重慶市求精中學(xué)校學(xué)年度高一上二階段考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的概念求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：D.2.已知函數(shù)，則（）A.B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)范圍代入解析式即可.【詳解】因?yàn)椋裕?故選：A.3.已知“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】第1頁/共16頁【分析】分別求出“”和“函數(shù)在上為增函數(shù)”的充要條件，即可判斷.【詳解】由，得.所以函數(shù)在上為增函數(shù)；由函數(shù)在上為增函數(shù)，得.所以.所以“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的充要條件.故選：C.4.若為函數(shù)零點(diǎn)，則所在區(qū)間為（）A.B.（1，2）C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】函數(shù)為上的增函數(shù)，又，且，因?yàn)椋运趨^(qū)間為.故選：B5.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.第2頁/共16頁C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除B，C，利用函數(shù)的單調(diào)性排除A即可.【詳解】對于函數(shù)，定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，故B，C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，D正確．故選：D．6.已知，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合待比較的三個(gè)數(shù)的指數(shù)，底數(shù)的特點(diǎn)，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，根據(jù)它們的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞減，則，即；設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞增，則，即.故.故選：D7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過.已知在過濾過程中的污第3頁/共16頁染物的殘留數(shù)量(單位：毫克/升)與過濾時(shí)間(單位：小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為：(為正常數(shù)，為原污染物數(shù)量)5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了需要過濾（）A5小時(shí)B.10小時(shí)C.15小時(shí)D.小時(shí)【答案】A【解析】【分析】先利用函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合前5個(gè)小時(shí)消除了的污染物，求出常數(shù)的值，然后根據(jù)污染物的殘留含量不得超過，列出方程，即可求出結(jié)論．【詳解】由題意，前個(gè)小時(shí)消除了污染物，∵，∴，∴，即，∴，則由，即，∴，即總共需要過濾10小時(shí)，污染物的殘留含量才不超過，∵前面已經(jīng)過濾了5小時(shí)，所以還需過濾5小時(shí).故選：A.8.函數(shù)的定義域?yàn)锳B表示一個(gè)正方形區(qū)域，則該區(qū)域的面積為（）A.3B.6C.9D.不確定【答案】B【解析】應(yīng)區(qū)域的面積.【詳解】由區(qū)域表示一個(gè)正方形區(qū)域，知.由，得令，則第4頁/共16頁記的解集為,，則所以，解得.所以該區(qū)域的面積為.故選：B.36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目求全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.集合，，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.B.0C.D.2【答案】ABC【解析】，和方程，求出答案.【詳解】，，則，若，則，滿足要求；若，則，解得，若，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)m的值為或0或故選：ABC10.已知不等式的解集是，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集是C.當(dāng)時(shí)，，上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是第5頁/共16頁D.若關(guān)于的不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】BC【解析】【分析】對于A：根據(jù)二次不等式的性質(zhì)即可判斷的正負(fù)；對于B：結(jié)合和韋達(dá)定理，化簡不等式，解不等式即可；對于C，，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可計(jì)算的取值范圍；對于D即可得到的取值范圍；A的解集為錯(cuò)誤；對于B：由題意得：，，根據(jù)韋達(dá)定理：得：，所以，，代入不等式得：，因?yàn)椋?，因?yàn)榉纸獾?，解集為；故選項(xiàng)正確；對于C：由，，得：，，代入，，，因?yàn)樯系闹涤驗(yàn)?，所以得，或時(shí)，時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以的取值范圍是；故選項(xiàng)正確；對于：由題意得：，令，由對勾函數(shù)得：第6頁/共16頁在恒成立，所以，即，故，解集為：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：.已知，若存在，使得，則下列結(jié)論正確的有（）A.實(shí)數(shù)m的取值范圍為B.的最大值為1C.D.取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】畫出的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷A；根據(jù)是方程的兩根，利用韋達(dá)定理判斷B；根據(jù)判斷C；利用的范圍求出的范圍，再結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】畫出的函數(shù)圖象如圖：由圖象可知，，故A正確；因是方程的兩根，則，故無最大值，故B錯(cuò)誤；，則，則，故C正確；因，則，得，則，第7頁/共16頁因在上單調(diào)遞增，，，故，即，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分12.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)開______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.13.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義求出值，再根據(jù)單調(diào)性確定結(jié)果．【詳解】由題意，解得或，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，∴．故答案為：．14.設(shè)函數(shù)（）的最大值為M，最小值為m，則________________.【答案】4050第8頁/共16頁【分析】變形得到，，得到為奇函數(shù)，則，故，故.【詳解】，令，，則，即為奇函數(shù)，則，由題意得，故故答案為：4050.四、解答題：本題共5小題，共分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算下列各式的值：（1）計(jì)算（2）計(jì)算【答案】（1）（2）【解析】.（2）利用對數(shù)運(yùn)算公式和對數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.【小問1詳解】.【小問2詳解】第9頁/共16頁16.已知冪函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求與的解析式：（2）求函數(shù)在上的值域.【答案】（1），（2）【解析】1）設(shè)，，根據(jù)題意列方程組求解；（2）令，求一元二次函數(shù)的值域.【小問1詳解】設(shè)，，則由題意可知，，，，得，，，則，；【小問2詳解】，令，則，對稱軸為，又，，，則，故函數(shù)在上的值域?yàn)?17.如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為.第10頁/共16頁（1）試求函數(shù)的解析式；（2）有同學(xué)發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)(1)中函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）在求的解析式時(shí)，關(guān)鍵是要根據(jù)圖象，對的取值進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，然后分類討?（2）結(jié)合新定義利用奇函數(shù)的性質(zhì)證明即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)直線與分別交于、兩點(diǎn)，則，又，所以，所以，當(dāng)時(shí)也符合；第11頁/共16頁如圖，設(shè)直線與分別交于、兩點(diǎn)，則，又，，所以綜上所述.【小問2詳解】由題意只需證明為奇函數(shù)即可，在中，第12頁/共16頁當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，令，所以對任意，，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形.18.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求不等式的解集.（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.（3）是否存在正實(shí)數(shù)m，，使得在上的值域?存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析.【解析】1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可得參數(shù)值，解分式不等式即可.（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列不等式，解不等式組即可；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與值域列方程，可轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為二次方程問題，列不等式，解不等式即可判斷.【小問1詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則，第13頁/共16頁且當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，滿足題意，由，得，則，即，解得，則不等式的解集為；【小問2詳解】由（1）可知，易知函數(shù)在和上單調(diào)遞增，則在和上單調(diào)遞增．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，則的取值范圍為；【小問3詳解】假設(shè)存在正實(shí)數(shù)m，，，使得在上的值域，由（2）可知在上單調(diào)遞增，則，即，整理得，即，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)椋?，所以，?4頁/共16頁即所以，所以，故不存在正實(shí)數(shù)m，，，使得在上的值域．19.若函數(shù)滿足：對任意正數(shù)s，t，都有，則稱函數(shù)為“H函數(shù)".（1）試判斷函數(shù)與是否為“H函數(shù)”，并說明理由：（2）若函數(shù)是“H函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（3）若函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”，，且對任意正數(shù)x，都有，證明：對任意，都有．【答案】（1）是“H函數(shù)”；不是“H函數(shù)”，理由見詳解（2）（3）證明見詳解【解析】1）根據(jù)“H函數(shù)”的定義并結(jié)合舉反例的方法進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)是“H函數(shù)”列出不等式，轉(zhuǎn)化為求最值問題即可；（3）由題意令，得到，進(jìn)而得到，即可得證.【小問1詳解】對于任意，，，所以，即