系數(shù)量化方法就是只保留那些能量較大的小波系數(shù)，而將小于某一閾值的系數(shù)略去，或者將其表示為恒定常數(shù)，從而達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。因此，基于小波變換的圖像壓縮過(guò)程是由量化過(guò)程和編碼過(guò)程實(shí)現(xiàn)的。8.2.1基于小波變換的圖像壓縮基本思想

一幅圖像的小波變換編碼壓縮過(guò)程如圖8.17所示。圖8.17圖像小波變換編碼示意圖

8.2.1基于小波變換的圖像壓縮基本思想

如果不考慮計(jì)算誤差，小波變換過(guò)程是無(wú)損和可逆的。由于量化過(guò)程要略去小于某一閾值的系數(shù)，或?qū)⑵渲脼楹愣ǔ?shù)，所以量化過(guò)程是有損的和不可逆的，也即基于小波變換的圖像壓縮編碼是有損壓縮編碼。8.2.1基于小波變換的圖像壓縮基本思想

圖像的小波變換解壓縮（簡(jiǎn)稱解碼）恢復(fù)過(guò)程是圖8.17所示的圖像小波變換編碼過(guò)程的逆過(guò)程，如圖8.18所示。圖8.18小波圖像編解碼示意圖

8.2.1基于小波變換的圖像壓縮基本思想8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

研究表明，如果一個(gè)低頻小波系數(shù)小于某個(gè)閾值T，則其子系數(shù)也極有可能小于T，利用這種相關(guān)性，可以由低頻子帶系數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)高頻子帶系數(shù)，EZW算法的零樹(shù)編碼正是基于這種相關(guān)性的編碼方法。下面詳細(xì)地介紹EZW算法的有關(guān)概念和編碼方法。

1.嵌入式編碼的概念所謂嵌入式編碼，就是編碼器將待編碼的比特流按重要性的不同進(jìn)行排序，根據(jù)目標(biāo)碼率或失真度的大小要求確定迭代次數(shù)或隨時(shí)結(jié)束編碼；同樣，對(duì)于給定的解碼流，解碼器也可據(jù)此隨時(shí)結(jié)束解碼，并可以得到相應(yīng)碼流截?cái)嗵幍哪繕?biāo)碼率的恢復(fù)圖像。

8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

1.嵌入式編碼的概念（續(xù)）嵌入式編碼實(shí)質(zhì)上是一種比特連續(xù)逼近的圖像編碼方法，也即按位平面分層，首先編碼傳輸最重要的信息，也就是傳輸幅值最大的變換系數(shù)的位信息（因?yàn)樵礁邔拥奈黄矫娴男畔?quán)重越大，對(duì)編碼越重要），通過(guò)對(duì)判決閾值逐層折半遞減，實(shí)現(xiàn)逐次從最重要的位（最高位）到最不重要的位（最低位）的逐個(gè)傳輸，直到達(dá)到所需精度（碼率）時(shí)停止。8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

◆

圖像的漸進(jìn)式傳輸（數(shù)據(jù)下載）連續(xù)效果示例

◆

圖像的漸進(jìn)式傳輸分幀效果示例

2.零樹(shù)及相關(guān)概念8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

圖8.19三級(jí)小波分解子帶樹(shù)及其系數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

2.零樹(shù)及相關(guān)概念

樹(shù)根是最低頻子帶的LL3結(jié)點(diǎn)，它與3個(gè)分別位于水平方向、垂直方向、對(duì)角線方向的次低分辨率子帶的小波系數(shù)相關(guān)聯(lián)。8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

2.零樹(shù)及相關(guān)概念對(duì)于其余子帶（最高分辨率子帶除外）的結(jié)點(diǎn)，都與其下一級(jí)尺度子帶（也即高一級(jí)分辨率子帶）的相同方向的相同空間位置的4個(gè)小波系數(shù)相關(guān)聯(lián)。8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

