第二十七章相似專題強(qiáng)化14相似三角形基本圖形基本圖形1

A字型相似1.

如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，且

∠BDE＋∠ACB＝180°.(1)求證：△ADE∽△ACB；解：(1)證明：∵∠BDE＋∠ACB＝180°，∠BDE＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠ACB.

又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.

解：(1)證明：∵∠BDE＋∠ACB＝180°，∠BDE＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠ACB.

又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.

12345678

解：(2)設(shè)AE＝x.∵E是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AE＝2x.由(1)得，△ADE∽△ACB，

∵AD＝8，AB＝10，

123456782.(教材P42T4變式)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，

AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.

(1)求證：△ADE∽△DBF；證明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∵DF∥AC，∴∠C＝∠DFB.

∴∠AED＝∠DFB.

∴△ADE∽△DBF.

證明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∵DF∥AC，∴∠C＝∠DFB.

∴∠AED＝∠DFB.

∴△ADE∽△DBF.

12345678

解：(2)∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DFCE為平行四邊形.∴DF＝CE，DE＝CF＝6.∵△ADE∽△DBF，BF＝3，

∵AE＝8，∴DF＝CE＝4.∴AC＝AE＋CE＝8＋4＝12.12345678基本圖形2

8字型相似3.

如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，M為AD上的

點(diǎn)，且DM＝2MA，連接CM交BD于點(diǎn)N，且ON＝1.(1)求BD的長(zhǎng)；解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD.

∴△DMN∽△BCN.

12345678∵DM＝2MA，AD＝MA＋DM，

設(shè)DN＝x.∵ON＝1，∴OB＝OD＝x＋1.

解得x＝4.∴OD＝5.∴BD＝2OD＝10.12345678(2)若△DMN的面積為4，求△BCD的面積.

∵S△DMN＝4，∴S△BCN＝9.

∴S△BCD＝S△BCN＋S△DCN＝9＋6＝15.12345678基本圖形3

子母型相似4.

如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊AB上一點(diǎn)，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求

證：△ACD∽△ABC.

證明：∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝8.

∴△ACD∽△ABC.

123456785.(教材P43T7變式)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB

上的高.(1)求證：△ACD∽△ABC；解：(1)證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB.

∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.

解：(1)證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB.

∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.

12345678

解：(2)∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

由(1)，得△ACD∽△ABC.

12345678基本圖形4

一線三等角型相似6.

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，對(duì)角線AC⊥BC，過(guò)點(diǎn)D

作DE⊥AC于點(diǎn)E.

求證：△ABC∽△DAE.

證明：∵∠BAD＝90°，DE⊥AC，∴∠BAC＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°.∴∠BAC＝∠ADE.

又∠ACB＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△DAE.

證明：∵∠BAD＝90°，DE⊥AC，∴∠BAC＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°.∴∠BAC＝∠ADE.

又∠ACB＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△DAE.

123456787.

如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC上一點(diǎn)，E為邊AC上一

點(diǎn)，且∠ADE＝∠B.

(1)求證：△ABD∽△DCE；證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.

∴△ABD∽△DCE.

證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.

∴△ABD∽△DCE.

12345678

解：(2)∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8.由(1)得，△ABD∽△DCE，

解得BD＝2或4.12345678基本圖形5

旋轉(zhuǎn)型相似8.

如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝

90°，AC＝BC，AE＝DE，B，D，E三點(diǎn)共線，線段BE，AC交于

點(diǎn)F，連接CE.

(1)求線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系；解：(1)∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝45°.∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAD＋∠CAE.

∴∠BAD＝∠CAE.

12345678在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2＋DE2＝AD2，即2AE2＝AD2，

在Rt△ABC和Rt△ADE中，∵∠ABC＝∠ADE＝45°，

∴△ABD∽△ACE.

12345678(2)求∠BEC的度數(shù).解：(2)∵B，D，E三點(diǎn)共線，∴∠ADB＝180°－∠ADE＝180°－45°＝135°.∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°.