2.零樹(shù)及相關(guān)概念

粗尺度上的系數(shù)稱為與其關(guān)聯(lián)的下一級(jí)細(xì)尺度系數(shù)的父親（父系數(shù)）；

細(xì)尺度上的系數(shù)稱為與其關(guān)聯(lián)的上一級(jí)粗尺度系數(shù)的孩子。8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念2.零樹(shù)及相關(guān)概念對(duì)應(yīng)地把比當(dāng)前子帶尺度大的上一級(jí)子帶稱為父子帶；把比當(dāng)前子帶尺度小的下一級(jí)子帶稱為孩子子帶。6.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

2.零樹(shù)及相關(guān)概念

對(duì)于某個(gè)給定的父系數(shù)，把相同方向、相同空間位置（水平、垂直、右下）的所有細(xì)尺度上的系數(shù)稱為子孫；對(duì)于某個(gè)給定的孩子，把相同方向、對(duì)應(yīng)于相同空間位置的所有粗尺度上的系數(shù)稱為祖先。

2.零樹(shù)及相關(guān)概念（續(xù)）基于以上所描述的各尺度上小波系數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，就形成了一系列根在最低分辨率的樹(shù)型結(jié)構(gòu)，如圖8.19所示。8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念

2.零樹(shù)及相關(guān)概念（續(xù)）8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念圖8.19三級(jí)小波分解子帶樹(shù)及其系數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系

2.零樹(shù)及相關(guān)概念（續(xù)）零樹(shù)則是指當(dāng)前系數(shù)和他的所有后代都為零（或都小于某個(gè)閾值）的樹(shù)。8.2.2嵌入式編碼與零樹(shù)概念1.重要的小波系數(shù)和不重要的小波系數(shù)在基于小波變換的嵌入式零樹(shù)編碼中，用一個(gè)給定的閾值T來(lái)決定小波系數(shù)x是否是重要的。如果一個(gè)小波系數(shù)x的絕對(duì)值不小于給定的閾值T，即當(dāng)abs(x)≥T時(shí)，稱該小波系數(shù)x是重要的；反之，當(dāng)abs(x)<T時(shí)，稱該小波系數(shù)x是不重要的。8.2.3重要小波系數(shù)及掃描方法

1.重要的小波系數(shù)和不重要的小波系數(shù)（續(xù)）

如果一個(gè)在粗尺度子帶上的小波系數(shù)x關(guān)于給定的閾值T是不重要的，并且與其關(guān)聯(lián)的較細(xì)尺度子帶上相同方向、相同空間位置的所有小波系數(shù)也關(guān)于給定的閾值T是不重要的，這時(shí)就稱從粗尺度子帶的小波系數(shù)到細(xì)尺度子帶上的所有小波系數(shù)構(gòu)成了一棵零樹(shù)（由于這些系數(shù)不重要，當(dāng)把這些系數(shù)值都置為零值時(shí)就和上面的零樹(shù)概念相同了）。零樹(shù)中粗尺度上的那個(gè)小波系數(shù)就稱為零樹(shù)根。8.2.3重要小波系數(shù)及其掃描方法

1.重要的小波系數(shù)和不重要的小波系數(shù)（續(xù)）

如果一個(gè)在粗尺度上的小波系數(shù)x關(guān)于給定閾值T是不重要的，但它在較細(xì)尺度子帶上相同方向、相同空間位置的小波系數(shù)關(guān)于給定的閾值T至少存在一個(gè)重要的子孫，則粗尺度子帶上的這個(gè)系數(shù)就稱為孤立零點(diǎn)。8.2.3重要小波系數(shù)及其掃描方法

1.重要的小波系數(shù)和不重要的小波系數(shù)（續(xù)）

根據(jù)重要系數(shù)的判別方式abs（x）≥T，說(shuō)明x可能為正或可能為負(fù)，所以，圖像的小波分解子帶樹(shù)中的小波系數(shù)可以用4種符號(hào)表示成一串符號(hào)流：①P，正的重要系數(shù)（POSitive）。②N，負(fù)的重要系數(shù)（Negative）。③I，孤立零點(diǎn)（IsolatedZero-point）。④T，零樹(shù)根（ZeroTreeRoot）。8.2.3重要小波系數(shù)及其掃描方法

1.重要的小波系數(shù)和不重要的小波系數(shù)（續(xù)）

基于小波變換的零樹(shù)編碼的理論基礎(chǔ)主要是統(tǒng)計(jì)概率。該方法假設(shè)，如果小波系數(shù)x是不重要的，那么x對(duì)應(yīng)的子孫為不重要系數(shù)的概率非常大。記住零樹(shù)根的位置（只對(duì)零樹(shù)根編碼），就可以忽略零樹(shù)根以下的零點(diǎn)，從而達(dá)到壓縮的目的。形成零樹(shù)的棵數(shù)越多，零樹(shù)根出現(xiàn)越早，編碼效率就越高。

8.2.3重要小波系數(shù)及其掃描方法

2.小波變換系數(shù)的掃描方法采用主掃描和精細(xì)掃描二次掃描來(lái)完成對(duì)零樹(shù)和重要系數(shù)的判定。

◆主掃描是對(duì)小波系數(shù)的掃描，遵循先父結(jié)點(diǎn)，后孩子結(jié)點(diǎn)的原則。對(duì)于一個(gè)M級(jí)尺度的變換來(lái)說(shuō)，掃描從標(biāo)注為L(zhǎng)LM的最低頻子帶開(kāi)始，依次精細(xì)掃描HLM、LHM和HHM，接下來(lái)依次精細(xì)掃描M-1層、M－2層等。8.2.3重要小波系數(shù)及其掃描方法

圖8.20對(duì)小波分解子帶樹(shù)中子帶的掃描順序2.小波變換系數(shù)的掃描方法(續(xù))8.2.3重要小波系數(shù)及其掃描方法

2.小波變換系數(shù)的掃描方法(續(xù))每一個(gè)子帶的掃描：按zig-zag(之字形-急轉(zhuǎn))順序進(jìn)行掃描。

圖8.21三級(jí)分解各子帶中小波變換系數(shù)的掃描順序8.2.3重要小波系數(shù)及其掃描方法

◆嵌入式零樹(shù)編碼通過(guò)逐次使用閾值序列T1,T2,…,TN來(lái)決定重要系數(shù)的逼近量化過(guò)程完成嵌入式編碼，量化層數(shù)N（也即逼近量化的循環(huán)次數(shù)）一般按照壓縮比和失真率折中的原則來(lái)事先確定。

◆整個(gè)逐次逼近量化過(guò)程包括主掃描、精細(xì)掃描和符號(hào)編碼三個(gè)子過(guò)程。

◆編碼過(guò)程中一般假設(shè)在編碼前已經(jīng)知道或已經(jīng)獲得了子帶樹(shù)中具有最大值的小波系數(shù)。8.2.4嵌入式零樹(shù)編碼方法

編碼過(guò)程的步驟：

1）構(gòu)建用于主掃描和精細(xì)掃描的主表和輔表。8.2.4嵌入式零樹(shù)編碼方法

2）設(shè)置初始閾值T1初始閾值T1（k=1，Tk=T1）的選取要同時(shí)滿足：對(duì)于所有的小波系數(shù)x應(yīng)有abs(x)≤2T1；T1是一個(gè)2的整次冪的整數(shù)；2abs(T1)的值應(yīng)不小于且最接近于最大小波系數(shù)max(abs(x))。并設(shè)Tk-1=T0=2abs(T1)，T0為第一次掃描時(shí)的區(qū)間上限，在精細(xì)掃描中用于區(qū)間的分割。8.2.4嵌入式零樹(shù)編碼方法

例8.1

圖8.22(a)給出了一幅8×8圖像的三級(jí)小波變換的矩陣

值。

63-34501014-13713-127346-15-7394-232-31231514-9-73-12-148-59-14530-322-36-45115646-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

分析：①設(shè)置初始閾值T

依據(jù)abs(x)≤2T1

。變換矩陣中最大的系數(shù)值為63，比63大且為2的整次冪的整數(shù)是64，所以選取T1=32，T0=64。8.2.4嵌入式零樹(shù)編碼方法

編碼過(guò)程的步驟：

1）首先，構(gòu)建主表如表8.1和輔表如表8.2（開(kāi)始時(shí)，構(gòu)建的僅是表8.1和表8.2的架構(gòu)，其中的數(shù)據(jù)是在其后的掃描過(guò)程中填入的。表8.1中的最右一列是為了配合下面的主掃描過(guò)程說(shuō)明而增加的）。

為了直觀起見(jiàn)，將第一次主掃描的輸出符號(hào)和未掃描位置標(biāo)注在圖8.22（b）中。8.2.4嵌入式零樹(shù)編碼方法

編碼過(guò)程的步驟：

2）首先，構(gòu)建主表如表8.1和輔表如表8.28.2.4嵌入式零樹(shù)編碼方法

63-34501014-13713-127346-15-7394-232-31231514-9-73-12-148-59-14530-322-36-45115646-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

P

（b）第1次主掃描輸出符號(hào)和未搜索位置2）第一次主掃描（T1＝32）

如果abs(x)≥T，則認(rèn)為小波系數(shù)x是重要的，輸出x的符號(hào)；2）第一次主掃描（T1＝32）

0-34501014-13713-127346-15-7394-232-31231514-9-73-12-148-59-14530-322-36-45115646-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

PN

（b）第1次主掃描輸出符號(hào)和未搜索位置如果abs(x)≥T，則認(rèn)為小波系數(shù)x是重要的，輸出x的符號(hào)；2）第一次主掃描（T1＝32）

2）第一次主掃描（T1＝32）

00501014-13713-127346-15-7394-232-3123

1514-9-73-12-148

-59-14530-322-36-45115646-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

PN

I

（b）第1次主掃描輸出符號(hào)和未搜索位置如果abs(x)<T，則：如果x位于子帶樹(shù)的最低尺度子帶（HL1，HL1，HH1），則輸出IZ；否則在結(jié)點(diǎn)為x的四叉樹(shù)上搜索：如果該四叉樹(shù)是零樹(shù)，則輸出ZTR；否則輸出IZ(子孫中至少存在一個(gè)重要系數(shù))。2）第一次主掃描（T1＝32）

2）第一次主掃描（T1＝32）

00501014-13713-127346-15-7394-232-31231514-9-7

3-12-148-59-14530-322-36-451156

46-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

PN

IT

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????????????????（b）第1次主掃描輸出符號(hào)和未搜索位置如果abs(x)<T，則：如果x位于子帶樹(shù)的最低尺度子帶（HL1，HL1，HH1），則輸出IZ；否則在結(jié)點(diǎn)為x的四叉樹(shù)上搜索：如果該四叉樹(shù)是零樹(shù)，則輸出ZTR；否則輸出IZ(子孫中至少存在一個(gè)重要系數(shù))。2）第一次主掃描（T1＝32）

00501014-13713-127346-15-7394-232-31231514-9-7

3-12-148-59-14530-322-36-451156

46-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

PN

P

IT

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????????????????（b）第1次主掃描輸出符號(hào)和未搜索位置如果abs(x)≥T，則認(rèn)為小波系數(shù)x是重要的，輸出x的符號(hào)；2）第一次主掃描（T1＝32）

2）第一次主掃描（T1＝32）

63-3450

1014

-13713-127

346-1

5-7394-232-31231514-9-7

3-12-148-59-14530-322-36-451156

46-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

PNP

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2）第一次主掃描（T1＝32）

63-3450

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46-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

PNP

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2）第一次主掃描（T1＝32）

63-3450

1014

-13713-127346-1

5-7

39

4-2

32-31231514-9-7

3-12-148-59-14530-322-36-451156

46-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

PNP

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2）第一次主掃描（T1＝32）

63-3450

1014

-13713-127

346-1

5-7394-232-31231514-9-7

3-12-148

-59-145

30-322-36-451156

46-223-204363603-44（a）三級(jí)小波變換矩陣

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2）第一次主掃描（T1＝32）

63-3450

1014

-13713-127

346-1

5-7394-232-312315

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3-12-148

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2）第一次主掃描（T1＝32）

63-3450

1014

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5-7394-232-312315

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2）第一次主掃描（T1＝32）

63-3450

1014

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